2025屆高考數(shù)學(xué)試卷專項練習(xí)08平面解析幾何含解析

平面解析幾何一、單選題1．（2024·山東棗莊市·高三二模）已知點在拋物線：上，則的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由點在拋物線上，求得參數(shù)，焦點到其準(zhǔn)線的距離即為.【詳解】由點在拋物線上，易知，，故焦點到其準(zhǔn)線的距離為.故選：B.2．（2024·全國高三專題練習(xí)（理））圓截直線所得的最短弦長為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】直線過定點，在圓內(nèi)，利用圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求得最短弦長.【詳解】直線過定點，圓可化為，故圓心為，半徑為.，所以點在圓內(nèi)，和的距離為，依據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，圓截直線所得的最短弦長為.故選：A3．（2024·山東青島市·高三一模）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】依據(jù)一條漸近線的傾斜角為，由求得，再由求解.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，所以，故選：C4．（2024·山東淄博市·高三一模）實軸長與焦距之比為黃金數(shù)的雙曲線叫黃金雙曲線，若雙曲線是黃金雙曲線，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意知，平方后利用化簡即可求出.【詳解】由題意，所以，解得，故選：A5．（2024·河北張家口市·高三一模）已知橢圓的左焦點為F，上頂點為A，右頂點為B，若的平分線分別交x軸于點，且，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理求出，即可得到，即，從而，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：如下圖所示：因為，所以由余弦定理得，又，所以．因為分別為的平分線，所以，所以．由題意可知，點，則．由，可得，即，在等式的兩邊同時除以，可得，解得或．因為，所以故選：C．6．（2024·廣東湛江市·高三一模）已知橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若=0，且｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差數(shù)列，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量學(xué)問得出，再由等差數(shù)列的性質(zhì)、勾股定理、橢圓的定義得出，最終由離心率公式得出答案.【詳解】因為，所以由｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差數(shù)列，設(shè)在中，，解得即由橢圓的定義得的周長為即在直角三角形中，，，則，故即故選：A7．（2024·廣東湛江市·高三一模）已知拋物線C：x2=-2py(p>0)的焦點為F，點M是C上的一點，M到直線y=2p的距離是M到C的準(zhǔn)線距離的2倍，且｜MF|=6，則p=（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】利用已知條件結(jié)合拋物線的定義求解即可．【詳解】設(shè)，則，解得故選：A8．（2024·山東濟(jì)寧市·高三一模）已知、是雙曲線：的左、右焦點，點是雙曲線上的隨意一點（不是頂點），過作角平分線的垂線，垂足為，是坐標(biāo)原點．若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先依據(jù)題意結(jié)合圖象推斷是的中點，，再利用中位線定理、雙曲線的定義和題中條件求得，即求得，即得漸近線方程.【詳解】依題意，延長交于Q，由是的角平分線，可知，是的中點，.又O是的中點，故是的中位線，所以，故，即，故，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：D.9．（2024·廣東肇慶市·高三二模）已知，分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，在雙曲線存在點，使得，設(shè)的面積為.若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，再利用勾股定理和結(jié)合已知條件及雙曲線的定義可得，從而可求出雙曲線的離心率【詳解】由，得.設(shè)，.由，得，即.又，即，所以，所以，故選：A.10．（2024·山東青島市·高三一模）在拋物線第一象限內(nèi)一點處的切線與軸交點橫坐標(biāo)記為，其中，已知，為的前項和，若恒成立，則的最小值為（）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】D【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，即可得到與的關(guān)系，從而推斷出是以為公比的等比數(shù)列，再依據(jù)等比數(shù)列前項和公式求出，得到的范圍,即可求出.【詳解】因為，，，所以切線：令，，∴，，則，有．∴是以為公比的等比數(shù)列,，而，．∴恒成立,即的最小值為128.故選：D．