2024-2025學年山東省濰坊市高三（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年山東省濰坊市高三（上）開學數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.復數(shù)M的虛部是（）

A.之B.—C.WD.—!

2.設集合4={1,2,4},B={x|x2-5x+m=0},若力nB={2},則B=()

A.{2,-3}B.{2,-6}C.{2,3}D.{2,6}

3.已知向量落b,2在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2,則G+3）Z+7

加=()

A.0

B.3

C.6

D.12

4.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素.如圖，某

坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，還有兩個

面是全等的等腰三角形，若4B=25M,BC=10m,且等腰梯形所在

平面、等腰三角形所在平面與平面ABC。的夾角均為45。，則該五面體

的體積為（）

A.375m3B.當當小c.545m3D.625m3

5.已知圓C：x2+y2-2x=0,則過點尸（3,0）的圓C的切線方程是（）

A.y=±|(x-3)B.y=±2Q-3)c.丫=士字(久一3)D.y=±4(刀-3)

6.數(shù)列{4}中，ai=2,an+1=an+2,若依+怒+i+…+/+9=270,則k=()

A.7B.8C.9D.10

7.設10WX1<X2<X3<X4W103隨機變量盤取值％i，x,x,X4的概率均為J，隨機變量§2取值

234-

比1+%2+汽3+無3+久4久3+久4+汽1力4+為1+比2

支2+當+%的概率也均為,若記D（G）,。記2）分別是G，§2

313J3J3

的方差，貝1（）

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A.D(fi)＞0(。)B.D(fi)=D(§2)

C.D&)＜。(0)D.D(右)與。(O)的大小不確定

8.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)/(x),其導函數(shù)為/'(K),且滿足+y)=/(x)+f(y)+xy,

1

/⑴=0,f(l)=|,則八2)=()

33

A.0B-C.1D-

4Z

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/'(久)=sin(tox+9)(其中3,9均為常數(shù)，|租|＜兀)的部分圖像

如圖所示，貝!1()

71

A.中=-§

B.f(x)的最小正周期為兀

C.f(x)圖像的一個對稱中心為(-瑞,0)

D./O)的單調(diào)增區(qū)間為［一居+時，kEZ

J?乙1Z

10.已知數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，其前n項和又滿足an-Sn=4(71=1,2,…)，則()

A.a，2=1B.｛冊｝為等比數(shù)列

C.｛即｝為遞減數(shù)列D.｛斯｝中存在小于焉方的項

11.已知正方體4BCD-A/iCiDi棱長為1,E為棱A4i上一動點，CE1平面a,貝ij()

A.當點E與點4重合時，CE〃平面48C1

B.當點E與點4重合時，四面體ECDiBi的外接球的體積為苗

C.直線CD與平面a所成角的正弦值的取值范圍是［浮,字］

D.當點E與點乙重合時，平面a截正方體所得截面可為六邊形，且其周長為定值3避

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.邊長為2的正三角形繞其一邊所在直線旋轉一周所形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為.

13.已知四個函數(shù)：①y=-ex,@y--Inx,③y=x,④y=叵從中任選2個，則事件“所選2個函

數(shù)的圖像有且僅有一個公共點”的概率為.

14.已知橢圓C：卷+必=1,過萬軸正半軸上一定點M作直線I,交橢圓C于4B兩點，當直線I繞點M旋轉

時，有|4：|2+|8；|2=為常數(shù)),則定點M的坐標為,"=.

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四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

TT

記△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知csinB=bsin(C+§),

⑴求C；

(2)若b=6,且△力BC的面積為68，求△ABC的周長.

16.(本小題15分)

如圖，Rt△ABC中，/.ACB=90°,/.CAB=30°,BC=3,AD=2避，過點。作DE1AB,垂足為E,

將△4DE沿DE翻折至△PDE,使得PB=3顯

(1)求證：PE1平面BCDE；

(2)若。M=PM,求直線EM與平面PBC所成角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(%)=ex-ax2—x—l.

(1)若/(I)=e-2,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若XG(0,+oo),/(%)>0,求實數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題17分)

己知雙曲線：魯工=l(a>0力〉0)的焦距為4,離心率為2,%,尸2分別為C的左、右焦點，兩點4(%,月

),3(久2，、2)都在C上.

(I)求C的方程；

(2)若麗=2取，求直線AB的方程；

(3)若AFJ/BF2且打犯<0,yiy2>0,求四個點4B,%,&所構成的四邊形的面積的取值范圍.

19.(本小題17分)

錯位重排是一種數(shù)學模型.通常表述為：編號為1,2,3,九的幾封信，裝入編號為1,2,3,....九的幾個

信封，若每封信和所裝入的信封的編號不同，問有多少種裝法？這種問題就是錯位重排問題.上述問題中，

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設幾封信均被裝錯有即種裝法，其中由=0.

(1)求。2，a3,a4；

(2)推導0n+2,an+1,an之間的遞推關系，并證明：｛斯+i—(n+1)冊｝是等比數(shù)列；

(3)請問俏信均被裝錯的概率是否大于《？并說明理由.(參考公式：ex=l+x+17+§+-+￡+-)

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參考答案

1.5

2.C

3.5

4.B

5.C

6.C

7.4

8.D

9.ABD

IQ.ACD

11.ACD

12.48兀

13.|

14.(畔,0)6

TT__

15.解：(1)在△ABC中，由csinB=bsin(C+§)及正弦定理，

7T

得sinCsinB=sinBsin^C+§),而s譏8>0,

則sin(C+^)=sinC,即方譏。+字cosC=sinC,

化簡得tcmC=在，又C6(0,71),

所以C=宗

(2)由(1)及三角形面積公式，

得義absinC=&?a=6避，解得a=4,

由余弦定理，得c=7a2+b2-2abcosC=J42+62—2X4x6x-i=2y/7,

所以△ABC的周長為a+b+c=10+2yp.

