第二十講圓的基本性質(原卷版+解析)

第二十講圓的基本性質命題點1圓周角定理及其推論有關的計算1．（2022?朝陽）如圖，在⊙O中，點A是的中點，∠ADC＝24°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．24° B．26° C．48° D．66°2．（2022?阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，若∠C＝35°，則∠ABO的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．60° D．70°3．（2022?巴中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（）A． B． C．1 D．24．（2022?蘭州）如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°5．（2022?牡丹江）如圖，BD是⊙O的直徑，A，C在圓上，∠A＝50°，∠DBC的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．35°6．（2022?聊城）如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，則的度數(shù)是（）A．30° B．25° C．20° D．10°7．（2022?營口）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，則BC的長為（）A．4 B．8 C．4 D．48．（2022?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．65°命題點2垂徑定理及其推論類型一垂徑定理及其推論有關的計算9．（2022?云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為（）A． B． C． D．19．（2022?安徽）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（）A． B．4 C． D．511．（2022?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（）A．1 B． C．2 D．412．（2022?荊門）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（）A．36 B．24 C．18 D．7213．（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB＝12cm，BC＝5cm，則圓形鏡面的半徑為．14．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為．15．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為．16．（2022?鹽城）證明：垂直于弦AB的直徑CD平分弦以及弦所對的兩條?。愋投箯蕉ɡ淼膶嶋H應用17．（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為m．18．（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為厘米．19．（2022?宜昌）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對的弦長）AB＝26m，設所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為D．拱高（弧的中點到弦的距離）CD＝5m．連接OB．（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關系；（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）．命題點3圓內接四邊形20．（2022?長春）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠BCD＝121°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．138° B．121° C．118° D．112°21．（2022?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．140° D．160°22．（2022?株洲）如圖所示，等邊△ABC的頂點A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點D、E，點F是劣弧上一點，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠DFE的度數(shù)為（）A．115° B．118° C．120° D．125°23．（2022?雅安）如圖，∠DCE是⊙O內接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為．24．（2022?威海）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD，延長CD至點E．（1）若AB＝AC，求證：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半徑為2，求sin∠BAC．25．（2022?湖北）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，點E為AB的中點，連接CE交BD于點F，延長CE交⊙O于點G，連接BG．（1）求證：FB2＝FE?FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的長．第二十講圓的基本性質命題點1圓周角定理及其推論有關的計算1．（2022?朝陽）如圖，在⊙O中，點A是的中點，∠ADC＝24°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．24° B．26° C．48° D．66°【答案】C【解答】解：∵點A是的中點，∴，∴∠AOB＝2∠ADC＝2×24°＝48°．故選：C．2．（2022?阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，若∠C＝35°，則∠ABO的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．60° D．70°【答案】B【解答】解：連接OA，∵∠C＝35°，∴∠AOB＝2∠C＝70°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝55°．故選：B．3．（2022?巴中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解答】解：如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，，∴AB⊥CD，∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，∴AE＝AC?cos∠BAC＝3，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴，∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．故選：C．4．（2022?蘭州）如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】C【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故選：C．5．（2022?牡丹江）如圖，BD是⊙O的直徑，A，C在圓上，∠A＝50°，∠DBC的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】C【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵∠D＝∠A＝50°，∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．故選：C．6．（2022?聊城）如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，則的度數(shù)是（）A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【解答】解：連接BC，∵∠AOC＝80°，∴∠ABC＝40°，∵∠P＝30°，∴∠BCD＝10°，∴的度數(shù)是20°．故選：C．7．（2022?營口）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，則BC的長為（）A．4 B．8 C．4 D．4【答案】A【解答】解：連接AB，如圖所示，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵∠ADC＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°．∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，∴BC＝．∵AC＝4，∴BC＝＝4．故選：A．8．（2022?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．65°【答案】A【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝65°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，∴∠ADC＝∠ABC＝25°，故選：A命題點2垂徑定理及其推論類型一垂徑定理及其推論有關的計算9．（2022?云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝12，∵AB＝26，∴OC＝13．∴cos∠OCE＝．故選：B．19．（2022?安徽）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（）A． B．4 C． D．5【答案】D【解答】解：如圖，過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，則OB＝7，∵PA＝4，PB＝6，∴AB＝PA+PB＝10，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝5，∴PC＝PB﹣BC＝1，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：OP＝＝＝5，故選：D．11．（2022?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴點D是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，且OD＝BC，設OD＝x，則BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．故選：C．12．（2022?荊門）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（）A．36 B．24 C．18 D．72【答案】A【解答】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝，∴CD＝2CE＝6，∴四邊形ACBD的面積＝．故選：A．13．（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB＝12cm，BC＝5cm，則圓形鏡面的半徑為．【答案】cm【解答】解：連接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圓周角，∴AC是圓形鏡面的直徑，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圓形鏡面的半徑為cm，故答案為：cm．14．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為．【答案】7【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D為OC的中點，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．故答案為：7．15．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為．【答案】2【解答】解：連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，∵OC⊥AB，∴D為AB的中點，則AB＝2AD＝2＝2＝2．故答案為：2．16．（2022?鹽城）證明：垂直于弦AB的直徑CD平分弦以及弦所對的兩條?。窘獯稹咳鐖D，CD為⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M．求證：AM＝BM，，．證明：連接OA、OB，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵AB⊥CD，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴，類型二垂徑定理的實際應用17．（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為m．【答案】【解答】解：連接OA，如圖，設⊙O的半徑為rm，∵C是⊙O中弦AB的中點，CD過圓心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑長為m．故答案為：．18．（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為厘米．【答案】26【解答】解：如圖，點O是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC，則點C，點D，點O三點共線，由題意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），設鏡面半徑為x厘米，由題意可得：x2＝102+（x﹣2）2，∴x＝26，∴鏡面半徑為26厘米，故答案為：26．19．（2022?宜昌）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對的弦長）AB＝26m，設所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為D．拱高（弧的中點到弦的距離）CD＝5m．連接OB．（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關系；（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）設主橋拱半徑為R，由題意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為19m．命題點3圓內接四邊形20．（2022?長春）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠BCD＝121°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．138° B．121° C．118° D．112°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故選：C．21．（2022?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．140° D．160°【答案】B【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC＝∠AOC＝80°，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故選：B．22．（2022?株洲）如圖所示，等邊△ABC的頂點A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點D、E，點F是劣弧上一點，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠DFE的度數(shù)為（）A．115° B．118° C．120° D．125°【答案】C【解答】解：四邊形EFDA是⊙O內接四邊形，∴∠EFD+∠A＝180°，∵等邊△ABC的頂點A在⊙O上，∴∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，故選：C．23．（2022?雅安）如圖，∠DCE是⊙O內接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為．【答案】14