專題05構(gòu)造新圖或用公式求函數(shù)值(原卷版+解析)

專題05構(gòu)造新圖或用公式求函數(shù)值1．折紙不僅可以幫助我們進(jìn)行證明，還可以幫助我們進(jìn)行計(jì)算．小明取了一張正方形紙片，按照如圖所示的方法折疊（如圖①②③）：重新展開后得到如圖所示的正方形ABCD（如圖④），BD、BE、EF為前面折疊的折痕．小亮觀察之后發(fā)現(xiàn)利用這個(gè)圖形可以求出45°、22.5°等角的三角函數(shù)值．請(qǐng)你直接寫出tan67.5°=_____．2．閱讀下面材料：小天在學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：在中，，，則______小天根據(jù)學(xué)習(xí)幾何的經(jīng)驗(yàn)，先畫出了幾何圖形如圖，他發(fā)現(xiàn)不是特殊角，但它是特殊角的一半，若構(gòu)造有特殊角的直角三角形，則可能解決這個(gè)問(wèn)題于是小天嘗試著在CB邊上截取，連接如圖，通過(guò)構(gòu)造有特殊角的直角三角形，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：______．參考小天思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在等腰

中，，，請(qǐng)借助，構(gòu)造出的角，并求出該角的正切值．3．在學(xué)習(xí)《銳角三角函數(shù)》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究．(1)初步嘗試：我們知道：tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；(2)實(shí)踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A；小明想構(gòu)造包含∠A的直角三角形：延長(zhǎng)CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．請(qǐng)按小明的思路進(jìn)行余下的求解：(3)拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值．4．在學(xué)習(xí)蘇科版九下《銳角三角函數(shù)》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；（2）實(shí)踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想構(gòu)造包含∠A的直角三角形：延長(zhǎng)CA至D，使得DA＝AB，連接BD，所以得到∠D＝∠A，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．請(qǐng)按小明的思路進(jìn)行余下的求解：（3）拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．①tan2A＝；②求tan3A的值．5．閱讀下列材料：在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問(wèn)題：如圖1，在中，，求（用含的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，在中表示出，則可以求出．閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在中，．（1）如圖3，若，則__，_____；（2）請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含的式子表示）．6．在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：______，______，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：______；（選填“=”或“≠”）（2）實(shí)踐探究：如圖1，在中，，，求的值；小明想構(gòu)造包含的直角三角形：延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，連接，所以得到，即轉(zhuǎn)化為求的正切值．請(qǐng)按小明的思路進(jìn)行余下的求解；（3）拓展延伸：如圖2，在中，．求的值．7．同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，將還會(huì)學(xué)到下面三角函數(shù)公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝(1)試仿照例題，求出cos15°的準(zhǔn)確值；(2)我們知道，tanα＝，試求出tan15°的準(zhǔn)確值．8．對(duì)鈍角α，定義三角函數(shù)值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．(1)求sin120°，cos120°的值；(2)若一個(gè)鈍角三角形的三個(gè)內(nèi)角比是1：1：4，點(diǎn)A，B是這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的度數(shù)．9．【閱讀材料】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①；②；③．利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值，如．【學(xué)以致用】根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：(1)求的值；(2)如圖，一架直升機(jī)在一建筑物上方的點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端點(diǎn)的俯角為，底端點(diǎn)的俯角為，此時(shí)直升機(jī)與建筑物的水平距離為，求建筑物的高；(3)疫情封控期間，直升機(jī)給該建筑物的居民投放物資，試求飛機(jī)從點(diǎn)處往正東方向飛多遠(yuǎn)，居民在點(diǎn)處看飛機(jī)的仰角恰好是．10．閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：Sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

；tan(α±β)=利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值例：tan15°=tan(45°?30°)

