2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：《圓》

《圓》經(jīng)典考點(diǎn)專題

編者引言

“圓”是中考十分重要的考點(diǎn)，由于牽涉條件較多，情.況較復(fù)雜，所以必須要掌握一

定的方法，才能做到快速且準(zhǔn)確的求解.

在這一專題中，主要從以下兩個方面來介紹解答有關(guān)“圓”的題目的方法和技巧.

(1)補(bǔ)充圓的一些性質(zhì)，如四點(diǎn)共圓、垂徑定理、弦切角定理、切割線定理等，希望能

讓讀者通過了解這些性質(zhì)，增加對有關(guān)圓的問題的敏感度，利于進(jìn)一步解題.

(2)綜合題，其涉及的熱門考點(diǎn)主要有：垂徑定理，計(jì)算面積，求函數(shù)關(guān)系，圓與直線、

圓與圓的位置關(guān)系等.

經(jīng)典拉分題思維點(diǎn)評

題1

如圖4—1所示，M、N分別是優(yōu)弧SX^BAC、劣

弧示記的中點(diǎn)，ME_LAB于E,NF_LAB于F,MN交

口小干巫七、TDE_DE

BC于克，：=.

BNMB

滿分解答

由M、N分別是優(yōu)弧氤、劣弧氤的中點(diǎn)，

知MN_LBC于黨，結(jié)合NF_LAB于F,則B、F、黨、

N四點(diǎn)共圓，得NAF黨=/BNM.

同理，由ME_LAB于E,MN_LBC于黨，知B、黨、

DFDF

E、M四點(diǎn)共圓，得NBM黨=NFE黨，所以△黨EFs/\BMN,則一=——

BNMB

技巧貼士

要證線段的比例相等，首先想到證線段所在的三角形相似，顯然要證明△黨EFs4

BMN,而其證明的條件(兩對角相等)分別由兩次“四點(diǎn)共圓”得到.

“四點(diǎn)共圓”是指同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)在同一個圓上.本題所使用的判定“四點(diǎn)共圓”

的方法為題12后的“思維點(diǎn)評”中方法2,而其性質(zhì)為“共圓的四個點(diǎn)所連成同側(cè)共底的

兩個三角形的頂角相等”.

B、F、黨、N四點(diǎn)共圓是因弧曲所對應(yīng)的NBFN=/B黨N=90°,而B、黨、E、

M四點(diǎn)共圓是因弧曲所對應(yīng)的/：6黨乂=/：6￡乂=90°.注意這兩對角韻寫法.ZAF

黨二/BNM和/BM黨=/FE黨也是因?yàn)椤八狞c(diǎn)共圓”的性質(zhì)，即共圓的四個點(diǎn)所連成

同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等.

題2

如圖4—2(a)所示，以AABC的邊AB、AC為邊，分別向外作正三角形AB黨、正三

角形ACE,其中黨C、BE交于F,求/黨FE的度數(shù).

滿分解答

易知△黨ACS/^BAE,可得由此可知點(diǎn)A、E、C、F共圓，連接

AF,見圖4—2(b),所以/AFE=NACE=60°.同理可得NAF黨=/AB黨=60°,所

以/黨FE=NAF黨+NAFE=120°.

技巧貼士

本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的運(yùn)

本題實(shí)質(zhì)上將/黨FE分為了兩部分，分別求出特殊角.A、E、C、F共圓是因?yàn)?

AC黨二/AEB,使用的判定是題12后的“思維點(diǎn)評”中的方法2.而/AFE=NACE=

60°則和題1使用同一個性質(zhì).

求證：三角形的三條高線交于一點(diǎn)

圖4-3(a)圖4-3(b)

滿分證明

設(shè)4ABC的高線BE和CF交于H,連接AH交BC于點(diǎn)黨,再連接EF,見圖4-3(b).現(xiàn)

證三條高交于一點(diǎn)，只需證A黨，BC即可，為此連接EF.

在四邊形AFHE中，因/AEH+NAFH=180°,則A、F、H、E四點(diǎn)共圓，所以/

AHE=NAFE.①

同理，B、C、E、F四點(diǎn)共圓，所以/AEF=/ABC,ZAFE=ZBCE.②

由①和②得/AHE=NBCE,所以C、E、H、黨四點(diǎn)共圓，則黨C+/HEC=180

O

又NHEC=90°,所以NH黨C=90°,即所以AABC的三條高線交于

一點(diǎn).

技巧貼士

本題反復(fù)用到四點(diǎn)共圓的性質(zhì).另外，三條高線交于一點(diǎn)的證明還可參見8年級專題

4及本書專題2的其他證法.