11．（2024·河南高三月考（理））已知拋物線的焦點為F，P為C在第一象限上一點，若的中點到y(tǒng)軸的距離為3，則直線的斜率為（）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由的中點到y(tǒng)軸的距離為3可求得，得出點坐標(biāo)，即可求出斜率.【詳解】的中點到y(tǒng)軸的距離為3，，即，解得，代入拋物線方程可得，因為F點的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為．故選：B.12．（2024·浙江高一單元測試）已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，點P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，依據(jù)可求其最大值.【詳解】以為原點建系，，，即，故圓的半徑為，∴圓，設(shè)中點為，，，∴，故選：D.13．（2024·山東煙臺市·高三一模）已知為拋物線的焦點，直線與交于兩點，若中點的橫坐標(biāo)為則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用拋物線焦半徑的性質(zhì)，結(jié)合中點的橫坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，若的中點的橫坐標(biāo)為4，設(shè)，，，，，則．故選：．14．（2024·江蘇常州市·高三一模）過拋物線上一點P作圓的切線，切點為，則當(dāng)四邊形的面積最小時，P點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用點在拋物線上設(shè)出P點的坐標(biāo)，求出點P到圓心的距離，對函數(shù)求導(dǎo)得出最小值，即四邊形的面積最小值，進(jìn)而可得此時的P點的坐標(biāo)．【詳解】由題意可設(shè)，當(dāng)四邊形的面積最小時，點P到圓心的距離最小，即，可令，則，則時，，此時取得最小值，四邊形的面積為，所以故選：C15．（2024·山東臨沂市·高三其他模擬）已知雙曲線的離心率為，若則的焦點到一條漸近線的距離的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由離心率求出，再依據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，而的焦點到漸近線的距離為.所以距離的取值范圍為.故選：16．（2024·遼寧高三二模）已知點，分別是雙曲線：的左，右焦點，為坐標(biāo)原點，點在雙曲線的右支上，且滿意，，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)，得到為直角三角形，再由，結(jié)合雙曲線定義得到，然后代入求解.【詳解】因為，所以，故為直角三角形，且，∴.由雙曲線定義可得.∵，∴，∵，∴.又，整理得.所以.所以，又，所以，所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：B17．（2024·遼寧高三二模）歷史上第一個探討圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年—325年)，大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地探討了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步探討了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點.設(shè)拋物線：，一束平行于拋物線對稱軸的光線經(jīng)過，被拋物線反射后，又射到拋物線上的點，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出入射光線與拋物線的交點坐標(biāo)，再依據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，利用斜率相等列式可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)從點沿平行于拋物線對稱軸的方向射出的直線與拋物線交于點，易知，將代入拋物線方程得，即，設(shè)焦點為，則，設(shè)，由，，三點共線，有，化簡得，解得或(舍)，即.故選：D18．（2024·遼寧高三二模（理））雙曲線的左、右焦點分別為、，是雙曲線上一點，軸，，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)可得，由結(jié)合已知，得到齊次方程求a、b的數(shù)量關(guān)系，寫出漸近線方程即可.【詳解】由題設(shè)，，由軸，知，∴，又，∴，得，又，得，∴，又漸近線方程為，即等價于.故選：C.19．（2024·遼寧高三其他模擬）已知雙曲線的右頂點為，右焦點為，，是雙曲線的一條漸近線上兩個不同點，滿意，都垂直于軸，過作，垂足為，若四邊形的面積是三角形面積的4倍，則雙曲線的離心率（）A． B．2 C．3 D．【答案】C【解析】依題意得四邊形的面積為，三角形面積為，則，即可得離心率．【詳解】設(shè)漸近線，則，又因為，故四邊形的面積為三角形面積為，則有，即，離心率．故選：C20．（2024·湖南永州市·高三二模）拋物線：的焦點為，是其上一動點，點，直線與拋物線相交于，兩點，下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值是2B．