高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語章末檢測（B）北師大版選修2-1

第一章常用邏輯用語(B)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1．函數(shù)f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函數(shù)的充要條件是()A．ab＝0B．a＋b＝0C．a＝bD．a2＋b2＝02．若“a≥b?c>d”和“a<b?e≤f”都是真命題，其逆命題都是假命題，則“c≤d”是“e≤f”的()A．必要非充分條件B．充分非必要條件C．充分必要條件D．既非充分也非必要條件3．在下列結論中，正確的是()①“p且q”為真是“p或q”為真的充分不必要條件；②“p且q”為假是“p或q”為真的充分不必要條件；③“p或q”為真是“綈p”為假的必要不充分條件；④“綈p”為真是“p且q”為假的必要不充分條件．A．①②B．①③C．②④D．③④4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要5．若命題“p或q”為真，“非p”為真，則()A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假6．2x2－5x－3<0的一個必要不充分條件是()A．－eq\f(1,2)<x<3B．－eq\f(1,2)<x<0C．－3<x<eq\f(1,2)D．－1<x<67．“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分條件D．既不充分也不必要條件8．設原命題：若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是()A．原命題真，逆命題假B．原命題假，逆命題真C．原命題與逆命題均為真命題D．原命題與逆命題均為假命題9．下列命題中為全稱命題的是()A．圓內接三角形中有等腰三角形B．存在一個實數(shù)與它的相反數(shù)的和不為0C．矩形都有外接圓D．過直線外一點有一條直線和已知直線平行10．以下判斷正確的是()A．命題“負數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題B．命題“任意x∈N，x3>x”的否定是“存在x∈N，x3>x”C．“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝sin2ax的最小正周期為π”的必要不充分條件D．“b＝0”是“函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)”的充要條件題號12345678910答案二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11．下列命題中________為真命題．(填序號)①“A∩B＝A”成立的必要條件是“AB”；②“若x2＋y2＝0，則x，y全為0”的否命題；③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；④“圓內接四邊形對角互補”的逆否命題．12．命題“正數(shù)的絕對值等于它本身”的逆命題是_______________________，這是__________命題．13．若“任意x∈R，x2－2x－m>0”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是____________．14．條件p：x>1，y>1，條件q：x＋y>2，xy>1，則條件p是條件q的____________條件．15．給出下列四個命題：①任意x∈R，x2＋2>0；②任意x∈N，x4≥1；③存在x∈Z，x3<1；④存在x∈Q，x2＝3.其中正確命題的序號為____________．三、解答題(本大題共6小題，共75分)16．(12分)分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假．(1)矩形的對角線相等且互相平分；(2)正偶數(shù)不是質數(shù)．17．(12分)寫出由下述各命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命題，并指出所構成的這些命題的真假．(1)p：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被2整除，q：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被3整除；(2)p：對角線互相垂直的四邊形是菱形，q：對角線互相平分的四邊形是菱形．18.(12分)已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.19．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋x.對于任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1成立，試求實數(shù)a的取值范圍．20.(13分)下列三個不等式：①>1；②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；③a>x2＋eq\f(1,x2).若其中至多有兩個不等式的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍．21．(14分)已知命題p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的兩個實根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|對任意實數(shù)m∈[－1,1]恒成立；命題q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命題p是真命題，命題q是假命題，求a第一章常用邏輯用語(B)1．D[若a2＋b2＝0，即a＝b＝0時，f(－x)＝(－x)|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2＋b2＝0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件．