==根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓酱鸢赶旅娴膯?wèn)題(1)計(jì)算sin15°；(2)棲靈塔是揚(yáng)州市標(biāo)志性建筑之一（如圖）,小明想利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量該塔的高度,小華站在離塔底A距離7米的C處,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°,小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米,請(qǐng)幫助小華求出該信號(hào)塔的高度.(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：≈1.732,≈1.414)11．閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系∶如圖1．sinα=，cosα=，tanα=；一般地，當(dāng)a、β為任意角時(shí)，sin（a+β）與sin（a-β）的值可以用下面的公式求得∶sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ；sin(a—β)=sinacosβ-cosasinβ．例如∶sin15°=sin（45°-30）=sin45°cos30°-cos45"sin30°=任務(wù)∶（1）計(jì)算∶sin75°=_____（2）如圖2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2一2，求AB和BC的長(zhǎng)．12．閱讀材料：一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，tan（α+β）與tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°﹣30°）=====．根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題：（1）求tan75°的值；（2）都勻文峰塔，原名文筆塔，始建于明代萬(wàn)歷年間，系五層木塔，文峰塔的木塔年久傾毀，僅存塔基，1983年，人民政府撥款維修文峰塔，成為今天的七層六面實(shí)心石塔（圖1），小華想用所學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量該鐵搭的高度，如圖2，已知小華站在離塔底中心A處5.7米的C處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，小華的眼睛離地面的距離DC為1.72米，請(qǐng)幫助小華求出文峰塔AB的高度．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)≈1.732，≈1.414）專題05構(gòu)造新圖或用公式求函數(shù)值1．折紙不僅可以幫助我們進(jìn)行證明，還可以幫助我們進(jìn)行計(jì)算．小明取了一張正方形紙片，按照如圖所示的方法折疊（如圖①②③）：重新展開后得到如圖所示的正方形ABCD（如圖④），BD、BE、EF為前面折疊的折痕．小亮觀察之后發(fā)現(xiàn)利用這個(gè)圖形可以求出45°、22.5°等角的三角函數(shù)值．請(qǐng)你直接寫出tan67.5°=_____．【答案】【分析】設(shè)EC=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出∠BEC=67.5°，DE=x，根據(jù)正切的概念計(jì)算即可．【詳解】設(shè)EC=x，由折疊的性質(zhì)可知，EF=EC=x，∠BFE=∠C=90°，∠BDC=45°，∠EBC=22.5°，∴DE=EF=x，∠BEC=67.5°，∴CD=x+x，由正方形的性質(zhì)可知，BC=CD=x+x，∴tan67.5°=tan∠BEC==故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵2．閱讀下面材料：小天在學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：在中，，，則______小天根據(jù)學(xué)習(xí)幾何的經(jīng)驗(yàn)，先畫出了幾何圖形如圖，他發(fā)現(xiàn)不是特殊角，但它是特殊角的一半，若構(gòu)造有特殊角的直角三角形，則可能解決這個(gè)問(wèn)題于是小天嘗試著在CB邊上截取，連接如圖，通過(guò)構(gòu)造有特殊角的直角三角形，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：______．參考小天思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在等腰

