三角形的概念和性質(zhì)【十六大題型】（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

三角形的概念和性質(zhì)【十六大題型】

?題型梳理

【題型1畫(huà)三角形的高、中線、角平分線】......................................................2

【題型2等面積法求三角形的高】..............................................................6

【題型3利用網(wǎng)格求三角形的面積】............................................................9

【題型4根據(jù)三角形的中線求解】..............................................................13

【題型5與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算】..............................................................16

【題型6利用三角形的三邊關(guān)系求解】.........................................................21

【題型7利用三角形內(nèi)角和定理求解】.........................................................24

【題型8三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】...................................................27

【題型9三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】.................................................30

【題型10利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問(wèn)題】...............................................34

【題型11利用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】.............................................41

【題型13利用三角形外角的性質(zhì)求角度】......................................................52

【題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合】...................................................55

【題型15利用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】.................................................60

【題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合】.................................................67

〉舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)三角形】

1.三角形的基本概念

⑴三角形的概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

(2)三角形的分類(lèi)

①按邊之間的關(guān)系分：

三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形；

有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；

三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

②按角分類(lèi)：

三個(gè)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；

有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。

(3)三角形的三邊之間的關(guān)系

三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。

三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

(4)三角形的高.中線.角平分線

角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形

的角平分線。

中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡(jiǎn)稱(chēng)三角形

的高)。

(5)三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)

用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

(6)三角形的角

①三角形的內(nèi)角和等于180%

推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。

②三角形的外角

定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。

內(nèi)外角的關(guān)系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它

不相鄰的內(nèi)角。

三角形的外角和等于360。。

⑺三角形的面積

三角形的面積=Lx底X高

2

【題型1畫(huà)三角形的高、中線、角平分線】

【例1】(2023?河北石家莊?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))嘉淇剪一個(gè)銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折

痕與BC交于點(diǎn)0,連接4D,則線段4D分別是△4BC的()

A.高，中線，角平分線B.高，角平分線，中線

C.中線，高，角平分線D.高，角平分線，垂直平分線

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可.

【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段2D是△4BC的高線，

圖②中，線段AD是△4BC的角平分線，

圖③中，線段4。是△力的中線，

故選：B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關(guān)鍵.

【變式1-1](2023?吉林長(zhǎng)春?校聯(lián)考二模)圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，在給定的網(wǎng)格中，按照要求作圖(保留作圖痕跡).

(1)在圖①中作的中線BD.

(2)在圖②中作A48C的高BE.

(3)在圖③中作A42C的角平分線BF.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)找出對(duì)角線為4C的矩形，連接另一條對(duì)稱(chēng)線，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)就是。，連接BD即可;

(2)找出與線段4c相等的線段BT,AC與交于點(diǎn)E,連接BE即可；

（3）延長(zhǎng)BC到H,使CH的長(zhǎng)為小方格的正方形的邊長(zhǎng)，貝MB=BH=5,連接4H交外圍大正方形的邊于

點(diǎn)W,則W是線段4H的中點(diǎn)，連接8勿即可.

【詳解】（1）如圖①中，線段8。即為所求;

（2）如圖②中，線段即為所求:

（3）如圖③中，線段2尸即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了用網(wǎng)格作圖，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和

性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（N2是鈍角），他打

算用折疊的方法折出NC的角平分線、邊上的中線和高線，能折出的是（）

A.4B邊上的中線和高線B.NC的角平分線和ZB邊上的高線

C.NC的角平分線和AB邊上的中線D.NC的角平分線、4B邊上的中線和高線

【答案】c

【分析】由折疊的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：當(dāng)4C與BC重合時(shí)，折痕是NC的角平分線；

當(dāng)點(diǎn)/與點(diǎn)8重合時(shí)，折疊是4B的中垂線，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2023下?黑龍江哈爾濱?三模)如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)均為1的方格紙中，△A8C的頂點(diǎn)均

在小正方形的頂點(diǎn)上.

(1)在圖1中畫(huà)出△4BC中BC邊上的高力D,垂足為。；

(2)在圖2中畫(huà)出△ABC中4B邊上的中線CE；

(3)直接寫(xiě)出圖2中三角形2CE的面積.

