2024-2025學(xué)年浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)突破：絕對(duì)值化簡問題專項(xiàng)探究（3大題型）（解析版）

專題突破：絕對(duì)值化簡問題專項(xiàng)探究

01?？碱}型

題型1根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡，------7--------------------

[絕對(duì)值化簡

■題型3絕對(duì)值化簡與最值問題:

題型2根據(jù)絕對(duì)值中未知數(shù)的范圍化簡-----、-----'

02技巧解密

絕對(duì)值化簡常見問題方法總結(jié)

1、根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡

a(a>0)r(〉0)

(D牢記絕對(duì)值的性質(zhì)：|M=o(?=o)或同=二:

[-a(a<0)卜。佃40)

(2)在|=”的組合中，當(dāng)"="左邊的部分未知時(shí)，求"||"內(nèi)部的數(shù)，需要分

類討論；當(dāng)"="右邊的部分未知時(shí)，求"="右邊的值，結(jié)果只有一個(gè)。

(3)絕對(duì)值的非負(fù)性應(yīng)用：當(dāng)|+11=。"時(shí)，則"II”內(nèi)部的式子整體=。

2、已知范圍的絕對(duì)值化簡基本步驟

第1步：判斷絕對(duì)值內(nèi)部式子的正負(fù)；

第2步：把絕對(duì)值改為小括號(hào)；

第3步：去括號(hào)；

第4步：化簡合并。

3、絕對(duì)值化簡與最值問題對(duì)應(yīng)規(guī)律

(1)當(dāng)x=a時(shí)，|x-a|的最小值=0；

(2)當(dāng)a4xWb時(shí)，|x-a|+|x-b|的最小值=|a-b|；

(3)若a<b<c,當(dāng)x=b時(shí)，|x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a；

03題型突破

題型一根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡

【例1】.（2024春?肇源縣期中）若同+a=0,貝丘是（）

A.零B.負(fù)數(shù)C.負(fù)數(shù)或零D.非負(fù)數(shù)

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：若同+°=0,則。是負(fù)數(shù)或零，

故選：C.

【變式1-1].（2024?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如果|x|卷，那么（）

A.-1B.-1^2C.+工D.2

22-2

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義求解即可.

【解答】解：：1

2

?,1

,，X=±T

故選：C.

【變式1-2].（2023秋?吉安月考）如果H=l川，那么加，"的關(guān)系（）

A.相等B.互為相反數(shù)

C.都是0D.互為相反數(shù)或相等

【分析】利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡即可得到加與"的關(guān)系.

【解答】解:V\m\=\n\,

.,.冽="或心=-小即互為相反數(shù)或相等,

故選：D.

【變式1-3].（2023秋?涌池縣期末）若|°+2田6-7|=0,貝Ua+6的值為（）

A.-1B.1C.5D.-5

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出。、b,計(jì)算即可.

【解答】解：；|。+2|+|6-7|=0,

；.|a+2|=0,\b-7|=0,

6Z+2=0,b-7=0,

解得，a=-2,b=7,

則a+b=5,

故選：C.

【變式1-4].（2023秋?東莞市月考）若|尤-1|+|2-川=0,求2x-y的值.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x-1=0,2-y=0,即可求出x、y的值，從而求出2x-y的值.

【解答】解：l|+|2-y|=0,

又|2R20,

.'.x-1=0,2-y=0,

*—19y=2,

：.2x-y=2Xl-2=0.

【變式1-5].（2023?南皮縣校級(jí)一模）若成力0,那么_h_L+_LkL的取值不可能是（）

ab

A.-2B.0C.1D.2

【分析】由MWO,可得：①。>0,b>0,②。<0,6<0,③a>0,b<0,④a<0,b>0；分別計(jì)算

即可.

【解答】解：'：ab^Q,

有四種情況：①a>0,b>0,@a<0,b<Q,③a>0,b<0,@a<Q,b>0；

①當(dāng)a>0,b>0時(shí)，

Ia|」b|=1+1=2；

ab

②當(dāng)a<0,6<0時(shí)，

h_L+lb」_=_i-i=_2；

ab

③當(dāng)a>0,6<0時(shí)，

1Al+LLL=1-1=0；

ab

④當(dāng)a<0,6>0時(shí)，

1A1+LLL=-1+1=0；

ab

綜上所述，L_L+LLL的值為：±2或o.

ab

故選：C.

