2022-2023學(xué)年北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編：幾何綜合（含答案解析）

2022-2023學(xué)年北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編

——幾何綜合

參考答案與試題解析

一.全等三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）

1.（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZBAC=60°,ZC=40°,/BAC與/ABC

的角平分線A。、BE分別交BC、AC邊于點(diǎn)。和點(diǎn)E

（1）求證：△BEC是等腰三角形；

（2）用等式表示線段A3、AC、8。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和，角平分線的定義得出/EBC=/C,進(jìn)而得出硬=EC,

即可得出結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)至尸，使BF=BD,連接。R利用等邊對(duì)等角和三角形的外角得出/尸=

ZC,再證明方△AC。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF^AC,再根據(jù)線段的和差

即可得出AB+BD=AC.

【解答】（1）證明：在△ABC中，N2AC=60°,NC=40°,

；./ABC=80°,

；BE平分/ABC,

：.ZEBC=40°,

：.ZEBC=ZC,

：.EB=EC,

.,.△BEC是等腰三角形.

（2）解：AB+BD=AC,

證明：延長(zhǎng)AB至凡使BF=BD,連接。尸，

A

,.?

尸

F

:?NF=NBDF,

VZABC=ZF+ZBDF=SO°,

A2ZF=80°,

AZF=40°,

VZC=40°,

:.NF=/C,

「A。平分NA4C,

：.ZBAD=ZCADf

9：AD=AD,

：.AAFD=AACD(ASA),

：.AF=AC,

：.AB+BF=AC,

即：AB+BD=AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)

造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2022秋?大興區(qū)期末)已知，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)M是AB的中

點(diǎn)，作N0ME=9O°,使得射線與射線ME分別交射線ACCB于點(diǎn)D,E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在線段AC上時(shí)，線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系是MD=ME；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示線段CDCE和BC之間的

數(shù)量關(guān)系并加以證明.

【分析】(1)連接CM,證明△MC￡＞之(ASA),由全等三角形的性質(zhì)可得出MD

=ME；

(2)連接CM,同(1)可證烏(ASA),由全等三角形的性質(zhì)可得出CD

=BE,則可得出結(jié)論.

：△ABC是等腰直角三角形，M是的中點(diǎn)，

:.CM=MB,CMLAB,ZACM=AZACB=45°.

2

；.NACM=/B=45°,

又ZDMC+ZCME=ZBME+ZCME=90°,

：.ZDMC=ZBME,

：AMCDmAMBE(ASA),

：.MD=ME；

故答案為：MD=ME；

(2)CE=CB+CD.

證明：連接CM,

A

'圖2

同（1）可知ZACM^ZCBA^45°,

:./DCM=NMBE=135°,

?；/DMC+/DMB=NBME+/DMB=90°,

：.ZCMD=ZBME,

:.AMCD咨AMBE（ASA）,

：.CD=BE,

：.CE=CB+BE=CB+CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助

線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?通州區(qū)期末）如圖△ABC中，NA4c=90°,AB^AC,。是AC邊上一點(diǎn)，連

接8。，EC_LAC垂足為點(diǎn)C,SLAE=BD,AE交線段8c于點(diǎn)F.

（1）在圖1中畫出符合題意的圖形，并證明CE=AD；

（2）當(dāng)NC/E=NA￡）8時(shí)，求證：8。平分/ABC.

圖1

【分析】（1）根據(jù)證明RtAACE^RtABAD,

（2）由全等三角形的性質(zhì)得從而有再說明AEL2D即可

證明結(jié)論.

【解答】（1）解：如圖,

在RtAACE和RtABAD中，

[AE=BD,

lAC=AB，

RtAACE^RtABAZ)(HL),

：.CE=AD；

(2)證明：VRtAACE^RtABAZ),

ZE=ZADB,

■:NCFE=NADB,

；?NCFE=NE,

VZACE+ZZ)AB=180°,

J.CE//AB,

：.ZE=ZFAB,

VZCFE=ZAFB,

：.ZBAF=ZAFB,

???/ADB=/E=/EAB,

：.AE±BD,

：.ZEAB+ZABD=90°,ZAFB+ZFBD=90°,

???NABD=/FBD,

：.BD平分NA3C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明

AE,50是解題的關(guān)鍵.

二.等腰三角形的性質(zhì)(共1小題)

4.(2022秋?海淀區(qū)期末)已知在△ABC中，AB=ACf且N5AC=a.作△AC。，使得AC

CD.