至于由/AEH+/AFH=180°,得至1」A、F、H、E四點(diǎn)共圓的結(jié)論，其使用的方法

是題12后的“思維點(diǎn)評”中的方法3,而B、C、E、F四點(diǎn)共圓則使用了方法2,有了/

AHE=/BCE,得到C、E、H、黨四點(diǎn)共圓，則又是使用了方法3,最后判定/H黨C=

90°則使用了性質(zhì)(2),即圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

題4

如圖4—4(a)所示，在直角坐標(biāo)系中，OABC黨的邊BC在y軸上，頂點(diǎn)A在x軸上,

OA=OB,點(diǎn)黨的坐標(biāo)為(百，百+1),以AB為直徑的圓P交AC于點(diǎn)Q.

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)求/ACB的度數(shù)和OQ的長.

(3)求CO、OQ與6。所圍的陰影部分的面積.

滿分解答

(1)易證A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6，0),B(0,一百)，C(0,1).

C(O,1).

（2）因?yàn)镼4=V3,CC=1,ZCQA=90°,所以/ACB=60°.

在/XCOQ與△CW中，因?yàn)镹OCQ=NACB,NCQO=ZBCO,Q.A.B四點(diǎn)

共圓），所以△COQsAG4B，可得導(dǎo)=

A±>AC

又因AB=乃,8=1,AC=2,所以CQ=空.

⑶SA^C=jBC?Q4=￡x（痣+1）X^=話魚，而知詈=（罪了，所

prc_1q_3+y^"

以d\8Q———g一?

連接PO、PQ,因?yàn)镹GA。=30°,所以NOPQ=60°,Sa.=儀4=醇，

4o

2

S扇形OPQ=-^-irXQP=X（啰）=玄，所以S陰影部分=S/VDQ—（S扇形QPQ—S^CPQ）=

3+￡_j匹_3-/3\__3-27r+49

8―一丁尸8,

技巧貼士

這是一道幾何運(yùn)算題，由于圖形放置于直角坐標(biāo)系中，因此可以充分利用坐標(biāo)來進(jìn)行

解答.由四邊形ABC黨是平行四邊形可知其對邊相等，而點(diǎn)黨的縱坐標(biāo)為+1,因此BC

的長度也應(yīng)該是+L而點(diǎn)黨的橫坐標(biāo)為，且OA=OB,因此OB的長也是百，于是OC

長應(yīng)是1.由此可推得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).顯然也可求得NACB,而OQ的長則可通過

△COQ-ACAB求得，陰影部分的面積則可通過SACOQ與弓形面積的差求出.

第（2）問中用到了0、Q、A、B四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，即四邊形的一個外角等于這個內(nèi)角

所對的角，在圖4—4（b）中，可表示為/CQO=/B,這是證明△COQs/iCAB的關(guān)鍵.另

外，求幾何圖形的陰影部分的面積一般有兩大類：一類是陰影部分是規(guī)則圖形，直接用公

式代入；另一類是不能直接用公式計(jì)算的，我們稱它為復(fù)合圖形，這時必須分清它是由哪

幾種規(guī)則圖形經(jīng)過組合而成的，然后分別計(jì)算，最后再組合起來.本題就是采用復(fù)合圖形

計(jì)算方法來求解的（關(guān)于不規(guī)則圖形面積的計(jì)算將在專題6的題16中提及，本專題的題

13、題14也將涉及這部分內(nèi)容）.

題5

如圖4—5所示，AB是。O的直徑，AC切。O于點(diǎn)A,且AC=AB,CO交。O于點(diǎn)

P,CO的延長線交。O于點(diǎn)F,BP的延長線交AC于點(diǎn)E,連接AP、AF.

求證：(1)AF〃BE.

(2)AACP^AFCA.

(3)CP=AE.

滿分解答(1)由AB是直徑，得/BPA=90°,同理因

ZPAF=90°，進(jìn)而有/BPA+/PAF=180°,所以AF〃:BE.

(2)因?yàn)锳C切。。于點(diǎn)A,所以/CAP=/AFC(或由弦

切角等于它所夾的弧所對的圓周角知NCAP=/AFC),而

NC是公共角，所以△ACPs/\FCA.

(3)由AF〃:BE,得/CPE=NAFC,所以NCPE=

CPPF

ZCAP,結(jié)合NC是公共角，有△CPEs/XCAP,所以——=——

CAAP

PF

再由AB是直徑，知NBPA=90°,易證△AEPs^BAP,所以——=—,又因?yàn)?/p>

ABAP

AB=AC,所以C彳P=A把F="AF，即CP=AE.

CAABAC

技巧貼士

本題中涉及的性質(zhì)不少.通過本題，除了了解其中的定理、性質(zhì)，更要對題目的結(jié)構(gòu)

有所總結(jié).一般情況下，前幾問都會為后幾間作鋪墊，例如本題中，有了AF〃:BE,自然

聯(lián)想到許多角度相等，這為等量代換提供了依據(jù)；而△ACPs/\FCA,則暗示了后面一小

問的立足點(diǎn)仍舊是相似三角形，并且要從''二次相似”入手，尋找CP=AE各自所在的三

角形，前者自然在ACPE、4ACP中，后者則更典型，如果結(jié)合之前直角的結(jié)論，AE顯

然存在于“射影定理”中.