動點到點的距離最小值為3C．存在直線，使得，兩點關(guān)于直線對稱D．與拋物線分別相切于?兩點的兩條切線交于點，若直線過定點，則點在拋物線的準(zhǔn)線上【答案】A【解析】A中利用三點共線推斷線段和最小值；B中利用兩點距離公式轉(zhuǎn)為二次函數(shù)最值處理；C中設(shè)直線聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理，得中點坐標(biāo)代入求解即可；D中分別求得方程，進(jìn)而得直線方程，將點代入求解推斷即可.【詳解】A選項：對于拋物線：，當(dāng)時，故點在內(nèi)部又因為等于到準(zhǔn)線的距離，故作到準(zhǔn)線的垂線為，為垂足，當(dāng)P與三點共線時，取得最小值為，故A正確；B選項：設(shè)，則當(dāng)時，B錯；C選項：設(shè)，與交點為因為，兩點關(guān)于直線對稱，令方程為因為在拋物線上，聯(lián)立拋物線得，有兩解故，得由于，所以代入得，又因為，故無解，C錯；D選項：設(shè)，由于得，所以因為均為切線，設(shè)斜率，則方程為，化簡得，方程為，化簡得因為與交點為所以，則方程為，由于直線過定點，所以，即，又因為準(zhǔn)線方程為，所以點不在拋物線的準(zhǔn)線上，D錯故選：A21．（2024·全國高三專題練習(xí)（文））雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點我國首先研制勝利的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為為其左?右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后，滿意，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率．【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，則，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以．故選：C．22．（2024·全國高三專題練習(xí)）已知是圓上的兩個動點，為線段的中點，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)是圓上的兩個動點，且，得到向量的模和夾角，再由是線段的中點，用表示向量，然后利用平面對量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】解：是圓上的兩個動點，，又，即,即，即，，是線段的中點，，.故選：C.23．（2024·廣東廣州市·高三一模）已知，直線上存在點，滿意，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)上，得到點p在線段AB上，其方程為上，又點在直線l上，聯(lián)立其方程，求得，然后由求解.【詳解】將代入得，將代入得，所以A，B不在直線l上，又上，所以點p在線段AB上，直線AB的方程為：，由，解得，直線方程，即為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以，則，所以，即，因為，所以，故選：D24．（2024·山東日照市·高三一模）如圖所示，單位圓上肯定點與坐標(biāo)原點重合．若單位圓從原點動身沿軸正向滾動一周，則點形成的軌跡為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析當(dāng)單位圓向軸正向滾動個單位長度時的縱坐標(biāo)，由此推斷出點形成的軌跡.【詳解】如圖所示，記為圓上的三個四等分圓周的點，由題意可知：圓是逆時針滾動的，因為圓的周長為，所以，且圓上點的縱坐標(biāo)最大值為，當(dāng)圓逆時針滾動單位長度時，此時的相對位置互換，所以的縱坐標(biāo)為，解除BCD，故選：A.25．（2024·山東日照市·高三一模）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，若點在橢圓（，）上，則的最小值為（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】求出的坐標(biāo)代入橢圓方程，再將化為積為定值的形式，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由，即，得，所以，因為點在橢圓上，所以（，），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：C26．（2024·河北邯鄲市·高三一模）設(shè)是雙曲線的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點在C的左支上，且，則的面積為（）A．8 B． C．4 D．【答案】A【解析】依據(jù)已知條件可以求出，由雙曲線的可得點在以為直徑的圓上，利用時直角三角形，利用勾股定理以及雙曲線的定義即可求出，再由三角形的面積公式即可求解.【詳解】由，不妨設(shè)，，所以，所以點在以為直徑的圓上，即是以為直角頂點的直角三角形，故，即．又，所以，解得：，所以．故選：A27．（2024·聊城市·山東聊城一中高三一模）若雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】已知圓圓心為，半徑為，依據(jù)圓的相交弦長公式，求出圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式，建立關(guān)系，進(jìn)而得出關(guān)系，即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由對稱性，不妨取，即．