又若f(x)為奇函數(shù)即f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x＋a|＋b)，則必有a＝b＝0，即a2＋b2＝0，∴a2＋b2＝0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件．]2．B[由a≥b?c>d可得c≤d?a<b，又a<b?e≤f，所以c≤d?e≤f；而e≤f?c≤d顯然不成立，故“c≤d”是“e≤f”的充分非必要條件．]3．B4．B[∵a＝1且b＝2?a＋b＝3，∴a＋b≠3?a≠1或b≠2.]5．B[由“非p”為真可得p為假，若同時“p或q”為真，則可得q必須為真．]6．D7．A[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)))＝taneq\f(π,4)＝1，所以充分；但反之不成立，如taneq\f(5π,4)＝1.]8．A[舉例：a＝1.2，b＝0.3，則a＋b＝1.5<2，∴逆命題為假．]9．C10．D[∵“負數(shù)的平方是正數(shù)”即為任意x<0，則x2>0，是全稱命題，∴A不正確；又∵對全稱命題“任意x∈N，x3>x”的否定為“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正確；又∵f(x)＝sin2ax，當最小正周期T＝π時，有eq\f(2π,|2a|)＝π，∴|a|＝1a＝1.故“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝sin2ax的最小正周期為π”的充分不必要條件．]11．②④解析①A∩B＝A?A?B但不能得出AB，∴①不正確；②否命題為：“若x2＋y2≠0，則x，y不全為0”，是真命題；③逆命題為：“若兩個三角形是相似三角形，則這兩個三角形全等”，是假命題；④原命題為真，而逆否命題與原命題是兩個等價命題，∴逆否命題也為真命題．12．如果一個數(shù)的絕對值等于它本身，那么這個數(shù)一定是正數(shù)假13．(－∞，－1)解析由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.14．充分不必要15．①③16．解(1)逆命題：若一個四邊形的對角線相等且互相平分，則它是矩形(真命題)．否命題：若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等或不互相平分(真命題)．逆否命題：若一個四邊形的對角線不相等或不互相平分，則它不是矩形(真命題)．(2)逆命題：如果一個正數(shù)不是質數(shù)，那么這個正數(shù)是正偶數(shù)(假命題)．否命題：如果一個正數(shù)不是偶數(shù)，那么這個數(shù)是質數(shù)(假命題)．逆否命題：如果一個正數(shù)是質數(shù)，那么這個數(shù)不是偶數(shù)(假命題)．17．解(1)p或q：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被2或能被3整除．p且q：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被2且能被3整除．非p：存在連續(xù)的三個整數(shù)的乘積不能被2整除．∵連續(xù)的三整數(shù)中有一個(或兩個)是偶數(shù)，而另一個是3的倍數(shù)，∴p真，q真，∴p或q與p且q均為真，而非p為假．(2)p或q：對角線互相垂直的四邊形是菱形或對角線互相平分的四邊形是菱形．p且q：對角線互相垂直的四邊形是菱形且對角線互相平分的四邊形是菱形．非p：存在對角線互相垂直的四邊形不是菱形．∵p假q假，∴p或q與p且q均為假，而非p為真．18．證明充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2>0.∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.19．解|f(x)|≤1?－1≤f(x)≤1?－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①當x＝0時，a≠0，①式顯然成立；當x∈(0,1]時，①式化為－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)≤a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)在x∈(0,1]上恒成立．設t＝eq\f(1,x)，則t∈[1，＋∞)，則有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－t2－tmax＝－2,a≤t2－tmin＝0))?－2≤a≤0，又a≠0，故－2≤a<0.綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是[－2,0)．20．解對于①，>1，即－x2＋ax－eq\f(25,4)>0，故x2－ax＋eq\f(25,4)<0，Δ＝a2－25，所以不等式的解集為空集，實數(shù)a的取值范圍是－5≤a≤5.對于②，當a＝3時，不等式的解集為{x|x>1}，不是空集；當a≠3時，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集為空集．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,a－22＋4a－3≤0，))解得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).對于③，因為x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，當且僅當x2＝1，即x＝±1時取等號．所以，不等式a>x2＋eq\f(1,x2)的解集為空集時，a≤2.因此，當三個不等式的解集都為空集時，－2eq\r(2)≤a≤2.所以要使三個不等式至多有兩個不等式的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是{a|a<－2eq\r(2)或a>2}．21．解∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的兩個實根，則x1＋x2＝m且x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(m2＋8)，當