深圳市平湖中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

深圳市平湖中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.2．甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時(shí)到體育館 D.不確定誰先到體育館3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.334．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.5．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的患?。ǜ忻埃┤藬?shù)與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為9℃，據(jù)此估計(jì)該社區(qū)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）A.38 B.40C.46 D.586．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）A. B.C. D.7．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.8．已知曲線，下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為D.若，，為上任意一點(diǎn)，，為曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則9．若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線是一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③11．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離（H-H鍵長）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離（C-H鍵長）均相等，任意兩個(gè)H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______14．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________15．不等式的解集是___________.16．已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.18．（12分）求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1），焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線上），求面積的最大值.20．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長c；（2），，，求角C.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，說明理由.22．（10分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時(shí)，y==故選A點(diǎn)睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導(dǎo)公式要記熟2、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時(shí)間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對(duì)于甲：，得對(duì)于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，乙花時(shí)間多，甲先到體育館故選：A3、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C4、C【解析】設(shè)，根據(jù)題意，可知的方程為直線，根據(jù)原點(diǎn)到直線的距離建立方程，求出，進(jìn)而求出，的值，以及到直線的距離，再根據(jù)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點(diǎn)到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.5、B【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，將點(diǎn)代入方程求參數(shù)，寫出回歸方程，進(jìn)而估計(jì)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù).【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當(dāng)時(shí)，.故選：B.6、D【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，將幾何體補(bǔ)成長方體，計(jì)算出幾何體的外接球直徑，結(jié)合球體體積公式即可得解.【詳解】根據(jù)三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體三棱錐，且平面，將三棱錐補(bǔ)成長方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，故，因此，該幾何體的外接球的體積為.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用求解7、D【解析】設(shè)AA1=2AB=2，因?yàn)椋援惷嬷本€A1B與AD1所成角，，故選D.8、D【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及定義逐一判斷即可.【詳解】曲線，若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故A正確；若，則，即是圓，半徑為，故B正確；若，則是雙曲線，當(dāng)，則漸近線方程為，當(dāng)，則漸近線方程為，故C正確；若，，則是雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上，由雙曲線的定義可知，，故D錯(cuò)誤；故選：D9、D【解析】將給定等式變形并構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的圖象與垂直于y軸的直線有兩個(gè)公共點(diǎn)推理作答.【詳解】因，令，則存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個(gè)公共點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，則有當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及雙變量的等式或不等式問題，把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).10、D【解析】對(duì)于①在方程中換為，換為可判斷；對(duì)于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷；對(duì)于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對(duì)稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D11、A【解析】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，，，所以或其補(bǔ)角即為與所成角，設(shè)，則，，在，，故選：A12、A【解析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、77【解析】依題意利用等差中項(xiàng)求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.14、【解析】取的中點(diǎn)G，連接FG，BG，F(xiàn)B，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據(jù)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面，得到點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)G，連接FG，BG，F(xiàn)B，在正方體中，易得又因?yàn)槠矫鍮FG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因?yàn)?，所以平面AEC//平面BFG，因?yàn)槭莻?cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面，所以點(diǎn)P線段BG上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設(shè)點(diǎn)F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：15、##【解析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價(jià)于，解得,故答案為：.16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯(cuò)位相減法求得和，再由的單調(diào)性可證得不等式成立【小問1詳解】由得又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）的結(jié)論有①②①②得：又為遞增數(shù)列，18、（1）；（2）或【解析】（1）設(shè)方程為（，），即得解；（2）由題得，即得解.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)方程為（，），，，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2，，∴當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，計(jì)算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，；當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)，，，∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，∴，綜上，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，而面積的最值的計(jì)算，則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計(jì)算，此類轉(zhuǎn)化為面積最值計(jì)算過程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.20、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)余弦定理可求得答案；（2）根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和可求得答案.【小問1詳解】解：由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因?yàn)椋?，所以或即?21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知條件有，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求出及，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的最小值，從而可得答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為2