題型二已知范圍的絕對(duì)值化簡

【例2】.（2023?成都模擬）化簡怔-4|+|3-Tt|=.

【分析】因?yàn)閚仁3.414,所以3-Tt<0,然后根據(jù)絕對(duì)值定義即可化簡怔-4出3-n|.

【解答】解：VTT^3.414,

-4<0,3-it<0,

|n-4|+|3-TT|=4-IT+K-3=1.

故答案為1.

【變式2-1].（2024春?松江區(qū)期中）如果。>3,化簡：|1-a|-|a-3|=.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行解題即可.

【解答】解：：。>3,

/.|1-a\~\a-3\—a~1-（a-3）—a-1-a+3=2.

故答案為：2.

【變式2-2].（2024春?海門區(qū)校級(jí)月考）已知|劑=-TH,化簡|刃-1|-|加-2|所得的結(jié)果為（）

A.2機(jī)-3B.-1C.1D.2m-1

【分析】由H=-加，得到機(jī)W0,判斷出加-1與〃?-2的正負(fù)，然后利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡，去括號(hào),

合并，即可得到結(jié)果.

【解答】解：：H=-機(jī)，

.,.加/0,

.,.m-1<0>m-2<0,

\m-1|-|m-2|=-（w-1）+（m-2）=1-m+m-2=-1.

故選：B.

【變式2-3].（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)同=5,|b|=7,S.\a+b\=a+b,則6的值為C）

A.-12B.-2或-12C.2D.-2

【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，判斷出a、b的大致取值，然后根據(jù)a+b>0,進(jìn)一步確定a、6的值，再

代入求解即可.

【解答】解：了冏=5,|6|=7,

，。=±5,b=±7

9'\a+b\=a+b,

Q+620,

?"=±5.b=7,

當(dāng)a=5,b=7時(shí)，a-b=-2；

當(dāng)a=-5,b=7時(shí)，a-b=-12；

故的值為-2或-12.

故選：B.

【變式2?4】.(2023秋?文登區(qū)期末)如圖所示，則|-3-〃|-|6+1降于()

________I____?III?

—1?01b

A.4+Q-bB.2+Q-bC.-4-a-bD.-2-a+b

【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷-3-〃和b+1的正負(fù)，再去掉絕對(duì)值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：由數(shù)軸可知，-IVaVO,b>\,

：.-3<-3-tz<-2,b+l>0,

|-3-6z|-|Z?+1|

=(3+a)-(b+1)

=3+Q-b-\

=2+Q-b.

故選：B.

【變式2-5].(2023秋?青羊區(qū)校級(jí)期末)已知數(shù)〃，b,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|°|>|臼>同，化簡|。+臼

-\c-b\+\a-c\=.

______III_________I?

ca0b

【分析】由數(shù)軸得CVQVO,b>0,\b\>\a\,進(jìn)一步判斷出。+6>0,c-b<Of。-。>0,再根據(jù)絕對(duì)值

的意義化簡即可.

【解答】解：由數(shù)軸得cVaVO,b>0,\b\>\a\,

6z+&>0,c-6<0,a-c>0,

\a+b\-\c-b\+\a-c\

=(q+b)-(b-c)+(。-c)

=a+b-b+c+a-c

=2。,

故答案為：2Q.

【變式2-6].（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，化簡.

a

-------?----?--------?------?

0----1

【分析】判斷出〃-1的取值，再根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：由題得1,二.〃-1<0,，-1|=1-

故答案為：1-Q.

【變式2-7[.（2023秋?余下縣期末）有理數(shù)〃、從c在數(shù)軸上的位置如圖：

（1）判斷正負(fù)，用或“V”填空：b-c0,a+b0,c-tz0.

（2）化簡:\b-c|+|a+6|-\c-a\.

iiii）

a06c

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸判斷出Q、b、。的正負(fù)情況，然后分別判斷即可；

（2）去掉絕對(duì)值號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：（1）由圖可知，。<0,b>0,c>0且|b|V|a|V|c|,

所以，b-c<0,Q+6<0,C-a>0；

故答案為：V,V,>;

（2）\b-c|+|a+Z>|-\c-a\

=（c-b）+（-q-b）-（c-a）

=c-b-a-b-c+a

=-2b.

題型三絕對(duì)值化簡與最值問題

[例3].（2022秋?泗陽縣期中）式子|x-2|+1的最小值是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】當(dāng)絕對(duì)值有最小值時(shí)，式子有最小值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：當(dāng)絕對(duì)值最小時(shí)，式子有最小值，

即|x-2|=0時(shí),式子最小值為0+1=1.

