專題01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（原卷版）

專題01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系題型二二次函數(shù)圖象的平移與對(duì)稱問(wèn)題題型三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍題型四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式題型五根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值題型六二次函數(shù)與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題題型七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問(wèn)題題型九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值0．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對(duì)二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號(hào)判斷常有些不知所措，這里介紹幾個(gè)口訣來(lái)幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開口，看對(duì)稱軸，看與y軸的交點(diǎn)位置，看與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．“四看”是對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識(shí)，而且這些判斷都可以通過(guò)圖象直接得到，同時(shí)還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點(diǎn)在a、b、c間的加減組合式中，最常見(jiàn)的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個(gè)字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時(shí)只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對(duì)應(yīng)的y的值時(shí)進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個(gè)字母只出現(xiàn)兩個(gè)間的組合時(shí)，這時(shí)對(duì)同學(xué)們來(lái)講難度是較大的，如何解決呢？其實(shí)我們只要想一想為什么會(huì)少一個(gè)字母，這個(gè)問(wèn)題就可以較好的解決．少一個(gè)字母的原因就是因?yàn)橛袑?duì)稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對(duì)稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對(duì)稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a(bǔ)（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計(jì)算當(dāng)解題感到無(wú)從下手時(shí)，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對(duì)稱軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及其圖象中特殊點(diǎn)的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當(dāng)時(shí)拋物線開口向上;當(dāng)時(shí)拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對(duì)稱軸位置:當(dāng)同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè);當(dāng)異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)(可以簡(jiǎn)稱為“左同右異”);當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為軸.(3)決定與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo):當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn);當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù):當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn).(5)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時(shí)，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們?cè)诮鉀Q拋物線平移的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，首先需要化拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問(wèn)題，注意：(1)a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過(guò)程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】【例1】（2023·安徽黃山·?？家荒＃┤鐖D，拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)在第四象限，對(duì)稱軸是直線，過(guò)第一、二、四象限的直線（k是常數(shù)）與拋物線交于x軸上一點(diǎn)．現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)也在坐標(biāo)軸上時(shí)，；⑤若m為任意實(shí)數(shù)，則．其中正確的有（

）

A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考期末）已知拋物線（是常數(shù)），開口向下，過(guò)點(diǎn)，且，下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③若，，當(dāng)時(shí)，直線與該二次函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則或；④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．以上結(jié)論，正確的有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)圖像的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，結(jié)合圖像給出下列結(jié)論：①；②；③；④關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；⑤若點(diǎn)，均在該二次函數(shù)圖像上，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．13．（2023春·四川達(dá)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④已知、在該二次函數(shù)圖像上，當(dāng)且時(shí)，都有．其中正確的結(jié)論有___________．（填序號(hào)）

【經(jīng)典例題二二次函數(shù)圖象的平移與對(duì)稱問(wèn)題】【例2】（2023·福建廈門·廈門市湖里中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的解析式為．若拋物線經(jīng)過(guò)，，三個(gè)點(diǎn)中的其中兩個(gè)點(diǎn)，平移該拋物線，使其頂點(diǎn)始終在直線上，若，則平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最小值為【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）已知a＜0，，是方程的兩個(gè)根，且，，是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且，則，，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C，在其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接MA、MC、AC，則當(dāng)△MAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是_____．3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖（2），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍】【例3】（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為，若該拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分（包括點(diǎn)）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．則的值為（

）A． B． C． D．或【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？计谥校┒魏瘮?shù)y＝x2+bx的對(duì)稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在﹣1＜x≤6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤122．（2022春·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為___3．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的取值范圍．【經(jīng)典例題四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？既＃┬堄妹椟c(diǎn)法畫二次函數(shù)（，，是常數(shù)，）圖象時(shí)，部分列表如下：…01……034…依據(jù)以上信息，判斷以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．圖象頂點(diǎn)在第一象限 B．點(diǎn)在該圖象上，若，則C．和4是關(guān)于的方程的兩根 D．若恒成立，則【變式訓(xùn)練】1．（2022春·浙江湖州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)含45°的直角三角板放在平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上．過(guò)點(diǎn)，作拋物線，且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．要使這條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么拋物線要沿對(duì)稱軸向下平移（

