第二章一元二次方程培優(yōu)檢測(cè)卷(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)-【學(xué)霸滿分】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練(北師大版)

《第二章一元二次方程》培優(yōu)檢測(cè)卷班級(jí)___________姓名___________學(xué)號(hào)____________分?jǐn)?shù)____________考試范圍：全冊(cè)；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（2022·安徽合肥·八年級(jí)期末）方程x（2x-5）=4x-10化為一元二次方程的一般形式是（

）A．2x-4x+5=0 B．2x-x+10=0 C．2x-9x+10=0 D．2x-9x-10=02．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）用配方法解一元二次方程時(shí)，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．3．（山東省濟(jì)南市高新區(qū)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期末）新冠疫情牽動(dòng)人心，若有一人感染了新冠，在每輪傳染中平均一個(gè)人可以傳染個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染后共有400人感染，列出的方程是（

）A． B． C． D．5．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校八年級(jí)期中）已知三角形的兩邊長分別為2和7，第三邊的長是一元二次方程的根，則這個(gè)三角形的周長為（

）A．13 B．15 C．13或15 D．15或196．（2022·浙江·翠苑中學(xué)八年級(jí)期中）下列給出的四個(gè)命題，真命題的有（

）個(gè)①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，那么，．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（2022·陜西·無八年級(jí)期末）一元二次方程的根______．8．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x|m|＋1＋（2m＋1）x﹣m＝0是一元二次方程，則m＝__．9．（2021·吉林遼源·九年級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為________．10．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式a（2a﹣7）＋5＝__．11．（2022·江蘇·九年級(jí)）已知是方程x2+2021x+1＝0的兩個(gè)根，則_____．12．（2022·遼寧本溪·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿AE折疊當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在∠ADC的角平分線上時(shí)，則點(diǎn)到BC的距離為________．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)（x﹣1）2﹣4＝0；(2)（x＋1）2＝2（x＋1）．14．（2022·吉林通化·九年級(jí)期末）如圖，某課外活動(dòng)小組利用一面墻（墻足夠長），另三邊用20m長的籬笆圍成一個(gè)面積為的矩形花園ABCD，求邊AB的長．15．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）判斷下列方程是否為一元二次方程，如果是說明二次項(xiàng)及二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：（1）2x2+3x+5

（2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1（3）（2x-1）（3x+5）=-5

（4）（3x+1）（x-2）=-5x16．（2022·河北保定·三模）下面是小穎同學(xué)解一元二次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．解：第一步第二步第三步第四步，第五步(1)任務(wù)一：①小穎解方程的方法是____；②第二步變形的依據(jù)是____；(2)任務(wù)二：請(qǐng)你用“公式法”解該方程．17．（2022·江蘇·九年級(jí)）已知關(guān)于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．(1)求證：無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形的底邊長3，另兩邊長恰好是這個(gè)方程的兩根，求此三角形的周長．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（2022·河南濮陽·八年級(jí)期中）已知的兩邊的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)當(dāng)時(shí)，求的周長；(2)當(dāng)為何值時(shí)，是菱形？求此時(shí)菱形的邊長.19．（2022·四川攀枝花·九年級(jí)期末）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩根x1，x2，滿足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．20．（2022·安徽·測(cè)試·編輯教研五二模）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1、3、6、10．……．按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)第⑤個(gè)圖中有_____個(gè)黑色圓點(diǎn)；第⑩個(gè)圖中有______個(gè)黑色圓點(diǎn)；(2)第_______個(gè)圖中有210個(gè)黑色圓點(diǎn)．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（2022·浙江·杭州育才中學(xué)八年級(jí)期中）2021年我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利．成為“脫貧勝利年”．技術(shù)扶貧也使得某縣的一個(gè)電子公司扭虧為盈，該公司的顯卡廠2019年電腦A型顯卡的成本是是元/個(gè)．2020年與2021年連續(xù)兩年在技術(shù)扶貧的幫助下改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年A型電腦顯卡的成本降低到元/個(gè)．(1)求這兩年A型電腦顯卡成本平均下降的百分率；(2)公司電商銷售平臺(tái)以高于成本價(jià)的價(jià)格購進(jìn)A型電腦顯卡，以元/個(gè)銷售時(shí)，平均每天可銷售個(gè)，為增加銷量，銷售平臺(tái)決定降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低5元，每天可多售出10個(gè)，如果每天要保持盈利元，試求單價(jià)應(yīng)降低多少元？22．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：解方程x4﹣5x2＋4＝0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2(1)在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0(3)已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．六、（本大題共12分）23．（2022·廣東·佛山市華英學(xué)校八年級(jí)期中）教材中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2＋2ab＋b2及a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式x2＋2x﹣3原式＝（x2＋2x＋1）﹣4＝（x＋1）2﹣4＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）；例如：求代數(shù)式x2＋4x＋6的最小值原式＝x2＋4x＋4＋2＝（x＋2）2＋2，∵（x＋2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2＋4x＋6有最小值是2根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：m2﹣4m﹣5＝；(2)求代數(shù)式x2﹣6x＋12的最小值；(3)若y＝﹣x2＋2x﹣3，當(dāng)x＝．時(shí)，y有最