故選：B.

【變式3-1].（2023秋?邵陽縣校級(jí)月考）當(dāng)。=時(shí)，的值最大，最大值為.

【分析】分“VI、。=1和三種情況討論求出5-|Q-1|W5,問題隨之得解.

【解答】解：當(dāng)時(shí)，tz-1<0,

即5-=5-（1-a）=4+Q,

V6Z<1,

???5-\a-l|=4+a<5；

當(dāng)a=\時(shí)，Q-1=0,

即5Tq-1|=5；

當(dāng)a>l時(shí)，a-1>0,

即5Tq-1|=5-（6Z-1）=6-a,

-QV-1,

5-\a-1|=6-QV5；

綜上：5-|Q-1|W5,當(dāng)且僅當(dāng)q=l時(shí)，有最大值，最大值為5,

解法二：

???5-\a-1|^5,

.,?當(dāng)。=1時(shí)，的值最大，最大值為5.

故答案為：1,5.

【變式3-2].（2023秋?西安校級(jí)月考）當(dāng)x滿足條件時(shí),-2|+,+3|有最小值,這個(gè)最小值是.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)以及題意即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：當(dāng)-3WxW2時(shí)，|x-2|+|x+3|有最小值，這個(gè)最小值是5.

故答案為：-3WxW2,5.

【變式3-3].（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知加是有理數(shù)，貝!-2|+|加-4|+|加-6|+|加-8|的最小值

是.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值最小的數(shù)是0,分別令四個(gè)絕對(duì)值為0,從而求得加的四個(gè)值，分別將這四個(gè)值代

入代數(shù)式求值，比較得不難求得其最小值.

【解答】解：???絕對(duì)值最小的數(shù)是0,

分別當(dāng)|加-2|,|心-4|,--6|,|刃-8|等于0時(shí),有最小值.

二加的值分別為2,4,6,8.

?①當(dāng)m=2時(shí)，原式=|2-2|+|2-4|+|2-6|+|2-8|=12；

②當(dāng)m=4時(shí)，原式=|4-2|+|4-4|+|4-6|+|4-8|=8；

③當(dāng)m=6時(shí)，原式=|6-2|+|6-4|+|6-6|+|6-8|=8；

④當(dāng)w=8時(shí)，原式=|8-2|+|8-4|+|8-6|+|8-8|=12；

\m-2\+\m-A\+\m-6|+|m-8|的最小值是8.

故答案為：8.

【變式3-4].（2023秋?新羅區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一個(gè)數(shù)。的絕對(duì)值可分為兩種情況:

[a（a>0）.請用你所學(xué)的知識(shí)解決下面的問題：

11[-a（a<0）

（1）若|a-3|=5,求a的值；

（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-3與0之間（含端點(diǎn)），化簡-2|-|a|；

（3）當(dāng)°=時(shí)，|"5|+|a-l|+|a+3|取到最小值，最小值是.

【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值可得：a-3=±5,即可解答；

（2）根據(jù)已知范圍，化簡絕對(duì)值，再合并即可；

（3）分四種情況討論，即可解答.

【解答】解：（1）：|a-3|=5,

a-3=±5,

解得：a=8或a—-2；

（2）???數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)位于-3與0之間（含端點(diǎn)），

-34W0,

'?|a-2|-同=-（a-2）+a—-a+2+a=2；

（3）當(dāng)a25時(shí)，原式=a-5+a-l+a+3=3a-3,此時(shí)的最小值為3X5-3=12；

當(dāng)lWa<5時(shí)，原式=-a+5+a-l+a+3=a+7,此時(shí)的最小值為1+7=8；

當(dāng)-3<aWl時(shí)，原式=-a+5-a+l+a+3=9-a,此時(shí)的最小值為9-1=8；

當(dāng)aW-3時(shí)，原式=-a+5-a+1-a-3=-3。+3,這時(shí)的最小值為-3X（-3）+3=12；

綜上所述當(dāng)a=l時(shí)，式子的最小值為8,

故答案為：1,8.

【變式3-51.(2023秋?芙蓉區(qū)校級(jí)月考)同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2的差的絕對(duì)值，實(shí)際上

也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：

⑴|5-(-2)尸；

(2)x是所有符合|x+5|+|x-