又曲線化為，則其圓心的坐標(biāo)為，半徑為．圓心到漸近線的距離，又由點到直線的距離公式，可得，所以.故選：C．28．（2024·全國高三專題練習(xí)）設(shè)、是雙曲線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，若上存在點，使得，且，則此雙曲線的離心率為（A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，利用余弦定理結(jié)合雙曲線的定義得出，推導(dǎo)出，利用平面對量數(shù)量積的計算可得出與的等量關(guān)系，利用雙曲線的離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，在中，由，得，則，由于，可得，所以，即，可得，所以，該雙曲線的離心率為.故選：A.29．（2024·江蘇鹽城市·高三二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限，且若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由雙曲線的定義，可得，，在中，由余弦定理可得，再由，即可得解.【詳解】由雙曲線的定義知，，因為，即，所以，在中，由余弦定理知，，所以，所以，因為，所以，解得或（舍去）所以雙曲線的離心率為2，故選：D.30．（2024·遼寧高三二模（理））已知直線與圓交于、兩點，為坐標(biāo)原點，，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)向量關(guān)系可得，即為等邊三角形，由此可得圓心到直線距離為，建立方程求得結(jié)果.【詳解】由得：，又為圓的圓心，則，所以，所以，即，所以，所以為等邊三角形，則到直線的距離為：，即，故選：D.31．（2024·河北唐山市·高三二模）已知為雙曲線的右焦點，為雙曲線右支上一點，且位于軸上方，為漸近線上一點，為坐標(biāo)原點．若四邊形為菱形，則雙曲線的離心率（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由，求得，再設(shè)，代入雙曲線的方程，求得，利用，和雙曲線的離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的焦點，且漸近線方程，因為四邊形為菱形，如圖所示，設(shè)，因為，解得，可得，設(shè)，代入雙曲線的方程，可得，即，又由，可得，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：D.32．（2024·山東棗莊市·高三二模）已知橢圓與雙曲線有相同的左焦點、右焦點，點是兩曲線的一個交點，且.過作傾斜角為45°的直線交于，兩點（點在軸的上方），且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)向量數(shù)量積為零對應(yīng)的垂直關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義求解出的長度，再依據(jù)焦點坐標(biāo)求解出橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可求解出的縱坐標(biāo)，通過用表示出，則的值可求.【詳解】不妨設(shè)為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點，橢圓方程為，，由雙曲線定義可知：，又因為，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓方程為，又因為，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，解得，故選：A.33．（2024·全國）已知雙曲線的左?右頂點分別是，，右焦點為，點在過且垂直于軸的直線上，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時，點恰好在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，利用兩角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，將點代入雙曲線計算得到答案.【詳解】依據(jù)雙曲線的對稱性不妨設(shè)點的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點的坐標(biāo)為，代入，可得，即，即．所以雙曲線的漸近線方程為：．故選：C34．（2024·全國高三專題練習(xí)）拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點，則的最大值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時的點P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當(dāng)最小時，則值最大，所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，所以，，所以的最大值為：，故選：B．二、多選題35．（2024·全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點分別為，一條漸近線方程為，為上一點，則以下說法正確的是（）A．