北京市某中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

北京市第一六六中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)診斷

初三年級數(shù)學(xué)學(xué)科

（考試時長：120分鐘）

考查目標(biāo)

知識：第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函數(shù)》

能力：識圖、運算、數(shù)據(jù)分析、幾何直觀、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、分類討論

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每小題2分）

第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.一元二次方程式+5%-1=0的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)與常數(shù)項分別是（）

A.1,5,1B.0,5,-1C.1,5,-1D.0,5,1

2.拋物線y=3（x—2尸+1的頂點坐標(biāo)為（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（-2,-1）

3.用配方法解方程式-4x+2=0,變形后的結(jié)果正確的是（）

A.（x-2）2=6B.（x+2）2=6C.（x-2）2=2D.（x+2）2=2

4.對于二次函數(shù)y=-5（x+iy,下列說法錯誤的是（）

A.它的圖象的開口向下B.它的圖象的對稱軸是直線1=1

C.當(dāng)％=-1時，y取最大值D.當(dāng)%>1時，y隨x的增大而減小

5.若關(guān)于x的一元二次方程必一4%+。=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值為（）

A.-16B.-4C.4D.16

2

6.若A（-2,yi）,B（l,y2）,C（2,y3）是拋物線y=2（x-l）+a上的三點，則乂，%,%為的大小關(guān)系為（）

A.%>%>%B.%>%>為C.%>%>%D.%>%>%

7.有一種“微信點名”活動，需要回答一系列問題，并將問題和自己的答案在朋友圈中發(fā)布，同時還規(guī)定“@”

一定數(shù)量的其他人,邀請他們也參與活動.小明被邀請參加一次“微信點名”活動，他決定參與并按規(guī)定“@”

其他人，如果收到小明邀請的人也同樣參與了活動并按規(guī)定其他人，且從小明開始算起，轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共

有91人被邀請參與該活動.設(shè)參與該活動后規(guī)定“@”無人，則可列出的方程為（）

A.X2=91B.1+爐=91C.l+x+x（l+x）=91D.1+x+x2=91

8.已知二次函數(shù)y=以2+法+。（。*0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：

@abc>0;?9a+3b+c<0；?b2-4-ac>0；④8a+c>0.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（)

A.0B.1C.2D.3

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每小題2分）

9.拋物線y=2f—3x+6的對稱軸是.

10.方程2必-32=0的根是

11.若關(guān)于x的一元二次方程3必—5x+機(jī)=0的一個根是1,則該方程的兩個根的積是.

12.將拋物線y=-2（%+3）2-1向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式

是.

13.二次函數(shù)y=。必+bx+c的彳與y的部分對應(yīng)值如下表:

X-101234

ym212510

則m的值為.

14.已知二次函數(shù)y+2的圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)，且與無軸沒有交點，請寫出一個滿足條件的

6的值：.

15.二次函數(shù)丁=。/+"+。的圖象如圖所示，則關(guān)于X的不等式or?+bx+c<0的解集是.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，點尸的坐標(biāo)為（加,〃），稱關(guān)于x的方程￡+/m:+〃=0為點尸的對應(yīng)方程.如

圖，點4(—1,0)，點6(1,1),點0(—2,2).

給出下面三個結(jié)論：

①點A的對應(yīng)方程有兩個相等的實數(shù)根；

②在圖示網(wǎng)格中，若點(m,〃均為整數(shù))的對應(yīng)方程有兩個相等的實數(shù)根，則滿足條件的點P有3

個；

③線段BC上任意點的對應(yīng)方程都沒有實數(shù)根.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題(共68分，第17-21題，每題5分，第22-23題，每題6分，第24題5分，第25-26

題，每題6分，第27~28題，每題7分)

解答應(yīng)寫出文字說明、驗算步驟或證明過程.

17.解方程：x2—8x—9—0.

18.已知a是方程2f一5x—3=0的一個根，求代數(shù)式a(2a—5)+3的值.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=/+云+0經(jīng)過點4(0,3),3(1,0)兩點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)畫出該函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)—1<XW3時，直接寫出y的取值范圍.

20.已知關(guān)于尤的一元二次方程f—(〃2+5)X+6+27"=0

(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若此方程恰有一個根小于1,求機(jī)的取值范圍.

21.某科技園作為國家級高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)，是重要的產(chǎn)業(yè)功能區(qū)和高技術(shù)創(chuàng)新基地、其總收入由技術(shù)收入、

產(chǎn)品銷售收入、商品銷售收入和其他收入四部分構(gòu)成.2024年6月份該科技園的總收入為600億元，8月份達(dá)

到了864億元，求該科技園總收人的月平均增長率.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C經(jīng)過原點和點(-2,0).

(1)若拋物線C還經(jīng)過點(1,2),求此時拋物線C的解析式，并直接寫出該拋物線的頂點坐標(biāo);

(2)已知點P(—1,1),Q(2,l),若拋物線C與線段PQ恰有一個公共點，請直接寫出a的取值范圍.

23.如圖，為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻(墻長25m)的空地上修建一個矩形小花園ABCD,

小花園一邊靠墻，另三邊用總長40nl的柵欄圍住，如圖所示.若設(shè)矩形小花園A3邊的長為xm,面積為Sn?

(1)S與x之間是_____函數(shù)關(guān)系(填“一次”或“二次”)；

(2)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)x為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？

24.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,0),且當(dāng)x=l時，函數(shù)的最小值為T.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)直線x=m與該二次函數(shù)的圖象和直線y=2x-3的交點分別為C,D.若點C位于點。的上方，結(jié)合

函數(shù)的圖象，直接寫出力的取值范圍.

25.某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋(橫截面如圖所示)，跨度A3為4米.在距點A水平距離為d米的地點,

拱橋距離水面的高度為〃米.小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對d和場之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.

下面是小紅的探究過程，請補(bǔ)充完整：

(1)經(jīng)過測量，得出了1和/i的幾組對應(yīng)值，如下表:

力米00.611.82.433.64

加米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d利/i這兩個變量中，是自變量，是這個變量的函數(shù);

(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系中，畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象;

(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：

①橋墩露出水面的高度AE為米；

②公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船.為安全起見，公園要在

水面上的C,。兩處設(shè)置警戒線，并且CE=DF,要求游船能從C,。兩點之間安全通過，則C處距橋墩的

距離CE至少為米.(精確到0.1米)

26.在平面直角坐標(biāo)系龍0伊中，M(2，M，N(4,°^^l^^y=<2x2+Zzx(a>0)上.

(1)m=n,求該拋物線的對稱軸;

(2)已知點P(—l,p)在該拋物線上，設(shè)該拋物線的對稱軸為％=/.若加<0,且加<?<〃，求f的取值

范圍.

27.如圖，在正方形A3C。中，E是邊BC上一動點(不與點2,C重合)，連接。E,點C關(guān)于直線的

對稱點為C',連接AC并延長交直線OE于點P，產(chǎn)是AC中點，連接DE.

(1)NFDP=；

(2)連接BP,用等式表示尸三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)若正方形的邊長為夜，請直接寫出△ACC面積的最大值.

28.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點A(a,5).對于點尸(x,y)給出如下定義：當(dāng)xWa時，若實數(shù)%滿足

|y-加=左|x-a|,則稱左為點P關(guān)于點A的距離系數(shù).若圖形M上所有點關(guān)于點A的距離系數(shù)存在最小值，

則稱此最小值為圖形M關(guān)于點A的距離系數(shù).

備用圖1