2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：閱讀理解與新定義題（31題）解析版

專題33閱讀理解與新定義題（31題）

一、單選題

1.（2024.四川眉山?中考真題）定義運(yùn)算：a?b=（a+2b）（a-b）,例如4區(qū)3=（4+2乂3）（4-3）,則函數(shù)

y=（x+l）02的最小值為（）

A.—21B.—9C.—7D.—5

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最

值即可.

【詳解】解：由題意得，y=（x+l）02=（x+l+2x2）（x+l-2）=（x+5）（x-l）,

即y=爐+4x-5=（x+2）2-9,

?■.當(dāng)x=—2時(shí)，函數(shù)y=（x+l）合2的最小值為一9.

故選：B.

2.（2024.山東威海?中考真題）定義新運(yùn)算：

①在平面直角坐標(biāo)系中，{〃,印表示動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著x軸正方向（。20）或負(fù)方向（a<0）.平移H

個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著，軸正方向（620）或負(fù)方向（b<0）平移例個(gè)單位長(zhǎng)度.例如，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，

沿著x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著了軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記作{-2,1}.

②加法運(yùn)算法則：{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d為實(shí)數(shù).

若{3,5}+{九〃}={-1,2},則下列結(jié)論正確的是（）

A.m=2,n=JB.m=〃=—3

C.m=4,n=3D.m=-4,n=3

【答案】B

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)新定義得出3+根=-1,5+"=2,即可求解.

【詳解】解：：{a,b}+{c,d}={a+c/+力，{3,5}+{““}={—1,2}

3+機(jī)=—1,5+〃=2

解得：m=—4,n=—3

故選：B.

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3.（2024.廣東深圳.中考真題）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準(zhǔn)確時(shí)間以及大自然中一些

物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個(gè)節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏

季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立

冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個(gè)節(jié)氣中選一個(gè)節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為

（）

A.-B.—C.-D.一

21264

【答案】D

【分析】本題考查了概率公式.根據(jù)概率公式直接得出答案.

【詳解】解：二十四個(gè)節(jié)氣中選一個(gè)節(jié)氣，抽到的節(jié)氣在夏季的有六個(gè)，

則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為三=！,

244

故選：D.

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進(jìn)士黃伯思設(shè)計(jì).全

套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長(zhǎng)桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等.七張桌面分開可

組合成不同的圖形.如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設(shè)每張桌面的寬為無(wú)尺，

長(zhǎng)桌的長(zhǎng)為y尺，則y與龍的關(guān)系可以表示為（）

商

或

小

t金

￡

>/闕b

金

圖1圖2

A.y=3xB.y=4xC.y=3x+lD.y=4尤+1

【答案】B

【分析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，觀察可知，小桌的長(zhǎng)是小桌寬的兩倍，則小桌的長(zhǎng)是2x,再根據(jù)

長(zhǎng)桌的長(zhǎng)等于小桌的長(zhǎng)加上2倍的小桌的寬列出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可.

【詳解】解：由題意可得，小桌的長(zhǎng)是小桌寬的兩倍，則小桌的長(zhǎng)是2x,

y=x+x+2x=4x,

故選：B.

5.（2024?甘肅?中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田積

表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準(zhǔn)確地查出邊長(zhǎng)10步到60步的

矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測(cè)量效率.如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對(duì)田地的長(zhǎng)和

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寬都用步來(lái)表示，A區(qū)域表示的是長(zhǎng)15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對(duì)記為。5,16),那么有

序數(shù)對(duì)記為。2/7)對(duì)應(yīng)的田地面積為()

圖1圖2

A.一畝八十步B.一畝二十步C.半畝七十八步D.半畝八十四步

【答案】D

【分析】根據(jù)(15,16)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可.

本題考查了坐標(biāo)與位置的應(yīng)用，熟練掌握坐標(biāo)與位置的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)。5,16)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，

故(12,17)對(duì)應(yīng)的是半畝八十四步，

故選D.

