中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：利用相似三角形測高（知識梳理與方法分類講解）

專題4.24利用相似三角形測高（知識梳理與方法分類講解）

第一部分【方法歸納】

【方法一】利用陽光下的影子測量高度

基本原理：利用太陽光是平行光線以及與地面垂直構(gòu)造相似三角形，通過相似三角形對應(yīng)邊

成比例列出關(guān)系式求解.具體步驟：在陽光下，測量旗桿的影子長度和一根已知高度的木棍

的影子長度，通過比例關(guān)系計算出旗桿的高度.

操作方法:一名學(xué)生在直立于旗桿影子的頂端處測出該同學(xué)的影長和此時旗桿的影長.提示:

把太陽的光線看成是平行的.

???太陽的光線是平行的，

：.AE\iCB,

：.Z-AEB=/.CBD,

???人與旗桿是垂直于地面的，

：./-ABE=/.CDB,

△ABEFCBD

ABBE

CD-50

因此，只要測量出人的影長BE,旗桿的影長。3,再知道人的身高/瓦就可以求出旗桿CD

的高度了.

【方法二】利用標(biāo)桿測量高度

基本原理：從人眼所在的部位向旗桿作垂線，根據(jù)與地面垂直構(gòu)造相似三角形，利用相似三

角形對應(yīng)邊成比例列式計算.具體步驟：在旗桿旁邊豎立一根標(biāo)桿，從人眼的位置向旗桿作

垂線，通過測量標(biāo)桿的高度和它與旗桿之間的距離，利用相似三角形的原理計算出旗桿的高

度.

試卷第1頁，共8頁

操作方法：選一名學(xué)生為觀測者，在他和旗桿之間的地面上直立一根高度已知的標(biāo)桿，觀測

者前后調(diào)整自己的位置，使旗桿頂部、標(biāo)桿頂部與眼睛恰好在同一直線上時，分別測出他的

腳與旗桿底部，以及標(biāo)桿底部的距離即可求出旗桿的高度.

如圖3,過點/作NN1DC于N,交EF于M.

.??人、標(biāo)桿和旗桿都垂直于地面，

UBF=4EFD=CCDH=9Q°

，人、標(biāo)桿和旗桿是互相平行的.

■■EFWCN,

??Z.1=Z.2,

vz3=z3,AAME-AANC,

.AM_EM

-AN~CN

???人與標(biāo)桿的距離、人與旗桿的距離，標(biāo)桿與人的身高的差都已測量出，

，能求出CN,

:UBF=LCDF=UND=90°,

，四邊形ABND為矩形.

：.DN=AB,

能求出旗桿CD的長度.

【方法三】利用鏡子的反射測量高度

基本原理：根據(jù)入射角等于反射角，與地面垂直構(gòu)造相似三角形，根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出算

式.具體步驟：在距離旗桿的地面上放一個鏡子，人站在鏡子的前面能從鏡子里看到旗桿的

頂點，通過測量鏡子到旗桿的距離和鏡子到地面的距離，利用相似三角形的原理計算出旗桿

的高度.

操作方法：選一名學(xué)生作為觀測者.在他與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，固定鏡子的位

試卷第2頁，共8頁

置，觀測者看著鏡子來回調(diào)整自己的位置，使自己能夠通過鏡子看到旗桿項端.測出此時他

的腳與鏡子的距離、旗桿底部與鏡子的距離就能求出旗桿的高度.點撥：入射角=反射角

???入射角=反射角

；.UEB"CED

?.?人、旗桿都垂直于地面

???乙5=2。=90°

???因此，測量出人與鏡子的距離8E,旗桿與鏡子的距離再知道人的身高就可以

求出旗桿8的高度.

第二部分【題型展示與方法點撥】

【題型11利用陽光下的影子測量高度

【例1】（23-24九年級上?陜西西安?期末）

1.如圖，某校操場上有一根旗桿/〃，該校學(xué)習(xí)興趣小組為測量它的高度，在3和。處各

立一根高1.5米的標(biāo)桿8C、DE,兩桿相距30米，已知視線NC與地面的交點為尸,視線NE

與地面的交點為G,并且〃、B、F、D、G都在同一直線上，AH、BC、DE均與G8垂直,

測得所為3米，0G為5米，求旗桿的高度.

4.

1E、一

HBFDG

【變式1］（2024?浙江杭州?二模）

2.某項目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿的高度，把標(biāo)桿OE直立在同一水

平地面上（如圖）.同一時刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是3c=11.04m,

EF=2.76m.已知8,C,E,尸在同一直線上，ABIBC,DE±EF,DE=3.24m,則旗

桿力B的高度為（）

試卷第3頁，共8頁

BCE

A.12.96mB.12.76mC.12.56mD.12.36m

【變式2］（2024?吉林松原?一模）

3.如圖，表示一個窗戶，窗戶的下端到地面的距離5c=0.4m,和5N表示射入室

內(nèi)的光線，若某一時刻2c在地面的影長CN=0.5m,/C在地面的影長CM=2m,則窗戶

的高度AB為m.

