27.2相似三角形的判定與性質(zhì)（講練）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重要考點(diǎn)（人教版）

27.2相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形在和中，如果我們就說(shuō)與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.注意：

(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.題型1：相似三角形1.1．如圖，已知△ABC，則下列4個(gè)三角形中，與△ABC相似的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵由圖可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A選項(xiàng)中三角形各角的度數(shù)分別為75°，52.5°，52.5°，B選項(xiàng)中三角形各角的度數(shù)都是60°，C選項(xiàng)中三角形各角的度數(shù)分別為75°，30°，75°，D選項(xiàng)中三角形各角的度數(shù)分別為40°，70°，70°，∴只有C選項(xiàng)中三角形各角的度數(shù)與題干中三角形各角的度數(shù)相等，故答案為：C.【分析】根據(jù)“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且這兩邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似”并結(jié)合各選項(xiàng)可判斷求解.【變式11】下列說(shuō)法正確的是（）A．有一個(gè)角等于100°的兩個(gè)等腰三角形相似B．兩個(gè)矩形一定相似C．有一個(gè)角等于45°的兩個(gè)等腰三角形相似D．相似三角形一定不是全等三角形【答案】A【解析】【解答】解：A中等于100°的角只能是等腰三角形的頂角，所以這兩個(gè)等腰三角形相似，故正確，符合要求；B中兩個(gè)矩形雖然角度相同，但對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)比不相等時(shí)，兩個(gè)矩形不相似，故錯(cuò)誤，不符合要求；C中等于45°的角可以是等腰三角形的頂角或底角，當(dāng)為頂角時(shí)，三角分別為45°，67.5°D中當(dāng)兩個(gè)相似三角形的相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等，故錯(cuò)誤，不符合要求.故答案為：A.【分析】對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似，全等是相似比為1時(shí)的特殊情況，故全等的圖形一定相似，但相似的圖形不一定全等，進(jìn)而結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)即可一一判斷得出答案.【變式12】已知圖（1）、（2）中各有兩個(gè)三角形，其邊長(zhǎng)和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，圖（2）中AB、CD交于O點(diǎn)，對(duì)于各圖中的兩個(gè)三角形而言，下列說(shuō)法正確的是（）A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似【分析】對(duì)于圖（1），先利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出第三個(gè)角，然后根據(jù)兩個(gè)三角形中有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似；對(duì)于（2）圖，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判斷．【解答】解：對(duì)于圖（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，則兩個(gè)三角形中有兩組角對(duì)應(yīng)相等，所以（1）圖中的兩個(gè)三角形相似；對(duì)于（2）圖：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，簡(jiǎn)稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．注意：若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．題型2：平行線分線段成比例2.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若ABBC=43A．43 B．34 C．37 【解題思路】本題通過(guò)三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例即可得到結(jié)果．【解答過(guò)程】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴ABBC∵ABBC=43，DF＝∴DEDF故選：D．【變式21】如圖，l1∥l2∥l3，則下列等式不成立的是（）A．ADDF=BCCE B．AGAF=BGBE【解題思路】根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】解：∵l1∥l2∥l3，∴ADDF=BCCE，AGAF故選：D．【變式22】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，AF＝2FD，直線BF交AC于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則BEEGA．12 B．13 C．23 【解題思路】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴AEEC∴BE故選：C．【變式23】如圖，已知點(diǎn)E、F分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且EF∥BC，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，AD與EF交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．AEAB=AHAD B．AEAB=EHHF【解題思路】利用平行線分線段成比例定理即可一一判斷．【解答過(guò)程】解：∵EF∥BC，∴AEAB=AHAD，∴選項(xiàng)A，C，D正確，故選：B．相似三角形的判定定理（一）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.題型3：相似三角形的判定定理13.如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，下列條件不能使△ADE∽△ABC相似的是（）

A．DE∥BC B．AD︰AB=DE︰BCC．AD︰DB=AE︰EC D．∠BDE+∠DBC=180°【答案】B【解析】【分析】A．DE∥BC可得出兩組對(duì)應(yīng)角相等，則可通過(guò)AAA證明△ADE∽△ABC相似。

C．AD︰DB=AE︰EC即可證明AD︰AB=AE︰AC，則可以證明△ADE∽△ABC相似

D．∠BDE+∠DBC=180°可證明DE∥BC。故也成立。兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，才可以證明相似。排除B.