的實軸長為 B．的離心率為C． D．的焦距為【答案】AD【解析】依據(jù)雙曲線方程及一條漸近線求出，寫出雙曲線方程，依據(jù)雙曲線的定義、性質(zhì)即可推斷各項的正誤.【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為，而一條漸近線方程為，∴，故，∴雙曲線：實軸長，離心率為，由于可能在不同分支上則有，焦距為.∴A、D正確，B、C錯誤.故選：AD36．（2024·廣東深圳市·高三一模）設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點，且，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．當(dāng)時，C的離心率是2C．到漸近線的距離隨著n的增大而減小 D．當(dāng)時，C的實軸長是虛軸長的兩倍【答案】AC【解析】由已知條件值，依據(jù)，，，可計算的值，進(jìn)而可推斷選項A；干脆計算可推斷選項B；計算到漸近線的距離用表示，即可推斷選項C；當(dāng)時求出得值，可得的關(guān)系可推斷選項D，進(jìn)而可得正確選項.【詳解】對于選項A：由雙曲線的方程可得，，所以，因為，所以，所以，可得：，故選項A正確；對于選項B：當(dāng)時，雙曲線，此時，，所以離心率，故選項B不正確；對于選項C：中，由選項A知：，，，的漸近線方程為，不妨取焦點，則到漸近線的距離，所以到漸近線的距離隨著n的增大而減小，故選項C正確；對于選項D：當(dāng)時，，，所以實軸長為，虛軸長為，不滿意C的實軸長是虛軸長的兩倍，故選項D不正確；故選：AC37．（2024·山東青島市·高三一模）已知圓：，下列說法正確的是（）A．的取值范圍是B．若，過的直線與圓相交所得弦長為，方程為C．若，圓與圓相交D．若，，，直線恒過圓的圓心，則恒成立【答案】ACD【解析】依據(jù)圓的一般方程可推斷A；利用點到直線的距離為可推斷B；利用兩圓心的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系可推斷C；利用基本不等式可推斷D.【詳解】對于A，方程表示圓可得，解得，故A正確；對于B，若，可得圓方程：，過的直線與圓相交所得弦長為，則圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，，滿意條件，故B不正確；對于C，，圓心，半徑，圓，圓心為，半徑，兩圓心的距離為，兩圓相交，故C正確；對于D，直線恒過圓的圓心，可得.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：ACD.38．（2024·全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）A．為的一個焦點B．雙曲線的離心率為C．過點作直線與交于兩點，則滿意的直線有且只有兩條D．設(shè)為上三點且關(guān)于原點對稱，則斜率存在時其乘積為【答案】BD【解析】依題意求出雙曲線方程，即可推斷AB；再由雙曲線的對稱性推斷C；設(shè)，，利用點差法求出；【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線，所以，，，所以則其焦點為、，離心率，故A錯誤，B正確；過點作直線與交于兩點，因為為雙曲線的焦點坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率不存在時，當(dāng)直線的斜率為時，，所以由雙曲線的對稱性得，滿意的直線有4條，故C錯誤；設(shè)，，，所以，，因為在雙曲線上，所以，，兩式相減得，所以，故D正確；故選：BD39．（2024·全國高三專題練習(xí)）已知點為坐標(biāo)原點，直線與拋物線相交于兩點，則（）A． B．C．的面積為 D．線段的中點到直線的距離為2【答案】AC【解析】先推斷直線過焦點，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理得兩根關(guān)系，再依據(jù)選項一一推斷即可．【詳解】設(shè)，拋物線，則，焦點為，則直線過焦點；聯(lián)立方程組消去得，則，所以，故A正確；由，所以與不垂直，B錯；原點到直線的距離為，所以的面積為，則C正確；因為線段的中點到直線的距離為，故D錯故選：AC40．（2024·江蘇省天一中學(xué)高三二模）已知點P是雙曲線的右支上一點，為雙曲線E的左、右焦點，的面積為20，則下列說法正確的是（）A．點P的橫坐標(biāo)為 B．的周長為C．大于 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ABD【解析】設(shè)的內(nèi)心為，連接，設(shè)，利用的面積為20，可求得P點坐標(biāo)；的周長為，借助P點坐標(biāo)，可得解；利用，可求得，可探討范圍；可求得內(nèi)切圓半徑r.【詳解】設(shè)的內(nèi)心為，連接，雙曲線：中的，，，不妨設(shè)，，，由的面積為20，可得，即，由，可得，故A符合題意；由，且，，則，則的周長為，故B符合題意；可得，，則，則，故C不符合題意；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，可得，可得，解得，故D符合題意．故選：ABD．41．（2024·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別是，，左、右頂點分別是，，點是橢圓上異于，的隨意一點，則下列說法正確的是（）A．B．