中，，，請(qǐng)借助，構(gòu)造出的角，并求出該角的正切值．【答案】,2-.【分析】如圖2，設(shè)，為等腰直角三角形，則，易得，所以，再在中，利用正切定義可計(jì)算出，即；如圖3，延長(zhǎng)BA到D，使，則，則，利用三角形外角性質(zhì)易得，作于H，設(shè)，利用含30度三邊的關(guān)系得到，，則，，然后在中，利用正切的定義可計(jì)算出，即．【詳解】解：如圖2，設(shè)，則，，，，，，，在中，，即；故答案為；；如圖3，延長(zhǎng)BA到D，使，則，，，，作于H，設(shè)，則，，，，在中，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建含度和15度的直角三角形．二、解答題3．在學(xué)習(xí)《銳角三角函數(shù)》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究．(1)初步嘗試：我們知道：tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；(2)實(shí)踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A；小明想構(gòu)造包含∠A的直角三角形：延長(zhǎng)CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．請(qǐng)按小明的思路進(jìn)行余下的求解：(3)拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值．【答案】(1)，，≠(2)(3)【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用勾股定理求AC，得結(jié)論；（3）作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得結(jié)果．(1)解：tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA≠2tan∠A故答案為：，，≠；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB==，如圖1，延長(zhǎng)CA至D，使得DA=AB，∴AD=AB=，∴∠D=∠ABD，∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+，∴tan∠A=tan∠D=；(3)如圖2，作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE．則∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=∴BC=1，AB=，設(shè)AE=x，則EC=3-x，在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=，即AE=BE=，EC=，∴tan2A=tan∠BEC=．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，在直角三角形中添加輔助線構(gòu)造2∠A是解題的關(guān)鍵．4．在學(xué)習(xí)蘇科版九下《銳角三角函數(shù)》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；（2）實(shí)踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想構(gòu)造包含∠A的直角三角形：延長(zhǎng)CA至D，使得DA＝AB，連接BD，所以得到∠D＝∠A，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．請(qǐng)按小明的思路進(jìn)行余下的求解：（3）拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．①tan2A＝；②求tan3A的值．【答案】（1），，≠；（2）﹣2；（3）①；②.【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用勾股定理求AC，得結(jié)論；（3）①作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得結(jié)果；②作BM交AC于點(diǎn)M，使∠MBE=∠EBA，則∠BMC=3∠A．利用角平分線的性質(zhì)和勾股定理求出EM的長(zhǎng)，求tan∠BMC得結(jié)果.【詳解】（1）tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA≠2tan∠A，故答案為，，≠；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，如圖1，延長(zhǎng)CA至D，使得DA＝AB，∴AD＝AB＝，∴∠D＝∠ABD，∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；（3）①如圖2，作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝，∴BC＝1，AB＝，設(shè)AE＝x，則EC＝3﹣x，在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝，∴tan2A＝tan∠BEC＝＝，故答案為；②如圖3，作BM交AC于點(diǎn)M，使∠MBE＝∠EBA，則∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．設(shè)EM＝y(tǒng)，則MC＝EC﹣EM＝﹣y，∵∠MBE＝∠EBA，∴，即，∴BM＝y(tǒng)，在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2即（y）2＝（﹣y）2+1，整理，得117y2+120y﹣125＝0，解得，y1＝，y2＝﹣（不合題意，舍去）即EM＝，CM＝﹣＝，∴tan3A＝tan∠BMC＝，＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，在直角三角形中作輔助線構(gòu)造2∠A、3∠A是解決本題的關(guān)鍵．5．閱讀下列材料：在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問(wèn)題：如圖1，在中，，求（用含的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，在中表示出，則可以求出．閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在中，．（1）如圖3，若，則__，_____；（2）請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含的式子表示）．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得和，再根據(jù)求解即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：（1）由勾股定理可得：由三角函數(shù)的定義可得，由材料可得：故答案為；（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：則，，，在中，，在中，，在中，，則則故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義，作輔助線作所求角的直角三角形．6．在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：______，______，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：______；（選填“=”或“≠”）（2）實(shí)踐探究：如圖1，在中，，，求的值；小明想構(gòu)造包含的直角三角形：延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，連接，所以得到，即轉(zhuǎn)化為求的正切值．請(qǐng)按小明的思路進(jìn)行余下的求解；（3）拓展延伸：如圖2，在中，．求的值．【答案】（1），，≠；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用勾股定理求AB，即可得結(jié)論；（3）作的垂直平分線交于點(diǎn)E，連接，則∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求即可得結(jié)果．【詳解】（1）∵，，∴≠，故答案為：，，≠；（2）在中，，∴，如圖1，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，∴，∴，∴，∴；（3）如圖2，作的垂直平分線交于點(diǎn)E，連接．則．∵中，．∴．設(shè)，則，在中，，即，解得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度較大，在直角三角形中作輔助線構(gòu)造2∠A是解決本題的關(guān)鍵．7．同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，將還會(huì)學(xué)到下面三角函數(shù)公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝(1)試仿照例題，求出cos15°的準(zhǔn)確值；(2)我們知道，tanα＝，試求出tan15°的準(zhǔn)確值．【答案】(1)cos