(1)如圖1,若/ACO與/8AC互余，則/。CB=工二(用含a的代數(shù)式表示)；

—2—

(2)如圖2,若/ACO與/8AC互補(bǔ)，過點(diǎn)C作CH_LA。于點(diǎn)H,求證：CH=1-BC；

2

(3)若△ABC與△AC￡)的面積相等，則/ACO與/BAC滿足什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你

的結(jié)論.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)，兩角互余的概念，即可求解;

(2)作AE_L8C于E,由兩角互補(bǔ)的概念，可以證明△ACHgZXACH(AAS),即可解決

問題;

(3)分兩種情況，作DMLAC于M,BN±AC于N,作CF_LAB于F,DG±AC交AC

延長(zhǎng)線于G,應(yīng)用三角形全等，可以解決問題.

【解答】(1)解：：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=1.(180°-a)=90°_"1—?IX，

22

/AC。與/BAC互余,

ZACD=90°-a,

ZDCB=ZACB-ZACD=90°--la-(90°-a)=Aa,

22

故答案為aa；

2

(2)證明：作AE_LBC于E,

D

'：AB=AC,AC=AD,

J.ZEAC^^ZBAC,ZACH=XZACD,CE=Uc,

222

ZEAC+ZACH^l.(ZBAC+ZACD),

2

,/NACZ)與NBAC互補(bǔ)，

ZEAC+ZACH=lx180=90°,

2

VZEAC+ZACE=90°,

ZACE=ZACH,

VZAHC^ZA￡C=90°,AC^AC,

：.AACH^AACECAAS),

/AC￡)=N3AC或NACO與NA4c互補(bǔ)；理由如下：

如圖1,作DM±AC于M,BN±AC于N,

,：AABC與△AC。的面積相等，

AACXBN=AACXDM,

22

：.BN=DM,

"：DC=AB,

：.Rt/\DMC^Rt/\BNA(HL),

：.ZACD^ZBAC；

如圖2,作CF_LAB于凡DG_LAC交AC延長(zhǎng)線于G,

AABC與△AC。的面積相等，

:.1.ACXDG^1ABXCF,

22

：.DG=CF,

VAC=C￡>,

.,.RtAACF^RtACDG〈HL）,

：.ZBAC=ZDCG,

'：ZDCG+ZACD=1SO°,

.\ZBAC+ZACD=180°,

/3AC與/AC?；パa(bǔ).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，互余，互補(bǔ)的概念，關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造全等

三角形.

三.勾股定理（共1小題）

5.（2022秋?延慶區(qū)期末）在RtaABC中，ZABC=90°,AB=BC,NABD=cc,點(diǎn)、D為

AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD,點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,直線8DCE交于

點(diǎn)F.

（1）如圖1,當(dāng)a=20°時(shí)，根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出/BFC的度數(shù)；

（2）如圖2,當(dāng)0°<a<45°時(shí)，用等式表示線段尸C,EF,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

圖1圖2

【分析】（1）連接即，只要證明△ECB是等腰三角形即可解決問題；

（2）結(jié)論：EF2+FC1=2BC1,只要證明/BFC=90°,在RtAABC中，由勾股定理得

AC=V2BC.在Rt^AFC中，由勾股定理得A產(chǎn)+R^=AC2.由此即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖1,連接歷，

A

圖1

VA,E關(guān)于8。對(duì)稱，

AZABD=ZEBD=20°,BA=BE=BC.

VZACB=90°,

AZEBC=50°,

：.ZCEB=1(180°-50°)=65°，

2

*.*/CEB=/BFC+/EBD,

：.ZBFC=65°-20°=45°.

???N3尸。的度數(shù)是45°；

(2)線段/C,EF,8C之間的數(shù)量關(guān)系是：EF2+FC1=2BC1.

證明：如圖，連接ARBE.

圖2

???點(diǎn)E和點(diǎn)A關(guān)于5。對(duì)稱，

：.AF=EF9AB=BE,NAFB=NEFB,ZABF=ZEBF=a.

VZABC=90°,

：.ZEBC=90°-2a.

'：AB=BC,AB=BE,

：.BC=BE.

：.ZBEC=ZBCE=1.(180°-90°+2a)=45°+a.

2

NBEC=NFBE+/BFE,/FBE=oc,

：.ZBFE^45°.

：.ZAFE=90°.

在Rt^ABC中，由勾股定理得，AC八歷BC

在RtZXAPC中，由勾股定理得，AF2+FC2=AC2.

?■-EF2+FC2=（V2BC）2-

：.EF1+FC2=2BC2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

四.三角形綜合題（共9小題）

6.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，TXABC中，AB^AC,NBAC=a（0°<a<90°）,A。為

BC邊上的中線，過點(diǎn)8作8ELAC于E,交于點(diǎn)F,作/A8E的角平分線于

交AC于N.