MN（

【題型2】利用標(biāo)桿測量高度

【例2】（23-24九年級上?遼寧葫蘆島?期末）

4.如圖，是位于校園內(nèi)的旗桿，在學(xué)習(xí)了27章“相似”之后，學(xué)生們積極進行實踐活動，小

麗和小穎所在的數(shù)學(xué)興趣小組測量旗桿的高度43,有以下兩種方案：

方案一：如圖1,在距離旗桿底B點30m遠的。處豎立一根高2m的標(biāo)桿CD,小麗在尸處

站立，她的眼睛所在位置￡、標(biāo)桿的頂端C和塔頂點A三點在一條直線上.已知小麗的眼睛

到地面的距離￡尸=1.5m,DF=1.5m,AB±BF,CD1BF,EF1,BF,點、F、D、5在

同一直線上.

方案二：如圖2,小穎拿著一根長為16cm的木棒CC?站在離旗桿30m的地方（即點￡到/8

的距離為30m）.他把手臂向前伸，木棒豎直，CD//AB,當(dāng)木棒兩端恰好遮住旗桿（即

E、C、A在一條直線上，E、D、B在一條直線上），已知點E到木棒CD的距離為

40cm.

試卷第4頁，共8頁

請你結(jié)合上述兩個方案，選擇其中的一個方案求旗桿的高度N2.

【變式1】（23-24九年級上?湖南常德?期中）

5.如圖，在一次測量操場旗桿高度的數(shù)學(xué)活動課上，小剛拿一根高3.7m的竹竿（EC）直立

在離旗桿（48）27m的點C處，然后走到點。處，這時目測到旗桿頂部/與竹竿頂部E恰好

在同一直線上，又測得C,。兩點間的距離為3m,小剛的目高（眼睛到底面的距離）DF

為1.7m,則旗桿4B的高度為（）

A

DCB

A.19.7mB.20.7mC.21.7mD.22.7m

【變式2］（23-24九年級上?山東荷澤?階段練習(xí)）

6.為測量學(xué)校旗桿的高度，小明的測量方法如下：如下圖，將直角三角形硬紙板DEF的斜

邊。尸與地面保持平行，并使邊。E與旗桿頂點/在同一直線上.測得?！?1米，EF=0.5

米，目測點。到地面的距離。G=1米，到旗桿的水平距離。C=20米.按此方法，計算出

旗桿的高度為米.

HG

【題型3】利用鏡子的反射測量高度

【例3】（2024?陜西西安?三模）

7.小安和大智想利用所學(xué)的幾何知識測量一座古塔的高度，測量方案如下：如圖，小安位

試卷第5頁，共8頁

于大智和古塔之間，直線上平放一平面鏡，在鏡面上做一個標(biāo)記，記為點C,鏡子不動,

小安看著鏡面上的標(biāo)記來回走動，走到點。時，看到塔頂端點/在鏡面中的像與鏡面上的

標(biāo)記重合，此時測得小安眼睛與地面的高度ED=1.6米，CO=2.8米.同時，在陽光下，古

塔的影子與大智的影子頂端〃恰好重合，測得大智身高FG為1.8米，影長切為3.6米,

已知6尸_1.8屈,。"=21.2米，/、H、G三點共線，且測量時所用的

平面鏡的厚度忽略不計，請你根據(jù)圖中提供的相關(guān)信息，求出古塔的高度.

【變式1】（23-24九年級上?遼寧大連?階段練習(xí)）

8.如圖，為了測量學(xué)校旗桿的高度，小芳在地面上水平放置了一面鏡子，并向后退，直到

剛好在鏡子中看到旗桿的頂端，小芳立即記錄了相關(guān)數(shù)據(jù)：她的眼睛距地面1.65m,她與鏡

子的水平距離為1.5m,鏡子與旗桿的水平距離為10m.則旗桿的高度為（）

A.7.5mB.9mC.10mD.11m

【變式2］（2023?云南昆明?一模）

9.為測量校園水平地面上一棵樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)光的反射定律，利用一面

鏡子和一根皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：把這面鏡子水平放置在地面點￡處，然后觀

測者沿著直線BE后退到點。，恰好在鏡子里看到樹的最高點再用皮尺測量BE,和

觀測者目高CO.若BE=8.4m,DE^3.2m,CD=1.6m,則樹的高度為m.

