2024-2025學年貴州省遵義市紅花崗區(qū)高二（上）開學數學試卷+答案解析

2024-2025學年貴州省遵義市紅花崗區(qū)高二（上）開學數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.過點P（5,2）且斜率為一1的直線的點斜式方程為（）

A.y=-x+7B.y-2=-(x-5)

C.g+2=—[x+5)D.g-5=~[x-2)

2.直線A：2c—3沙+5=0與22：立+y—10=0的交點坐標是（）

A.(5,5)B.(2,3)C.(3,7)D.(8,5)

3.已知向量才=（?2,3）,~b=（3,-4,-3），若（方+了口力，則/=（）

A.-4B.4C.一4或1D.4或一1

4.若直線小ax—沙―2=0與22：c—3+2=0平行，則它們之間的距離為（）

A.8^2B.6^2C.4\/2D.2打

5.若｛才，了，工｝構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）

A.T-c*-萬一力—工

B.記+了,下—2了+/,了+

C.正-2號,T+c*-記+2工

D.記—了+工，2了+/,出+了+2工

6.若直線/：（a—2）/+%+2a—3=0經過第四象限，則a的取值范圍為（）

A.(—oc,0)U(2,+oo)B.(—oo,0)U[2,+oo)

33

C.(-oo,0)U(-,+oo)D.(-oo,0)U[-,+oo)

7.如圖，將菱形紙片45CZ）沿對角線4C折成直二面角，E,尸分別為4。，

27r

5c的中點，。是/C的中點，AABC=則折后直線/C與平面。跖所

o

成角的正弦值為（）

A.a

7

B?空

3713

13

721

第1頁，共15頁

8.已知(m,n)為直線c+y-1=0上的一點，則，源+足+，?+2)2+*的最小值為()

A.yioB.2\/3C.4D.3y2

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.如圖，在四棱錐P—4BC。中，P/_L平面/BCD,底面48CD為矩形，E,

F分別為PB,尸〃的中點，貝(1()

A.亙^在瓦方方向上的投影向量為;而5

B.亙聲在笈方方向上的投影向量為五方

C.瓦在幅方向上的投影向量為瓦^

D.互聲在瓦甘方向上的投影向量為—瓦百

10.直線八：g=&r+b與以：沙=62+a在同一平面直角坐標系內的位置可能是()

11.若三條不同的直線A：mx+2y-6=0,Z2：x+y-l=0,l3：3/+沙—5=0不能圍成一個三角

形，則加的取值可能為()

A.8B.6C.4D.2

12.在空間直角坐標系O—c”中，若A(l,2,3),5(2,-1,0),。(一1,2,0),。四點可以構成一個平行四邊

形，則點。的坐標可以為()

A.(0,—1,—3)B.(-2,5,3)C.(4,-1,3)D.(3,-2,0)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在空間直角坐標系。中z中，點A⑵-1,3)關于x軸對稱的點的坐標為

14.已知4私一2)，3(2,5),。(3,7)三點在同一條直線上，則m

「7T

15.如圖，已知二面角4—的平面角大小為3，四邊形4BFE,

O

EDCF均是邊長為4的正方形，貝!I|阮|=

第2頁，共15頁

16.某公園的示意圖為如圖所示的六邊形/8CDE凡其中AF//BC,

3

AB//DE,ABCD=AAFE,<tanZ5CP=C0=EF=5O米，

BC=DE=80米.若計劃在該公園內建一個有一條邊在NB上的矩形娛樂健身區(qū)域,

則該娛樂健身區(qū)域面積(單位：平方米)的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

已知直線。經過點4(2,3).

(1)若人與直線L：4+29+4=0垂直，求八的方程；

(2)若人在兩坐標軸上的截距相等，求A的方程.

18.(本小題12分)

《九章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉腌.如圖，在鱉膈P-48。中，平面P2C,

BClnPAB,。為尸C的中點，巨京=2位.