（1）①補(bǔ)全圖形1；

②求NCBE的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）如圖2,若/a=45°,猜想Ab與8M的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；

②由等腰三角形的性質(zhì)得出AO_LBC,ZDAC=lxBAC=la,證出/ADB=90°,由

22

直角三角形的性質(zhì)可得出答案；

（2）連接MC,證出/MBC=45°,證明△?!￡■尸0ABEC（ASA）,由全等三角形的性質(zhì)

得出AF=2C,證出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC=

MBM,則可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如下:

圖1

@-：AB^AC,。為BC的中點(diǎn)，

：.AD±BC,ZDAC=^ZBAC=l.a,

22

AZADB=9Q°,

VBEXAC,

:./AEB=NBEC=9Q°,

：.ZAEB^ZADB=90°,

NAFE=ZBFD,

:.NCBE=NZMC="la；

(2)&BM.

證明：連接MC,

圖2

VZBAC=45°,ZAEB=90°,

：.ZBAC=ZABE=45°,

：.AE=EB,

■:BN平分/ABE,

:.NNBE=Z/ABE=225°,

2

VZDAC=AZBAC=22.5°,

2

AZEBC=ZDAC=ZNBE=22.5°,

：.ZMBC=45°,

在和△BEC中,

,ZEAF=ZEBC

■AE=BE，

ZAEF=ZBEC

/.AAEF^^BEC（ASA）,

：.AF=BC,

:。為8C的中點(diǎn)，AD±BC,

：.AD是BC的垂直平分線，

：.BM=MC,

VZMBC=45°,

ABMC是等腰直角三角形，

：.BC=?BM,

：.AF=y/2BM.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，

角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的

關(guān)鍵.

7.（2022秋?懷柔區(qū)期末）康康同學(xué)在研究等邊三角形，如圖1,已知△ABC是等邊三角形，

。為8C邊的中點(diǎn)，E為中線上一點(diǎn)（E不可取A點(diǎn)，可取。點(diǎn)），點(diǎn)E關(guān)于直線AC

的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)尺連接AREF,BF.

（1）①在圖1中補(bǔ)全圖形；

②他發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在中線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，XkEF是一種特殊三角形.

請(qǐng)你回答ZXAEF是等邊三角形；

③利用圖1證明這個(gè)結(jié)論.

（2）康康同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)E點(diǎn)在中線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，8尸的長(zhǎng)度也有規(guī)律的變化.當(dāng)BF為最

大值時(shí)，在圖2中畫出點(diǎn)R并連接AP,BF,8尸與AC交于點(diǎn)P.

①按要求畫出圖形；

②在AP上存在一點(diǎn)°,使PQ+QC的值最小，猜想這最小值=（填>,<,=）；

③證明②的結(jié)論.

（3）在邊AC上存在一點(diǎn)M,同時(shí)滿足BM-ME的值最大且BM+ME的值最小，則此時(shí)

MC與AC的數(shù)量關(guān)系是MC=1AC.

圖1圖2備用圖

【分析】（1）①由題意補(bǔ)全圖形即可；

②由等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

③由等邊三角形的性質(zhì)得4c=30°,再由軸對(duì)稱的性質(zhì)得AF^AE,Z

2

CAF=ZCAD=30°,則/￡4尸=/。4。+/。4尸=60°,即可得出結(jié)論；

（2）①按要求畫出圖形即可；

②由軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論；

③作點(diǎn)P關(guān)于AF的對(duì)稱點(diǎn)P,連接CP交AF于點(diǎn)Q,則PQ=P'Q,得尸。+。。的最小

值為CP,再證（SAS）,得CP=BP,即可得出結(jié)論；

（3）連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)V,設(shè)交AC于點(diǎn)P,由軸對(duì)稱的在得BP+EP最小，

再由最大，則點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)E在BE上，由等邊三角形的性質(zhì)證明P

為AC的中點(diǎn)，即可得出結(jié)論.