【答案】(1)圖見(jiàn)解析

(2)圖見(jiàn)解析

⑶4

【分析】(1)根據(jù)高線的定義，畫(huà)出4。即可;

(2)取48的中點(diǎn)E,連接CE即可；

(3)利用面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，4。即為所求；

（2）如圖所示，CE即為所求;

（3）三角形4CE的面積為^X2x4=4.

【點(diǎn)睛】本題考查畫(huà)高線，中線，求三角形的面積.熟練掌握高線和中線的定義，是解題的關(guān)鍵.

【題型2等面積法求三角形的高】

【例2】（2023?陜西西安??？既＃┤鐖D，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為

1），點(diǎn)N、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么△ABC中BC邊上的高的長(zhǎng)度是（）

A.竽B.7V13C.甯D.曾

101717

【答案】D

【分析】由勾股定理求得8C=717,由割補(bǔ)法求得S^BC=7,設(shè)△ABC中8c邊上的高的長(zhǎng)度是兒利用三

角形面積公式列方程求解即可.

2

【詳解】解：由題意可知，BC=V1+42=V17,5A^BC=4x4-|x2x3-|x2x4-|x1X4=7,

設(shè)△4BC中BC邊上的高的長(zhǎng)度是h,

S^ABC=］八,BC=7,

._14Vly

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，割補(bǔ)法求面積，一元一次方程的應(yīng)用你，分母有理化，利用屬數(shù)形結(jié)合的

思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫(huà)了A45c和△￡）￡￡數(shù)據(jù)如圖,

如果把小敏畫(huà)的三角形面積記作小穎畫(huà)的三角形面積記作&QER那么你認(rèn)為（）

小敏畫(huà)的三角形

A.S^ABOS^DEFB.S^ABC<S^DEF

C.S^ABC=S^DEFD.不能確定

【答案】C

【分析】在兩個(gè)圖形中分別作8C、所邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)4。分別作/GL8C,DHLEF,垂足分別為G、H,

D

小穎畫(huà)的三角形

在zMBG和中，AB=DE=5,

Z5=5O°,Z_DEN=180°-130°=50°,

:.乙B=3EH,UGB=3HE=90°,

.??△JG8三△Olffi(AAS),

：.AG=DH.

■.BC=4,EF=4,

.■.S^ABC=SADEF.

故選：C.

【點(diǎn)睛】要題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等底等高兩三角形面積相等.證明A4G8三是解題的關(guān)

鍵.

【變式2-2］（2023上?陜西延安?二模）如圖，aABC在平面直角坐標(biāo)系中，A,B,C三點(diǎn)在方格線的交點(diǎn)

上.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出△48C中力B邊上的高.

(2)求△TWC的面積.

(3)點(diǎn)8到4C邊所在直線的距離為費(fèi)，求4C的長(zhǎng)度.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵8

(3)4C=5

【分析】(1)根據(jù)高線的定義結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)作圖即可;

(2)利用三角形的面積公式計(jì)算即可；

(3)根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：如圖，4B邊上的高即為所作；

(2)如圖，SAABC=IAB-CD=IX4X4=8；

(3)???點(diǎn)B到4C邊所在直線的距離為青

?',SAABC=x—=8,

.,.AC=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線，三角形的面積計(jì)算，熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023?河北張家口?統(tǒng)考一模）如圖，在點(diǎn)，，B,C,。中選一個(gè)點(diǎn)；與點(diǎn)N為頂點(diǎn)構(gòu)成

一個(gè)三角形，其面積等于△?"可的面積，這個(gè)點(diǎn)為（）

A.點(diǎn)/B.點(diǎn)8C.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

【答案】C

【分析】與點(diǎn)M,N為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△KMN的面積，即尋找以MN為底邊，高為KN長(zhǎng)

的三角形.根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，只需要找到過(guò)點(diǎn)K且與MN平行的直線即可.