(1)設7X=a，或=拉前=c，用①b,c表示瓦;

⑵若|可|=|9|=|而|=1，求就?瓦.

19.(本小題12分)

如圖，在直四棱柱—中，底面/BCD是菱形，且NBAO=60°，E,F,G分別為3G，

AC,Ai。的中點，AA1=AB—2.

(1)求直線DiF與EG所成角的余弦值；

(2)求點到平面EFG的距離.

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20.(本小題12分)

在平面直角坐標系xOy中，四邊形O/BC為等腰梯形，OAUBC,點4(4,2),5(1,4).

(1)求點。的坐標；

(2)求等腰梯形0/3。的面積.

21.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，PAL底面/BCD,底面A8CD為正方形，PA=AB,E,尸分別是尸5,

的中點，M是PD上一點.

(1)證明：EF〃平面P4O.

(2)若求平面/MR與平面的夾角的余弦值.

22.(本小題12分)

已知△ABC的三個頂點是4(1,1),5(3,3),0(2,8).

(1)過點2的直線力與邊NC相交于點。，若△BOD的面積是面積的3倍，求直線八的方程;

(2)求NBA。的角平分線所在直線22的方程.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由直線的點斜式方程可知，所求方程為4一2=-儂―5）.

故選：B.

結合直線的點斜式方程的定義，即可求解.

本題主要考查直線的點斜式方程的求解，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：聯(lián)立方程組｛言;”5二。解得｛x=5；

故人與，2的交點坐標為（5,5）.

故選：A.

聯(lián)立兩直線方程，求出交點坐標.

本題考查了兩直線的交點坐標，考查了方程組的解法，是基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：（出+了），下，

貝IJ（才+了）-力=才2+m.了=/+13+3/—17=/+3/-4=0，解得立=-4或C=1.

故選：C.

根據已知條件，結合向量垂直的性質，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：直線A：ax—沙―2=0與L：2—3+2=0平行，

故人：2―5―2=0與，2：z—沙+2=0之間的距離d=盧7亍=2班.

故選：D.

先求出直線平行的性質，求出0,再結合平行直線間的距離公式，即可求解.

本題主要考查平行直線間的距離公式，屬于基礎題.

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5.【答案】B

【解析】解：對于選項/,才=（了一/）一（了—力—工），所以正,可―/，了—天-工共面，故/

錯誤；

對于選項B,設才+了=X（JCL—2了+工）+y（l）+工）=xHi+（—2/+y）7+（立+y）W,

X=1

所以{-2x+y=l9此方程組無解，

x+y=0

所以才+了，才—2了+工,了+苒不共面,故8正確；

對于選項C,27=—2（7+/）+（才+2工），所以記+了，/-27，7+共面，故C錯誤；

對于選項。，才—了+工=—（27+工）+（才+7+2工），所以正—了+工，2了+工，方+了+2工

共面，故。錯誤.

故選：B.

利用空間向量基本定理判斷即可.

本題主要考查了空間向量的基本定理，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：若a=0,貝U/的方程為c=—番不經過第四象限.不合題意，

若a=2,貝I"的方程為沙=—1,經過第四象限，符合題意，

若。刈，且好2,將/的方程轉化為g=—」工—人2,

aa

a-2°

------>0o

a

9?解得a<0或;<a<2或a〉2,

{—^^<02

綜上可得a的取值范圍是（-oo,0）U（|,+oo）.

故選：C.

直線不經過第四象限根據一次函數圖象與系數的關系即可求解.

本題考查一次函數的性質、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質解答.

7.【答案】A

【解析】解：以。為原點，分別以。8,OC,。。所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標系，如圖示：

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設平面。防的法向量為才=(22),

則(不.匹=0,令y=l,則方=(_用,1"),

I7?-OF=0

易得與正共線的一個向量為記=(0,1,0),

故直線NC與平面?！?所成角的正弦值為三⑶

|同同|7

故選：A.