現(xiàn)在既要有CP=AE,又要有ACPE,AACP,自然所有的焦點(diǎn)都集中在ACPE,△

ACP,發(fā)現(xiàn)/C是公共角，有了一個角，聯(lián)想到之前的結(jié)論，問題還是需要集中在“角”

和“相似三角形”上，所以用等量代換，得至lJ△CPEs△CAP,接著將表達(dá)出CP所在的

式子，發(fā)現(xiàn)上C二P=*PF,*PF這個式子己經(jīng)很好地說明了“射影定理”的存在，所以自然將

CAAPAP

匕作為等量代換，“二次相似”就可以了.

AP

題6

如圖4—6(a)所示，直線MN和OO切于點(diǎn)C,

AB是。。的直徑，AE_LMN、BF±MN,且BF與

0O交于點(diǎn)G,垂足分別為E、F,AC是弦.

(1)求證：AC平分NBAE.

(2)求證：AB=AE+BF.

圖4-6(a)

(3)求證：EF2=4AE?BF.

(4)如果0O的半徑為5,AC=6,試寫出以

AE、BF的長為根的一元二次方程.

滿分證明

(1)如圖4—6(b)所示，連接BC,則NACB=90°,NACE=NABC.

由/EAC=90°-ZACE,ZBAC=90°-ZABC知ZEAC=ZBAC,即AC平分

ZBAE.

,圖4-6(b)

⑵如圖4—6(c)所示連接OC,則OC_LMN.因?yàn)锳E_LMN,BF±MN,所以AE〃OC

/7BF.在梯形AEFB中，0為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C為梯形的中位線，于是有AE+BF=

2OC=AB.

(3)在RtZkAEC和Rt^BCF中，因?yàn)?EAC+NACE=90°,而/BCF+/ACE=180

AEEC

-ZACB=180°-90°-90°，所以/EAC=/BCF,Rt^AECsRt^CFB,

FC~BF

即AE?BF=EC?FC,

而EC=FC='EF,所以E產(chǎn)=4AE?BF.

2

(4)因?yàn)镽tAAEC^RtAABC,所以AC2=AE?AB,

力〃

又因?yàn)锳B=10,AC=6,所以AE=——=3.6.

AB

同理可得BF=6.4,AE+BF=10,AE?BF=23.04.

所以以AE、BF的長為根的一元二次方程為x2-l0x+23.04=0.

技巧貼士

第(1)問中，重點(diǎn)是判斷/EAC=/BAC,由弦切角的定理(同弧或等弧上的弦切角與

圓周角相等)便可得到.

第(2)問比較容易入手，由C為切點(diǎn)可聯(lián)系到OC_LMN,再由梯形中位線定理得到證

明.

第(3)問可以通過倒推法.，從所要證明的結(jié)論入手,EF2=4AE3F可以變形為史?—

22

=AE?BF.再由EC=FC='EF,得至UAE?BF=EC?FC,很容易想到證明所含邊的兩

2

組三角形相似.

注意，對于本題的圖形結(jié)構(gòu)，還有以下結(jié)論.

(1)ZEAC=ZBAC,ZBCF=ZCAB.

(2)AC平分/BAE,CB平分/ABF.

(3)ZCBG=ZCAG,ZCBA=ZCGA.

(4)AE0F是等腰三角形，

題7

如圖4—7(a)所示，001和。Ch交于黨、E,A在。Ch上，A黨、AE分別交。0?于B、

C.求證：AOiXBC.

B

B

圖4-7(a)圖4-7(b)

滿分解答

如圖4—7(b)所示，連接黨E,得/A黨E=NC.

設(shè)AOi交。Ch于F,由于同圓中同一條弦所對的同側(cè)的圓周角相等，所以/AFE=/

A黨E.

又/AFE+/FAE=90°,所以NEAF+/C=90°,即AOi_LBC.

技巧貼士

要證兩直線垂直，只要證這兩條直線與斜邊的兩夾角的和等于90°即可，而AOi所

在直線存在直徑，通過直徑馬上聯(lián)想到直徑所對的圓周角等于90°,兩次出現(xiàn)了90°,

通過''圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于內(nèi)對角”進(jìn)行等量代換，使得NEAF+NC=90。，

即可得證.還要提醒一下，OQ2垂直且平分黨E.這個性質(zhì)十分重要，后面的題直接用到

該結(jié)論，這個性質(zhì)實(shí)質(zhì)是“垂徑定理”，所以，我們經(jīng)常作的輔助線就是連接公共弦.

題8

若半徑分別為6cm和5cm的兩圓相交，且公共弦長6cm,則。Oi和。Ch的圓心距為

滿分解答

由垂徑定理得AH=；AB=3,所以由勾股定理得0詛=yJo1A2-AH2=4cm.