二、填空題

6.(2024?甘肅?中考真題)定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為："產(chǎn)〃="_〃加(〃"〃均為整數(shù),且加工0).例：

2*3=23-2x3=2,則(-2)*2=.

【答案】8

【分析】根據(jù)定義，^(-2)*2=(-2)2-2X(-2)=8,解得即可.

本題考查了新定義計(jì)算，正確理解定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)定義，得(一2)*2=(-2)2-2X(-2)=8,

故答案為：8.

7.(2024.四川廣元?中考真題)2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究

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物質(zhì)中的電子動(dòng)力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實(shí)驗(yàn)方法”.什么是阿秒？1阿秒是10-8秒，也就是十億分之一秒

的十億分之一.目前世界上最短的單個(gè)阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒.將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為秒.

【答案】4.3X10-17

【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為。X10-",解題的關(guān)鍵是熟知1W時(shí)<10.根

據(jù)題意可知，43阿秒=43x10-8秒，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示出來(lái)即可.

【詳解】解：根據(jù)題意1阿秒是10Y秒可知，

43阿秒=43=4.3*10-u秒，

故答案為：4.3xl（r".

8.（2024?甘肅.中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化

遺產(chǎn).如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2,其中扇形03c和扇形OAO有相同

的圓心。，且圓心角40=100。，若Q4=120cm,c>B=60cm,則陰影部分的面積是cn?.（結(jié)果用

乃表示）

敬重者人，孝順父、\八

<是個(gè)人素養(yǎng)、文明高卻、社\

、?

、、??

b

【答案】3000萬(wàn)

【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】?.?圓心角NO=100。,04=120cm,OB=60cm,

22

.I7HH/H100x^-xl20100x^x60

?.陰影部分的面積是------------------------

360360

=3000^-cm2

故答案為：3000萬(wàn).

9.（2024.四川瀘州?中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先向上平移。（4>0）個(gè)單位，再繞

原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)6角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的夕（。,6）變換.如：點(diǎn)A（2,0）按照2（1,90。）變

換后得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,2）,則點(diǎn)B（A/3,-1）按照「（2/05。）變換后得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【答案】卜戊,夜）

【分析】本題考查了解直角三角形,坐標(biāo)與圖形.根據(jù)題意，點(diǎn)B（A-I）向上平移2個(gè)單位,得到點(diǎn)C（A/3,1）,

再根據(jù)題意將點(diǎn)C（括」）繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)105。，得到O?=OC=2,ZB'OD=450,據(jù)此求解即

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可.

【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)網(wǎng)后-1)向上平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)C(&D，

OC=J+(⑹2=2,sinZCOE=^|=1,

NCOE=30。,

根據(jù)題意，將點(diǎn)C(省,1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)105。，

ZB'OE=105°+30°=135°,

作石。，無(wú)軸于點(diǎn)。，

OB'=OC=2,ZB/OD=180°-135°=45°,

B'D=OD=02'?sin45°=應(yīng)，

二點(diǎn)8'的坐標(biāo)為卜3,3),

故答案為：(-72,72).

10.(2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)對(duì)于實(shí)數(shù)定義運(yùn)算“※”為a※匕=a+3b,例如5X2=5+3x2=11,

則關(guān)于x的不等式冰機(jī)<2有且只有一個(gè)正整數(shù)解時(shí)，加的取值范圍是—.

【答案】0<m<|

【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于機(jī)

的不等式組是解題的關(guān)鍵.根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于x的不等式，再由不等式的解集有且只有一個(gè)

正整數(shù)解得出關(guān)于用的不等式組求解可得.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，jc^.m-x+3m<2

解得：x<2-3m

「冰機(jī)<2有且只有一個(gè)正整數(shù)解

,j2-3〃zV2②

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解不等式①，得：y

解不等式②，得：，心0

/.0<m<—

3

故答案為：。工機(jī)<§.