直線與直線的斜率之積為C．存在點滿意D．若的面積為，則點的橫坐標(biāo)為【答案】BD【解析】依據(jù)橢圓的定義推斷A，設(shè)，計算斜率之積，推斷B，求出當(dāng)是短軸端點時的后可推斷C，由三角形面積求得點坐標(biāo)后可推斷D．【詳解】由題意，，，，，短軸一個頂點，，A錯；設(shè)，則，，所以，B正確；因為，所以，從而，而是橢圓上任一點時，當(dāng)是短軸端點時最大，因此不存在點滿意，C錯；，，，則，，D正確．故選：BD．42．（2024·山東德州市·高三一模）已知雙曲線，、分別為雙曲線的左、右頂點，、為左、右焦點，，且，，成等比數(shù)列，點是雙曲線的右支上異于點的隨意一點，記，的斜率分別為，，則下列說法正確的是（）．A．當(dāng)軸時，B．雙曲線的離心率C．為定值D．若為的內(nèi)心，滿意，則【答案】BCD【解析】對于A求出點，再求的值即可推斷；對于B由，解出e的值即可；對于C，寫出，利用點在雙曲線上化簡即可求解；對于D，設(shè)圓I的半徑為r，可推出，再結(jié)合雙曲線的定義，即可得解．【詳解】∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，如圖，對于A，當(dāng)PF2⊥x軸時，點P為,，明顯，即選項A錯誤；對于B，∴e2﹣e﹣1＝0，解得（舍負(fù)），即選項B正確；對于C,設(shè)，則，所以，由點在雙曲線上可得，代入，故C正確；對于D，設(shè)圓I的半徑為r，，即，由雙曲線的定義知，，即，故選項D正確；故選：BCD．43．（2024·山東高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右兩個焦點分別為，直線與C交于兩點，軸，垂足為E，直線與C的另一個交點為P，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形為平行四邊形 B．C．直線的斜率為 D．【答案】AC【解析】利用關(guān)于原點對稱，可推斷A，利用趨近于0時點的位置，得出大于，從而推斷B．設(shè)，計算斜率可推斷C，由三角形外角定理得，從而可推斷D．【詳解】雙曲線關(guān)于原點對稱，又直線過原點，所以關(guān)于原點對稱，由得四邊形為平行四邊形，A正確；當(dāng)，點趨近于右頂點，此時趨近于平角，因此不行能有，B錯．設(shè)，則，由軸知，，而，C正確；中，，因此，D錯；故選：AC．44．（2024·全國高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線右支上，則下列結(jié)論正確的有（）A．若，則雙曲線的離心率B．若是面積為的正三角形，則C．若為雙曲線的右頂點，軸，則D．若射線與雙曲線的一條漸近線交于點Q，則【答案】AB【解析】對選項A，由題意列式得，即可求得；對選項B，利用等邊三角形的性質(zhì)求解得，，即可得；對選項C，可得，即可推斷，對選項D，舉出反例即可推斷.【詳解】由題意，對于選項A，因為，所以的中垂線與雙曲線有交點，即有，解得，故選項A正確；對于選項B，因為，解得，所以，所以，故選項B正確；對于選項C，由題意可得明顯不等，故選項C錯誤；對于選項D，若為右頂點時，則為坐標(biāo)原點，此時，故選項D錯誤.故選：AB.45．（2024·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線：（），過其準(zhǔn)線上的點作的兩條切線，切點分別為、，下列說法正確的是（）A． B．C．直線的斜率為 D．線段中點的橫坐標(biāo)為1【答案】BCD【解析】選項A：由點在準(zhǔn)線上，可求出，從而可推斷；選項B：設(shè)直線與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可推斷；選項C：設(shè)，分別求出，方程，依據(jù)方程結(jié)構(gòu)可推斷；選項D：由點差法可推斷.【詳解】易知準(zhǔn)線方程為，∴，：，故選項A不正確.設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時，有，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項B正確.設(shè)，，其中，.則：，即.代入點，得，同理可得，故：，故.故選項C正確.由，得，即中點橫坐標(biāo)為1.故選項D正確.故選：BCD46．（2024·全國高三專題練習(xí)）曲率半徑是用來描述曲線上某點處曲線彎曲改變程度的量，已知對于曲線上點處的曲率半徑公式為，則下列說法正確的是（）A．對于半徑為的圓，其圓上任一點的曲率半徑均為B．橢圓上一點處的曲率半徑的最大值為C．橢圓上一點處的曲率半徑的最小值為D．對于橢圓上點處的曲率半徑隨著的增大而堿小【答案】AC【解析】利用曲率半徑公式的定義，A中有圓上任一點；B、C中由橢圓在，處分別是最大、最小處，結(jié)合公式求得曲率半徑的范圍；D中由公式得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性即可，進(jìn)而可確定正確選項.【詳解】A：由題設(shè)知：圓的方程可寫為，所以圓上任一點曲率半徑為，正確；B、C：由彎曲最大處為，最小處為，所以在處有，在處有，即，故B錯誤，C正確；D：由題意，處的曲率半徑，而，所以，令，則在上有恒成立，故在上隨著的增大而增大，錯誤；故選：AC.三、填空題47．（2024·河北張家口市·高三一模）若為拋物線上一點，拋物線C的焦點為F，則________．【答案】5【解析】先把點的坐標(biāo)代入拋物線方程中求出，再由拋物線的定義可求得的值【詳解】由為拋物線上一點，得，可得，則．