【詳解】解：由于平行線間的距離處處相等，所有在過(guò)點(diǎn)K且與MN平行的直線上的點(diǎn)與N組成的三

角形都滿足其面積與△KMN的面積相等，有網(wǎng)格的特點(diǎn)可知只有過(guò)點(diǎn)K、C的直線與MN平行，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，熟知平行線間的距離處處相等是解題的關(guān)鍵.

【題型3利用網(wǎng)格求三角形的面積】

【例3】（2023?安徽安慶??？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)8在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，在網(wǎng)

格格點(diǎn)上除點(diǎn)/，2外任取一點(diǎn)C,則使△力8c的面積為1的概率是.

【答案】I

【分析】根據(jù)△ABC的面積為1,在網(wǎng)格上找到滿足題意的點(diǎn)C,再根據(jù)概率公式，即可.

【詳解】解：：任意放置一點(diǎn)C（除點(diǎn)4B）共有20—2=18種可能的結(jié)果，

其中能使△ABC的面積為1的結(jié)果有4種，

使△4BC的面積為1的概率為：京4=97

【點(diǎn)睛】本題考查概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是全面找到滿足題意的結(jié)果，熟練掌握概率的公式.

【變式3-1]（2023?北京?統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)B,C,。均在格點(diǎn)上，則

【答案】<

【分析】分別求出△力BC的面積和△4CD的面積，即可求解.

【詳解】解：由題意，

19

S&ABC=]X3X3=5，

1Q1

S?ACD=5X（2+3）X5_5_]X2X2=6,

「?SA/BC<SA/CD；

故答案為：V.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵.

【變式3?2】（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1

的方格紙中，有線段48和線段DE,點(diǎn)/、B、D、E均在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）在方格紙中畫(huà)出以48為斜邊的Rt4ABC,點(diǎn)。在小正方形的頂點(diǎn)上;

(2)在方格紙中畫(huà)出以DE為一邊的等腰△DEF,點(diǎn)尸在小正方形的頂點(diǎn)上，且△DEF的面積為號(hào).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】⑴如圖，取格點(diǎn)C,連接北，即可;

(2)如圖，取格點(diǎn)R連接DF,EF即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，RtZkZBC即為所畫(huà)，

(2)解：如圖所示，等腰△DEF即為所畫(huà),

???DE=V32+42=5,EF=5,

：.DE=EF,

-I115

^ADEF—3x5——X1X3——X3X4=—.

【點(diǎn)睛】本題考查利用網(wǎng)格作三角形，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考一模)如圖，在9X9的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,

點(diǎn)4B均在小正方形的頂點(diǎn)上

(1)在圖中，按要求畫(huà)一個(gè)△4BC,使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，使得4C=5,且△48C的面積是8

(2)在圖中，在格點(diǎn)上取一點(diǎn)D,畫(huà)一個(gè)△ABD,使得的面積是12,且tanB=2；

(3)連接CD,直接寫(xiě)出的面積

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)7

【分析】(1)由三角形面積可求出48邊高為4,再根據(jù)勾股定理即可確定點(diǎn)C的位置；

(2)由的面積是12,可求出。至IJ4B邊距離為6,再根據(jù)tanB=2即可確定點(diǎn)。的位置;

(3)根據(jù)割補(bǔ)法即可求出三角形面積.

【點(diǎn)睛】此題主要考查網(wǎng)格作圖、勾股定理、三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的面積的求法、

正切的定義及網(wǎng)格的特點(diǎn).

【題型4根據(jù)三角形的中線求解】

【例4】（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)G為A43C的重心，D,E,尸分別為2C,CA,N2的中點(diǎn),

具有性質(zhì)：AG：GD=BG：GE=CG：GF=2：1.已知A4FG的面積為3,則A48C的面積為.

【答案】18

【分析】根據(jù)線段比及三角形中線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：???CG：GF=2：1,41尸G的面積為3,

-.AACG的面積為6,

.?.A4C尸的面積為3+6=9,

■:點(diǎn)、F為AB的中點(diǎn)，

-.AACF的面積的面積，

.??△^3。的面積為9+9=18,

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】題目主要考查線段比及線段中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，BD是△ZBC的中線，AB=6,BC=4,△ABD^ABCD

【答案】2

【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，三角形周長(zhǎng)計(jì)算，根據(jù)三角形中線的定義得到4。=CD,再分

別求出兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)，然后作差即可得到答案.

