凸函數(shù)的開題報(bào)告

凸函數(shù)的開題報(bào)告凸函數(shù)的開題報(bào)告

一、

文獻(xiàn)綜述

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen著述中。它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論上的突破，加強(qiáng)它們在實(shí)踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。

凸函數(shù)有許多良好的性質(zhì)，例如，其中一個(gè)很重要的性質(zhì)就是：在凸集中，凸函數(shù)的任何局部最小也是全局最小

。它在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具

。

但是凸函數(shù)的局限性也很明顯，因?yàn)樵趯?shí)際問題中，大量的函數(shù)都是非凸的。為了理論上的突破，加強(qiáng)它們在實(shí)踐中的應(yīng)用，60年代中期產(chǎn)生了凸分析，凸函數(shù)的概念也按多種途徑進(jìn)行推廣，或?qū)τ诔橄罂臻g的推廣，或?qū)τ谏厦嫣岬降牟坏仁降耐茝V，然后提出了廣義凸函數(shù)的概念。60年代后期，先是有Mangasarian把凸函數(shù)的概念推廣到擬凸函數(shù)和偽凸函數(shù)。我們知道，在數(shù)學(xué)規(guī)劃的理論及算法中，函數(shù)的凸性只是一個(gè)充分條件，而不是必要條件。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)仍然得以保留，凸規(guī)則的大多數(shù)結(jié)果能推廣到非凸規(guī)則，已構(gòu)成了數(shù)學(xué)規(guī)劃研究領(lǐng)域的當(dāng)前趨勢之一，所以研究廣義凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得十分必要了。

擬凸函數(shù)是一類非常重要的廣義凸函數(shù)

，已有大量文獻(xiàn)對此作了研究，擬凸函數(shù)可以定義為：如果對任意

及任意的

，有，則稱

為

上的擬凸函數(shù)

。先是楊新民教授給出了擬凸函數(shù)、嚴(yán)格擬凸函數(shù)及強(qiáng)擬凸函數(shù)的性質(zhì)，討論了他們之間的關(guān)系，得到了某些有意義的結(jié)論。擬凸函數(shù)的定義具有多種形式且相互之間有等價(jià)關(guān)系

。同時(shí)又有許多專家研究擬凸函數(shù)的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性

。偽凸函數(shù)是另一類重要的廣義凸函數(shù)，其中強(qiáng)偽凸函數(shù)和嚴(yán)格偽凸函數(shù)尤其被數(shù)學(xué)工作者所研究

。強(qiáng)偽凸函數(shù)恰好是二次函數(shù)的嚴(yán)格偽凸性的推廣，所有關(guān)于二次函數(shù)嚴(yán)格偽凸的特征同樣也是二次函數(shù)強(qiáng)偽凸的特征

。

二、

立題背景及意義

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen著述中。它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論上的突破，加強(qiáng)它們在實(shí)踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。本文主要是研究幾類凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用。探討擬凸函數(shù)、嚴(yán)格擬凸函數(shù)及強(qiáng)擬凸函數(shù)的定義、性質(zhì)以及這三類函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的充分必要條件，也討論擬凸函數(shù)的連續(xù)性和可微性。同時(shí)也對強(qiáng)偽凸函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究，得到一些有意義的結(jié)論。

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，但是它的局限性也很明顯。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)仍然得以保留，所以研究廣義凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得十分必要了。

三、

研究內(nèi)容與研究方法

研究內(nèi)容：一是對研究的背景和意義進(jìn)行分析論述，二是對凸函數(shù)的定義及其相互關(guān)系分析論述，三是對凸函數(shù)的性質(zhì)分析，四是對凸函數(shù)的應(yīng)用分析。

研究的方法：主要是運(yùn)用了文獻(xiàn)綜述的理論論述和定量分析的方法，具體步驟為：

1.查閱有關(guān)凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的書籍和文獻(xiàn)資料，結(jié)合教學(xué)實(shí)習(xí)了解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師對凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用及效果情況，對其過程、環(huán)節(jié)和情況做出分析。

2.寫出開題報(bào)告，指出現(xiàn)今文獻(xiàn)中對凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的探討研究情況，分析文獻(xiàn)資料，并基于文獻(xiàn)提出有關(guān)值得探討和挖掘的問題，列出論文提綱。

3.在論文寫作過程中注意理論與實(shí)踐相聯(lián)系，解決提出的問題，尋求恰當(dāng)切入點(diǎn)，進(jìn)行論述，并提出自己的論點(diǎn)和相關(guān)的改革建議。

4.參加論文答辯

四、

預(yù)期結(jié)果

本文研究幾類廣義凸函數(shù)的定義和性質(zhì)。探討擬凸函數(shù)、嚴(yán)格擬凸函數(shù)及強(qiáng)擬凸函數(shù)的定義、性質(zhì)以及這三類函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的充分必要條件，也討論擬凸函數(shù)的連續(xù)性和可微性。同時(shí)也對強(qiáng)偽凸函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究，得到一些有意義的結(jié)論。

五、

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