值（填“大”或“小”），這個(gè)值是；(4)當(dāng)a，b，c分別為△ABC的三邊時(shí)，且滿足a2＋b2＋c2﹣6a﹣10b﹣8c＋50＝0時(shí)，判斷△ABC的形狀并說明理由．《第二章一元二次方程》培優(yōu)檢測(cè)卷班級(jí)___________姓名___________學(xué)號(hào)____________分?jǐn)?shù)____________考試范圍：全冊(cè)；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（2022·安徽合肥·八年級(jí)期末）方程x（2x-5）=4x-10化為一元二次方程的一般形式是（

）A．2x-4x+5=0 B．2x-x+10=0 C．2x-9x+10=0 D．2x-9x-10=0【答案】C【解析】【分析】先利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算方程的左邊，再通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)將方程化成的形式即可得．【詳解】解：，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟記一元二次方程的一般形式是解題關(guān)鍵．2．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）用配方法解一元二次方程時(shí)，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意直接對(duì)一元二次方程配方，然后把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊即可．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步驟：把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．3．（山東省濟(jì)南市高新區(qū)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】【分析】將x＝1代入已知方程求出c即可．【詳解】解：把x＝1代入x2﹣3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，解得：c＝2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．4．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期末）新冠疫情牽動(dòng)人心，若有一人感染了新冠，在每輪傳染中平均一個(gè)人可以傳染個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染后共有400人感染，列出的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，正確的理解題意，列出一元二次方程，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意，列出一元二次方程．5．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校八年級(jí)期中）已知三角形的兩邊長分別為2和7，第三邊的長是一元二次方程的根，則這個(gè)三角形的周長為（

）A．13 B．15 C．13或15 D．15或19【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程求得方程的兩根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到合題意的邊，進(jìn)而求得三角形周長即可．【詳解】解：∵，∴，解得∵第三邊的長為二次方程的一根，2+4=6<7，7-2<6<7+2，∴邊長2，4，7不能構(gòu)成三角形，2，6，7能構(gòu)成三角形，∴三角形的周長=2+6+7=15．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法及三角形三邊關(guān)系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否成三角形的好習(xí)慣，熟練掌握一元二次方程的解法及三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2022·浙江·翠苑中學(xué)八年級(jí)期中）下列給出的四個(gè)命題，真命題的有（

