集合的概念課件

第

1章集合與常用邏輯用語(yǔ)人教A版2019必修第一冊(cè)1.1集合的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)實(shí)例了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，能選擇集合不同的語(yǔ)言形式描述具體的問(wèn)題。了解集合元素的確定性、互異性、無(wú)序性，掌握常用數(shù)集及其專(zhuān)用符號(hào),并能夠用其解決有關(guān)問(wèn)題。會(huì)用集合語(yǔ)言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象：描述法，列舉法。目錄CATALOG01.元素和集合的概念03.題型強(qiáng)化訓(xùn)練02.集合的表現(xiàn)方式04.小結(jié)及隨堂練習(xí)01元素和集合的含義集合的概念思考一：日常生活中，“集合”的理解就是“匯聚在一起”那么，在數(shù)學(xué)的世界，我們?nèi)绾卫斫狻凹稀?？?dǎo)入新知格奧爾格·康托爾（G.Cantor,1845-1918）德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論創(chuàng)始人，也是數(shù)學(xué)無(wú)窮大理論的奠基人。導(dǎo)入新知思考二：軍訓(xùn)前學(xué)校通知：9月1日8:00，高一年級(jí)學(xué)生到操場(chǎng)集合進(jìn)行軍訓(xùn)。試問(wèn)這個(gè)通知的對(duì)象是全體的高一學(xué)生還是個(gè)別學(xué)生？校務(wù)處通知：9月1日8:00，高一年級(jí)學(xué)生到操場(chǎng)集合進(jìn)行軍訓(xùn)。在這里，集合是我們常用的一個(gè)詞語(yǔ)，我們感興趣的是問(wèn)題中某些特定（是高一而不是高二、高三）對(duì)象的總體，而不是個(gè)別的對(duì)象，為此，我們將學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念——集合。學(xué)習(xí)新知在初中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎？如：自然數(shù)的集合有理數(shù)的集合不等式的解的集合到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合......學(xué)習(xí)新知觀(guān)察下列實(shí)例：11～10以?xún)?nèi)的所有奇數(shù)2方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根3小于8的素?cái)?shù)4中國(guó)四大發(fā)明5中國(guó)十二生肖6到定點(diǎn)O的距離等于1的所有點(diǎn)1，3，5，7，9x1=-3，x2=32，3，5，7造紙術(shù)、指南針、火藥、印刷術(shù)鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬圓心是O，半徑為1的圓上的點(diǎn)集合元素學(xué)習(xí)新知

一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合（set）（簡(jiǎn)稱(chēng)為集）。

給定的集合，它的元素必須是確定的。也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么一個(gè)元素在或不在這個(gè)集合中就確定了。例如，“1-10之間的所有偶數(shù)”構(gòu)成一個(gè)集合，2，4，6，8，10是這個(gè)集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素；

“較小的數(shù)”不能構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定的。

一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的。也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。應(yīng)用新知【情景】軍訓(xùn)時(shí)教官喊1班集合：2班學(xué)生會(huì)不會(huì)跑到1班來(lái)？教官調(diào)整了站位后班級(jí)里的人有沒(méi)有發(fā)生變化？班級(jí)會(huì)不會(huì)發(fā)生改變？教官要求報(bào)數(shù)的目的是什么？一個(gè)人是否會(huì)報(bào)兩次？我們班的同學(xué)能不能構(gòu)成集合？確定性無(wú)序性互異性學(xué)習(xí)新知集合中元素具的有幾個(gè)特征：互異性集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列調(diào)換。確定性它的每一個(gè)元素必須是確定的。即給定一個(gè)集合，那么元素與集合的關(guān)系只有“屬于”及“不屬于”兩種。無(wú)序性即集合中的元素是互不相同的，如果出現(xiàn)了兩個(gè)(或幾個(gè))相同的元素就只能算一個(gè)，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。集合的相等：

只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的。應(yīng)用新知

例：具有下列特征的對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合不能，“體重很重”的標(biāo)準(zhǔn)不明確。能，

橫坐標(biāo)小于0且縱坐標(biāo)大于0的點(diǎn)

都是第二象限的點(diǎn)。不能，“某些”指哪些？標(biāo)準(zhǔn)不明確。能，

就是小于或等于5的數(shù)。能，

該方程的有理數(shù)解為x=0。應(yīng)用新知探究：元素和集合的關(guān)系我們通常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C…表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。