H.（2024?湖北武漢?中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次

綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓A5的高度，具體過(guò)程如下：如圖，將無(wú)人機(jī)垂直上升

至距水平地面102m的。處，測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端B的俯角為63。，則測(cè)得黃鶴樓的高度

是m.（參考數(shù)據(jù)：tan63。?2）

【答案】51

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵.延長(zhǎng)84交距水平地面

102m的水平線于點(diǎn)O,根據(jù)tan63o*2,求出0c=AD。51m,即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)氏4交距水平地面102m的水平線于點(diǎn)0,如圖，

設(shè)AD=x,

???ADCA=45°

?*.DC=AD=x

.…BD102

..tan63=-----=-----?2

DCx

DC=AD51m

：.AB=BD-AD=102-51^51m

故答案為：51.

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12.（2024?山東泰安?中考真題）某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動(dòng).小明和小

穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小潁準(zhǔn)備從

《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率

是.

【答案】|

【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識(shí)，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是

解答本題的關(guān)鍵.

先列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算

即可.

【詳解】解:將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A,B,C,D,

列表如下：

ABD

A(A,A)(.A,B)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果有2種，

小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為j.

故答案為：三.

13.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）為慶祝中國(guó)改革開放46周年，某中學(xué)舉辦了一場(chǎng)精彩紛呈的慶?；顒?dòng)，

現(xiàn)場(chǎng)參與者均為在校中學(xué)生，其中有一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動(dòng)項(xiàng)目主持人要求參與者

從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，先乘以10,再加上4.6,將此時(shí)的運(yùn)算結(jié)果

再乘以10,然后加上1978,最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個(gè)四位數(shù)，比如2010年對(duì)應(yīng)

的四位數(shù)是2010）,得到最終的運(yùn)算結(jié)果.只要參與者報(bào)出最終的運(yùn)算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的

出生年份.若某位參與者報(bào)出的最終的運(yùn)算結(jié)果是915,則這位參與者的出生年份是.

【答案】2009

【分析】本題考查二元一次方程的解，理解題意是解答的關(guān)鍵.設(shè)這位參與者的出生年份是無(wú)，從九個(gè)數(shù)

字中任取一個(gè)數(shù)字為根據(jù)題意列二元一次方程，整理得x=100a+1109,根據(jù)。的取值得到x的9種可

能，結(jié)合實(shí)際即可求解.

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【詳解】解：設(shè)這位參與者的出生年份是尤，從九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字為

根據(jù)題意，得(10a+4.6)xl0+1978—x=915,

整理，100a+46+1978-x=915

尤=100。+1109,

是從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，

的值可能為1209,1309,1409,1509,1609,1709,1809,1909,2009,

:是為慶祝中國(guó)改革開放46周年，且參與者均為在校中學(xué)生，

???尤只能是2009,

故答案為：2009.

14.(2024?上海.中考真題)對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)y=a(x-w)2+%(awO)中存在一點(diǎn)使得

xr-m=y'-k^0,則稱2K-訓(xùn)為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線y=-gf+++3“開口大小”

為.

【答案】4

【分析】本題考查新定義運(yùn)算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡(jiǎn)求值等知識(shí)，讀懂題意，理

1_1

解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點(diǎn)式得到一5=「r,按照定義

X—

3

求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知,-4=心-⑼2中存在一點(diǎn)尸使得

y'-k1

x'-m=y'-k^0,則---^-=----,

(x-m)x—m

——+3

23

ii________ii

…丁+產(chǎn)3中存在一點(diǎn)尸")，有一5一匚，解得一「2,則2y=4,

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,拋物線>=尤2+3+3“開口大小”為4,

故答案為：4.