【點(diǎn)評(píng)】本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形判定性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)的掌握，為中考?？碱}型，要求學(xué)生牢固掌握?！咀兪?1】如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.證明：△ADE∽△EFC．

【答案】解；∵DE∥BC，EF∥AB，

∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD．

∴△ADE∽△EFC．【解析】【分析】利用一組平行線被第三條直線所截它們的同位角相等，找到符合相似三角形的條件即可．【變式32】如圖，平行四邊形ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE=12CD．求證：△ABF∽△CEB【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠A=∠C，AB∥CD，∴∠ABF=∠CEB，∴△ABF∽△CEB．【解析】【分析】要證△ABF∽△CEB，需找出兩組對(duì)應(yīng)角相等；已知了平行四邊形的對(duì)角相等，再利用AB∥CD，可得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，則可證．相似三角形的判定定理（二）如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.題型4：相似三角形的判定定理24.依據(jù)下列各組條件，說(shuō)明△ABC和△A′B′C′是否相似，并說(shuō)明理由．（1）AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm．（2）AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12.8cm，A′C′＝25.6cm．【解答】解：（1）△ABC∽△A′B′C′，理由如下：∵，，，∴，∴△ABC∽△A′B′C′；（2）△ABC和△A′B′C′相似；理由如下：∵＝，＝，＝＝，∴，∴△ABC∽△A′B′C′．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定方法、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握相似三角形的判定方法，通過(guò)計(jì)算得出兩邊或三邊成比例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式41】如圖，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2，AD＝4，DC＝2．求證：△ABC∽△ACD．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2，∴AB＝AC＝1，BC＝AC＝，∵AD＝4，DC＝2．∴＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式42】一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為6cm，9cm，7.5cm，另一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為8cm，10cm，12cm，這兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？【分析】求出兩個(gè)三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，即可得出兩個(gè)三角形相似．【解答】解：這兩個(gè)三角形相似；理由如下：∵＝，，，∴，∴這兩個(gè)三角形相似．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定方法；熟練掌握相似三角形的判定方法，證出三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．相似三角形的判定定理（三）如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.注意：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.題型5：相似三角形的判定定理35.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且AD＝1，AB＝3，．求證：△ACD∽△ABC．【分析】根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)論．【解答】證明：∵AD＝1，AB＝3，AC＝，∴，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式51】已知：如圖，AD，BC交于點(diǎn)O，AO?DO＝CO?BO，求證：△ABO∽△CDO．【分析】利用比例的性質(zhì)得＝，加上∠AOB＝∠COD，則根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結(jié)論．【解答】解：∵AO?DO＝CO?BO，∴＝，而∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．【變式52】如圖，AB?AE＝AD?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△ADE．【分析】由已知條件得到：∠BAC＝∠DAE，＝．則由“兩邊及夾角法”證得結(jié)論．【解答】證明：如圖，∵AB?AE＝AD?AC，∴＝．又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定．（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．相似三角形的判定定理（四）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.注意：