已知下面的兩個(gè)實(shí)例：（1）用A表示高一(3)班全體學(xué)生組成的集合。（2）用a表示高一(3)班的一位同學(xué)，b表示高

一(4)班的一位同學(xué)。思考：那么a，b與集合A分別有什么關(guān)系?a是集合A中的元素b不是集合A中的元素元素和集合的關(guān)系總結(jié)新知屬于符號(hào)和不屬于符號(hào)具有方向性，左邊是元素右邊是集合。a∈A

a?A總結(jié)新知

學(xué)習(xí)集合與元素的概念后，為了方便書(shū)寫(xiě)，數(shù)學(xué)中規(guī)定了一些常用數(shù)集及其記法：常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法————————————舉例QRNZN*或N＋0,1,2,3，…1,2,3，…0,±1,±2,±3，…整數(shù)+分?jǐn)?shù)有理數(shù)無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)新知【練習(xí)】

用符號(hào)“∈”或“

?”填空。(1)2

N.(2)_______Q.(3)0

{0}.(4)b

{a,b,c}.【總結(jié)提升】求解此類(lèi)問(wèn)題必須要做到以下兩點(diǎn)：

①熟記常見(jiàn)的數(shù)集的符號(hào)；

②正確理解元素與集合之間的“屬于”關(guān)系?？偨Y(jié)新知

判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可，此時(shí)應(yīng)先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的。對(duì)于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿(mǎn)足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)先明確已知集合的元素具有什么特征，即該集合中元素要滿(mǎn)足哪些條件。直接法:推理法:提醒:若元素a屬于集合A，則元素a就具有集合A的特征；若a不屬于集合A，則元素a就不具有集合A的特征。02集合的表現(xiàn)方式集合的概念學(xué)習(xí)新知

從上面的例子看到，我們可以用自然語(yǔ)言描述一個(gè)集合。除此之外，還可以用什么方式表示集合呢？1.列舉法：

“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為：

｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

將集合中的元素一一列舉出來(lái)，并用大括號(hào){}括起來(lái)的方法叫做列舉法。元素?zé)o序、互異元素與元素之間用逗號(hào)隔開(kāi)應(yīng)用新知由于元素完全相同的兩個(gè)集合相等，而與列舉的順序無(wú)關(guān)，因此一個(gè)集合可以有不同的列舉方法。例(1)的集合還可以寫(xiě)成：總結(jié)新知通過(guò)思考以上問(wèn)題大家能總結(jié)歸納出列舉法的概念嗎？把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用大括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法。列舉法:一一列舉列舉法{}大括號(hào)不能缺失注意:元素互異性確定性無(wú)序性元素間要用逗號(hào)隔開(kāi)。學(xué)習(xí)新知a

與

{a}

有什么區(qū)別？是一個(gè)元素是一個(gè)集合學(xué)習(xí)新知2.描述法：

你能用自然語(yǔ)言描述集合{0，3，6，9}嗎？你能用列舉法表示不等式x-7<3

的解集嗎?思考:

不等式x-7<3的解集是x<10，因?yàn)闈M(mǎn)足x<10的實(shí)數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，所以x-7<3的解集無(wú)法用列舉法表示。但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即∶x是實(shí)數(shù)，且x<10，把解集表示為{x∈R|x<10}。

設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中，所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為：我們稱(chēng)這種方法為描述法。P(x)表示該集合中的元素x所具有的性質(zhì)x為該集合的代表元素學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知

又如，整數(shù)集Z又可以分為奇數(shù)集和偶數(shù)集，對(duì)于每一個(gè),如果它能表示為

的形式，那么x除以2的余數(shù)為1，它是一個(gè)奇數(shù)；反之，如果x是一個(gè)奇數(shù)，那么x除以2的余數(shù)為1，它能表示為的形式．所以

是所有奇數(shù)的一個(gè)共同特征，于是奇數(shù)集可以表示為：你能用這樣的方法表示偶數(shù)集嗎？應(yīng)用新知解解學(xué)習(xí)新知例如:學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知總結(jié)新知思考：除字母表示法和自然語(yǔ)言之外，還能用什么方法表示集合？方法四：描述法在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及其取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線(xiàn)，在豎線(xiàn)后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫作描述法。方法二：自然語(yǔ)言表示法用文字語(yǔ)言表示集合，例如“所有的正方形”組成的集合等；方法一：字母表示法用大寫(xiě)的英文字母表示集合，例如常見(jiàn)的數(shù)集N，Q，所有的正方形組成的集合記為A等；方法三：列舉法把集合中的全部元素一一列舉出來(lái)，并用大括號(hào)“｛｝”括起來(lái)表示集合，這種表示集合的方法叫作列舉法。直觀(guān)比如：自然數(shù)集N={0,1,2,3,4,5,6……}；總結(jié)新知思考：你能說(shuō)出列舉法和描述法的優(yōu)缺點(diǎn)嗎？?jī)?yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)舉例法直觀(guān)、明了