【解答】（1）①解：補(bǔ)全圖形如圖1；

②解：斯是等邊三角形，

故答案為：等邊；

③證明：???△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=6Q°,

???。為5c邊的中點(diǎn)，

ZCA￡>=ZBAD=AZBAC=30°,

2

:點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)F,

：.AF^AE,ZCAF=ZCAD^3Q°,

：.ZEAF=ZCAD+ZCAF=60°,

...△A所是等邊三角形；

（2）①解：按要求畫出圖形，如圖2；

②解：在AF上存在一點(diǎn)。，使尸。+0C的值最小，

猜想尸。+。。的最小值=8尸，

故答案為：=；

③證明：作點(diǎn)尸關(guān)于A尸的對(duì)稱點(diǎn)P',連接CP交AF于點(diǎn)。，

貝IPQ=P'Q，

C.PQ+QC的最小值為CP',

,/AABC是等邊三角形，

：.AC=AB,ZABC=ZBAC=60°,

:點(diǎn)P關(guān)于AF的對(duì)稱點(diǎn)為P,,

：.ZP'AF^ZFAC^30°,AP'^AP,

：.ZCAP'=ZP'AF+ZFAC=3Q°+30°=60°,

：.ZCAP'=ZBAP=60°,

.?.△CAP絲△BAP(SAS),

:.CP'=BP,

...PQ+QC的最小值=BP；

(3)解：如圖4,連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M,設(shè)8尸交AC于點(diǎn)P,

?..點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)F,

；.BP+EP最小,

；BM-EM最大,

；?點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)E在8尸上，如圖5,

,/是等邊三角形，

...々=60°,

ZBAF=ZBAC+ZCAF=90°,

ZABF=90°-ZF=90°-60°=30°,

：.ZABF^IZABC,

2

平分/ABC,

；.尸為AC的中點(diǎn)，

.\MC=AAC,

2

故答案為：MC^IAC.

2

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及最大值與最小值等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

8.（2022秋?豐臺(tái)區(qū)期末）在△A8C中，ZBAC=110°,AC=AB,射線AO,AE的夾角為

55°,過點(diǎn)B作于點(diǎn)直線8尸交AE于點(diǎn)G,連結(jié)CG.

（1）如圖1,射線A。，AE都在/54C的內(nèi)部.

①設(shè)則NC4G=55°-a（用含有a的式子表示）；

②作點(diǎn)3關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)3,，則線段3'G與圖1中已有線段CG=B'G的

長(zhǎng)度相等；

（2）如圖2,射線AE在N8AC的內(nèi)部，射線在NA4C的外部，其他條件不變，用

等式表示線段BEBG,CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)①根據(jù)/BAQ+/CAE=55°,可求/CAG=55°-a；

②連接A3,證明△CAG0ABNG(&4S),即可得到CG=8'G；

(2)作8點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)9，連接設(shè)4BAF=B，證明△C4G0AB'AG(SAS),

即可得CG=B'G=2BF+BG.

【解答】解：(1)①?.?/a4C=110°,NDAE=55°,

：.ZBAD+ZCAE^55°,

"：ZBAD=a,

；.NCAG=55°-a,

故答案為：55°-a；

②連接AB',

由對(duì)稱性可知，AB=AB'9ZBAD=ZB'AD,

9：AB=AC,

：.AC=AB\

*：ZDAG=55°,ZBAC=\10°,

ZBAF+ZCAG=ZB'AD+ZGAB',

：.ZCAG=ZGAB\

AACAG^AB'AG(SAS),

:.CG=EG,

故答案為：CG=BG

(2)CG=2BF+BG,理由如下：

作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)8,連接AB',

由對(duì)稱性可知，AB^AB\ZBAD=ZB'AD,

VAB=AC,

：.AC=AB\

設(shè)NBAb=0,

*：ZDAG=55°,

：.ZBAG=55°-P，

VZBAC=110°,

：.ZCAG=55°+p,

*：ZGAB'=55°+p,

.'.△CAG^AB'AG(SAS),

JCG=B'G,

?:B'G=2BF+BG,

：.CG=2BF+BG.

c

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(2022秋?朝陽區(qū)期末)在△ABC中，AC=BC,0°<ZACB<120°,CD是48邊的中

線，E是8c邊上一點(diǎn)，ZEAB=1ZBCD,AE交CD于點(diǎn)F.

2

(1)如圖①，判斷△CPE的形狀并證明；

(2)如圖②，90°,

①補(bǔ)全圖形；

②用等式表示CA,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

c

【分析】(1)設(shè)/EAB=a,得出/CFE=90°-a,再表示出/B=90°-2a,進(jìn)而得出

NCFE=/CEF,即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)要求補(bǔ)全圖形即可；

@2CD=AC+CF；先判斷出AB=2CD,BH=EH,再判斷出△AEC0/VlEH(A4S),得

出AC=AH,CE=EH,借助(1)的結(jié)論，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)尸是等腰三角形，

證明：CD是AB邊的中線，

：.CD±AB,

：.ZCDB=ZADC=90°,

設(shè)NEAB=a,

；.NCFE=NAFD=90°-ZEAB=90°-a,

,：ZEAB=1ZBCD,

2

：.ZBCD=2ZEAB=2a,

.?.ZB=90°-ZBCD=90°-2a,

：.ZCEF^ZEAB+ZB^a+90°-2a=90°-a,

:./CFE=NCEF,

...△CEF是等腰三角形;