16.1?：(1)證明：???DE1AB,由折疊前后的關系，可知PE1DE,

又PB=3也，PE=AE=ADx/.CAB=2避乂號=3,

：.EB=AB-AE=6-3=3,PE2+EB2=PB2,

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PE1EB,又PE1DE,且EBCDE=E,

PE1平面BCDE；

(2)由(1)可知PE,ED,EB兩兩相互垂直，故建系如圖:

由ED=鄧,C到力B的距離為BCxsin600=3*岑=￥，

又4E=EB=EC=BC=3,M為PD中點，

￡(0,0,0),￡>(73,0,0),P(0,0,3),M謬,0,|),B(0,3,0),其挈|,0),

.??前=(察0,|)，麗=(0,3,—3),玩=(唱怖3),

設平面P8C的法向量為日=(x,y,z),

(n-PB=3y-3z=0

則1麗=%久+%-3z=0，取完=(1,居我,

22，

???直線EM與平面所成角的正弦值為：

lcos<FM蔡>I_I面限a_2并_2小

\EM\\n\4+充x,77

17.解：(1)/(%)=ex-ax2-x-l,

則f(l)e—a—2=e-2,得a=0,

則/(%)=ex-x-l,/'(%)=ex-l,

當久G(一8,0)時,f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，

當%E(0,+8)時，/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增;

(2)由/(%)=ex—ax2—x—l,得/'(%)=ex-2ax—l,

xx

令g(%)=/'(%)=e—2ax—lf則g'(%)=e—2a(x>0),

當a時，g'(x)=ex-2a>0在(0,+8)上恒成立，

則9(%)單調(diào)遞增，即［(%)>f(0)=0,

可得/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，有/(%)>/(0)=0成立;

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當a>|■時，由g'(%)=ex-2a<0,得0V%<Ina,

可知當％e（0,伍2a）時,g（%）即/'（%）<:（。）=0,

/（%）在（0,仇2。）上單調(diào)遞減，有/（%）<0,不滿足對V%6（0,+oo）,有/（%）>0.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-8,4.

12c=4

18.解：（1）由題意，*=2,解得《二/

a2+b2=c2iv

2

C的方程為*2=1;

（2）根據(jù)題意知，直線AB的斜率不為0,設直線的方程為x=my+2,

福=2不，得力=一2丫2，A,B都在右支上，

'x—my+2

由,/一加=],得（3根2—1）必+12爪）/+9=0.

由已知可得3nI2一17o,j=36m2+36>0.

.—12m9

%+y2=^zpyiy2=^zi-

結合月=-2y2，可得Q把=-2（3；2_I）,解得爪=±嚶，滿足△>°，

則直線力B的方程為無士嚼y-2=0；

（3）4（%1,丫1）,8。2,丫2），4%//8/2且<。，月丫2〉。，

則4B分別在雙曲線的兩支上，不妨設4B都在x軸上方，

又AF1UBF2,貝^在第二象限，B在第一象限，如圖所示，

延長4%交雙曲線于點P,延長B燈交雙曲線于點Q，

由對稱性可知，四邊形4PQ8為平行四邊形，且面積為四邊形4%F2B的2倍，

由題設（2（久3，、3），直線4P的方程為x=機>一2,直線BQ的方程為久=my+2,

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由(2)可知田Q|=/+m21yLy2I="+蘇.噌黨

??-3m2-l<0,\BQ\=,兩條直線4P與BQ的距離d=大今蒜

16—叱3771“+?7L十〃，

??S四邊形用出85s四邊形/PQB=^BQ\d=喑手.

令t=yjl+m2,tG[1,罕)，

則S四邊形4%FzB=號=肯在[1,當5上為單調(diào)增函數(shù)，

???S四邊形4F#zBe[12,+8),當t=l,即m=0時取最小值12，

???四個點4B,尸1，尸2所構成的四邊形的面積的取值范圍是[12,+8).

19.解：(1)由題意可得a?=1,a3=2,ci4=3x3xlxl=9.

(2)若有幾+2封信時，其裝法可分為兩個步驟：

第一步：編號為n+2的信，有n+1種裝法；

第二步：重裝其余的幾+1封信，根據(jù)第一步裝法可分為兩類，

第一類，若編號為n+2的信，裝入編號為k的信封(k=1,2，…,n+1),但編號為k的信裝入編號為n+2的

信封，這樣有與種裝法；

第二類，若編號為幾+2的信，裝入編號為k的信封(k=1,2，…,n+1),但編號為k的信不裝入編號為n+2

的信封，這樣有即+i種裝法；

由分步乘法和分類加法計數(shù)原理，所以廝+2=(n+l)(an+i+an),

所以an+2=(n+l)(an+i+an),

、下明。十+2一(九+2)a〃+i_(>++a-)—(九+2)a、+i_-a九+1+(n+l)a九__1

T

力：an+i-(