）個(gè)①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，那么，．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【解析】【分析】①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可判斷；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判斷；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判斷；④利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】①若方程兩根為-1和2，則，則，即；故此選項(xiàng)符合題意；②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴；此選項(xiàng)符合題意；③∵，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定無解，故此選項(xiàng)符合題意；④若方程x2+px+q＝0的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，∴兩根之積為0，那么p≠0，q＝0，故此選項(xiàng)符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟記各計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（2022·陜西·無八年級(jí)期末）一元二次方程的根______．【答案】【解析】【分析】先移項(xiàng)，再把方程的左邊分解因式，再解兩個(gè)一次方程即可．【詳解】解：，或解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握因式分解的方法解方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x|m|＋1＋（2m＋1）x﹣m＝0是一元二次方程，則m＝__．【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義列出關(guān)于m的方程組，求出m的值即可；【詳解】解：根據(jù)題意得：|m|+1＝2，m﹣1≠0，∴m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2021·吉林遼源·九年級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可求得．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程根的判別式是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式a（2a﹣7）＋5＝__．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意“a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根”，則可把x=a代入原方程，得到關(guān)于a的一個(gè)一元二次方程，通過移項(xiàng)得到“2a2﹣7a＝1”，將2a2﹣7a當(dāng)作一個(gè)整體，代入原代數(shù)式，即可得到答案．【詳解】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根，∴2a2﹣7a﹣1＝0，∴2a2﹣7a＝1，∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．將2a2﹣7a當(dāng)作一個(gè)整體，代入原代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·九年級(jí)）已知是方程x2+2021x+1＝0的兩個(gè)根，則_____．【答案】1【解析】【分析】利用一元二次方程解的定義得到α2+2021α+1=0，β2+2021β+1=0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：αβ=1，然后將其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）進(jìn)行求值即可．【詳解】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個(gè)根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解和根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．12．（2022·遼寧本溪·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿AE折疊當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在∠ADC的角平分線上時(shí)，則點(diǎn)到BC的距離為________．【答案】2或1##1或2【解析】【分析】連接，過點(diǎn)作于M．設(shè)，則AM=7-x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到：（7-x）2=25-x2，通過解方程求得x的值，易得點(diǎn)到BC的距離．【詳解】解：矩形ABCD，連接，過點(diǎn)作于M．∵點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在∠ADC的角平分線上，∴設(shè)，則AM=7-x，又由折疊的性質(zhì)知，∴在直角中，由勾股定理得到：，即（7-x）2=25-x2，解得：x1=3，x2=4，則點(diǎn)到BC的距離為5-3=2或5-4=1．故答案為：2或1．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，掌握翻折變換是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)（x﹣1）2﹣4＝0；(2)（x＋1）2＝2（x＋1）．【答案】(1)x1＝3，x2＝﹣1(2)x1＝﹣1，x2＝1【解析】【分析】（1）直接利用開平方方法解一元二次方程；（2）利用因式分解法解一元二次方程．(1)解：∵（x﹣1）2﹣4＝0，∴（x﹣1）2＝4，則x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x1＝3，x2＝﹣1；(2)解：∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1）＝0，則x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．14．（2022·吉林通化·九年級(jí)期末）如圖，某課外活動(dòng)小組利用一面墻（墻足夠長），另三邊用20m長的籬笆圍成一個(gè)面積為的矩形花園ABCD，求邊AB的長．【答案】5m【解析】【分析】設(shè)AB＝xm，則BC＝（20﹣2x）m，根據(jù)矩形花園ABCD的面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出邊AB的長．【詳解】解：設(shè)AB＝xm，則BC＝（20﹣2x）m，依題意得：x（20﹣2x）＝50，整理得：x2﹣10x+25＝0，解得：x1＝x2＝5．答：邊AB的長為5m．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）判斷下列方程是否為一元二次方程，如果是說明二次項(xiàng)及二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：（1）2x2+3x+5