同理可得02H=3百cm,所以O(shè)Q2=O2H+OIH=(373+4)cm或OQ2=O2：H—

OiH=(3V3—4)cm.

綜上所述，兩圓的圓心距為(373+4)cm.

技巧貼士

本題分“弦固定”，“兩圓相交”兩種情況，利用“垂徑定理”計(jì)算.

事實(shí)上，本題如果只計(jì)算出O1O2=O2H+O1H,馬上便可以得到O1O2=O2H—OIH,

具體解釋參考專題6的題1、題2.本專題中的題26也屬于這種分類討論的情況.

題9

如圖4—9(a)所示，已知AABC是。0的內(nèi)接三角形，A黨，BC于點(diǎn)黨，且AC=5,

黨C=3,AB=4,則。O的直徑等于.

圖4-9(a)圖4-9(b)

滿分解答

過點(diǎn)A作圓的直徑AE,交。O于點(diǎn)E,再連接BE,見圖4—9(b).

在RtzXA黨C中，根據(jù)勾股定理，得A黨^=4.

又因?yàn)锳E是圓的直徑，所以NABE=90°,所以/ABE=/A黨C.

又因?yàn)镹C=/E,所以△ABEs/\A黨C,所以AB：人黨=八￡：AC.

?AB?AC472x5,r-

m因止匕，AE=------------=—-------=5J2.

AD4

技巧貼士

遇到題目中出現(xiàn)圓的直徑的情況，請記住本題的輔助線添加方式：連接A0并延長到

E,再連接BE,作出。。的直徑，再利用三角形相似解答.當(dāng)然，本題還有多種解答方法,

有興趣的讀者可以自己試試！

題10

如圖4—10(a)所示，A、B、C在。O上，/ABC=2NC,BP平分NABC,AE±BP

于E,求證：AE過圓心O.

滿分證明

證法一T延長BP交。O于點(diǎn)F,見圖4一10(b).

因?yàn)?ABF=^/ABC=NC,所以標(biāo)=7?,

2

由垂徑定理知，AE過圓心O.

證法二：作切線AG,G、B在AC同側(cè)，見圖4—10(c).

由ZGAB=/C及ZABF=-ZABC=ZC,可知AG〃BE.

2

又因?yàn)锳E_LBP,所以AE_LAG于點(diǎn)A,再由垂徑定理知AE過圓心O.

技巧貼士

遇到要證“一直線過圓心”的情況，就要想到證以這條直線為弦的垂直平分線，所以

補(bǔ)齊圖中圖形，由垂徑定理即可得證.

要說明的是，NGAB=/C是由題6中所提及的弦切角的定理（同弧或等弧上的弦切

角與圓周角相等）得到.在題11中，我們還會用到這個定理.

題U

切割線定理的證明：過00外一點(diǎn)P作圓的切線PC,割線PBA,求證：PC2=PA-PB.

滿分證明

連接AC和BC,見圖4-ll(b),由于NPCB=/PAC,而/P公共，所以APCBs4

PAC,故PC：PA=PB：PC,BPPC2=PA?PB.

技巧貼士

弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角（弦切角

就是切線與弦所夾的角）.

弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半，ZPCB=ZPAC

便是由弦切角定理得到.

弦切角定理推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等.

另外，本題關(guān)于切割線定理的結(jié)論后面會用到，最好能記住并熟練應(yīng)用.

設(shè)。黨為RtZkMOP斜邊PM上的高，C±OP,

以0為圓心，0黨為半徑畫半圓，分別交P0及其延

L

211______l_L_Xp

長線于A、B,見圖4一12.求證：———1—.BoCA產(chǎn)

PCPAPB

圖4-12

滿分證明

設(shè)圓的半徑為r,PA=a,PB=

5,PC=c，則有PD2=PA?PB==a?6①，在RtAFOD中，有PD2=PC?PO=

c?PO②,而PO=b-r,r=°十區(qū),所以PO=代人②得c?空吆=a?6.

Z'z.z

SFrPf_a+6__1+1,即21j1A

所以］-F-7TBPPC=PA+PB-

技巧貼士

BFC

題ii已經(jīng)給出了切割線定理，本題是切割線定理圖4T3

的應(yīng)用.再次強(qiáng)調(diào)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線

和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的

比例中項(xiàng).

至于本題的解答，關(guān)鍵在于結(jié)論的處理.本題的結(jié)A

論能否讓大家回憶起這樣的結(jié)論：如圖4—13所示，

AB〃C黨，AC、B黨交于E,EF〃C黨交BC于F,

則上+―=L

ABCDEF

如圖4—14所示，在AABC中，^E^Bc,C黨、BE交于彳--------------4

tyc

圖4-14

點(diǎn)0,過點(diǎn)0作MN〃:BC,分別交AB、AC于點(diǎn)M、N.求

什112

證：----1=.