要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.題型6：相似三角形的判定定理46.如圖，在△PAB中，點(diǎn)C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC與△BPD相似嗎？為什么？【分析】由PC＝PD＝CD可判斷△PCD為等邊三角形，則∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，利用鄰補(bǔ)角得到∠3＝∠4＝120°，又由于∠APB＝120°，可計(jì)算出∠1+∠2＝60°，加上∠A+∠2＝60°，所以∠1＝∠A，于是可根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△PAC∽△BPD．【解答】解：△APC與△BPD相似．理由如下：如圖，∵PC＝PD＝CD，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠3＝∠4＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠1+∠2＝120°﹣60°＝60°，∵∠PCD＝∠A+∠2＝60°，∴∠1＝∠A，∴△PAC∽△BPD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．【變式61】如圖，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求證：△ABC∽△ADE．【分析】已經(jīng)有一對(duì)角相等，只需再證一對(duì)角相等即可．因?yàn)椤?＝∠2，所以∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．問(wèn)題得證．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定．兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，熟記相似三角形的各種判定方法是解題關(guān)鍵．【變式62】如圖，O是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作AO的垂線交AB于點(diǎn)D，求證：△OBD∽△CBO．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得∠1＝∠BAC，∠2＝∠4，∠3＝∠ACB，則利用三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠2+∠3＝90°，則∠BOC＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°+∠1，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BDO＝∠DOA+∠1，于是得到∠BDO＝∠BOC，然后根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△OBD∽△CBO．【解答】證明：如圖，∵O是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠4，∠3＝∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝90°，即∠2+∠3＝90°﹣∠1，而∠BOC＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°+∠1，∵∠BDO＝∠DOA+∠1，而AO⊥OD，∴∠DOA＝90°，∴∠BDO＝∠BOC，而∠4＝∠2，∴△OBD∽△CBO．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)．【變式63】如圖，⊙O中的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，求證：△AED∽△CEB．【分析】先根據(jù)圓周角定理得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴△AED∽△CEB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．題型7：直角三角形相似的判定方法7.已知：如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上高，找出圖中的相似三角形．并說(shuō)明理由．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽△CBD△ABC∽△CBD．【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的判定定理：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．【變式71】如圖，在等腰△ABC中，AD是頂角∠BAC的角平分線，BE是腰AC邊上的高，垂足為點(diǎn)E．求證：△ACD∽△BCE．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，則∠ADC＝90°，然后根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到結(jié)論．【解答】證明：∵AD是等腰△ABC的頂角∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是腰AC邊上的高，∴∠BEC＝90°，∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC，∴△ACD∽△BCE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了相似三角形的判定．【變式72】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一點(diǎn)，已知CD＝1，AD＝，AB＝2．求證：Rt△ADC∽R(shí)t△BAC．【分析】先根據(jù)勾股定理，求得Rt△ACD中，AC＝2，Rt△ABC中，BC＝4，再根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，判定Rt△ADC∽R(shí)t△BAC．【解答】證明：∵∠C＝90°，CD＝1，AD＝，∴Rt△ACD中，AC＝2，∵∠C＝90°，AB＝2，∴Rt△ABC中，BC＝4，∴＝＝，又∵∠DCA＝∠ACB＝90°，∴Rt△ADC∽R(shí)t△BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2.相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.相似三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.3.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比4.相似三角形面積的比等于相似比的平方題型8：相似三角形的性質(zhì)8.如圖，已知△ACE∽△BDE，AC＝6，BD＝3，AB＝12，CD＝18．求AE和DE的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出＝，再求解即可．【解答】解：∵△ACE∽△BDE，∴＝＝，∵AC＝6，BD＝3，∴＝＝2，∴AE＝12×＝8，DE＝18×＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式81】已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)30，求△A′B′C′的另兩條邊的長(zhǎng)、周長(zhǎng)及最大角的大?。痉治觥坑伞鰽BC的三邊長(zhǎng)分別為6，8，10，可判定△ABC是直角三角形，又由和△ABC相似的△A′B′C′的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)30，可得相似比為1：3，則可求得另兩條邊的長(zhǎng)，繼而求得周長(zhǎng)；然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，求得最大角的大?。