15.（2024.重慶?中考真題）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)加=時(shí)，若滿足a+d=6+c=9,則稱這

個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”.例如：四位數(shù)1278,：1+8=2+7=9,...1278是“友誼數(shù)”.若麗是一個(gè)“友誼

數(shù)”，且=c-b=l,則這個(gè)數(shù)為；若M=時(shí)是一個(gè)“友誼數(shù)”,設(shè)產(chǎn)（M）=?，且也口詈必

是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得至!ja+d=b+c=9,再由人一〃=。一人=1可求出。、b、c、d

的值，進(jìn)而可得答案；先求出M=999a+906+99,進(jìn)而得到一（加升—+加=9q+8+3”+"6,根據(jù)

1313

川M）+刀+cd是整數(shù),得到9°+8+3。：,+6是整數(shù),即3*+6是整數(shù),則3a+b+6是13的倍數(shù)，

131313

求出。48,再按照〃從大到小的范圍討論求解即可.

【詳解】解：??,兩是一個(gè)“友誼數(shù)”，

a+d=b+c=9,

又丁b-a=c-b=l9

b=4,c=5,

??ci—3,d—6,

???這個(gè)數(shù)為3456；

M=礪是一個(gè)“友誼數(shù)”，

???M=1000a+100〃+10。+d

=1000〃+100/7+10（9叫+9-a

=999a+90〃+99,

b（M）='=111Q+105+11,

.F（M）+ab+cd

13

11let+10Z?+11+10。+Z?+10c+d

~13

llla+10Z?+ll+10a+/7+10（9-Zj）+9-a

~13

120a+Z>+110

一13

117〃+3。+Z?+104+6

一13

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3a+b+6

=9〃+8+

13

.../(M)+ab+cd是整數(shù)

113

3"；：+6是整數(shù),即3a+b+6

9a+8+是整數(shù),

13

???3。+匕+6是13的倍數(shù),

，.?。、b、c、d都是不為0的正整數(shù)，且a+d=6+c=9,

a<8,

.,.當(dāng)a=8時(shí)，31<3a+&+6<38,此時(shí)不滿足3。+6+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a=7時(shí)，28V3a+6+6V35,此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)。=6時(shí)，25W3a+b+6432,止匕時(shí)可以滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，即此時(shí)6=2,貝毗匕時(shí)d=3,c=7,

要使M最大，則一■定要滿足。最大，

滿足題意的M的最大值即為6273；

故答案為：3456；6273.

16.（2024?重慶?中考真題）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成/-〃，其中機(jī)與〃都是兩位數(shù)，且加與〃的

十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8,則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成病-〃的過(guò)程，稱為“方減分解”.例

如：因?yàn)?02=25=23,25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8,所以602是“方減數(shù)”，602分

解成602=252-23的過(guò)程就是“方減分解”.按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是.把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)

行“方減分解"，即A=m2-n，將機(jī)放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B,若B除以19余數(shù)為1,且2m+n=k2

（左為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為.

【答案】824564

【分析】本題考查了新定義，設(shè)7"=10。+/，貝|〃=10a+8—6（l<a<9,0<b<8）根據(jù)最小的“方減數(shù)”

可得根=10,w=18,代入，即可求解；根據(jù)8除以19余數(shù)為1,且2加+〃=公（左為整數(shù)），得出%+］；+，

為整數(shù)，30a+b+8是完全平方數(shù)，在lWaV9,0<b<8,逐個(gè)檢驗(yàn)計(jì)算，即可求解.