DEBCMN

這些結(jié)論都是本書專題1第3期練習(xí)中的問題，它們都有一個共同點(diǎn)，就是集中于某

一條邊上，如上+」一=—L便集中在公共邊BC上，而本題中的結(jié)論是將問題的焦點(diǎn)集

ABCDEF

中在公共邊BP上，可見，許多問題之間都是相互聯(lián)系的！

思維點(diǎn)評

以上幾題主要是以圓的概念和性質(zhì)為基礎(chǔ)，研究其在解題中的應(yīng)用.在學(xué)習(xí)中，要做

到以下幾點(diǎn).

(1)掌握圓周角定理、弦切角定理是推導(dǎo)圓中有關(guān)角相等的關(guān)鍵.

(2)利用圓的性質(zhì)和勾股等與三角形的邊角關(guān)系相結(jié)合是解決圓中計(jì)算問題的常用方

(3)熟記圓中一些常用輔助線的作法.

(4)重視圓與代數(shù)、三角知識的綜合運(yùn)用.

題1到題11主要是圓的一些基本性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，如解決題5和題6的弦切角

知識；題7所用到的“同一條弦所對的同側(cè)的圓周角相等及圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等

于內(nèi)對角”等性質(zhì)；題11、題12的切割線定理的應(yīng)用.

以上的一些知識雖然屬于超綱的內(nèi)容，但讀者通過了解，能加深對圓問題的認(rèn)識，從

而有利于更好的解題.

下面將闡述“四點(diǎn)共圓”及“垂徑定理”，它們在解題時非常重要且應(yīng)用最多.

由題8至題10可知，垂徑定理為：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑

平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧.c

需要注意以下幾點(diǎn)(見圖4—15)./

(1)虛線部分為遇到“垂徑定理”必用的輔助線./\

⑵“勾股定理”經(jīng)常與“垂徑定理”一起使用.

(3)題7、題8中，公共弦的技巧也經(jīng)常出現(xiàn).

而從題1至題4可知，四點(diǎn)共圓這一技巧主要用于得

圖4-15

出角相等，進(jìn)而為相似提供幫助.

四點(diǎn)共圓有以下三個性質(zhì)：（1）共圓的四個點(diǎn)所連

成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等.（2）圓內(nèi)接四邊

形的對角互補(bǔ).（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角.以

上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對應(yīng)弧的度數(shù)的一半進(jìn)

行證明，

四點(diǎn)共圓常用以下方法進(jìn)行證明.

方法1：把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在該底邊的同

側(cè)，若能證明其頂角相等（同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓（若能證

明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑）.

方法2：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等

于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓.

還要注意，同斜邊的兩個直角三角形的四個頂點(diǎn)共圓，其斜邊為圓的直徑.

題13

如圖4—16（a）所示,在RtZkABC中，

ZC=90°,BC=2,AC=4,分別以AC、

BC為直徑畫半圓，交于黨點(diǎn)，則圖中陰影

部分的面積為.（結(jié)果保留兀，注意

圖4-16(a)

有三塊陰影面積）

滿分解答

連接C黨，則有

S=4s半圓—4s三角形=2s圓—S正方形

=2XnX傳）—a2

=春（“一2）a2.

BB

圖4-16(c)圖4-16(d)

仔細(xì)觀察圖4—16(a)可以發(fā)現(xiàn)，這個圖形可以看成是兩個以AC、BC為直徑的半圓,

以如圖4—16(c)和4—16(黨)所示的位置擺放(即將陰影部分重新組合).

題14

如圖4—17(a)所示，四邊形ABC黨是邊長為a的正方形，分別以AB、BC、C黨、黨

A為半徑畫圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積.

滿分解答

S=4s半畫—4s三角形=2Sia-S正方形

=2XitX

=—2)a\

圖4-17(a)

技巧貼士

如圖4—17(b)所示，圖4—17(a)中陰影部分是由四個半圓的重疊部分形成的，將四個

半圓面積相加后，減去正方形的面積，這兩部分面積的差就是陰影部分的面積.

題15

如圖4—18(a)所示，已知AABC的內(nèi)切圓0和各邊分別相切于點(diǎn)E、F、G,ZBAC

O

=60°，AO的延長線交BC于黨，$/\反黨=一54人黨(:，AC=5.

5

(1)求。O的面積.(2)求A黨的長.

滿分解答

(1)因?yàn)?O為4ABC的內(nèi)切圓，黨為AO的延長線與邊BC的交點(diǎn)，所以點(diǎn)黨到AB、

AC的距離相等.

QQ

又因?yàn)?/^8黨=一$/^黨c,所以AB=—AC.

55

又AC=5,故AB=8.

如圖4—18(b)所示，現(xiàn)過B作BH上AC于點(diǎn)H.由/BAC=60°,AB=8,得AH

=4,BH=4百，于是CH=1,從而BC='叱=7.

設(shè)。。的半徑為一因?yàn)镾AABC=yAC?BH=10通■，而SAABC=jCAB+BC

+AC)?7?，所以r=遮,于是SQO=—=3兀

(2)由SAABC=S/^ABD+S△皿:，S"BD'=^|■S△ACC,得至!!SAABC=欄SAADC.