窘獯稹拷猓骸摺鰽BC的三邊長(zhǎng)分別為6，8，10，且62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的最大角是90°，∵和△ABC相似的△A′B′C′的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)30，∴△ABC與△A′B′C′的相似比為：10：30＝1：3，∴另兩條邊的長(zhǎng)分別為：6×3＝18，8×3＝24，∴周長(zhǎng)為：18+24+30＝72，最大角為90°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等．【變式82】如圖，已知△ADE∽△AFG∽△ABC，且△ABC的面積被線段DE、FG三等分，其中BC＝12cm，求線段DE和FG的長(zhǎng)度．【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方分別求解即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且△ABC的面積被線段DE、FG三等分，∴（）2＝，即（）2＝，解得DE＝4，∵△AFG∽△ABC，且△ABC的面積被線段DE、FG三等分，∴（）2＝，即（）2＝，解得FG＝4，答：線段DE和FG的長(zhǎng)度分別為4cm，4cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形面積的比等于相似比的平方．題型9：相似三角形的性質(zhì)與判定9.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，結(jié)合∠DAE＝∠CAD即可證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)，再結(jié)合AD＝AB即可得出AB的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，∴∠ADE＝∠C．又∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴＝，即＝，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的長(zhǎng)．【變式91】如圖，E為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠CED＝∠B，連接CD．（1）求證：△CAE∽△EBD；（2）若CE平分∠ACD，CD＝6，BD＝3，求ED的長(zhǎng)．【分析】（1）由∠A＝∠CED，∠A+∠ACE＝∠CED+∠DEB，得∠DEB＝∠ACE，即可推出結(jié)論；（2）證明△CDE∽△EDB，得出比例式求解即可．【解答】（1）證明：∵∠A＝∠CED，∠A+∠ACE＝∠CED+∠DEB，∴∠DEB＝∠ACE，又∵∠A＝∠B，∴△CAE∽△EBD；（2）解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，由（1）知，∠DEB＝∠ACE，∴∠DCE＝∠DEB，又∵∠B＝∠CED，∴△CDE∽△EDB，∴，即，∴DE＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式92】如圖，已知，在銳角△ABC中，BD和CE分別是邊AC、AB上的高．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)AF，求證：AF?BE＝BC?EF．【分析】（1）通過(guò)證明△AEC∽△FEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）通過(guò)證明△AEF∽△CEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BD和CE分別是邊AC、AB上的高，∴∠AEC＝∠BDA＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°＝∠A+∠ABD，∴∠ACE＝∠ABD，又∵∠AEC＝∠BEF＝90°，∴△AEC∽△FEB，∴＝；（2）如圖，連接AF，∵△AEC∽△FEB，∴＝，∴＝，又∵∠AEC＝∠FEB＝90°，∴△AEF∽△CEB，∴＝，∴AF?BE＝BC?EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式93】如圖，等邊三角形△ACB的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P為BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為AC上的一點(diǎn)，連接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求證：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）由△ABC為等邊三角形，易得∠B＝∠C＝60°，又∠APD＝60°，由外角性質(zhì)可得∠DPC＝∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可得，易得CD，可得AD，再利用AP2＝AD?AC，可得AP，從而可得答案．【解答】（1）證明：①在等邊三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，∴∠DPC＝∠PAB，∴△ABP∽△PCD；（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，∴，∴CD＝＝＝，∴AD＝3﹣＝，∵等邊三角形△ACB的邊長(zhǎng)為3，PC＝2，AP2＝AD?AC，∴AB＝3，BP＝1，∴AP＝，∴CD＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，由條件證得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此題的關(guān)鍵．題型10：相似三角形的應(yīng)用10.《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的辦法，如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀測(cè)井水水岸D，視線BD與井口的直徑CA交于點(diǎn)E，若測(cè)得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，則水面以上深度CD為（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD．【解答】解：由題意知：AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴解得CD＝3，∴水面以上深度CD為3米．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式101】小軍想出了一個(gè)測(cè)量建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長(zhǎng)分別為60m、3m，求這座建筑物的高度．【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出＝，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)．【解答】解：由題意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，故△ABC∽△EDC，則＝，∵小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長(zhǎng)分別為60m、3m，∴＝，解得：AB＝33，答：這座建筑物的高度為33m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出比例式是解題關(guān)鍵．