(2)①補(bǔ)全圖形如圖②所示,

c

?2CD=AC+CF；

證明：如圖③，

在RtZkABC中，AC^BC,

.?.NBAC=NB=45°,

過點(diǎn)E作EH±AB于H,

:.NBHE=90°,

:./BEH=45°=/B,

:.BH=EH,

在中，AC=BC,CD是AB邊的中線,

：.AB=2CD,ZBCD=1ZACB=45°,

2

/.ZEAB=1ZBCD=22.5°,

2

：.ZEAC=ZBAC-ZEAB=22.5°=/EAB,

VZACB=ZAHE=9Q°,

'：AE^AE,

：.^AEC^^AEH(A4S),

C.AC^AH,CE=EH,

由（1）知，CE=CF,

CF=BH,

：.AB=AH+BH=AC+CF,

：.2CD=AC+CF.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判

定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

10.(2022秋?石景山區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,NBAC=30°,點(diǎn)2關(guān)于AC

邊的對(duì)稱點(diǎn)為。，連接CD,過點(diǎn)A作且AE=C。，連接CE,DE.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)判斷和。E的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)平面內(nèi)有一點(diǎn)使得DM=OC,EM=EB,求NCDM的度數(shù).

(備用圖)

【分析】(1)根據(jù)要求作出圖形即可；

(2)結(jié)論：AB=DE,證明四邊形ACDE是平行四邊形，推出AC=Z)E,可得結(jié)論；

(3)分兩種情形：如圖2中，當(dāng)NCQM是鈍角.證明△A8E絲△OEMCSSS'),推出/

BAE=NEDM=135°,即可解決問題，如圖3中，當(dāng)/CDM，是銳角時(shí)，同法可得/

ADM'=NA4E=135°解決問題.

【解答】解：(1)圖形如圖1所不：

E

理由：*：AE=CDfAE//CD,

???四邊形ACDE是平行四邊形,

：.AC=DEf

'：AB=AC,

：.AB=DE；

(3)如圖2中，當(dāng)NCDM是鈍角.

：.AE=DMf

9

：AB=DEfBE=EM,

△ABE絲/IDEM(SSS),

ZBAE=AEDM,

'：AB=AC,ZBAC=30°,B,。關(guān)于AC對(duì)稱，

：.ZCAD=ZCAB=30°,AC=AD,

：.ZACD^ZADC^15°,

'：AE//CD,

：.ZEAD=ZADC=15°,

ZBAE=30°+30°+75°=135°,

；./EDB=/BAE=135°,

：.ZCDM^36Q°-75°--30°-135°=120°.

如圖3中，當(dāng)/COM'是銳角時(shí)，同法可得NADM'=ZBAE=135°,

圖3

：.ZCDM'=135°-75°-30°=30°,

綜上所述，NCDM的值為120°或30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),

平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中

考?jí)狠S題.

11.（2022秋?大興區(qū)期末）如圖，ZXABC為等邊三角形，AC^AD,ZDAC>6Q°,連接

BD交AC于點(diǎn)、E,分別延長(zhǎng)ZM,C2交于點(diǎn)尸.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)若NQBC=40°,直接寫出/BA尸的度數(shù)為40°；

(3)用等式表示線段CF,AF,AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)由題意畫出圖形即可；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)得出NABC=60°,AB^AC,由等腰三角形的性質(zhì)及三角形

外角的性質(zhì)可得出答案；

(3)在8c上取點(diǎn)使CM=AE,連接AM,證明△ABEgZkCAM(ASA),由全等三

角形的性質(zhì)得出證出4歹=楨，則可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)依題意補(bǔ)全圖形如下：

(2):△ABC是等邊三角形，

ZABC^60°,AB^AC,

"：AC=AD,

：.AB=AD,

：.NABE=ZADE,

VZDBC=40°,

：.ZABE=ZABC-ZDBC=60°-40°=20°,

：.ZADE=20°,

ZBAF=ZABE+ZADE=40°；

故答案為：40°；

(3)CF=AF+AE.