以。為原點，OB,OC,。。所在的直線分別為x軸、＞軸、z軸，為兩個單位長度，建立坐標系，分別

求出血，區(qū)的坐標以及平面。跖的法向量，求出線面角的正弦值即可?

本題考查了空間向量在立體幾何中的應用，考查線面角問題，是中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：設P(ni,n)為直線/+沙—1=0上的一點，則,祥+步+Jg+2/+*為點P(m,幾)到原

點O和到點4(一2,0)的距離之和，

設0(0,0)關于直線2+沙―1=。對稱的點為6(a,6),則《I2，得《￡二,，即8(1,1).

0IU—X

a

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易得|PO|=|P切，當/,P,3三點共線時，|PO|+|P川取到最小值，且最小值為

\PO\+\PA\=\AB\=yio.

故選：A.

轉化為兩點間的距離之和，求出對稱點，即可求解結論.

本題主要考查點關于直線的對稱點，考查計算能力，屬于基礎題.

9.【答案】ACD

【解析】解：由題意，P4J_平面48cD,

則平面P4B,平面/BCD,平面PAO,平面48CD,

又底面ABCD為矩形，E,尸分別為尸2,尸。的中點,

由圖及投影向量的定義可知,

前在4方方向上的投影向量為;套，故/正確;

正在瓦3方向上的投影向量為;松，故2錯誤；

仁君在瓦官方向上的投影向量為-］池，故C正確;

。云在血方向上的投影向量為-血，故。正確.

故選：ACD.

根據題設條件及投影向量的概念，觀察可得.

本題考查投影向量的概念，屬基礎題.

10.【答案】ABC

【解析】解：對于/,由兩條直線都可得a〉0,b>0,故可能成立.

對于3,由一條直線可得a<0,b>Q，由另一條直線可得6〉0，a<0,故可能成立.

對于C,由一條直線可得a<0,b=0，由另一條直線可得b=o，a<0,故可能成立.

對于。，由一條直線可得a〉0,6=0或6>0,a=0,而另一條直線不符合要求，故不可能成立.

故答案為：ABC.

由題意，根據確定直線位置的幾何要素，逐一判定各個選項能否成立，從而得出結論.

本題主要考查確定直線位置的幾何要素，屬于基礎題.

11.【答案】BCD

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【解析】解：若?！?，2,則｛案；溫，解得加=2.

若h//h，則[6：?n，解得m=6.

1—5m+18=0

由｛3x+y-^0,解得方=2，y=T，即％2與%3的交點坐標為⑵―1)，

若A過點(2,—1),則2m—8=0,解得m—4.

故選：BCD.

若三條直線不能圍成三角形，則其中兩條直線平行或三條直線交于一點，即可求解.

本題主要考查了直線平行條件的應用及直線的交點坐標的求解，屬于基礎題.

12.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查空間向量平行的坐標表示，屬于基礎題.

分情況討論平行四邊形頂點的位置，結合向量相等，即可求得。點坐標，即得答案.

【解答】

解：由題意得,助=(1,—3,—3)，前=(—2,0,—3)，睨=(-3,3,0)，

設點D的坐標為(x,y,z),

若四邊形/瓦兀為平行四邊形，貝=前，貝！1(1,—3,—3)=3+1/一2,z),

此時點。的坐標為(0,-1,-3);

若四邊形為平行四邊形，則血=比，

則(1,-3,-3)=｛—X—1,—y+2,-z),此時點D的坐標為(—2,5,3);

若四邊形為平行四邊形，則無方=加，

則(比一1,1一2,z—3)=(3,-3,0),此時點D的坐標為(4,-1,3).

故選：ABC.

13.【答案】⑵1,—3)

【解析】解:點4(2,—1,3)關于x軸對稱的點的坐標為(2,1,—3).

故答案為：(2,1,-3).

根據已知條件，結合空間點對稱的性質，即可求解.

本題主要考查空間中點的坐標，屬于基礎題.