【變式102】如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB＝2.9米，小愛(ài)站在F處，其中眼睛E，標(biāo)桿頂A，樹頂C在同一條直線上（人，標(biāo)桿和樹在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)F，B，D在同一條直線上）．已知BD＝6米，F(xiàn)B＝2米，EF＝1.6米，求樹高CD．【分析】過(guò)E作EH⊥CD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，可證明四邊形EFDH為長(zhǎng)方形，可得HD的長(zhǎng)；可證明△AEG∽△CEH，故可求得CH的長(zhǎng)，所以樹高CD的長(zhǎng)即可知．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)G，則四邊形EFDH為矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.6米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.6＝1.3（米），∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴，∴，解得CH＝5.2，∴CD＝CH+DH＝5.2+1.6＝6.8（米）．答：樹高CD為6.8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形．題型10：相似三角形的探究性/存在性問(wèn)題11.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．現(xiàn)在有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC—CB向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)P的速度是1cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s．它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）如圖1，Q在AC上，當(dāng)t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？（2）如圖2，Q在CB上，是否存著某時(shí)刻，使得以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）如圖1，當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出t值，如圖2，當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出其t值；（2）如圖3，當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，當(dāng)△BQP∽△BAC時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以求出t的值．【解答】解：（1）如圖1，當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，△AQP∽△ACB，∴．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝10（cm）．∵BP＝t，AQ＝t，∴PA＝10﹣t，∴，∴t＝，如圖2，當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，△APQ∽△ACB，∴，∴，t＝．綜上所述，t＝或時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；（2）如圖3，當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，．∵BQ＝14﹣t，BP＝t，∴，∴t＝，當(dāng)△BQP∽△BAC時(shí)，∴，∴t＝（舍去），∴t＝時(shí)，Q在CB上，以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵．【變式111】如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ的面積為cm2；（2）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)中，是否存在時(shí)間t，使△BPQ為等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，先求出AE的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)可求PF＝cm，BF＝cm，由三角形的面積公式可求解；（2）分三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AE⊥BC，∴BE＝EC＝4cm，∴AE＝＝＝3cm，∵∠PFB＝∠AEB＝90°，∠B＝∠B，∴△AEB∽△PFB，∴＝，∴＝，∴PF＝cm，BF＝cm，∵△BPQ的面積為cm2，∴×BQ×PF＝，∴×t×＝，∴t1＝1，t2＝4，∴當(dāng)t為1或4時(shí)，△BPQ的面積為cm2；（2）當(dāng)BP＝BQ時(shí)，則5﹣t＝t，∴t＝，當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，∵PQ2＝PF2+QF2，∴t2＝[]2+[﹣t]2，∴t1＝5（不合題意），t2＝，當(dāng)BP＝PQ時(shí)，則點(diǎn)P在BF的垂直平分線上，∴＝，∴t＝，綜上所述：t的值為或或時(shí)，△BPQ為等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．【變式112】如圖，在矩形ABCD中，AB＝10m，BC＝24m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向C點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向B點(diǎn)移動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜13）秒．（1）t為多少時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？（2）探究：在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先利用勾股定理計(jì)算出AC＝26，由于∠PCQ＝∠ACB，根據(jù)三角形相似的判定，當(dāng)∠PQC＝∠B時(shí)可判斷CQP∽△CBA，利用相似比得到＝；當(dāng)∠PQC＝∠BAC時(shí)可判斷△CQP∽△CAB，利用相似比得到，然后分別解方程求出t的值即可；（2）作PQ⊥BC于H，如圖，先證明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH，再利用四邊形ABQP與△CPQ的面積相等得到S△ABC＝2S△CPQ，利用三角形面積公式得到2??t?＝×10×24，然后解關(guān)于t的方程可判斷四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝＝＝26，∵∠PCQ＝∠ACB，∴當(dāng)∠PQC＝∠B時(shí)，△CQP∽△CBA，則，即，解得t＝（s）；當(dāng)∠PQC＝∠BAC時(shí)，△CQP∽△CAB，則，即，解得t＝（s）；∴t為s或s時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；（2）四邊形ABQP與△CPQ的面積能相等．理由如下：作PQ⊥BC于H，如圖，∵PH∥AB，∴△CPH∽△CAB，∴，即，∴PH＝，當(dāng)四邊形ABQP與△CPQ的面積相等時(shí)，S△ABC﹣S△CPQ＝S△CPQ，即S△ABC＝2S△CPQ，∴2??t?