河北省保定市曲陽一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

河北省保定市曲陽一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.2．給出命題：若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.03．兩條平行直線與之間的距離為（）A. B.C. D.4．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當(dāng)a為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線5．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，6．執(zhí)行下圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A.5 B.6C.7 D.87．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.8．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.不存在9．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A. B.C. D.10．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知圓C過點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.12．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長為2.5尺，則冬至當(dāng)日日影長為（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________14．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學(xué)家斐波那契研究兔子繁殖問題時(shí)引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）15．曲線的長度為____________.16．若過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，已知定點(diǎn)為曲線上一個(gè)動點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.18．（12分）已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱BC和CD的中點(diǎn)（1）求與所成角的大小；（2）求與平面所成角的余弦值19．（12分）曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為.曲線是()和()組成的封閉圖形.曲線與軸的左交點(diǎn)為、右交點(diǎn)為.（1）設(shè)曲線與曲線具有相同的一個(gè)焦點(diǎn)，求線段的方程；（2）在（1）的條件下，曲線上存在多少個(gè)點(diǎn)，使得，請說明理由.（3）設(shè)過原點(diǎn)的直線與以為圓心的圓相切，其中圓的半徑小于1，切點(diǎn)為.直線與曲線在第一象限的兩個(gè)交點(diǎn)為..當(dāng)對任意直線恒成立，求的值.20．（12分）某校高二年級全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.21．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）設(shè)，若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍22．（10分）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（3）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一動點(diǎn)，求的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故選：B.2、C【解析】若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數(shù)的圖象不過第四象限，則函數(shù)是冪函數(shù)是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題有一個(gè)．選C3、D【解析】由已知有，所以直線可化為，利用兩平行直線距離公式有，選D.點(diǎn)睛：本題主要考查兩平行直線間的距離公式，屬于易錯(cuò)題．在用兩平行直線距離公式時(shí)，兩直線中的系數(shù)要相同，不然不能用此公式計(jì)算4、D【解析】由雙曲線定義結(jié)合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得，當(dāng)時(shí)，，且，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線.故選D.故選：D5、D【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.6、C【解析】直接按照程序框圖運(yùn)行即可得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，不成立，時(shí)，成立，輸出的值為，故選：C.7、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.8、B【解析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，然后判斷導(dǎo)數(shù)符號可得，或者根據(jù)對勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極大值；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極小值.故選：B9、C【解析】采用疊加法求出，由可得，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)分析在或6取到最小值，代值運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，式相加可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)取到，但，，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，所以的最小值為.故選：C10、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據(jù)離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C11、C【解析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將坐標(biāo)代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.12、B【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長為，立夏當(dāng)日日影長為，故所以冬至當(dāng)日日影長為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.14、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因?yàn)?，由，，得，所以，得，因?yàn)椋裕?，所以，，所以?故答案為：.15、【解析】曲線的圖形是：以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】解：由得，所以曲線（）的圖形是：以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，∴曲線（）的長度是，故答案為：.16、或【解析】根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題意可知，，故在圓外，則過點(diǎn)做圓的切線有兩條，且切線斜率必存在，設(shè)切線為，即，則圓心到直線的距離，解得或，故切線方程為或故答案為：或三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和代入法求得線段中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】解設(shè)線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則用代入法求得所求方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式和代入法求動點(diǎn)的軌跡方程，屬于容易題.18、（1）60°；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可求出異面直線所成角的余弦值，進(jìn)而結(jié)合異面直線成角的范圍即可求出結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可求出求出線面角的正弦值，進(jìn)而結(jié)合線面角的范圍即可求出結(jié)果；【小問1詳解】以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，所以，，設(shè)與EF所成角的大小為，則，因?yàn)楫惷嬷本€成角的范圍是，所以與所成角的大小為60°【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，與平面所成角為，因?yàn)?，，所以，，所以，令，得為平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)椋?，所?9、（1）或；（2）一共2個(gè)，理由見解析；（3）答案見解析.【解析】（1）先求曲線的焦點(diǎn)，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，分焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)或右焦點(diǎn)，求線段的方程；（2）分點(diǎn)在雙曲線或是橢圓的曲線上，結(jié)合條件，說明點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）首先設(shè)出直線和圓的方程，利用直線與圓相切，以及直線與曲線相交，分別表示，并計(jì)算得到的值.【詳解】（1）兩個(gè)曲線相同的焦點(diǎn)，，解得：，即雙曲線方程是，橢圓方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是,聯(lián)立兩個(gè)曲線，得，，即，當(dāng)焦點(diǎn)是右焦點(diǎn)時(shí)，線段的方程當(dāng)焦點(diǎn)時(shí)左焦點(diǎn)時(shí)，，，線段的方程（2），假設(shè)點(diǎn)在曲線上單調(diào)遞增∴所以點(diǎn)不可能在曲線上所以點(diǎn)只可能在曲線上，根據(jù)得可以得到當(dāng)左焦點(diǎn)，，同樣這樣的使得不存在所以這樣的點(diǎn)一共2個(gè)（3）設(shè)直線方程，圓方程為直線與圓相切，所以，，根據(jù)得到補(bǔ)充說明：由于直線的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，受參數(shù)的影響，蘊(yùn)含著如下關(guān)系，∵，當(dāng)，存在，否則不存在這里可以不需討論，因?yàn)轭}目前假定直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的大前提，當(dāng)共焦點(diǎn)時(shí)存在不存在.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓和雙曲線相交的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是曲線由橢圓和雙曲線構(gòu)成，所以研究曲線上的點(diǎn)時(shí)，需分兩種情況研究問題.20、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個(gè)基本事件，由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為21、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.（3）應(yīng)用錯(cuò)位相減法求得，由題設(shè)有，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求的取值范圍【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，∴是首項(xiàng)、公比都為的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，∴.【小問3詳解】由題設(shè)，，∴，則，∴，由對一切恒成立，令，則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當(dāng)為奇數(shù)，恒成立且在上遞減，則，當(dāng)為偶數(shù)，恒成立且在上遞增，則，綜上，.22、（1）（2）或（3）【解析】（1）解法一，根據(jù)題意設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而待定系數(shù)法求解即可；解法二：由題知圓心在線段的垂直平分線上，進(jìn)而結(jié)合題意得圓的圓心與半徑，寫出方程；（2）分直線的斜