14.【答案】—]

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【解析】解：因為—2),3(2,5),。(3,7)三點在同一條直線上,

-9-55—73

所以上河8=任工，即——^=丁不，解得小=一1

m—22—32

故答案為：—了

根據已知條件，結合直線的斜率公式，即可求解.

本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎題.

15.【答案】4\/2

【解析】解：連接ND,

7T

?.?二面角4-EF-O的平面角大小為不，四邊形48FE,EDCF均是邊長為4的正方形,

O

s.AELEF,DELEF,AB±AD,

.?.乙4FO是二面角A-EF-。的平面角，AE=DE=AB=4,

7F

：.AAED=~,「.40=4,

O

|BZ5|=,42+42=4A/2.

故答案為：4A/2.

連接推導出4ELEF，DE1EF，AB1AD，是二面角4—EP—。的平面角,

AE=DE=AB=^,NAED=?AD=4,由此能求出|前

O

本題考查二面角的定義、勾股定理等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

33800

16.【答案】

3

【解析】解：如下圖，以N尸所在直線為x軸，DE所在直線為y軸建立平面直角坐標系，娛樂健身區(qū)域為

矩形PQMN,

第10頁，共15頁

3

因為/BCD=AAFE,且tan乙BCD=

4

所以可得直線EF的方程為y=-^+30,直線CD的方程為y-^+110,

3

設P(Q,—丁+30),其中0W0W40,

33

則Q(QqQ+110),7V(120,--a+30),

則[PQ|=]a+80,|PN|=120—Q,

四邊形尸。兒W的面積S=|PQ||PN|=《a+80)(120—a)=—，(a—%2+W2￡,當。=平時，取得

33800

最大值

以//所在直線為x軸，DE所在直線為y軸建立平面直角坐標系，由題可求直線昉，CD的方程，設

F(a,--a+30),其中0<a<40,可求Q(a,ji+HO),77(120,--a+30),進而可得|PQ|=/+80,

\PN\=120-a,利用矩形的面積公式以及二次函數的性質即可求解其最大值.

本題考查了直線的方程以及二次函數的性質的綜合應用，考查了數形結合思想和函數思想，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題可知，L的斜率為一(，

設h的斜率為人因為皿2,所以—#=—1,則卜=2,

又h經過點4(2,3),所以人的方程為9—3=23—2),即2z—g—1=0；

(2)若A在兩坐標軸上的截距為0,即"經過原點，設A的方程為沙=七工，

將4⑵3)代入解析式得2k=3,解得％=；，

故Zi的方程為3，—2沙=0,

xy“

若A在兩坐標軸上的截距不為0,則設A的方程為％+，=1,

23

由—|—=1,得a=5,

aa

故。的方程為7+g—5=0,

綜上，八的方程為工+V一5=0或3/一2沙=0.

【解析】(1)根據兩直線垂直得到力的斜率，進而利用點斜式求出直線方程；

(2)考慮截距為0和不為0兩種情況，設出直線方程，待定系數法求出直線方程.

本題主要考查了直線垂直條件的應用，還考查了直線的截距式方程的應用，屬于中檔題.

第H頁，共15頁

18.【答案】解：（1）連接3D,PE,如圖，

瓦=旌-標=可+源-港-版,

因為。為尸。的中點，放=2百N，

所以就==g4-,Bi）=+軻=+；就,

所以瓦=旌—口=可+方—港—亙方=

（2）因為肅=R+而+百苫=-pl+聲X+錠,

所以就?瓦=（—可+港+初）?-冠

+河?了不+R-配-?衣,

因為P4L平面PBC,BC_L平面PAB,且P8,BCU平面PBC,PBU平面PAB,

所以P4LPB，PALBC>PBLBC，

又因為|P2|=|P5|=I后為I=I,

所以_|司2T42T睨2+|^港+：四友_：適

即

O

乃友=4

【解析】（1由空間向量的線性運算直接計算即可；

（2）由空間向量的線性運算和數量積運算計算即可.