證明：在2C上取點(diǎn)M,使CM=AE,連接AM,

,/△ABC為等邊三角形，

ZACB=ZBAC=60a,AB=AC,

在△ABE和△CAM中，

，AB=AC

'ZBAE=ZACH>

AE=CM

.?.△ABE絲△CAM（ASA）,

ZABE=ZCAM,

'：AC=AD,

J.AB^AD,

：./ABE=/ADB,

：.ZFAB=ZABD+ADB=2ZABD,

：.ZFAM=ZFAB+ZBAC-ZCAM=2ZABE+60°-ZABE=ZABE+600,

,/ZAMB=ZCAM+ZACB=ZABE+60°,

：.ZFAM^ZAMB,

：.AF=FM,

'：CF=AF+CM,

：.CF=AF+AE.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

12.（2022秋?通州區(qū)期末）已知：線段AB及過點(diǎn)A的直線/.如果線段AC與線段A8關(guān)

于直線/對(duì)稱，連接交直線/于點(diǎn)。，以AC為邊作等邊△人（7￡,使得點(diǎn)E在AC的

下方，作射線BE交直線/于點(diǎn)R連結(jié)CF.

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

（2）如圖，如果NBAO=a（30°<a<60°）,

①120°-a；（用含有a代數(shù)式表示）

②用等式表示線段砌，F(xiàn)E與尸C的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）①利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可；

②結(jié)論：FA=EF+FC；在物上截取EG,使得FG=EF,連接EG,FC；證明aAEG絲

ACEF（SAS）,推出AG=CF,推出剛=八7+46=/6+。凡可得結(jié)論.

【解答】解：（1）圖形如圖1所不：

圖1

(2)①,?,線段AC與線段關(guān)于直線/對(duì)稱，

：.AC=AB,AO垂直平分線段5C,

：.ZCAD=ZBAD=af

:△ACE是等邊三角形，

：.AC=AE=CEfZEAC=ZAEC=60°,

：.AB=AE,ZBAE=2a-60°,

：.ZABE=ZAEB=1.(180°-/BAE)=_1(180°-2a+60°)=120°-a.

22

故答案是：120°-a；

②結(jié)論：FA=EF+FC；

理由：在用上截取PG,使得FG=EF,連接EG,FC.

VZABE=120°-a,NBAD=a,

：.ZAFB=180°-AABE-ZBAD=6Q°,

,:FG=EF,

：.尸G是等邊三角形，

:.EG=EF=FG,ZG￡F=60°,

：./AEC=/GEF,

：.NAEC=/GEF,

：.ZAEG=ZCEF,

在△AEG和△<?￡：〃中，

，EA=EC

'ZAEG=ZCEF>

EG=EF

.?.△AEG注△CEP(SAS),

J.AG^CF,

：.FA^FG+AG^FG+CF^EF+FC,

即FA=EF+FC.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常

用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

13.(2022秋?房山區(qū)期末)AABC是等邊三角形，點(diǎn)。是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在8C

的延長(zhǎng)線上，且CE=AD,連接。8,DE.

(1)如圖1,若點(diǎn)。是線段AC的中點(diǎn)，則/由組=120°；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示。5與DE的數(shù)量關(guān)系，并

證明;

(3)當(dāng)點(diǎn)。在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接用等式表示。8與DE的數(shù)量關(guān)系.

圖2備用圖

【分析】(1)證明NDBC=/E=30°,可得結(jié)論;

(2)結(jié)論：DB=DE.如圖2中，過點(diǎn)。作。T〃CB交AB于點(diǎn)T.證明△8")絲ZVOCE

(SAS),可得結(jié)論;

(3)結(jié)論：DB=DE.證明方法類似(2).

【解答】解：(1)如圖1中,

圖1

「△ABC是等邊三角形，AD=DC,

2。平分/ABC,

AZDBC=AZABC=30°,

2

"：AD=CE,AD=DC,

：.CD=CE,

：.ZE=ZCDE,

VZACB=ZE+ZCDE^60°,

.?.Z￡=30°,

：.ZBDE^180a-30°-30°=120°.

故答案為：120；

(2)結(jié)論：DB=DE.

理由：如圖2中，過點(diǎn)。作。T〃C8交A3于點(diǎn)T.

圖2

?:DT〃CB,

：.ZATD=ZABC=60°,ZADT=ZACB=60°,

??.△AOT是等邊三角形，

：.AD=DT=AT,ZATO=60°,

9：AD=CE,AB=AC,

:?BT=CD,DT=CE,

*：ZBTD=ZDCE=120°,

:?△BTD"ADCE(SAS),

:?DB=DE；

(3)結(jié)論：DB=DE.

理由：如圖3中，過點(diǎn)。作OT〃C3交A5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T.

TD

圖3

,:DT〃CB,

：.ZATD=ZABC=60a,ZADT=ZACB=60°,

△AOT是等邊三角形，

：.AD=DT=AT,ZATD=60°,

\'AD=CE,AB=AC,

；.BT=CD,DT=CE,

'：ZBTD=ZDCE=60°,

:.ABTD%ADCE(SAS),

：.DB=DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問題.