DD

而SAADC="^-AD,AC?sin30°=-|-AD，所以X-^-AD=^-AD,因

此AD=得S/^BC—

XoXo

技巧貼士

要求圓的面積必然要求出圓的半徑長.由公式SAABC=；(a+b+c)?r聯(lián)想到如能

求出AABC的三邊長以及它的面積，則半徑r就可得到.

Q

為此，分析已知條件$/^8黨=—S4A黨C,如果這兩個三角形分別將AB、AC作為

5

Q

底的話，則它們的高是相等的，所以AB=]AC=8.又為了求出BC的長，則要添加輔

助線構(gòu)造直角三角形，為此可過點(diǎn)B作BHLAC,垂足為H.由于NBAC=60°,AB、

AC已知，因此可通過勾股定理求出BC,而A黨的長可以通過面積法來求得.

面積法在數(shù)學(xué)證明或計(jì)算中常被采用，它的依據(jù)是圖形在運(yùn)動或割補(bǔ)的過程中面積的

不變性.因此，我們可以借助于同底等高、等底等高等手段構(gòu)成等積變形，給證明或計(jì)算

帶來方便.

當(dāng)然，做一點(diǎn)說明，本題中事實(shí)上已經(jīng)涉及了求面積的一個三角比公式，即在AABC

中，S/SABC=—AB?AC.sinA=—AB,BC,sinB=—BC?AC?sinC,本公式在此不做

222

證明，證明時僅需要作相應(yīng)的垂線即可，但請讀者注意一下，甚至可以記憶一下！

題16

(2010年浙江省嘉興市中考)如圖4—19(a)所示，已知。O的半徑為1,PQ是。。的

直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關(guān)于PQ對稱，其中第一個三

角形△AiBiCi的頂點(diǎn)Ai與點(diǎn)P重合，第二個三角形AAzB2c2的頂點(diǎn)A2是BiCi與PQ的

交點(diǎn)，…，最后一個△AnBnCn的頂點(diǎn)Bn、Cn在圓上.

(1)如圖4—19(b)所示，當(dāng)n=l時，求正三角形的邊長ai.

(2)如圖4—19(c)所示，當(dāng)n—2時，求正三角形的邊長a2.

(3)如圖4—19(a)所示，求正三角形的邊長an(用含n的代數(shù)式表示).

滿分解答

（1）設(shè)FQ與BiG交于點(diǎn)。,連接。8.1,見圖4-19（?,則8=

A.D-QAx=軸-1.

在RtZkOBiD中，網(wǎng)=BQ+m,即12=（某）2+（空r—1）2,解得m=

圖4-19(d)圖4-19?圖4-19(。

⑵設(shè)PQ與B2C2交于點(diǎn)E,連接QB2,見圖4-19(e)/!|QE=2AiA2-CMi=

4^CLZ—1.

在RtaQBzE中，幽=民所+田，即I2=(如『+(島2TK解得恁=

8V3

廿

(3)設(shè)股與扁與交于點(diǎn)F,連接0B”,見圖4-19⑴，則OF=坐皿一1.

在Rt/XQB1中困=BF+OP,即I2=傳力+(多%—1了,解得冊

=4后

3n2+1'

技巧貼士

本題是找規(guī)律的題目.用到了特殊角的三角函數(shù)值和勾股定理，

題17

如圖4—20(a)所示，AB是。。的直徑，過A作。O的切線并在其上取一點(diǎn)C,使AC

=AB=黨，連接OC交。。于點(diǎn)黨，B黨的延長線交AC于E,求AE的長.

圖4-20(a)圖4-20(b)

滿分解答

連接AD,見圖4-20(b)，則/I=/2=N3=N4.

所以△CDEsAGAD,則黑=鼎.①

又因?yàn)锳ADEsABDA,噓=患②

由①、②及AB=AC,可得AE=CD.

又因?yàn)椤鰿DEszVTlD,所以祟=筆，即AE2=CD2=CE?CA.

C-/1C-Lz

設(shè)AE=z,則CE=d一<r,于是工z=d（d—工）,即有AE=x=巡彳」目（負(fù)值

已舍去）.

技巧貼士

在題5中我們就提到，要想解決好問題，需要合理的聯(lián)想、結(jié)合問題具體分析，多聯(lián)

想已經(jīng)學(xué)習(xí)過的性質(zhì)和內(nèi)容，多思考，多練習(xí)，在看完題5的一些性質(zhì)和特點(diǎn)后，還能讓

大家想到哪個題目呢？答案就是本題，因?yàn)閮蓚€題目都有直徑（都是AB）,都有直徑等于

切線（都是AC=AB）,并且在圖形上都有點(diǎn)相似，只是題5提供的條件更多而已.