）A．5個(gè)單位 B．6個(gè)單位 C．7個(gè)單位 D．8個(gè)單位2．（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線，交拋物線于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，則________．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值】【例5】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，在的圖象上，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)B．若，且，則C．若，則D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c(diǎn)，在拋物線（m是常數(shù)）上．若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，連結(jié)并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______．3．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式．其中．(1)若此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式：(2)函數(shù)，若，為此二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)．①若，則，試求的值；②當(dāng)，對(duì)任意的都有，試求的取值范圍．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)與x、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題】【例6】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）若拋物線向上平移個(gè)單位后，在范圍內(nèi)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)2．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)校考期中）如圖，是一個(gè)半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點(diǎn)分別是“芒果”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，若長(zhǎng)為4，則圖中的長(zhǎng)為______．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長(zhǎng)的值．(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．【經(jīng)典例題七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例7】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于二次函數(shù)，已知，當(dāng)時(shí)，有下列說(shuō)法：①若y的最大值為，則；②若y的最小值為，則；③若，則y的最大值為．則上達(dá)說(shuō)法（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③正確 D．均不正確【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽合肥·合肥市西苑中學(xué)?？既＃┮阎魏瘮?shù)，截取該函數(shù)圖象在間的部分記為圖象G，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于x軸的直線為l，將圖象G在直線l下方的部分沿直線l翻折，圖象G在直線上方的部分不變，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象M，若函數(shù)M的最大值與最小值的差不大于5，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于二次函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，函數(shù)y的最小值（用含a的式子表示），下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值是；③時(shí)，函數(shù)y的最小值是；④當(dāng)，函數(shù)y的最小值．其中正確的有___（填序號(hào)即可）．3．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，與相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)N在拋物線上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且軸．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求線段長(zhǎng)度的最大值．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問(wèn)題】【例8】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）定義：如果兩個(gè)函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，我們則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“守望函數(shù)”，這對(duì)點(diǎn)稱為“守望點(diǎn)”．例如：點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)和互為“守望函數(shù)”，點(diǎn)P與點(diǎn)Q則為一對(duì)“守望點(diǎn)”．已知函數(shù)和互為“守望函數(shù)”，則n的最大值為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶南岸·九年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義新運(yùn)算，若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）①方程的解為或；②關(guān)于的方程有三個(gè)解，則；③當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值0．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考二模）定義為二次函數(shù)的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象截軸所得的線段長(zhǎng)度大于；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)，隨的增大而減??；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，正確的結(jié)論是_____．3．（2022秋·安徽淮北·九年級(jí)淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興趣小組對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)辄c(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)，他們把這個(gè)點(diǎn)定義為點(diǎn)的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)．他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)所有簡(jiǎn)樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為的“簡(jiǎn)樸曲線”．例如，二次函數(shù)的“簡(jiǎn)樸曲線”就是，請(qǐng)按照定義完成：(1)點(diǎn)的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)是________；(2)如果拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”；(3)已知拋物線圖象上的點(diǎn)的“簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是，若該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題】【例9】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，至少存在一個(gè)x使得成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)專題練習(xí)）將拋物線的圖象位于直線以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線與此圖象只有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2023·新疆·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與交于點(diǎn)，且分別與軸交于點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，．則以下結(jié)論：①無(wú)論取何值，總是負(fù)數(shù)；②拋物線可由拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到；③當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值先增大后減小；④四邊形為正方形．其中正確的是__________．（填寫正確的序號(hào)）3．（2023·浙江寧波·校考二模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且經(jīng)過(guò)．

(1)求b和c的值；(2)點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、．①當(dāng)與D點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段上，若線段與拋物線有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)的圖象過(guò)兩點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)（m為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為3，則m的值為（

）A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或73．（2022秋·浙江舟山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函數(shù)（m是常數(shù)，且)的圖象可能是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，，（a，b為常數(shù)，且），則下列判斷正確的是（

）A．若，當(dāng)時(shí)，則 B．若，當(dāng)時(shí)，則C．若，當(dāng)時(shí)，則 D．若，當(dāng)時(shí)，則5．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)?？级＃┮阎魏瘮?shù)（為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一元二次方程的兩個(gè)解為，，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知y關(guān)于x的函數(shù)（m為實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)，恒成立，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)（，為常數(shù)）．若．當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．或 B．或 C． D．8．（2023秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點(diǎn)，為圖形上兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023·浙江溫州·校考三模）拋物線的頂點(diǎn)落在一次函數(shù)的圖象上，則b的最小值為__________．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=1，則9a+3b+c的值是__________．11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知是關(guān)于的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則稱點(diǎn)為函數(shù)圖象上的“平衡點(diǎn)”，例如：直線上存在“平衡點(diǎn)”，若函數(shù)的圖象上存在唯一“平衡點(diǎn)”，則___________．12．（2023春·浙江金華·九年級(jí)浙江省義烏市后宅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線，當(dāng)時(shí)，則y的取值范圍是___________．13．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）對(duì)于二次函數(shù)．有下列說(shuō)法：①若，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．②無(wú)論k為何值，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．③無(wú)論k為何值，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)．④若k為整數(shù)，且該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)，則．其中正確的是______．（只需填寫序號(hào)）14．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則的值是____．15．（2022秋·廣東肇慶·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于、點(diǎn)和點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與拋物線交于B、C兩點(diǎn)．

(1)根據(jù)圖象直接回答下列問(wèn)題：①當(dāng)自變量x取值范圍為__________時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值都隨x增大而增大．②當(dāng)自變量x取值范圍為__________時(shí)，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值．③當(dāng)自變量x取值范圍為__________時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值的積小于0．(2)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；(3)點(diǎn)M是線段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)D，求線段的最大值．16．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)B．

(1)求拋物線和直線的