（2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1（3）（2x-1）（3x+5）=-5

（4）（3x+1）（x-2）=-5x【答案】（1）不是一元二次方程；（2）不是一元二次方程；（3）是一元二次方程，二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為6，一次項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為7，常數(shù)項(xiàng)為0；（4）是一元二次方程，二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)為0，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為-2．【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程進(jìn)行判斷，然后根據(jù)一元二次方程的一般形式其中表示二次項(xiàng)，表示二次項(xiàng)系數(shù)，表示一次項(xiàng)，表示一次項(xiàng)系數(shù)，表示常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：（1）不是方程，故不是一元二次方程；（2）即，∴，不是一元二次方程；（3）即∴，是一元二次方程，∴二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為6，一次項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為7，常數(shù)項(xiàng)為0；（4）即，∴，是一元二次方程，∴二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)為0，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程的定義和一般形式．16．（2022·河北保定·三模）下面是小穎同學(xué)解一元二次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．解：第一步第二步第三步第四步，第五步(1)任務(wù)一：①小穎解方程的方法是____；②第二步變形的依據(jù)是____；(2)任務(wù)二：請(qǐng)你用“公式法”解該方程．【答案】(1)配方法，等式性質(zhì)(2)，【解析】【分析】（1）任務(wù)一，結(jié)合配方法解一元二次方程的步驟求解即可；（2）任務(wù)二，利用公式法求解即可．(1)解：小穎是將方程左邊配成完全平方形式，小穎解方程的的方法是配方法，等式變形的依據(jù)是等式性質(zhì)；(2)解：∵，，，∴，則，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．17．（2022·江蘇·九年級(jí)）已知關(guān)于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．(1)求證：無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形的底邊長3，另兩邊長恰好是這個(gè)方程的兩根，求此三角形的周長．【答案】(1)證明見解析．(2)7．【解析】【分析】（1）先計(jì)算判別式，將結(jié)果寫成完全平方形式，再根據(jù)判別式的意義得出結(jié)論．（2）運(yùn)用因式分解法求得到方程的兩個(gè)根，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，求出等腰三角形的周長．(1)∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4?（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)∵等腰三角形的底邊長3，另兩邊長恰好是這個(gè)方程的兩根，即以3為底，則，為腰，∴以3為底，，為腰能構(gòu)成等腰三角形，∴周長∴等腰三角形的周長為7．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，本題第二問，運(yùn)用因式分解法求得到方程的兩個(gè)根，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，求出等腰三角形的周長．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（2022·河南濮陽·八年級(jí)期中）已知的兩邊的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)當(dāng)時(shí)，求的周長；(2)當(dāng)為何值時(shí)，是菱形？求此時(shí)菱形的邊長.【答案】(1)7(2)當(dāng)時(shí)，是菱形菱形的邊長為【解析】【分析】（1）代入x=可求出a值，將a值代入原方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出AB+AD的長，再利用平行四邊形的周長=相鄰兩邊之和×2，即可求出結(jié)論．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AB=AD，利用根的判別式Δ=0可求出a值，將a=1代入原方程，解之可得出此時(shí)菱形的邊長；(1)將x=3代入原方程得：解得：原方程為的周長為(2)（1）當(dāng)AB=AD時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，∴Δ=（-4a）2-4×4×（2a-1）=0，∴a1=a2=1．將a=1代入原方程得：4x2-4x+1=0，即（2x-1）2=0，∴x1=x2=，∴此時(shí)菱形的邊長為．當(dāng)時(shí)，是菱形菱形的邊長為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、根的判別式、解一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用根的判別式Δ=0，找出關(guān)于a的方程；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出平行四邊形相鄰兩邊之和．19．（2022·四川攀枝花·九年級(jí)期末）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩根x1，x2，滿足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．