而且觀察發(fā)現(xiàn)兩個題目都有AC黨E-ACA黨，Z1=Z2=Z3=Z4條件也都

是因?yàn)椤跋仪薪堑扔谒鶌A的弧所對的圓周角”.

再提醒一下，本題的結(jié)論AE=避二id,除了“設(shè)參”和“方程”的技巧外，還在

2

于這個結(jié)論和黃金分割有關(guān)聯(lián)，可見在猜想答案時，除了1、0這些特殊點(diǎn)，還有黃金分

割、比例中項(xiàng)這些情況（比例中項(xiàng)的情況請見本書專題1第4期練習(xí)6）.

題18

如圖4-21（a）所示，在平面直角坐標(biāo)系中，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=9（x>0）圖像

X

上的任意一點(diǎn)，以P為圓心、P0為半徑的圓與

x、y軸分別交于點(diǎn)A、B.

（1）判斷點(diǎn)P是否在線段AB上，并說明

理由.

圖4-21(a)

（2）求AAOB的面積.

(3)Q是反比例函數(shù)y=9(x>0)圖像上異

x

于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，請以Q為圓心，QO為半徑畫圓，

并與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N,連接AN、MB.求證：AN〃MB.

滿分解答

(1)因?yàn)辄c(diǎn)。在。P上且NAOB=90°,故AB是。P的直徑，所

以點(diǎn)P在線段AB上.

(2)過點(diǎn)P作尸PiJ_工軸,PP2_L》輒由題意可知,PPi、PPz是aAOB的中位

線，故S~OB=^OA?OB=得X2PHX2Pp2=12.

乙4?

(3)如圖4-21(c)所示，連接MN,則MN過點(diǎn)Q,且SAWN=5迎=12,所以

04-QB=CM.ON,則品=翳

因?yàn)镹AON=ZWB，所以AAONs/XMOB，則Z.OAN=ZOMB,因此AN

//MB.

技巧貼士

本題的結(jié)論，尤其是第(3)問，能否讓大家聯(lián)想到什么題目？

回憶如下的題目：如圖4—22(a)所示，已知正方形OABC的面積為9,點(diǎn)0為坐標(biāo)原

點(diǎn)，A在x軸上，C在y軸上，B在函數(shù)y=?(k>0,x>0)的圖像上，點(diǎn)P(m,n)是

X

函數(shù)y=&(k>0,x>0)圖像上異于B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足E、

X

F.設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分面積為S.

⑴求點(diǎn)B坐標(biāo)和k的值.

9

⑵當(dāng)S=萬時，求點(diǎn)P坐標(biāo)(有圖4—22(a)和圖4—22(b)兩種情況).

以上題目是8年級專題3的題4,當(dāng)時點(diǎn)評到：該題將反比例函數(shù)與幾何面積相結(jié)合,

總結(jié)得出以下結(jié)論.

(1)反比例函數(shù)上任一點(diǎn)與原點(diǎn)所形成的矩形面積為k,如本題中的矩形OABC、OEPF

面積皆為k.

(2)反比例函數(shù)上任兩點(diǎn)與原點(diǎn)所形成的三角形面積與這兩點(diǎn)向x、y軸作垂線所形成

的梯形面積一致.

(3)BP//CE//AF.

其中第(3)條就是題18所聯(lián)想到的性質(zhì)，當(dāng)然，現(xiàn)在第(3)問的關(guān)鍵在于通過面積，結(jié)

合公共角從而得到三角形相似，進(jìn)而得到平行線.

無論如何，平行線在初中學(xué)習(xí)階段總要不可避免地和相似三角形、面積相等的轉(zhuǎn)化，

還有一次函數(shù)斜率相等這些情況聯(lián)系在一起.

題19

已知/AOB=60°,半徑為3cm的。P沿邊0A從右向左平行移動，與邊0A相切的

切點(diǎn)記為點(diǎn)C.

(1)當(dāng)。P移動到與邊OB相切時，如圖4—23(a)所示，切點(diǎn)為黨，求劣弧CD的長.

(2)當(dāng)。P移動到與邊OB相交于點(diǎn)E、F時，如圖4—23(c)所示，EF=40cm,求

OC的長.

滿分解答

(1)因NAOB=60°,如圖4—23(b)所示，連接黨P、

CP,半徑為3cm的OP沿邊OA從右向左平行移動，與

邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C,故/黨PC=120°,則劣弧

4g1/d1207rx3-

CD的長為-------=2cm.

180圖4-23(a)

(2)OC的長可分以下兩種情況.

①如圖4一23?所示，當(dāng)圓心在邊OB的右側(cè)時,

連接PE、PC,過點(diǎn)P作PMLEF于點(diǎn)M,延長CP交OB于點(diǎn)N.

圖4-23(b)圖4-23(c)圖4-23(d)

因EF=4y2cm,故EM=2A/2CTIL

在RtAEPM中，PM=V32-(272)2=1cm.

