專題01銳角的三角函數(shù)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（7大題型）（原卷版）

專題01銳角的三角函數(shù)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（7大題型）【題型目錄】題型一正弦、余弦與正切的概念辨析題型二求角的正弦值題型三已知正弦值求邊長題型四求角的余弦值題型五已知余弦值求邊長題型六求角的正切值題型七已知正切值求邊長【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：正切與余切1.正切直角三角形中一個(gè)銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切（tangent）．銳角A的正切記作tanA．．2.余切直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對邊的比叫做這個(gè)銳角的余切（cotangent）．銳角A的余切記作cotA．．a(chǎn)acABCb知識(shí)點(diǎn)2：正弦與余弦1.正弦直角三角形中一個(gè)銳角的對邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦（sine）．銳角A的正弦記作sinA．．2.余弦直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦（cosine）．銳角A的余弦記作cosA．．a(chǎn)acABCb【經(jīng)典例題一正弦、余弦與正切的概念辨析】1．（22·23下·泉州·一模）在中，，，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2020上·西安·階段練習(xí)）在中，分別為所對的邊則下列等式中不正確的是（

）A． B． C． D．3．（2021上·吉林·階段練習(xí)）如圖，在上述網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是．4．（22·23·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

5．（2021秋·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，，．

(1)求的長；(2)求的值．【經(jīng)典例題二求角的正弦值】1．（22·23下·沈陽·開學(xué)考試）如圖，是的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D在上，若的半徑是4，，則的值是（

）A． B． C． D．2．（22·23上·青島·期末）如圖，的頂點(diǎn)分別在單位長度為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．3．（21·22下·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)，若，，的值為4．（22·23·杭州·二模）點(diǎn)E為正方形的邊上一點(diǎn)，連接，且與相交于點(diǎn)M．若，則．

5．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在菱形中，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)（），連接，作交于F．連接，．

(1)求證：四邊形為菱形．(2)記菱形的面積為，菱形DEBF面積為．若，，．求的長．【經(jīng)典例題三已知正弦值求邊長】1．（22·23下·咸陽·二模）如圖，點(diǎn)A，B，C均在上，連接、、，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，若的半徑為4，，則弦的長是（）

A．2 B． C． D．42．（22·23下·深圳·階段練習(xí)）如圖，，，若，，則點(diǎn)到的距離是（）A． B． C． D．3．（22·23下·綿陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，，若，則的長為．4．（22·23下·合肥·三模）在中，，，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處．請完成下列問題：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的長為．5．（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的延長線上的一點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．【經(jīng)典例題四求角的余弦值】1．（2023秋·山東濰坊·九年級(jí)昌樂二中校考階段練習(xí)）如圖，矩形紙片，，，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，、分別交于點(diǎn)、，且，則的值為（）

A． B． C． D．2．（2022春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，個(gè)形狀大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)已知菱形的一個(gè)角為，、、都在格點(diǎn)上；點(diǎn)在過、、三點(diǎn)的圓弧上，若也在格點(diǎn)上，且，則的值為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)F為其重心，連接、并延長分別交、于點(diǎn)D、E，且，，則．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在矩形中，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)，矩形的兩邊長分別是2和3，則的值是．5．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把沿著過點(diǎn)B的某條直線折疊，使點(diǎn)A落在y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)D處，折痕與x軸交于點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2)求的余弦值．【經(jīng)典例題五已知余弦值求邊長】1．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，，，且，，則下底的長是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·四川南充·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為的邊上一點(diǎn)，，，，，則（

）A． B． C． D．43．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）在中，，，，以AC所在直線為軸，把旋轉(zhuǎn)一周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為．4．（2022秋·九年級(jí)單元測試）如圖所示，在四邊形中，，，，，，則．

5．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，對角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證；(2)求證：(3)若，，求的長．【經(jīng)典例題六求角的正切值】1．（2023秋·吉林長春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且．若，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，和均為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)B在線段上，已知，，則的值為（

）A． B． C． D．33．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)D在上，連接，將沿翻折，使得點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，則．

4．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）校聯(lián)考自主招生）如圖，中，，于D，E為上一點(diǎn)，于F，與交于點(diǎn)G，若，則的值是．5．（2022春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為9的正方形中，等腰的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)C重合，斜邊EF與正方形的對角線交于點(diǎn)E，射線與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q且．(1)求證：；(2)求的長；(3)求的值．【經(jīng)典例題七已知正切值求邊長】1．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形紙片中，點(diǎn)在邊上，沿著折疊使點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，則的長為（

）

A． B．2 C． D．2．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，平行四邊形中，，，，點(diǎn)O為對角線交點(diǎn)，點(diǎn)E為延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求的長度為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)G為的重心，若，，那么的長等于．

4．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，點(diǎn)P在邊上，，點(diǎn)M，N在邊上，，如果，那么．5．（2023春·浙江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，分別是，的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，連結(jié)．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)于點(diǎn)，連結(jié)，若是的中點(diǎn)，，①求的長．②求平行四邊形的周長．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（21·22下·哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于，，，則的半徑為（

）

A．4 B．8 C． D．2．（23·24上·長春·階段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且．若，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（22·23下·江門·期中）在中，，，，將其如圖折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為，連接，則的值為（

）

A． B． C． D．4．（22·23下·株洲·自主招生）如圖，在中，，，平分，則的值為（

）

A． B． C． D．5．（21·22下·深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知平行四邊形，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，連接，若，則的值為（

）

A． B． C． D．6．（23·24上·黃浦·期中）如圖已知在中，，正方形的頂點(diǎn)分別在邊上，點(diǎn)在斜邊上，那么正方形的邊長為．

7．（21·22·武漢·模擬預(yù)測）如圖，中，，，D為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，為等邊三角形，則線段的取值范圍是．8．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，平分，且，，，則．

9．（21·22·武漢·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，把沿直線翻折，得到，的延長線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若點(diǎn)在同一條直線上，，則的值為．

10．（23·24上·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)、分別在、邊上，若：：：．則．

11．（21·22·哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段，點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在圖1中畫一個(gè)以線段為一邊的平行四邊形，點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，且平行四邊形的面積為8；(2)在圖2中畫一個(gè)鈍角三角形，點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)上，，且三角形的面積為6．請直接寫出的長．四、問答題12．（23·24上·楊浦·期中）如圖，已知在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，求的正弦值．

13．（21·22下·宜昌·模擬預(yù)測）如圖，已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．設(shè)．

(1)如圖當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)．求證．當(dāng)時(shí)，求的值．(2)當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)E使與相似？如果存在求出此時(shí)的長度m．五、作圖題14．（23·24上·哈爾濱·期中）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，坐標(biāo)分別為，，．請解答下列問題：

(1)畫出關(guān)于y軸的