專題06銳角三角函數(shù)(重難點(diǎn)突破)(原卷版+解析)

專題06銳角三角函數(shù)重點(diǎn)銳角三角函數(shù)的概念，特殊角的三角函數(shù)值，利用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值難點(diǎn)銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系易錯(cuò)混淆特殊角的三角函數(shù)值銳角三角函數(shù)概念熟記銳角三角函數(shù)的概念，可以簡(jiǎn)記為“正弦等于對(duì)比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對(duì)比鄰”.【例1】如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【例2】已知在中，，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系同一銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：（1）;（2）.【例1】已知為銳角，且，那么的正切值為（

）A． B． C． D．【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．三、30°，45°，60°角的三角函數(shù)值及有關(guān)計(jì)算熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值是進(jìn)行銳角三角函數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵.【例1】在中，，，則的值為（

）．A． B． C． D．【例2】如圖，在一塊直角三角板中，，則的值是（

）A． B． C． D．四、利用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值或銳角化簡(jiǎn)形如的式子時(shí)，先轉(zhuǎn)化為|a|的形式，再根據(jù)a的符號(hào)去絕對(duì)值．【例1】若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，按鍵順序正確的是（）A． B．C． D．【例2】用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器求的值，按鍵順序正確的是（

）．A． B．C． D．五、對(duì)概念本質(zhì)理解不透銳角三角函數(shù)值的本質(zhì)是一個(gè)比值，它的大小只與銳角A的大小（即度數(shù)）有關(guān)，與所在的直角三角形的邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，即只要銳角A確定，其三角函數(shù)值也隨之確定.【例1】在中，如果各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的倍，則銳角的余弦值A(chǔ)．?dāng)U大為原來的3倍 B．沒有變化C．縮小為原來的 D．不能確定一、單選題1．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D是⊙O上位于直徑AB兩側(cè)的點(diǎn)，連接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半徑是13，BD＝24，則sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)在第二象限，與軸負(fù)半軸的夾角是，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．4．如圖，AB是⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點(diǎn)C，過A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足為點(diǎn)D，E，連接AC，BC，若AD＝，CE＝3，則的長(zhǎng)為（）A． B．π C．π D．π5．如圖，地面上點(diǎn)A和點(diǎn)B之間有一堵墻MN（墻的厚度忽略不計(jì)），在墻左側(cè)的小明想測(cè)量墻角點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離．于是他從點(diǎn)A出發(fā)沿著坡度為=1：0.75的斜坡AC走10米到點(diǎn)C，再沿水平方向走4米到點(diǎn)D，最后向上爬6米到達(dá)瞭望塔DE的頂端點(diǎn)E，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為40°．已知AM=8米，則BM大約為（

）米．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.76．如圖，面積為24的?ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DE＝6，則sin∠DCE的值為（）A． B． C． D．二、填空題7．將放置在的正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)、、在格點(diǎn)上．則的值為______．8．如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，半徑為2的與交于點(diǎn)，則____________．三、解答題9．計(jì)算：（1）2cos230°﹣2sin60°?cos45°；

（2）10．如圖，，，是半徑為2的上三個(gè)點(diǎn)，為直徑，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．一、單選題1．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角等于（

）A． B． C． D．2．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連結(jié)格點(diǎn)，和，，與相交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．13．如圖，在菱形中，，E是上一點(diǎn)，連接，將沿AE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接．若，則的值為（