＝×10×24，整理得t2﹣13t+156＝0，Δ＜0，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴不存在t的值使四邊形ABQP與△CPQ的面積相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．熟練應(yīng)用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．題型12：正方形網(wǎng)格中相似三角形的判定12.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格紙中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的格點(diǎn)上．（1）求證：△ABC∽△DEF；（2）直接寫出△ABC和△DEF的周長(zhǎng)比．【分析】（1）由勾股定理求出BC、AC、DE、DF的長(zhǎng)，得＝＝＝，即可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】（1）證明：∵AB＝2，BC＝2，AC＝2，DE＝，EF＝2，DF＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF；（2）解：△ABC和△DEF的周長(zhǎng)比＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式121】如圖，在7×4方格紙中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上（△ABC稱為格點(diǎn)三角形，即格點(diǎn)△ABC），用無(wú)刻度直尺作圖．（1）在圖1中的線段AC上找一個(gè)點(diǎn)D，使CD＝AC；（2）在圖2中作一個(gè)格點(diǎn)△CEF，使△CEF與△ABC相似．【分析】（1）根據(jù)“8字形”相似，可得CD：AD＝2：3，從而得出點(diǎn)D的位置；（2）根據(jù)∠ACB＝90°，AC＝2BC，即可畫出△CEF．【解答】解：（1）如圖1，點(diǎn)D即為所求；（2）如圖2，△CEF即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式122】我們把頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在7×4網(wǎng)格中，格點(diǎn)△ABC和格點(diǎn)△DEF如圖所示．（1）求證：△ABC∽△DEF；（2）求∠A+∠E的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算．【解答】（1）證明：由勾股定理得，AC＝1，BC＝3，AB＝5，DE＝，EF＝6，ED＝5，則＝＝＝，∴△ABC∽△DEF；（2）解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D，∵∠D+∠E＝45°，∴∠A+∠E＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．題型13：相似三角形的綜合應(yīng)用13.如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在OC上，聯(lián)結(jié)BP，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BP分別交AD、BD于點(diǎn)E、F．（1）求證：△APE∽△DBQ；（2）求證：DE?CP＝CQ?DF．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，∠DAC＝∠BDC＝45°，由余角的性質(zhì)可得∠APE＝∠PBF，可得結(jié)論；（2）通過(guò)證明△DEF∽△CQP，可得，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠DAC＝∠BDC＝45°，∵PE⊥BP，∴∠PBF+∠BFP＝90°＝∠BFP+∠APE，∴∠APE＝∠PBF，∴△APE∽△DBQ；（2）∵△APE∽△DBQ，∴∠AEP＝∠BQD，∴∠DEP＝∠BQC，又∵∠ADB＝∠ACD＝45°，∴△DEF∽△CQP，∴，∴DE?CP＝CQ?DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．【變式131】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)F、E在邊AC上，且DF∥BE，．（1）求證：DE∥BC；（2）如果＝，S△ABC＝12，求S△ADE的值．【分析】（1）由DF∥BE得比例，結(jié)合已知比例，利用過(guò)渡比得出＝，證明結(jié)論；（2）首先可以證明＝，然后證明△ADE∽△ABC，最后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．【解答】（1）證明：∵DF∥BE，∴＝，∵＝，∴＝，∴DE∥BC；（2）解：∵＝，∴＝，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝（）2＝，∵S△ABC＝12，∴S△ADE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例．關(guān)鍵是利用平行線得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題．【變式132】已知在△ABC中，∠C＝90°，以AC上的一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：AB?AD＝AC?AF；（2）如果CD是⊙O的切線，D是切點(diǎn)，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，當(dāng)BC＝3時(shí)，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）連接DE，根據(jù)圓周角定理求得∠ADF＝90°，得出∠ADF＝∠ACB，進(jìn)而證得△ADF∽△ACB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論；（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OD⊥CD，在Rt△OCD中，根據(jù)已知求得∠OCD＝30°，進(jìn)而求得∠BAC＝30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得AB的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接DF，∵AF是直徑，∴∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ACB，∵∠DAF＝∠BAC，∴△ADF∽△ACB，∴＝，∴AB?AD＝AC?AF；（2）解：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，在Rt△OCD中，OF＝CF＝OD，∴OC＝2OD，∴∠OCD＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝，∴∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，AB＝2BC＝2×3＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，30°的直角三角形的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．AD【答案】D【解析】【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項(xiàng)不合題意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項(xiàng)不合題意；C、∵AB2=AD?AC，∴ACAB=ABAD，