試卷第6頁，共8頁

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

[例1]（2023?四川南充?中考真題）

10.如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后

向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已

知小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水

平距離為10m,則旗桿高度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【例2】（2022?浙江杭州?中考真題）

11.某項目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿N2的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一

水平地面上（如圖）.同一時刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m,

EF=2.18m.已知2,C,E,尸在同一直線上，ABLBC,DELEF,DE=1Alm,貝!148=

m.

2、拓展延伸

【例1】（19-20九年級上?廣東深圳?期末）

12.如圖，小亮要測量一座鐘塔的高度8,他在與鐘塔底端處在同一水平面上的地面放置

一面鏡子，當(dāng)他站在8處時，看到鐘塔的頂端在鏡子中的像與標(biāo)記￡重合.已知從E、D

在同一直線上，AB=1.6m,BE=\Am,￡）￡=14.7m,則鐘塔的高度為m.

試卷第7頁，共8頁

BED

【例2】（23-24九年級上?山西運城?期中）

13.隘街某店鋪在窗戶上方安裝一個遮陽棚，如圖所示，遮陽棚展開長度43=200cm,遮

陽棚固定點月距離地面高度/C=298cm,遮陽棚與墻面的夾角為60。.在某一時刻，一位

身高172cm的顧客EF在太陽光下的影長PG=86cm,求此時遮陽棚在地面上的影長

CD.（V3-1.732,結(jié)果精確到1cm）

試卷第8頁，共8頁

1.旗桿za的高度為24米

【分析】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用.證明列出比例式

進行求解即可.解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

【詳解】解：由題意，得：BD=30,BF=3,0G=5,BC=DE=L5,

AH±GH.BC1GH.DE±HG,

：.BC//AH.DE//AH,

：,AAHFS￡BFAAHGS^EDG,

BC_BFDE_DG

??前一而‘~AH~HGf

BFDG

,?而一前‘

3_5

3+HB~30+5+HB'

解得：HB=45,且是方程的解，

BCBF

?病一茄’

1.5_3

3+45'

?*AH=24,且是方程的解，

答：旗桿4〃的高度為24米.

2.A

【分析】先證Rt"BCsRt/ET"再根據(jù)"相似三角形對應(yīng)邊成比例”列比例式求解即

可.

本題主要考查了利用相似三角形測高，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???4C〃Q尸,

/ACB=ZDFE,

又?一4B上BC,DELEF,

:.ZABC=ZDEF=90°,

Rt〃BCsRtADEF,

.ABBC

,,法一而‘

口口AB11.04

即：---=-----,

3.242.76

解得：45=12.96,

答案第1頁，共9頁

故選：A.

3.1.2

【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)

邊成比例，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.陽光可認(rèn)為是一束平行光，由光的直線傳播特

性可知透過窗戶后的光線8N與4"仍然平行，由此可得出一對相似三角形，由相似三角形

性質(zhì)可進一步求出力8的長，即窗戶的高度.

【詳解】解：■:BN〃AM,

ZCBN=ZA,ZCNB=ZM,

:,①BNs衛(wèi)AM,

CNBC

??凡一就‘

???CN=0.5m,CM=2m,BC=OAm,

0.50.4

2AC

解得：/C=1.6m,

■.AB=AC-BC=1.6-0A=l2m,

故答案為：1.2.

4.旗桿的高度AS為12米，方案一和方案二的過程見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，若選擇方案一：如圖，過點E作

EHVAB,垂足為b,交CD于點G,求出斯=OG=2〃=1.5（米），F(xiàn)D=EG=15

（米）,

EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5（米），進而求出CG=0.5（米），再證明

得至1」二1=空，據(jù)此求出/"=10.5（米），進而可得至lJ/8=/”+8"=12（米）；若選擇

AHEH

方案二：如圖，過點E作EHL43,垂足為“，交CQ于點G,則N4ffi=90。，證明

..CDEG0.160.4[

△ECDsdAEAB,得到---=----，即Rrl----=—,可得z4B=12（米）.

ABEHAB30

【詳解】解：若選擇方案一：如圖，過點E作相，/5,垂足為〃，交CD于點G,

答案第2頁，共9頁

由題意得：EHVCD,EF=DG=BH=1.5（米），F(xiàn)D=EG=\.5（米）,

EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5（米），

CG=CD-DG=2-1.5=Q.5（米），ZCGE=ZAHE=90°,

又；/CEG=AEH,

:.ACEGsLAEH,

CGEG0.51.5

——,即Bn——=-----

AHEHAH31.5

AH=10.5（米）,

AB=AH+BH=\Q.5+\.5=U（米）

答：旗桿的高度為12米;

若選擇方案二:

如圖，過點￡作￡〃1_48,垂足為H,交CO于點G,則//班=90。

CD//AB,

NCGE=ZAHE=90°,

EHX.CD,

由題意得：CD=16（厘米）=0.16（米），EG=40（厘米）=0.4（米），EH=30（米），

CD//AB,

:AECDS^EAB,

CDEG0.160.4

——=——，即Bn-----=—,

ABEHAB30

.?5=12（米）

答：旗桿的高度N2為12米.