不易看出元素所具有的屬性，且有些集合不能用列舉法表示描述法

把集合中元素所具有的性質(zhì)描述出來(lái)，具有抽象性、概括性、普遍性的特點(diǎn)不易看出集合的具體元素03題型強(qiáng)化訓(xùn)練集合的概念能力提升題型一：

集合含義有關(guān)問(wèn)題小結(jié)

1.集合中元素的互異性容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意。2.解決與集合含義有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定集合的類(lèi)型是點(diǎn)集、數(shù)集，還是其它類(lèi)型的集合；二是確定元素的一般特征；三是根據(jù)元素的限制條件（滿(mǎn)足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題。能力提升小結(jié)

考慮集合元素三要素：確定性無(wú)序性互異性。題型二：

元素與集合的關(guān)系能力提升解題思路：集合的相等條件是什么？只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的。題型三：

兩個(gè)集合相等【練習(xí)3】下列集合中表示同一集合的是A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}能力提升題型三：

兩個(gè)集合相等選項(xiàng)A中的集合M是由點(diǎn)(3，2)組成的點(diǎn)集，集合N是由點(diǎn)(2，3)組成的點(diǎn)集，故集合M與N不是同一個(gè)集合；選項(xiàng)C中的集合M是由一次函數(shù)y＝1－x圖象上的所有點(diǎn)組成的集合，集合N是由一次函數(shù)y＝1－x圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M與N不是同一個(gè)集合；選項(xiàng)D中的集合M是數(shù)集，而集合N是點(diǎn)集，故集合M與N不是同一個(gè)集合；對(duì)于選項(xiàng)B，由集合中元素的無(wú)序性，可知M，N表示同一個(gè)集合。故選B．能力提升題型四：

元素與集合的關(guān)系【練習(xí)4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A．【答案】實(shí)數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k＝0時(shí)，A＝{2}；當(dāng)k＝1時(shí)，A＝{4}．【解析】若集合A只有一個(gè)元素，則方程kx2－8x＋16＝0只有1個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根。

當(dāng)k＝0時(shí)，原方程變?yōu)椋?x＋16＝0，x＝2.此時(shí)集合A＝{2}．

當(dāng)k≠0時(shí)，則關(guān)于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，

只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.

此時(shí)方程的解為x1＝x2＝4，集合A＝{4}，滿(mǎn)足題意。

綜上所述，實(shí)數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k＝0時(shí)，A＝{2}；當(dāng)k＝1時(shí)，A＝{4}．題后反思集合與方程的綜合問(wèn)題的解題思路弄清方程與集合的關(guān)系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的實(shí)數(shù)根。當(dāng)方程中含有參數(shù)時(shí)，一般要根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的情況來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍，必要時(shí)要分類(lèi)討論。求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足集合中元素的互異性。04小結(jié)及隨堂練習(xí)集合的概念集合的概念課堂總結(jié)課堂總結(jié)1一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合的概念確定性：它的每一個(gè)元素必須是確定的；互異性：同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；無(wú)序性：集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列調(diào)換。集合中元素的性質(zhì)N：自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）；

N＋或N﹡：正整數(shù)集(非零自然數(shù)集)；Z：整數(shù)集；

Q：有理數(shù)集；

R：實(shí)數(shù)集。常用數(shù)集自然語(yǔ)言

列舉法

描述法集合的表示課堂總結(jié)21.集合中元素的三個(gè)特性:確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬不屬于這個(gè)集合就確定了．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合。互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的。無(wú)序性：集合與其中元素的排列順序無(wú)關(guān)，如由元素a，b，c與由元素b，a，c組成的集合是相等的集合．這個(gè)性質(zhì)通常用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系。課堂總結(jié)22．元素a與集合A之間只有兩種關(guān)系：a∈A，a

?A.元素間用分隔號(hào)“，”；元素不重復(fù)；元素?zé)o順序；列舉法可表示有限集，也可以表示無(wú)限集。若集合中的元素個(gè)數(shù)比較少，則用列舉法比較簡(jiǎn)單；若集合中的元素較多或無(wú)限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示。3．在用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意課堂總結(jié)24．在用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意弄清元素所具有的形式(即