又∠A=∠A，D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC故答案為：D.【分析】由圖可知△ADB與△ABC中，∠CAB=∠BAD，要證兩三角形相似，可以添加這兩三角形中剩下的兩組角中的任意一組相等或夾∠CAB與∠BAD的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，據(jù)此一一判斷得出答案.

2．下列四組圖形中不一定相似的是。A．有一個(gè)角等于400B．有一個(gè)角為500C．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形D．有一個(gè)角是600【答案】A【解析】【分析】相似三角形的判定方法：有兩對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形相似。

Ａ、有一個(gè)角等于400的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，本選項(xiàng)符合題意；

Ｂ、有一個(gè)角為500的兩個(gè)直角三角形；Ｃ、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形；Ｄ、有一個(gè)角是600的兩個(gè)等腰三角形，均相似，不符合題意.

3．如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為2、2、10、只有選項(xiàng)B的各邊為1、2、5與它的各邊對(duì)應(yīng)成比例．故答案為：B．【分析】根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似，分別計(jì)算出圖中的三角形的三邊長(zhǎng)，再計(jì)算出選項(xiàng)中的各三角形的三邊長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)B選項(xiàng)的三角形和圖中的三角形的三邊長(zhǎng)比例相等，相似。4．某塊面積為4000m2的多邊形草坪，在嘉興市政建設(shè)規(guī)劃設(shè)計(jì)圖紙上的面積為250cm2，這塊草坪某條邊的長(zhǎng)度是40m，則它在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是（）A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)這塊草坪在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是xcm，4000m2=40000000cm2，40m=4000cm，根據(jù)題意得：40000000250=（4000x）解得：x=10，即這塊草坪在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是10cm．故選C．【分析】首先設(shè)這塊草坪在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是xcm，根據(jù)題意可得這兩個(gè)圖形相似，根據(jù)相似圖形的面積比等于相似比的平方，可列方程40000000250=（4000x）5．如圖所示，△ABC是等邊三角形，若被一邊平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，則圖中陰影部分的面積是△ABC面積的()A．19 B．29 C．13 【答案】C【解析】【解答】解：∵AB被三等分

∴△AEH∽△AFG∽△ABC

∴AEAF=12，AEAB=13

∴S△AFG：S△ABC=4:9，S△AEH：S△ABC=1:9

∴S△AFG=49S△ABC，S△AEH=19S△ABC

∴故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意，由相似三角形的性質(zhì)，求出答案即可。6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm．則BC等于()

A．10cm B．16cm C．12cm 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．

【解答】∵AE=3cm，EC=5cm，

∴AC=8cm，

又∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴DEBC=AEAC，

∴6BC=38，

∴二、填空題7．如圖，△ABC中，DE∥BC，DEBC=23，△ADE的面積為8，則△ABC【答案】18【解析】【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵DEBC=∴S△ADE∴S△ABC=9【分析】由DE∥BC可證△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解.8．如圖所示，線段AB與CD都是⊙O中的弦，其中弧AB=108°，AB=a，弧CD=36°，CD=b，則⊙O的半徑R=【答案】a﹣b或ab【解析】【解答】在AB上取BM=OB，連接AO、BO、DO、MO，∵AB=108°，CD=36°，∴∠DOC=36°，∠AOB=108°，∵OC=OD=OA=OB，∴∠ABO=∠DOC=36°，∴△BOM≌△