故答案為：548．（2024·廣東汕頭市·高三一模）寫一個焦點在軸上且離心率為的雙曲線方程________．【答案】（答案不唯一，符合要求就可以）【解析】取，可求得、的值，結(jié)合雙曲線的焦點位置可得出結(jié)果.【詳解】取，則，可得，，因此，符合條件的雙曲線方程為.故答案為：（答案不唯一，符合要求就可以）.49．（2024·湖南永州市·高三二模）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線：的離心率為，從雙曲線的右焦點引漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則雙曲線的方程為___________.【答案】【解析】利用數(shù)形結(jié)合，計算，然后依據(jù)面積以及離心率進(jìn)行計算可得結(jié)果.【詳解】如圖雙曲線的一條漸近線方程為：則，所以所以①又②，③所以由①②②得：故雙曲線方程為：故答案為：50．（2024·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點在拋物線上，垂直于點，與軸交于點為坐標(biāo)原點，且，則_______________________．【答案】【解析】依題意，即可得到為的中點，從而求出的縱坐標(biāo)，再代入拋物線方程求出的橫坐標(biāo)，最終依據(jù)焦半徑公式計算可得；【詳解】解：依題意可得，，依據(jù)拋物線的定義可知，設(shè)與軸相交于點，因為，又，所以，所以為的中點，所以即的縱坐標(biāo)為，在中令，得，所以，所以故答案為：51．（2024·山東淄博市·高三一模）若拋物線上的點到其焦點的距離是點到軸距離的3倍，則等于___________.【答案】【解析】依據(jù)拋物線的定義列方程，化簡求得的值.【詳解】拋物線開口向右，準(zhǔn)線為，將的坐標(biāo)代入拋物線方程得，由于拋物線上的點到其焦點的距離是點到軸距離的3倍，依據(jù)拋物線的定義有，所以.故答案為：52．（2024·廣東肇慶市·高三二模）已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為___________.【答案】【解析】設(shè)點在拋物線的準(zhǔn)線的投影為點，拋物線的焦點為，依據(jù)拋物線的定義可得，再依據(jù)三角形的性質(zhì)：即可求解.【詳解】設(shè)點在拋物線的準(zhǔn)線的投影為點，拋物線的焦點為，則.依拋物線的定義，知點到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則點到點的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和.故答案為：.53．（2024·山東高三專題練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點，過F作傾斜角為的直線交C于A，B兩點，若，則____________.【答案】8【解析】由拋物線的定義可得，設(shè)直線的方程為，然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消去得，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，結(jié)合前面的式子可求出的值，從而可得答案【詳解】解：設(shè)（），則，直線的方程為，由，得，所以，所以，因為，所以，所以，故答案為：854．（2024·江蘇省天一中學(xué)高三二模）過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，假如x1＋x2＝6，則|AB|＝________．【答案】8【解析】先確定拋物線中，焦點F(1，0)，再利用定義計算，即得結(jié)果.【詳解】拋物線y2＝4x中，，焦點F(1，0)，而直線AB過焦點F(1，0)，故依據(jù)拋物線定義可知.故答案為：8.55．（2024·山東濱州市·高三一模）已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切于第一象限內(nèi)的一點．若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】由相切求得點坐標(biāo)，再由直線斜率得出的關(guān)系，從而可得離心率．【詳解】，，由題意設(shè)，則，解得，即，所以，，，，解得或（舍去）．故答案為：．56．（2024·山東德州市·高三一模）已知拋物線，點、在拋物線上，且分別位于軸的上、下兩側(cè)，若，則直線過定點______．【答案】【解析】假設(shè)直線方程，然后與拋物線方程聯(lián)立并運(yùn)用韋達(dá)定理，最終依據(jù)得到，簡潔推斷即可.【詳解】設(shè)直線方程，則，則，且又，所以則或（舍），故直線方程，所以直線過定點故答案為：57．（2024·湖南岳陽市·高三一模）設(shè)橢圓的焦點為，是橢圓上一點，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，當(dāng)時，橢圓的離心率為___________.【答案】【解析】在中，利用正弦定理：，求得，，設(shè)，再利用余弦定理求得，然后由求解.【詳解】橢圓的焦點為，在中，由正弦定理得：，解得，，設(shè)，在中，由余弦定理得：，解得，所以，又，所以，整理得，即，解得或（舍去）故答案為：58．（2024·江蘇鹽城市·高三二模）已知橢圓的右頂點為右焦點為以為圓心，為半徑的圓與橢圓相交于兩點，若直線過點則的值為_____．