15°=；(2)tan15°＝2－.【分析】根據(jù)題目所給公式進(jìn)行解答即可，（1）把15°化為45°-30°直接代入三角函數(shù)公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ計(jì)算即可；（2）把tan15°代入tanα=，再把（1）及例題中的數(shù)值代入即可．【詳解】(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝；(2)tan15°＝＝＝2－.【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求解．8．對(duì)鈍角α，定義三角函數(shù)值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．(1)求sin120°，cos120°的值；(2)若一個(gè)鈍角三角形的三個(gè)內(nèi)角比是1：1：4，點(diǎn)A，B是這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的度數(shù)．【答案】（1），；（2）0，30°，120°．【分析】(1)按照題目所給的信息求解即可;(2)分三種情況進(jìn)行分析:①當(dāng)∠A=30°,∠B=120°時(shí);②當(dāng)∠A=120°，∠B=30°時(shí);③當(dāng)∠A=30°，∠B=30°時(shí)，根據(jù)題意分別求出m的值即可.【詳解】（1）(2)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1:1:4,三個(gè)內(nèi)角分別為30°,30°,120°，①當(dāng)∠A=30°,∠B=120°時(shí),方程的兩根為，將代入方程得:解得:m=0,經(jīng)檢驗(yàn)是方程的根,m=0符合題意;②當(dāng)∠A=120°,∠B=30°時(shí),兩根為，不符合題意;③當(dāng)∠A=30°,∠B=30°時(shí),兩根為，將代入方程得:解得:m=0,經(jīng)檢驗(yàn)不是方程4x2-1=0的根.綜上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解方程，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)新的運(yùn)算計(jì)算120°的正弦、余弦值.9．【閱讀材料】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①；②；③．利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值，如．【學(xué)以致用】根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：(1)求的值；(2)如圖，一架直升機(jī)在一建筑物上方的點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端點(diǎn)的俯角為，底端點(diǎn)的俯角為，此時(shí)直升機(jī)與建筑物的水平距離為，求建筑物的高；(3)疫情封控期間，直升機(jī)給該建筑物的居民投放物資，試求飛機(jī)從點(diǎn)處往正東方向飛多遠(yuǎn)，居民在點(diǎn)處看飛機(jī)的仰角恰好是．【答案】(1)(2)84米(3)飛機(jī)再飛168米可使點(diǎn)看飛機(jī)的仰角為【分析】（1）根據(jù)，可求的值；（2）根據(jù)求得AB，再根據(jù)ED=求得A、E兩點(diǎn)垂直距離ED，最后CD的長(zhǎng)即可求得；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，并使，根據(jù)可求EF的值，即可求解．（1）解：；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，米，∴米，∵，米∴、垂直距離為ED=米，∴米．答：建筑物的高為84米．（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，并使，∴米，由（2）得、垂直距離米，∵，，∴，∴米，∴米．答：飛機(jī)再飛168米可使點(diǎn)看飛機(jī)的仰角為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊的銳角三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是將不特殊三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊三角函數(shù)并結(jié)合圖像解直角三角形．10．閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：Sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

；tan(α±β)=利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值例：tan15°=tan(45°?30°)

==根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓酱鸢赶旅娴膯?wèn)題(1)計(jì)算sin15°；(2)棲靈塔是揚(yáng)州市標(biāo)志性建筑之一（如圖）,小明想利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量該塔的高度,小華站在離塔底A距離7米的C處,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°,小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米,請(qǐng)幫助小華求出該信號(hào)塔的高度.(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：≈1.732,≈1.414)【答案】（1）；（2）27.7．【分析】（1）把15°化為45°-30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ計(jì)算，即可求出sin15°的值；（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)AB=AE+BE即可得出結(jié)論．【詳解】(1)sin15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°=(2)在RT△BDE中，DE=AC=7，∠BDE=75°，tan∠BDE=BEDE，∴BE=DEtan∠BDE=DEtan75°，∵tan75°=tan(45°+30°)==∴BE=7()≈26.12，∴信號(hào)塔AB的高度≈26.12+1.62≈27.7(米)，答：該信號(hào)塔AB的高度約為27.7米.【點(diǎn)睛】本題考查了：（1）特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求解．（2）解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出BE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．11．閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系∶如圖1．sinα=，cosα=，tanα=；一般地，當(dāng)a、β為任意角時(shí)，sin（a+β）與sin（a-β）的值可以用下面的公式求得∶sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ；sin(a—β)=sinacosβ-cosasinβ．例如∶sin15°=sin（45°-30）=sin45°cos30°-cos45"sin30°=任務(wù)∶（1）計(jì)算∶sin75°=_____（2）如圖2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2一2，求AB和BC的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）AB=，BC=【