14.(2022秋?昌平區(qū)期末)在等邊△A8C中，點(diǎn)P,。是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與8,C

重合)，點(diǎn)尸在點(diǎn)0的左側(cè)，且AP=AQ.

(1)若N8AP=20°,則乙4。8=80°；

(2)在圖1中，求證：BP=CQ；

(3)點(diǎn)〃在邊AC上，CM=CQ,點(diǎn)。為A。的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)N,

連接PM,PN.

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②猜想△「用/'的形狀，并證明.

圖1圖2

【分析】(1)在△ABP中，ZAPQ=ZB+ZBAP=60°+20°=80°,ffi]AP=AQ,即可

求解；

(2)證明BH=C”，PH=QH,即可求解；

(3)①按要求補(bǔ)全圖即可；

②證明△AOVg△。。聞(AAS)、AANM%ABPN(SAS),得到MN=PN,進(jìn)而求解.

【解答】(1)解：???△A8C為等邊三角形，

則/BAC=/B=NC=60°,

在△AB尸中，ZAPQ^ZB+ZBAP^60°+20°=80°,

'：AP=AQ,

：.ZAQB=ZAPQ=S0Q,

故答案為：80；

(2)證明：過點(diǎn)A作AXL8C于點(diǎn)X,

AABC為等邊三角形，則BH=CH,

同理可得：PH=QH,

：.BP=BH-PH=CH-QH=CQ；

(3)解：①連接MO并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)M連接PM,PN,補(bǔ)全圖如下：

②△PMN為等邊三角形，理由：

連接CM,"：CM=CQ,ZC=60°,

...△CQM為等邊三角形，則CQ=CM=QM,

：.ZB=ZCQM=60°,

：.QM//AB,

：./MQD=ZNAD,/ADN=ZDMQ,

?.,。為AQ的中點(diǎn)，即AZ)=。。，

:.AADN學(xué)AQDM(AAS),

J.AN^QM,

設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,等邊三角形CMN的邊長(zhǎng)為6,

則AN=QM=6,

由(2)知，則8P=CQ=b=AM

而BN=AB-AN=a-b,AM=AC-CM=a-b=BN,

在△BNP和△MAN中,

rAM=BN

-ZMAN=ZB=60°，

BP=AN

:.AANM%ABPN(SAS),

:.MN=PN,

同理可得：MN=PM,

：.MN=PN=PM,

：.△PMN為等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰

三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

五.作圖一復(fù)雜作圖（共1小題）

15.（2022秋?西城區(qū)期末）在△ABC中，AB^AC在8C上截取連

接AD.在△ABC的外部作且BE交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）作圖與探究：

①小明畫出圖1并猜想AE=AC同學(xué)小亮說“要讓你這個(gè)結(jié)論成立，需要增加條件：Z

ABC=36°

請(qǐng)寫出小亮所說的條件；

②小明重新畫出圖2并猜想△ABE且AD4c.他證明的簡(jiǎn)要過程如下：

小明的證明：

在△ABE■與AD4c中，

，ZABE=ZDAC

<AB=AC，

ZBAE=ZADC

可得△ABEdZMC.(ASA)

請(qǐng)你判斷小明的證明是否正確并說明理由；

(2)證明與拓展：

①借助小明畫出的圖2證明BE=DE；

②延長(zhǎng)4。到使DF=AE,連結(jié)8RCF.補(bǔ)全圖形，猜想/BFE與NAFC的數(shù)量關(guān)

系并加以證明.

【分析】(1)①增加/ABC=36°,證明△ABC0ZXABE(ASA),即可的結(jié)論成立；

②小明證明時(shí)所使用的△ZMC中的三個(gè)條件uZDAC,AC,ZADC"不是"兩角和它們

的夾邊”的關(guān)系，所以不能使用“ASA”來證明，進(jìn)而可以解決問題；

(2)①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角定義即可解決問題；

②根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形;過點(diǎn)8作BG_LEF于點(diǎn)G,如圖4,證明AABE出△CARSAS),

可得/E=/AFC,然后利用線段的和差和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】(1)解：①增加NABC=36°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZC=36°,

"：BD=AB,

：.ZBAD=ZBDA=1.(180°-36°)=72°,

2

.?.ND4c=72°-36°=36°,

/.ZABE=ZDAC=36°,

AZABE^ZABC^36°,

VZBAC=ZBAE=180°-2X36°=108°，

'：AB=AB,

：.AABC^AABE(ASA),

：.AC=AE.

增力口NABC=36°時(shí)，AE=AC成立.