【答案】【解析】由對稱性得弦是橢圓的通徑，由通徑長可得關(guān)系式，從而求得．【詳解】由已知，，因為過焦點，所以由對稱性知軸，所以，，所以．故答案為：．59．（2024·遼寧高三二模）過圓：外一點引直線與圓相交于，兩點，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，直線的斜率等于，則的值為___________.【答案】【解析】利用三角形的面積公式可知，當(dāng)時，的面積取最大值，再利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時，的面積最大，此時圓心到直線的距離，設(shè)直線方程為，，則，所以，再將代入，求得.故答案為：60．（2024·遼寧高三其他模擬）直線與拋物線交于，兩點，設(shè)拋物線的焦點為，若，則___________.【答案】【解析】先聯(lián)立方程，得，再結(jié)合和，建立方程后解方程即可.【詳解】聯(lián)立方程，消去得，則，且.即且，.由題意知.即，即，解得.故答案為：.61．（2024·山東菏澤市·高三一模）在拋物線上任取一點(不為原點)，為拋物線的焦點，連接并延長交拋物線于另一點過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為記線段的中點為則面積的最小值為______．【答案】【解析】取的中點為，連接，可變形為用表示，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入，再由基本不等式可得最小值．【詳解】焦點為，設(shè)直線方程為，由取的中點為，連接，則，，，故時面積最小為.故答案為：4．62．（2024·廣東廣州市·高三一模）已知圓與雙曲線的兩條漸近線相交于四個點，按順時針排列依次記為，且，則的離心率為_______.【答案】【解析】由對稱性知關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱，設(shè)得漸近線方程，設(shè)，，由可得，漸近線方程與圓方程聯(lián)立消元后由韋達(dá)定理得，結(jié)合可求得，從而可得離心率．【詳解】設(shè)，漸近線方程是，如圖，由對稱性可設(shè)，，，，則，，所以，①，由，得，②，③，①代入②得，，代入③得，解得，所以．故答案為：．63．（2024·山東濟(jì)寧市·高三一模）實數(shù)、滿意，則的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)，可知直線與圓有公共點，利用圓心到直線的距離不大于圓的半徑可得出關(guān)于的不等式，由此可解得的取值范圍，即為所求.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，該圓的半徑為，設(shè)，可知直線與圓有公共點，所以，，即，解得.因此，的取值范圍是.故答案為：.64．（2024·河北唐山市·高三二模）設(shè)拋物線的焦點為，直線與交于，，與軸交于，若，則__________．【答案】【解析】由題設(shè)知直線必過F點，且在，之間，，聯(lián)立拋物線和直線方程整理并結(jié)合韋達(dá)定理有，而由拋物線定義可得，即可列方程求，進(jìn)而求.【詳解】由題設(shè)知：，而直線過點，又，∴在，之間，且，，即，聯(lián)立拋物線與直線方程，，整理得且，若，則，而，∴，可得，即.故答案為：.65．（2024·山東日照市·高三一模）已知，分別為雙曲線:的左、右焦點，為雙曲線的右頂點，過的直線與雙曲線的右支交于，，兩點（其中點在第一象限），設(shè)，分別為，的內(nèi)心，則的取值范圍是______.【答案】【解析】依據(jù)圓的切線長定理和雙曲線的定義可推得，的內(nèi)切圓與軸切于雙曲線的右頂點，設(shè)直線的傾斜角為，可用表示，依據(jù)兩點都在右支上得到的范圍，利用的范圍可求得的取值范圍.【詳解】如圖：設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，所以，所以，又，所以，又，所以與重合，所以的橫坐標(biāo)為，同理可得的橫坐標(biāo)也為，設(shè)直線的傾斜角為.則，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，由題知，...因為兩點在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴.且，，綜上所述，.故答案為：66．（2024·山東煙臺市·高三一模）已知點為直線上一點，且位于第一象限，點，以為直徑的圓與交于點(異于)，若，則點的橫坐標(biāo)的取值范圍為___________.【答案】【解析】依據(jù)題意求出圓的方程，進(jìn)而求出點坐標(biāo)，依據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義及性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意設(shè)，設(shè)的中點為，由中點坐標(biāo)公式可得：，所以以為直徑的圓的方程為：，把代入得：，所以，因為是直徑，所以，因此，因為，所以，即，化簡得：，而，解得.故答案為：67．（2024·遼寧高三二模（理））在學(xué)習(xí)推理和證明的課堂上，老師給出兩個曲線方程；，老師問同學(xué)們：你想到了什么?能得到哪些結(jié)論?下面是四位同學(xué)的回答：甲：曲線關(guān)于對稱；乙：曲線關(guān)于原點對稱