又因?yàn)镹AOB=60°,則NPNM=30°,PN=2PM=2cm,NS=PN+PC=5cm.

在Rt/iOCN中，OC=NC?tan30°=5X^=挈c(diǎn)m.

②如圖4-23(d)所示，當(dāng)圓心在CB的左側(cè)時，連接PF、PC,過點(diǎn)P作PM，EF

于點(diǎn)M,PC交EF于點(diǎn)N.

由①可知,PN=2cm,NC=PC—PN=1cm.

在RtAOCN中，OC=NC-tan30°=1=噂cm.

Jo

綜上所述,3的長為苧cm或gem.

技巧貼士

(1)根據(jù)NAOB=60°,半徑為3cm的。P沿邊OA從右向左平行移動，顯然弧而所

對應(yīng)的圓心角為特殊角，利用弧長公式得出弧而的長即可.

(2)根據(jù)OP移動到與邊0B相交于點(diǎn)E、F,利用垂徑定理，由EF=4夜cm,得出

EM=2A/2cm,這是前提.

此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及垂徑定理和弧長計(jì)算公式的應(yīng)用，根據(jù)已知

得出運(yùn)動時有兩種情況，分類討論是解決問題的關(guān)鍵.

題20

如圖4-24(a)所示，ZABC=90",以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E,

與AC切于點(diǎn)黨，A黨=2,AE=1.

(1)求AAO黨和ABC黨的面積.

(2)若F是線段BE上任一點(diǎn)，F(xiàn)G±AC,G為垂足，設(shè)CG和OF的長分別為x和y,

試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍).

圖4-24(a)圖4-24(b)

滿分解答⑴由切割線定理可得即22=IX(1+2￡O),

解得EO=4-

z

因?yàn)镼D,AD,所以S△"=￡AD.QD=JAD.CE=^.'

乙乙Li

因?yàn)镃D=CB,在Rt/MBC中,超2+比2=A。,所以4?+比2=(2+BC)2,

解得比=3,而至=5.

過D作DH,BC,垂足為",因?yàn)樾?器，所以DH=當(dāng)，于是5皿=

|BC.DH-^.

(2)如圖4-24(d)所示，當(dāng)點(diǎn)F在O、B之間，即當(dāng)AO&AF〈AB時，因?yàn)?/p>

——1-3

△AFGs/XACB,所以釜=點(diǎn)，即鼻一=丁,于是有z+冬

同理，當(dāng)點(diǎn)F在E、O之間，即當(dāng)AE&AF<AO時，有七一=2疝三，即V=

旦_英

鏟T-

技巧貼士

計(jì)算ABC黨的面積時，除了用底乘高的一般方法之外，也可通過相似三角形面積的

比來求.至于題中所提及的切割線定理和C黨一CB等的性質(zhì)，則不再強(qiáng)調(diào).

如果本題要求求出x的定義域，又該如何進(jìn)行呢？為此，做以下說明.

首先，求出的函數(shù)有兩個不同的表達(dá)式，它是對點(diǎn)F的不同位置而言的，因此也應(yīng)該

分別求出定義域，我們所采用的方法是通過特殊位置來求解.

比如，對第一種情況，當(dāng)AOWAFWAB時，將點(diǎn)F在O、B之間時的x的值求出

BC199

來.顯然，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，有BC』CG?AC,因止匕CG=——=—即xN—.當(dāng)點(diǎn)

AC55

一5159

F與0重合時，x=3,于是對函數(shù)>=--x+—，x的取值范圍是一Wx<3.

445

AJ7AC

而當(dāng)F在0、E之間時，可通過點(diǎn)F與點(diǎn)E重合求出x,這時有生=冬，AG=

AGAB

AE.AB=±,因此x=CG=AC—AG=2,故對函數(shù)y=—+”■而言，x的取值范圍

AC5544

曰c721

TH3<xW---.

5

綜上所述，特殊值為定義域提供了很好的做法.在題21中，將要涉及特殊值的做法,

希望讀者了解.

題21

如圖4—25(a)所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的

坐標(biāo)為(2,0),。0'與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A,其中

B、C、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(—l,0)、C(0,3)、

E(0,6),且0<6<3.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線的解析

式.

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上移動時，直線BE與。O,

有哪幾種位置關(guān)系？求出每種位置關(guān)系時b的取值

范圍.

滿分解答

(1)因?yàn)辄c(diǎn)O'的坐標(biāo)為(2,0),。。與x軸交于原點(diǎn)，所以。CT的半徑為2,于是得到

A點(diǎn)坐標(biāo)是(4,0).

由B、C的坐標(biāo)知BC的解析式為y=3x+3.

（2）設(shè)BE與相切于點(diǎn)M,連接0、M,則O'M±BM.

因?yàn)镽t2^OBEsRtZSMBO',所以房=黑，而=2,OB=1,BM=

（_71V1

刀鏟二W=病，所以O(shè)E=筆，即當(dāng)6=空5時，直線BE與。。相切.