2023年北京市初三二模數(shù)學(xué)試題匯編：銳角三角函數(shù)章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編銳角三角函數(shù)章節(jié)綜合一、單選題1．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，．點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)（不與C，B重合），過點(diǎn)P作交于點(diǎn)．設(shè)，的長為，的面積為，則與x，S與滿足的函數(shù)關(guān)系分別為（

）

A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系二、填空題2．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)與邊的中點(diǎn)重合，折痕恰好為，則的值為______．3．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)線段與軸正方向的夾角為，則___________．

三、解答題4．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）．5．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）計算：．6．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）計算：．7．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形中，，．

(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，，求的長．8．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）計算：．9．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，，，點(diǎn)D是延長線上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線對稱，連接交于點(diǎn)F，連接．

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；(2)用等式表示線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，在中，邊繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)（）得到線段，邊繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．

(1)以點(diǎn)F為對稱中心，作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)G，連接．①依題意補(bǔ)全圖形，并證明；②求證：；(2)若，且于H，直接寫出用等式表示的與的數(shù)量關(guān)系．11．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于和點(diǎn)(不與點(diǎn)重合）給出如下定義：若邊，上分別存在點(diǎn)，點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則稱點(diǎn)為的“翻折點(diǎn)”．(1)已知，．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，直接寫出的“翻折點(diǎn)”的坐標(biāo)；②是線段上一動點(diǎn)，當(dāng)是的“翻折點(diǎn)”時，求長的取值范圍；(2)直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，若存在以直線為對稱軸，且斜邊長為2的等腰直角三角形，使得該三角形邊上任意一點(diǎn)都為的“翻折點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．12．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）計算：．13．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖，是直徑，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使．(1)求證：是的切線；(2)點(diǎn)是弧中點(diǎn)，連接并延長，分別交于點(diǎn)，若，，求線段的長．14．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）計算：．15．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）計算：.16．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）計算：．

參考答案1．A【分析】先求出，再求出，然后解得到，，進(jìn)而得到，，由此即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∴與x，S與滿足的函數(shù)關(guān)系分別為一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等邊對等角，列函數(shù)關(guān)系式，正確求出，是解題的關(guān)鍵．2．/【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，，根據(jù)折疊可得，進(jìn)而得出，則，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形紙片折疊，使點(diǎn)與邊的中點(diǎn)重合，∴∴，即，∴∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，正弦的定義，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．/【分析】取點(diǎn)，則軸于B，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出和，根據(jù)銳角正切函數(shù)的定義求出即可．【詳解】取點(diǎn)，則軸于B，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，4)，∴，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)和正切函數(shù)，能求出和的長是解此題的關(guān)鍵．4．【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，實數(shù)的運(yùn)算法則，化簡絕對值的方法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查帶特殊角的三角函數(shù)值的實數(shù)運(yùn)算，化簡二次根式，去絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪公式等知識，掌握相關(guān)公式和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．3【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算、算術(shù)平方根運(yùn)算及零指數(shù)數(shù)冪運(yùn)算分別求解后，由二次根式加減運(yùn)算求解即可得到答案．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查實數(shù)混合運(yùn)算，涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算、算術(shù)平方根運(yùn)算、零指數(shù)數(shù)冪運(yùn)算及二次根式加減運(yùn)算等知識，熟練掌握實數(shù)混合運(yùn)算各個相關(guān)法則是解決問題的關(guān)鍵．6．【分析】先計算特殊角三角函數(shù)、化簡二次根式、去絕對值、計算負(fù)整數(shù)次冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查實數(shù)的混合運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)次冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．(1)證明見解析(2)6【分析】（1）先根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形為平行四邊形，再由，即可證明平行四邊形為菱形；（2）先證明，進(jìn)而得到，，利用三角形內(nèi)角和定理推出，由平行線的性質(zhì)得到，解，即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴平行四邊形為菱形；（2）解：∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．8．【分析】先化簡各式，再進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，開方運(yùn)算，實數(shù)的混合運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．9．(1)圖見解析，(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：

連接，∵，∴∵點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線對稱∴∵∴，∴；

（2），證明如下：∵點(diǎn)E、B關(guān)于直線對稱∴，設(shè)垂足為H則∵

∴∵∴∴∴∵∴即．【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解三角形，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10．(1)①補(bǔ)全圖形見解析，證明見解析；②見解析(2)【分析】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示，先證明，推出，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得結(jié)論；②根據(jù)對稱的性質(zhì)可證明，可得結(jié)論；（2）連接，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合（1）②的結(jié)論可得是等邊三角形，可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示：證明：∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)為G，∴，又∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴；

②證明：∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)為G，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，如圖，由題意得，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴；∴與的數(shù)量關(guān)系是．

【點(diǎn)睛】本題考查了對稱變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)已知條件得出，則，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，依題意，則，進(jìn)而求得，即可求解；②根據(jù)心得與得出為線段的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，，點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，即可求得的范圍；（2）根據(jù)一次函數(shù)得出,，對于中，先固定點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動時始終由，進(jìn)而得出以為圓心，為半徑的與以為圓心，為半徑的的兩圓的公共部分，當(dāng)以直線為對稱軸時，斜邊為2的等腰直角三角形邊上任意一點(diǎn)都是的“翻折點(diǎn)”，即該等腰直角三角形在上述封閉圖形內(nèi)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理，求得的值，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】（1）①∵，∴，則∴，∴，則∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

依題意，則∴，∴，∴的“翻折點(diǎn)”的坐標(biāo)為；②∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，∴為線段的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，∴

（2）直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，令，則，令，解得，∴,對于中，先固定點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動時始終由，∴在運(yùn)動時，點(diǎn)到軌跡為以為圓心，為半徑的一段圓弧上，臨界點(diǎn)分母是與點(diǎn)與點(diǎn)重合時，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，這段圓弧也隨之運(yùn)動，形成封閉的圖形，如圖所示，

該圖形為：以為圓心，為半徑的與以為圓心，為半徑的的兩圓的公共部分，當(dāng)以直線為對稱軸時，斜邊為2的等腰直角三角形邊上任意一點(diǎn)都是的“翻折點(diǎn)”，即該等腰直角三角形在上述封閉圖形內(nèi)∵的半徑大于的半徑，∴當(dāng)?shù)妊苯侨切蔚男边厔偤迷谏希礊榈南遥r，可得的最大值

∴,解得：∴【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)、二次根式化簡、、特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行計算即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)指數(shù)冪、二次根式化簡、去絕對值、特殊角三角函數(shù)值，掌握公式及具體三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)直徑的性質(zhì)得到，然后利用余角的性質(zhì)得到，即可證明出是的切線；（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)三角函數(shù)得到，，進(jìn)而得到，然后根據(jù)垂徑定理得到，進(jìn)而得到，利用三角函數(shù)求出，即可求解．【詳解】（1）∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵是直徑，∴是的切線；（2）如圖所示，∵，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)是弧中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴解得，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的綜合題，三角函數(shù)，切線的證明，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．14．1【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值的性質(zhì)逐項計算，即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查實數(shù)的運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．5【分析】直接利用零指數(shù)冪