本題考查空間向量的線性運算和數量積，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）連接5。，因為底面/8C。是菱形，

所以4CLLB。，

因為RG分別為/C,4。的中點，

所以FG〃441，

則FG_L平面48C?，

以尸為坐標原點，FA,FB,9G所在直線分別為x軸，y軸，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

由乙B4D=60°，A4=AB=2,

得F(0,0,0),01(0.-1,2),G(0,0,l),后(—理,；,2)，

第12頁，共15頁

則市=（0,1,_2），虎=（—苧1,1）,

可得cos（市，G^>=土,冬=廠2=—3西,

\D^F\\GE\V5xV220

故直線DiF與EG所成角的余弦值為此皿；

20

⑵由⑴知冠=（0,0,1）,

設平面EFG的法向量為nt=（3,yo,zo）,

f731n

則）--^-力0+2^0+%=°,

（^o=O,

令須）=1,得求=（1,通,0）,

所以點到平面EFG的距離為與/=*

【解析】⑴連接BD，由題意可求FG,平面/BCD,以尸為坐標原點，FA,FB,尸G所在直線分別為x軸，

y軸，z軸，建立空間直角坐標系，可求比N=（0,1,-2）,屈=（―利用向量夾角公式能求出

直線DiF與EG所成角的余弦值；

[731

（2）由⑴知鋸=（0,0,1），設平面即G的法向量為病=（磔,y0,zo）,則<—/-磔+曠。+?。=°，令2°=1,

[Zo=o,

得夜=（1,通,0）,進而可求點。1到平面EFG的距離.

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查點、線、面間的距離計算，考查運算求解能力，考查數形

結合思想，屬于中檔題.

2—01

20.【答案】解：（1）因為04〃3。，所以^^二垢斗二丁二二亍

4—U2

又6（1,4）,所以直線3c的方程為y=；1/+J7

設C（a,，+g），由|46=|00|,得a2+（，+]=13,

解得a=-3或a=

當a=—3時，OCIIAB,不符合題意.

當a=；時，OC與N8不平行，符合題意，故點C的坐標為（；,￡）.

第13頁，共15頁

⑵[0川=,42+22=2通，陽。|=g)2+(4—,)2=竺,

V555

,|1-8|7V5

點B(l,4)到直線04：x-2y=0的距離d=/。?=可，

62+(—以

142

故等腰梯形0ABC的面積S=-(|0A|+\BC\)d=—.

/o

【解析】(1)結合直線平行的斜率關系可求直線BC的斜率，進而可求3c的方程，然后結合兩點間距離公

式可求；

(2)結合兩點間距離公式先求出|0川，再由點到直線的距離公式求出3到CU的距離，結合梯形面

積公式可求.

本題主要考查了直線平行的斜率關系，點到直線的距離公式及兩點間距離公式的應用，屬于中檔題.

21.【答案】(1)證明：取尸區(qū)的中點N,連接EN,DN,如圖所示：

因為E是網的中點，所以EN//AB,且=

又因為四邊形/BCD為正方形，尸是C〃的中點，柝以EN“DF,且

EN=DF，

所以四邊形ENDb為平行四邊形，所以EF〃ON,

因為EF,平面P4D,。Nc平面P/。，所以E尸〃平面P4D.

⑵解：以N為坐標原點，AB,AD,4P所在直線分別為x、八z軸，

建立空間直角坐標系，如圖所示：

設48=2,則E(l,0,l),F(l,2,0),P(0,0,2),￡>(0,2,0)；

9\o

設百萬=某而，則"(0，3—2)，

1~rA1A

施=(1,0,1),江=(1，高，一擊)；

因為AELMF,所以血?凝=1—Jr=0,解得入=1，

所以■=(—1,1,0),=(i,i,-i),AP=(1,2,0)；

設平面/的法向量為記=(n,?/,z),則['