【詳解】①設(shè)%=10々+人，則〃=10〃+8—Z?（l<a<9,0</?<8）

由題意得：m2—n=(l0a+bY—(10a+8—Z?),

???l?a?9,“方減數(shù)”最小,

??a=1,

貝ijm=10+/?,n=18-b,

療一”=(10+6)2-08-6)=100+206+〃-18+6=82+)2+2妨,

則當(dāng)b=0時(shí)，”最小，為82,

第10頁(yè)共49頁(yè)

故答案為：82；

②設(shè)〃？=10。+6,則，？=10。+8—6（l<o<9,0<Z?<8）

B=1000a+100Z?+10a+8-&=1010a+99&+8

除以19余數(shù)為1,

1010。+996+7能被19整除

B—1j3。+4Z?+7、，、,”

..=53a+5b+---為整數(shù)，

又2m+n=H（左為整數(shù)）

2（10。+人）+10。+8-沙=30a+b+8是完全平方數(shù)，

Vl<a<9,0</?<8

30a+6+8最小為49,最大為256

即7V左V16

設(shè)3a+4Z?+7=1%,f為正整數(shù)，

貝IJK3

33

當(dāng)f=1時(shí)，3。+4人=12,貝!J6=3—a,貝！J30a+b+8=30。+3—“+8是完全平方數(shù)，又0</?<8,

44

無(wú)整數(shù)解，

Q-IQQ-IQ

當(dāng)/=2時(shí)，3。+46=31,貝=貝|30。+6+8=30。+^^+8是完全平方數(shù)，又l4aW9,0W6V8,

44

無(wú)整數(shù)解，

當(dāng)7=3時(shí)，3a+46=50,貝=貝|30。+6+8=30。+^^+8是完全平方數(shù)，

44

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)。=6/=8時(shí)，3a+4&+7=3x6+4x8+7=57=19X3,30x6+8+8=196=142,「=3,左=14,

/.m=68,?=60,

4=682-60=4564

故答案為：82,4564.

17.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖

象的“近軸點(diǎn)”.例如，點(diǎn)（?！唬┦呛瘮?shù)>=x+l圖象的“近軸點(diǎn)”.

（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是（填序號(hào)）；

2

①）=一尤+3；②y=_；@y=-2+2X-1.

XX

（2）若一次函數(shù)）=作-3加圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則機(jī)的取值范圍為.

【答案】③或

22

第11頁(yè)共49頁(yè)

【分析】本題主要考查了新定義一“近軸點(diǎn)”.正確理解新定義，熟練掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次

函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

(1)①y=-x+3中，取尤=y=L5,不存在“近軸點(diǎn)”；

@y=~,由對(duì)稱性，取x=y=土血，不存在“近軸點(diǎn)”；

③產(chǎn)一無(wú)2+2X—1=—(X—1『，取x=l時(shí)，y=0,得到(1,0)是y=-/+2x-l的“近軸點(diǎn)”；

(2)y=3根=加(》-3)圖象恒過(guò)點(diǎn)(3,0),當(dāng)直線過(guò)(1,-1)時(shí)，m=^,得到0<〃區(qū)；；當(dāng)直線過(guò)(1,1)

時(shí)，加=-；,得到<m<0.

【詳解】⑴①尸-尤+3中，

%=1.5時(shí)，y=L5,

不存在“近軸點(diǎn)”；

c2

②y=_,

由對(duì)稱性，當(dāng)尤=y時(shí)，x=y=土發(fā),

不存在“近軸點(diǎn)”；

(3)y=—x2+2x—1=—(%—1)2,

x=l時(shí)，y=0,

???(1,0)是,=_%2+2%_i的“近軸點(diǎn)”；

???上面三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是③

x=3時(shí)，丁=。，

第12頁(yè)共49頁(yè)

.?.圖象恒過(guò)點(diǎn)(3,0),

當(dāng)直線過(guò)。,一1)時(shí)，-1=加(1—3),

m=—,

2

0<m<—；

2

當(dāng)直線過(guò)(U)時(shí)，1=根?！?),

m=—,

2

一■-<m<0；

'.m的取值范圍為一1W根＜0或0＜加4」.