【答案】(1)k≥﹣3且k≠1(2)2【解析】【分析】（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，并使k﹣1≠0，即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再將它們代入（x1+1）（x2+1）＝4，即可求出k的值．(1)解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．∴k﹣1≠0，?＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．(2)解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的兩根為x1，x2，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．∵（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4，整理，得：k﹣1＝1，解得：k＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，k＝2是方程的解，∴k＝2．∴k的值為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系列出方程或不等式．20．（2022·安徽·測(cè)試·編輯教研五二模）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1、3、6、10．……．按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)第⑤個(gè)圖中有_____個(gè)黑色圓點(diǎn)；第⑩個(gè)圖中有______個(gè)黑色圓點(diǎn)；(2)第_______個(gè)圖中有210個(gè)黑色圓點(diǎn)．【答案】(1)15；55(2)20【解析】【分析】通過觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第一圖形加兩個(gè)得第二個(gè)圖形，第二個(gè)圖形加三個(gè)得第三個(gè)圖形，第三個(gè)圖形加四個(gè)得第四個(gè)圖形，以此類推，可找到規(guī)律．(1)解：第一個(gè)圖形的數(shù)量是1，可以表示為；第二個(gè)圖形的數(shù)量是3，可以表示為；第三個(gè)圖形的數(shù)量是6，可以表示為；第四個(gè)圖形的數(shù)量是10，可以表示為；所以第五個(gè)圖形的數(shù)量是15，可以表示為；……第十個(gè)圖形的數(shù)量是；故答案為：15；55．(2)解：由（1）可得，第n個(gè)圖形的數(shù)量是，所以當(dāng)=210時(shí)，n=20，故答案為：20．【點(diǎn)睛】圖形問題可以通過作差發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以注意尋找相鄰的兩個(gè)圖形中的圓圈的變化規(guī)律，從而得到規(guī)律．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（2022·浙江·杭州育才中學(xué)八年級(jí)期中）2021年我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利．成為“脫貧勝利年”．技術(shù)扶貧也使得某縣的一個(gè)電子公司扭虧為盈，該公司的顯卡廠2019年電腦A型顯卡的成本是是元/個(gè)．2020年與2021年連續(xù)兩年在技術(shù)扶貧的幫助下改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年A型電腦顯卡的成本降低到元/個(gè)．(1)求這兩年A型電腦顯卡成本平均下降的百分率；(2)公司電商銷售平臺(tái)以高于成本價(jià)的價(jià)格購進(jìn)A型電腦顯卡，以元/個(gè)銷售時(shí)，平均每天可銷售個(gè)，為增加銷量，銷售平臺(tái)決定降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低5元，每天可多售出10個(gè)，如果每天要保持盈利元，試求單價(jià)應(yīng)降低多少元？【答案】(1)這兩年A型電腦顯卡成本平均下降10％．(2)單價(jià)應(yīng)降低10元．【解析】【分析】（1）設(shè)這兩年A型電腦顯卡成本平均下降的百分率為x，然后根據(jù)增長率問題可求解；（2）設(shè)單價(jià)應(yīng)降低m元，則銷售量為個(gè)，然后根據(jù)題意可列出方程進(jìn)行求解．(1)解：設(shè)這兩年A型電腦顯卡成本平均下降的百分率為x，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），答：這兩年A型電腦顯卡成本平均下降10％；(2)解：設(shè)單價(jià)應(yīng)降低m元，則銷售量為個(gè)，由題意知購進(jìn)A型電腦顯卡的成本價(jià)為（元），單價(jià)每降低1元，每天可多售出10÷5=2（個(gè)），∴，解得：，由銷售平臺(tái)為了增加銷量可知：，答：?jiǎn)蝺r(jià)應(yīng)降低10元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：解方程x4﹣5x2＋4＝0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2(1)在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0(3)已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．【答案】(1)換元法；降次(2)x1＝2，x2＝﹣3(3)4或﹣3【解析】【分析】（1）根據(jù)解答過程歸納出銀法為換元法，換元法的目的是將高次方程降為低次方程求解；（2）運(yùn)用換元法求解，（3）運(yùn)用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入計(jì)算即可．(1)解：在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想；故答案為：換元法，降次；(2)解：設(shè)x2+x＝y(tǒng)，原方程可變?yōu)閥2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x2+x＝﹣2，方程沒有實(shí)數(shù)解；當(dāng)y＝6時(shí)，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；原方程有兩個(gè)根：x1＝2，x2＝﹣3；(3)解：（a﹣4b）（a+3b）＝0，a﹣4b＝0或a+3b＝0，所以a＝4b或a＝﹣3b，當(dāng)a＝4b時(shí)，=44；當(dāng)a＝﹣3b時(shí)，=