【詳解】解：?.?BD是△ABC的中線,

.'.AD=CD,

△48。的周長(zhǎng)=AB+BD+AD,

△BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD,

,,?AB=6,BC=4,

?'?AB+BD+AD—(BC+CD+BD)=AB+BD+AD—BC—CD—BD=AB—BC—2,

△ABD和△BCD的周長(zhǎng)差為2,

故答案為：2.

【變式4-2](2023?湖南?中考真題)如圖，在aABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線,

1

ZC=45°,sinB-,AD=1.

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)求tan/DAE的值.

【答案】(1)2V2+1；(2)V2-1

【分析】(1)先由三角形的高的定義得出NADB=NADC=90。，再解RdADC,得出DC=1；解RCADB,

得出AB=3,根據(jù)勾股定理求出BD=2V2,然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解.

(2)先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE-CD,然后在RtAADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即

可求解.

【詳解】解：(1)在AABC中，rAD是BC邊上的高，

.-?ZADB=Z.ADC=9O°.

在AADC中，??2ADC=90°,zC=45°,AD=1,

???DC=AD=1.

1

itAADB中，??■ZADB=9O°,sinB=jAD=1,

??.BD=VAB2-AD2=V32-12=2V2.

.,.BC=BD+DC=2^2+1.

(2)rAE是BC邊上的中線，.?.CE=3BC=?+g.

.?.DE=CE-CD=V2-1.

DE1

.".tanzDAE=—=V2—

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解RtaADC與

RtAADB,得出DC=1,AB=3是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題)如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)廠在8E上，延長(zhǎng)4尸交BC于點(diǎn)

D.若BF=3FE,則穿=.

【答案】|

【分析】連接助，由BE是△48C的中線，得至IJS^BE=SmcE，S^AED=SAEDC，由BF=3FE,得到

受空=3,產(chǎn)=3,設(shè)S^EF=X，SAEF。=%由面積的等量關(guān)系解得久=3，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解

、公AFE、4FED3"

得沁=罷，據(jù)此解題即可.

【詳解】解：連接EZ)

BE是△ABC的中線

^AABE—S&BCE，^AAED=^AEDC

???BF=3FE

.S&w尸_3S^BFD_3

S&4FES&FED

設(shè)尸=%,S4￡77。=y,

???^AABF=3%,S^BFD=3y

???^AABE=4%,S2\BEC=4%,S2\BEO=4y

???S^EDC=S^BEC—^^BED=4x—4y

???^AADE=S^EDC

?,-%+y=4%—4y

5

???x=-y

???△ZBD與△/DC是等高三角形，

._BP_3久+3y_3x+3y3x|y+3y_8y_3

SAADCDCx+y+4x—4y5x—3y5x-y—3y-y2’

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)

鍵.

【題型5與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算】

【例5】（2023?山東威海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）

交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫三角形的垂心.

【問(wèn)題解決】如圖，在△ABC中，^ABC=40°,^ACB=62°,X為△ABC的垂心，貝比8”。的度數(shù)為

（）

A.120°B.115°C.102°D.108°

【答案】C

【分析】如圖，延長(zhǎng)分別交于KM證明乙4"。=乙4K8=90。,再利用三角形的內(nèi)角和定理求

解N4再利用四邊形的內(nèi)角和定理可得答案.

【詳解】解:如圖，延長(zhǎng)BH,C解分別交于KM

為△力BC的垂心，

■.BK1AC.CM1AB,

???Z.AMC=/.AKB=90°,

?-?Z.ABC=40°,zXCB=62°,

???A.BAC=180°-40°-62°=78°,

；.4MHK=360°-^AMC-乙AKB-N4=102°,

：.7.BHC=102°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，垂心的定義，正確理解垂心的定義構(gòu)

建需要的四邊形是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023?陜西西安?高新一中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，H、。分別為aABC的垂心、外心，

ABAC=45°,若△力BC外接圓的半徑為2,則()

A.2V3B.2V2C.4D.V3+1

【答案】B

【分析】連接BO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)D,連接HC,CD,DA,由圓周角定理的推論，可得DC1BC,

DAIAB,由三角形的垂心的定義得AHLBC,CHIAB,從而得四邊形AHCD是平行四邊形，結(jié)合

/.BAC=45°,△48C外接圓的半徑為2,即可求解.