故答案為：36；

②小明的證明不正確，

他證明時(shí)所使用的△D4C中的三個(gè)條件“/DAC,AC,/AZJC”不是“兩角和它們的夾

邊”的關(guān)系，

所以不能使用“ASA”來證明.

(2)①證明：如圖2,

C

；.N3=NC,

；NDBE=N1+N3,Z4=Z2+ZC,N1=N2,

：.ZDBE=Z4.

:.BE=DE；

②解：補(bǔ)全的圖形如圖3,

猜想

證明：過點(diǎn)5作尸于點(diǎn)G,如圖4,

圖4

?：DF=AE,

：.AE+AD=DF+ADf

:?DE=AF,

?；BE=DE,

：.BE=AF.

在△ABE與△CA/中，

'BE=AF

</ABE=NCAF，

AB=CA

AAABE^ACAF（SAS）,

:?/E=ZAFC,

?：BA=BD,BGLEF,

：.DG=AG,

\9DF=AE,

：.DG+DF=AG+AEf

；?FG=EG,

???5G，E尸于點(diǎn)G,

:,BE=BF,

：?/BFE=/E,

：.ZBFE=ZAFC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得

至！J/VU5E名△CAR

六.作圖.軸對(duì)稱變換（共2小題）

16.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，A0是N8AC的平分線，且AD=

AB,過點(diǎn)C作A。的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)以直線為對(duì)稱軸作點(diǎn)A的對(duì)稱

點(diǎn)P,連接CP

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)直接寫出A8與"的位置關(guān)系；

(3)用等式表示線段A8與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)以直線C8為對(duì)稱軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P,連接CP

即可；

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知/8AO=NCA。，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知

據(jù)此可得出結(jié)論；

(3)作輔助線，構(gòu)建等腰三角形，易證△AC8絲△AM,則AC^AF,HC=HF,根據(jù)

平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：AG=AH,再由線段的和可得結(jié)論.

(2)是/BAC的平分線，

：.ZBAD=ZCAD,

:點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線CH對(duì)稱,

：.ZP=ZCAD,

：.ZP=ABAD,

：.AB//CP；

(3)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系：2AH=AB+AC.

證明：延長(zhǎng)AB和CH交于點(diǎn)R取2尸的中點(diǎn)G,連接GH.

在△ACH與■中，

,ZBAD=ZCAD

-AH=AH，

ZAHF=ZAHC

/.AACH^AAFH(ASA),

：.AC^AF,HC=HF,

：.GH//BC,

"：AB=AD,

：.ZABD^ZADB,

：.ZAGH^ZAHG,

J.AG^AH,

：.AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中

位線定理等知識(shí)，熟練掌握這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，構(gòu)建等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

17.（2022秋?北京期末）如圖，△ABC中，A8CAC,點(diǎn)。為BC邊中點(diǎn)，ZBAD=a.作

點(diǎn)2關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)8,連接89交A。于點(diǎn)￡,過點(diǎn)C作C尸〃AB交直線A3于

點(diǎn)F.

（1）依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出NAB'E和NAFC的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）用等式表示線段AB,AF,CT之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）根據(jù)題中步驟畫圖，根據(jù)對(duì)稱和平行的性質(zhì)求解;

（2）添加輔助線，證明線段相等，利用等量代換證明.

【解答】解：（1）如圖：

:點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B1,

：.AB=AB',

:ABE經(jīng)LAB，E,

；./BAF=/BAD=a,ZAEB^ZAEB'=90°,

/.ZAB'￡=90°-a,

CF//AB,

：.ZAFC=180°-2a；

(2)AF=AB+CF；

理由：如圖：

:點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B,,D平分BC

:.BD=CD=DB',

：.ZBB'C=90°,

：.ZCB'3=90°-ZAB'B=a,

：.ZB'CF=1800-ZCB'B-ZF=a,

：.ZCB'B=/B'CF,

：.CF=CB',

'：AB=AB',

：.AF=AB'+B'F=AB+CF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

七.幾何變換綜合題(共2小題)

18.(2022秋?東城區(qū)期末)已知：在△ABC中，.點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線

對(duì)稱，連接AD,CD,CD交直線AB于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)/CA8=60°時(shí)，如圖1.用等式表示，與AE的數(shù)量關(guān)系是：AE=^AD

2

BE與AE的數(shù)量關(guān)系是：BE=3AE；

(2)當(dāng)NCAB是銳角(NCAB=60°)時(shí)，如圖2；當(dāng)NC4B是鈍角時(shí)，如圖3.

在圖2,圖3中任選一種情況，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段AD,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2圖3