22

18.(2024?吉林?中考真題)吉林省以“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”為指引，不斷加大

冰雪旅游的宣傳力度，推出各種優(yōu)惠活動(dòng)，“小土豆”“小砂糖橘”等成為一道靚麗的風(fēng)景線，某滑雪場(chǎng)為吸

引游客，每天抽取一定數(shù)量的幸運(yùn)游客，每名幸運(yùn)游客可以從“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)

抽取一個(gè)免費(fèi)游玩.若三個(gè)項(xiàng)目被抽中的可能性相等，用畫樹狀圖或列表的方法，求幸運(yùn)游客小明與小亮

恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的概率.

【答案】|

【分析】本題考查了用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或

兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.畫出樹狀圖，可知共有9種

等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)有3種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：將“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目分別記為事件A、B、C,可畫樹狀圖為：

第13頁(yè)共49頁(yè)

開始

由樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)有3種，

幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的概率尸=1=§.

19.（2024?四川廣元?中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角a的正

Qina

弦值與折射角P的正弦值的比值r叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”,簡(jiǎn)稱“折射率”.它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí),

sinp

介質(zhì)對(duì)光作用的一種特征.

⑴若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為a,折射角為夕，且.二g左3。。，求該介質(zhì)的折射率；

（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A,B,C,。分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn),

若光線經(jīng)真空從矩形A224對(duì)角線交點(diǎn)。處射入,其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出.如圖②，已知a=60。,

CD=10cm,求截面ABC。的面積.

3

【答案】（l）g;

(2)100V2cm2.

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，

（1）根據(jù)costz=，，設(shè)b=>fix,貝!Jc=4x,利用勾股定理求出a=J（4x）2-=3x，進(jìn)而可得

sina=0=^=；,問(wèn)題即可得解；

c4%4

（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為|■，根據(jù)當(dāng)=2吟=：,可得sin/?=3,則有

2sinpsinp23

sinZ.OCD=sin/3=,在RtaODC中，設(shè)OD=,OC=3x,問(wèn)題隨之得解.

3

第14頁(yè)共49頁(yè)

［詳解［⑴,?*cosa=色,

/.如圖,

設(shè)b=貝Uc=4x,由勾股定理得，a=?4x)2-(^x)2=3x，

..Q3%3

??sina=—=—=一,

c4x4

又,"二30。，

sinp=sin30°=g,

3

sina_4_3

二?折射率為:

sin/3j_2

2

3

（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為;,

Ver=60°,

?_s_in__a__s_i_n_6_0_°__3

,,sin尸sinJ32，

sinP-?

??,四邊形ABC。是矩形，點(diǎn)O是AO中點(diǎn),

AAD=2OD,ID90?,

又「AOCD=13,

**?sinAOCD=sin尸=，

3

在Rt^ODC中，設(shè)OD=?,OC=3x,

由勾股定理得，CD=，（3理—（氐了=如，

??.tan4=絲=夕=《.

CD屆V2

又：CD=10cm,

.OD1

第15頁(yè)共49頁(yè)

??OD=55/2cm，

AO=10及cm，

截面ABC。的面積為：10或xl0=100j5cm2.

20.(2024?青海?中考真題)綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)

興趣小組通過(guò)作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

C

1,<|1

如圖1,在四邊形A3C。中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn).

求證：中點(diǎn)四邊形￡7^^是平行四邊形.

證明：：￡、F、G、X分別是A3、BC、CD、D4的中點(diǎn)，

:.EF、G”分別是ABC和ACD的中位線，

EF=-AC,GH=-AC(①)

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

.??中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

(1)請(qǐng)你補(bǔ)全上述過(guò)程中的證明依據(jù)①

【探究二】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀A(yù)

人

不相等、不垂直平行四邊形

第16頁(yè)共49頁(yè)

AC=BD菱形

從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想I:原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形.

（2）下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想I,請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過(guò)程.

【探究三】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

AC1BD②_________

（3）從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想n：原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②.

（4）下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想II,請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過(guò)程.

【歸納總結(jié)】

（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過(guò)程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對(duì)應(yīng)的圖形.