【詳解】連接BO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)D,連接HC,CD,DA.

?.?點(diǎn)O是△力BC的外心，

??.BD是。。的直徑，

.?.DC1BC,DA1AB,

又???點(diǎn)H是△4BC的垂心，

???AH1BC,CH1AB,

.?.AHIIDC,CHHDA,

.??四邊形AHCD是平行四邊形，

.?,AH=DC,

=45°,△4BC外接圓的半徑為2,

.-.ZBDC=ZBAC=45°,BD=4,

???AH=DC=BD-V2=4-V2=2V2.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外心與垂心的定義，圓周角定理及其推論，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，

掌握三角形外心與垂心的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形和等腰直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知銳角△A8C的頂點(diǎn)4到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，則乙4

的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】設(shè)AABC的外心為O,D為BC的中點(diǎn)，BO的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)E,連CE,AE.因?yàn)殇J角4ABC

的垂心在三角形內(nèi)部，得到平行四邊形AHCE,根據(jù)已知條件和三角形的中位線定理，得

OB=AH=CE=2OD,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求得NBOD=60。，進(jìn)一步根據(jù)圓周角定理求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)aABC的外心為O,D為BC的中點(diǎn)，B0的延長(zhǎng)線交。0于點(diǎn)E,連CE,AE,

?.BE為OO的直徑，

.-.ZBCE=ZBAE=9O°,即AE1AB,EC1BC,

,??銳角4ABC的垂心在三角形內(nèi)部，且H為三角形的垂心，

貝UCE//AH,AE//CH,

???四邊形AHEC為平行四邊形，

???AH=EC,

而4到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，

.--0B=AH=CE=20D,0D//EC,

.?.sinNOBD螳=；,0D1BC,

UDZ

.-.ZOBD=30°,

.-.ZBOD=60°,

連接oc,

.-.ZBOC=120°,

1

.-.zA-zBOC=60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、圓周角定理以及垂心、外心的概念,

三角形的垂心即為三角形的三條高的交點(diǎn)，三角形的外心即為三角形的垂直平分線的交點(diǎn).

【變式5-3](2023?福建泉州?南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖1,設(shè)2MBe是一個(gè)銳角三角形，且

ABAC,r為其外接圓，0、”分別為其外心和垂心，CD為圓r直徑，M為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)且滿足

AH=20M.

(1)證明：M為8c中點(diǎn)；

(2)過(guò)0作BC的平行線交48于點(diǎn)E,若尸為4H的中點(diǎn)，證明：EF1FC-

(3)直線2M與圓廠的另一交點(diǎn)為N(如圖2),以AM為直徑的圓與圓廠的另一交點(diǎn)為P.證明：若AP、BC、

?！比€共點(diǎn)，貝M”=HN；反之也成立.

A

圖1圖2

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）連接AD,BD,得N408=N08C=90。，結(jié)合H為垂心，〃4H,得出四邊形力

為平行四邊形，得到BD=4"，結(jié)合平行，。為CD中點(diǎn)，可得M為BC中點(diǎn);

（2）過(guò)E作EGLBC,由EGHF,EGF4為平行四邊形，證明H為“"GC的垂心，從而得到EFLFC；

（3）設(shè)AM與。尸交點(diǎn)為/,得到MH14P,證明H是ZL4MQ的垂心，證明4P、BC、?！叭€共點(diǎn)得O,H,Q三

點(diǎn)共線，得到4”="N.