）A． B． C． D．4．在中，，都是銳角，，，則對(duì)的形狀最確切的判斷是（

）A．銳角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形5．如圖，已知直線l：，過點(diǎn)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)；；按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)P，連接．則下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是正方形面積的；④；⑤若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、填空題7．計(jì)算：______．8．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，．若，，，則的值為________．三、解答題9．計(jì)算：(1)；(2)．10．如圖，在矩形中，，，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，在內(nèi)部作射線分別與線段、線段交于點(diǎn)N（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）、點(diǎn)P且．(1)當(dāng)時(shí)，求的正切值；(2)射線交射線與點(diǎn)Q，若，求的長(zhǎng)；(3)設(shè)線段，，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．專題06銳角三角函數(shù)重點(diǎn)銳角三角函數(shù)的概念，特殊角的三角函數(shù)值，利用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值難點(diǎn)銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系易錯(cuò)混淆特殊角的三角函數(shù)值銳角三角函數(shù)概念熟記銳角三角函數(shù)的概念，可以簡(jiǎn)記為“正弦等于對(duì)比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對(duì)比鄰”.【例1】如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，，；故正確的是B選項(xiàng)；故選：B．【例2】已知在中，，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴可設(shè)，則，∴，故選：D．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系同一銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：（1）;（2）.【例1】已知為銳角，且，那么的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵，為銳角，∴，∴．故選：A．【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：sin2A+cos2A＝1，∴，∴，故選C．三、30°，45°，60°角的三角函數(shù)值及有關(guān)計(jì)算熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值是進(jìn)行銳角三角函數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵.【例1】在中，，，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：中，，，∴,故選：A【例2】如圖，在一塊直角三角板中，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴．故選：B．四、利用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值或銳角化簡(jiǎn)形如的式子時(shí)，先轉(zhuǎn)化為|a|的形式，再根據(jù)a的符號(hào)去絕對(duì)值．【例1】若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，按鍵順序正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，按鍵順序是故選：D．【例2】用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器求的值，按鍵順序正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：采用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，按鍵順序正確的是B選項(xiàng)中的順序．故選：B．五、對(duì)概念本質(zhì)理解不透銳角三角函數(shù)值的本質(zhì)是一個(gè)比值，它的大小只與銳角A的大小（即度數(shù)）有關(guān)，與所在的直角三角形的邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，即只要銳角A確定，其三角函數(shù)值也隨之確定.【例1】在中，如果各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的倍，則銳角的余弦值A(chǔ)．?dāng)U大為原來的3倍 B．沒有變化C．縮小為原來的 D．不能確定【錯(cuò)解】A【錯(cuò)因分析】誤認(rèn)為直角三角形各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的3倍，則∠A的正弦值也擴(kuò)大為原來的3倍.【解析】設(shè)原來三角形的各邊分別為a，b，c，則cosA=，若把各邊擴(kuò)大為原來的3倍，則各邊為3a，3b，3c，那么cosA==，所以余弦值不變．故選B．【正解】B一、單選題1．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接BE，∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD=AD=AB∵∠C=∠BDE=90°，在Rt△BCE和Rt△BDE中，∵，∴△BCD≌△BDE，∴BC=BD=AB．∴∠A=30°．∴tanA=即，∴AD=3，∴AB=2AD=6．故選C．2．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D是⊙O上位于直徑AB兩側(cè)的點(diǎn)，連接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半徑是13，BD＝24，則sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半徑是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故選D．3．如圖，點(diǎn)在第二象限，與軸負(fù)半軸的夾角是，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，∵，∴，∴=4，∵點(diǎn)在第二象限，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3,4）故選：B.4．如圖，AB是⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點(diǎn)C，過A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足為點(diǎn)D，E，連接AC，BC，若AD＝，CE＝3，則的長(zhǎng)為（）A． B．π C．π D．π【答案】D【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴，即，∵tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直線DE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半徑為2，∴的長(zhǎng)為：＝π，故選：D．5．如圖，地面上點(diǎn)A和點(diǎn)B之間有一堵墻MN（墻的厚度忽略不計(jì)），在墻左側(cè)的小明想測(cè)量墻角點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離．于是他從點(diǎn)A出發(fā)沿著坡度為=1：0.75的斜坡AC走10米到點(diǎn)C，再沿水平方向走4米到點(diǎn)D，最后向上爬6米到達(dá)瞭望塔DE的頂端點(diǎn)E，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為40°．已知AM=8米，則BM大約為（

）米．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.7【答案】B【詳解】如圖，過E點(diǎn)作DF⊥AB于F點(diǎn)，過C點(diǎn)作CG⊥AB于G點(diǎn)，∵AC=10，坡比為=1：0.75，∴CG=8，AG=6，∴EF=ED+DF=6+8=14，又∠B=40°，∴BF===16.7，又GM=AM-AG=2，∴AF=AM-FG-GM=2，∴BM=AB-AM=16.7+2-8=10.7，故選B.6．如圖，面積為24的?ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DE＝6，則sin∠DCE的值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：連接AC，過點(diǎn)D作DF⊥BE于點(diǎn)E，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵DE⊥BD，∴OC∥ED，∵DE＝6，∴OC＝，∴AC=6，∵ABCD的面積為24，∴，∴BD＝8，∴＝＝5，設(shè)CF＝x，則BF＝5+x，由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，解得x＝，∴DF＝，∴sin∠DCE＝．故選：A．二、填空題7．將放置在的正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)、、在格點(diǎn)上．則的值為______．【答案】【詳解】解：如圖所示：連接，，，，，，．故答案為：．．8．如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，半徑為2的與交于點(diǎn)，則____________．【答案】【詳解】解：∵，∴，∴在中，∴．故答案為：三、解答題9．計(jì)算：（1）2cos230°﹣2sin60°?cos45°；

（2）【答案】（1）；（2）1-2．【詳解】解：（1）原式＝2×（）2﹣2××＝；（2）原式＝﹣＝﹣＝﹣（+1）＝1﹣2．10．如圖，，，是半徑為2的上三個(gè)點(diǎn)，為直徑，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】解：（1）證明：連接，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵中，，，∴根據(jù)勾股定理得，∵，∴，∴，即，∴，，∴，∴在中，．一、單選題1．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意可得：，解得，可得，故選：B2．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連結(jié)格點(diǎn)，和，，與相交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】解：連接格點(diǎn)，如圖所示：則四邊形是平行四邊形，和都是等腰直角三角形，∴，，，，∴，∴，故選：A．3．如圖，在菱形中，，E是上一點(diǎn)，連接，將沿AE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)與的交點(diǎn)為，設(shè)，則由菱形的性質(zhì)可得，，由折疊的性質(zhì)可得，，則，∴為等腰直角三角形，，∴，即，在中，，，∴，，，故選：D4．在中，，都是銳角，，，則對(duì)的形狀最確切的判斷是（

）A．銳角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】B【詳解】解：由，，得，．．則對(duì)形狀的判斷最確切的是等腰直角三角形．故選：B．5．如圖，已知直線l：，過點(diǎn)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)；；按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵直線l的解析式為，設(shè)直線l與x軸的夾角為，∴，即，∴直線l與x軸的夾角為，∵軸，∴，∵，軸，∴∴，∵，且∴，∴，∴，∵∴軸，∴，∴∵，且，∴∴∴，∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：C．6．如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)P，連接．則下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是正方形面積的；④；⑤若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【詳解】解：在正方形中，，，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，即，故①正確；∵，∴點(diǎn)四點(diǎn)共圓，∴，∴，又∵，∴，故②正確；在正方