中點(diǎn)四邊形形狀

原四邊形對(duì)角線關(guān)系

③__________④__________

結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③.時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④.

【答案】（1）①中位線定理

(2)證明見(jiàn)解析

(3)②矩形

(4)證明見(jiàn)解析

(5)補(bǔ)圖見(jiàn)解析；③AC13D且AC=3D；④正方形

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)

（1）利用三角形中位線定理即可解決問(wèn)題;

第17頁(yè)共49頁(yè)

(2)根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問(wèn)題；

(3)根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；

(4)根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；

(5)根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)①證明依據(jù)是：中位線定理；

(2)證明：?:E、F、G、H分別是AB、BC、CD、ZM的中點(diǎn),

?*.EF、GH分別是:ABC和.ACD的中位線，

EF=-AC,GH=-AC

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

'：AC=BD

：.EF=GH=EH=FG

.??中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.

(3)②矩形;

故答案為：矩形

(4)證明RG、"分別是AB、BC、CD、D4的中點(diǎn)，

EF、GH分別是:ABC和.ACD的中位線，

:.EF〃AC,GH//AC,

：.EF//GH.

同理可得：EH//FG.

AC1BD

：.ZAOD=ZEFG=ZFEH=ZEHG=90°

，中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形.

(5)證明：如圖4,RG、H分別是AS、BC、CD、ZM的中點(diǎn),

第18頁(yè)共49頁(yè)

:,EF、GH分別是11ABe和ACD的中位線，

EF=-AC,GH=-AC

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

AC^BD

：.EF=GH=EH=FG

.??中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.

"?AC1BD

由（4）可知ZAOD=NEFG=NFEH=NEHG=90。

，菱形EFGH是正方形.

故答案為：③AC13。且AC=3。；④正方形

圖4

21.(2024?湖北武漢.中考真題)16世紀(jì)中葉，我國(guó)發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”,它是二級(jí)火箭的始祖.火

箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)

行.某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過(guò)程.如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的

直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線y=和直線y=-g尤+6.其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的

水平距離為9km時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí).

圖1圖2

(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km.

第19頁(yè)共49頁(yè)

①直接寫出a,b的值；

②火箭在運(yùn)行過(guò)程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低1.35km,求這兩個(gè)位置之間的距離.

(2)直接寫出。滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過(guò)15km.

【答案】⑴①。=-\,8=81；②8.4km

2

(2)-----va<0

27

【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)①將(9,3.6)代入即可求解；②將了=-賓》2+X變?yōu)?gt;=一：(無(wú)一,]+?,即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出

y=2.4km,進(jìn)而求得當(dāng)y=2.4km時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計(jì)算即可；

(2)若火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為15km,求得。=-9，即可求解.

【詳解】(1)解：①???火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km

拋物線y=ax2+x和直線y=-^x+b均經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,3.6)

3.6=81a+9,3.6=——x9+b

2

解得人=8.i.

②由①知，y=——x+8.1,y=一記f+x

.11(15?15

??y=-----x2+x=---x-------H--------

1515<2J4

最大值y=?km

4

當(dāng)y=+L35=2.4km時(shí)，

貝。----X?+x=2.4

解得%=12,x2=3

又：x=9時(shí)，y=3.6>2.4

二當(dāng)y=2.4km時(shí)，

貝I|-L+8.1=2.4

2

解得x=11.4

第20頁(yè)共49頁(yè)

11.4-3=8.4(km)

這兩個(gè)位置之間的距離8.4km.

(2)解：當(dāng)水平距離超過(guò)15km時(shí),

火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)為(9,81a+9),

將（9,81a+9）,（15,0）代入,=-白+6,得

81a+9=--x9+&,O=--xl5+Z＞

22

2

解得6=7.5,a=----

27

2

??----＜。＜0.

27

22.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）【實(shí)際情境】

手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具.同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝

了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘.