5.C

【分析】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，過尸作尸G1.N8于G,交CE于H,利

用相似三角形的判定得出AAGFSAEHF,再利用相似三角形的性質(zhì)計算是解題關(guān)鍵.

【詳解】如圖，設(shè)旗桿高A8=xm,過尸作尸GL/3于G,交CE于

答案第3頁，共9頁

A

:.AAGFSAEHF.

?■?FZ)=1.7m,GF=27+3=30m,HF=3m,

.?.E〃=3.7-1.7=2m,/G=(x-1.7)m.

?:AAGFSAEHF,

EAGH系即x-1.730

23

所以x=21.7,

故選:C.

6.11

【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意證出AOE/SAOC/,進而利用相似

三角形的性質(zhì)得出/C的長，即可得出答案.

【詳解】解：由題意得：NDEF=ZDCA=90°,NEDF=NCDA,

■■■&DEFS^DCA,

則匹二匕即匚”

DCAC20AC

解得：AC^IO,

i^AB=AC+BC=10+l=ll(米),

即旗桿的高度為11米;

故答案為：11.

7.古塔45的高度為96米

【分析】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，準(zhǔn)確判斷出相似三角形，理解相似三角形的性質(zhì)

4

是解題關(guān)鍵.直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出=證明

進而得出的長，即可得出答案.

【詳解】解：由題意可得：/BCA=/ECD/ABC=/EDC,

/./\ABCS^EDC,

ABBC

,1DE~15C,

答案第4頁，共9頁

???七。=1.6米，CZ)=2.8米,

?45」6_4

,,5C-2J-7?

4

AB=-BC,

7

-GF//AB,

???AGFHS/^ABH,

GFAB

??麗―曲‘

.*.L8_AB_-7B”C,

16~5C+2.8+21.2-BC+24

解得：BC=168米，

經(jīng)檢驗，5C=168是上述分式方程的解且符合實際意義，

44

故4B=—5C=—xl68=96米.

77

答：古塔45的高度為96米.

8.D

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相

似三角形的性質(zhì).

根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出//C5=/￡CD,再利用垂直求N/3C=NEOC=90。，得出

△ACBSAECD,最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案.

【詳解】解：如圖，由題意得，AB=1,65m,BC=1.5m,CD=10m,

./E

手、」'D

BC

根據(jù)鏡面反射可知：乙4cB=NECD,

：AB1BD,DE1BD,

:.ZABC=ZEDC=90°,

:.XACBSRECD,

.AB_CB

.?訪一五’

答案第5頁，共9頁

1.651.5

即Rn=——，

ED10

故選：D.

9.4.2

【分析】過點E作MLB。，根據(jù)入射角等于反射角可知，ZCEF=ZAEF,從而可得

DECD

/DEC=NBEA,再由CD_L8D,ABA.BD,可彳導(dǎo)NCDE=NABE,進而可得一=—,即

BEAB

可求得結(jié)果.

【詳解】解：過點￡作￡尸，助，則/C既=44所，

vZDEF=ZBEF=90°,

??"DEC=/BEA,

???CDLBD,AB1BD,

/CDE=/ABE=90。,

??.ACDE?"BE,

DECD

?,法-IP

'：DE=3.2m,CD=1.6m,ES=8.4m,

.3.2_1.6

,?近一IP

AB-4.2m,

【點睛】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，熟記入射角等于反射角，熟練掌握三角形相似的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出N/CB=NEC〃，再利用垂直求A4BCSAE￡)C,最后

根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，

答案第6頁，共9頁

E

F

A!，/

BCD

由圖可知，ABLBD,CDLDE,CF1BD

：,AABC=ACDE=90°.

???根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，

??.ZACF=ZECF,

??.90°-ZACF=90°-ZECF,

/.ZACB=ZECD,

:AABCS八EDC,

.ABBC

,DE~CD'

???小菲的眼睛離地面高度為L6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水

平距離為10m,

/.AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.

?L6_2

DE=8m.

故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相

似三角形的性質(zhì).

11.9.88

【分析】根據(jù)平行投影得4CIIQE,可得UCB=5FE,證明RfAABC?ARSEF,然后利

用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???同一時刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是5C=8.72m,EF=2.18m.

^ACWF,

；.AACB=ADFE,

-ABLBC,DEtEF,

???乙4BC=ZZgF=90。，

???放A45cs放△DEE

答案第7頁，共9頁

ABBCmAB_8.72

：'~DE^~EF'BZ472?18；

解得/B=9.88,

???旗桿的高度為9.88m.

故答案為：9.88.

【點睛】本題考查了相似三角