圖I圖2圖3

【模型建立】

(1)如圖1,從花折傘中抽象出“傘形圖”.AM=AN,DM=DN.求證：ZAMD=ZAND.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,AMC中，NM4C的平分線AD交MC于點(diǎn)D.請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：

①/4WD=2/C；②=中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明

過(guò)程.(注：只需選擇一種情況作答)

【拓展提升】

(3)如圖3,AC為。的直徑，AB=BC，NB4C的平分線AD交3C于點(diǎn)E,交G。于點(diǎn)。，連接CD.求

第21頁(yè)共49頁(yè)

證：AE=2CD.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)選擇②為條件，①為結(jié)論或選擇①為條件，②為結(jié)論；證明見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解

析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形

斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等：

(1)利用SSS證明△AZMlgAADN,即可；

(2)選擇②為條件,①為結(jié)論:在AC取點(diǎn)N,使⑷V=AM,連接?V,證明AADM咨AADN,可得DM=DN,

ZAMD=ZAND,再由AC=AM+MD,可得DN=CN,從而得到/C=NCDN,即可；選擇①為條件，

②為結(jié)論:在AC取點(diǎn)N,使4V=AM,連接。N,證明AWAf0AWN,可得=ZAMD=ZAND,

再由，4WD=2/C,可得/C=/CDN,從而得到DV=CN,即可；

(3)連接3。，取AE的中點(diǎn)E連接3月，根據(jù)圓周角定理可得比＞=8,從而得到/3QD=NCBD,再

由AC為O的直徑，可得=尸=2AF,從而得到產(chǎn)=NS4F,然后根據(jù)AB=BC，可得AB=3C,

可證明△的廣二△C3D,從而得到BP=BD=8,即可.

【詳解】解：(1)在△A2W和△AZW中，

VAMAN,DM=DN,AD=AD,

：.^ADM^ADN(SSS),

ZAMD=ZAND；

(2)解：選擇②為條件，①為結(jié)論

如圖，在AC取點(diǎn)N,使AN=AM,連接。N,

,/4)平分NM4C,

：.ZDAM=ZDAN,

在AADM和AADN中，

'：AM=AN,ZDAM=ZDAN,AD=AD,

：.ADM^ADN(SAS),

DM=DN,ZAMD^ZAND,

第22頁(yè)共49頁(yè)

VAC=AM+MD,AC=AN+NC,

：.DM=CN,

:?DN=CN,

：.4C=/CDN,

???ZAMD=ZAND=ZCDN+NC=2ZC；

選擇①為條件，②為結(jié)論

如圖，在AC取點(diǎn)N,使AN=A〃，連接。N,

???AD平分/M4C,

：.ZDAM=ZDANf

在ZVIDM和ZVIDN中，

*：AM=AN,/DAM=/DAN,AD=AD,

：.ADM^AON(SAS),

ADM=DN,ZAMD=ZANDf

丁NAMD=2NC,

：.ZAND=2ZC=NCDN+NC,

???ZCDN=ZC,

：.DN=CN,

：.DM=CN,

?「AC=AN+NCf

：.AC=AM+MD^

(3)如圖，連接BO,取的中點(diǎn)R連接5廠,

第23頁(yè)共49頁(yè)

B

?**DC=BD，

：.BD=CD,

:?/BCD=/CBD,

?「AC為。的直徑，

ZABC=90°,

:.AE=2BF=2AF,

：.ZABF=ZBAF,

?：ZBAF=ZBCD,

：.ZABF=ZCBD,

,?*AB=BC，

：.AB=BC,

：.AABF/ACBD,

:.BF=BD=CD,

：.AE=2CD.

23.（2024.江蘇鹽城.中考真題）請(qǐng)根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù).

制定加工方案

?某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式.

共可再樂(lè)?因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”

生產(chǎn)背1服裝1件.

景?要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.

龍旦

目樂(lè)每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的