【詳解】解：（1）連接則DALAC,DBVBC

又H為ZL4BC垂心

.-.BH1AC,AHLBC

.-.AD//BH,BD//AH

.?.四邊形4DBH為平行四邊形

.?.DB=AH=20M,又。為CD中點(diǎn)

.?.M為BC中點(diǎn)

(2)過(guò)E作EG1BC

連接GH,由（1）可知四邊形EGHF為平行四邊形，四邊形EGB4為平行四邊形

■,-CHLAB,AB||GF

.-.CH1GF

為/FGC垂心

:.GH1CF,而GH||EF

：.EF1FC

（3）設(shè)AM與。F交點(diǎn)為/

由（1）可知四邊形。河凡4為平行四邊形

???/為直徑4M中點(diǎn)

而圓/與圓門(mén)1交弦為2P

.-.OF14P,而MH||OF

.-.MH1AP

設(shè)MC/P交于Q

則H為A4MQ垂心

:.QH1AM

AP、BC、。"三線共點(diǎn)=。，從Q三點(diǎn)共線

=OHLAN=AH=HN

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)的綜合問(wèn)題，熟知圓的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂心的作用是解題的關(guān)

鍵.

【題型6利用三角形的三邊關(guān)系求解】

【例6】（2023?四川?中考真題）若實(shí)數(shù)x、y滿足|x—4|+J曰=0,則以x、y的值為邊長(zhǎng)的等腰三角形

的周長(zhǎng)為—.

【答案】20

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分4是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解：

【詳解】根據(jù)題意得，x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8.

①4是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、8,

「4+4=8,.?.不能組成三角形，

②4是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為4、8、8,

能組成三角形，周長(zhǎng)=4+8+8=20.

所以，三角形的周長(zhǎng)為20.

【變式6-1］（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長(zhǎng)度（單位：cm）,其中

能搭成一個(gè)三角形的是（）

A.5,7,12B.7,7,15C.6,9,16D.6,8,12

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析判斷.

【詳解】A、5+7=12,不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、7+7=14<15,不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、6+9=15<16,不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、6+8=14>12,能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，看能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法：看較小的兩個(gè)數(shù)的和能否大于第三

個(gè)數(shù).

【變式6-2]（2023?貴州?統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成

5

A.1B.2C.7D.8

【答案】C

【分析】如圖（見(jiàn)解析），設(shè)這個(gè)凸五邊形為4BCDE,連接力&CE,并設(shè)力C=a,CE=b,先在△力BC和△CDE

中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得4<a<6,0<b<2,從而可得4<a+b<8,2<a-b<6,再在

△4CE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得a—b<d<a+b,從而可得2Vd<8,由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)這個(gè)凸五邊形為力BCDE,連接2C,CE,并設(shè)4C=a,CE=b,

在△4BC中，5-l<a<l+5,即4<a<6,

在△?）￡1中，l-l<b<l+l,即0<6<2,

所以4<a+b<8,2<a—b<6,

在中，a—b<d<a+b,

所以2<d<8,

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造三個(gè)三角形是解題關(guān)鍵.

【變式6-3]（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）如圖，在八42。中，BC=3,將A42c平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到

△AIBJCI，點(diǎn)、P、0分別是N8、4G的中點(diǎn)，的最小值等于.

A

A

BiQ

【答案】|

【分析】取力C的中點(diǎn)M,41%的中點(diǎn)N,連接PM,MQ,NQ,PN,根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即

可得到結(jié)論.

【詳解】解：取4c的中點(diǎn)M,的中點(diǎn)N,連接PM,MQ,NQ,PN,

?.?將448c平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到△力道道1，

.血的=BC=3,PN=5,

???點(diǎn)P、Q分別是48、&Q的中點(diǎn)，

13

???NQ=萬(wàn)BiCi=

33

.?-5--<PQ<5+-,

即朵PQ號(hào)，

???PQ的最小值等于［，

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型7利用三角形內(nèi)角和定理求解】

【例7】（2023?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△力方

C,連接44,若〃4B'=20°,則NCB7T的度數(shù)是（）.

A.70°B.65°C.60°D.55°

【答案】B

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得2C=A1C,乙4a4'=90°,從而得到△ACA是等腰直角三角形，則NC44="A

A=45。，從而得到NB7TC=25,最后由NCB0=90°-AB0c進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：，?,將RtaABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到連接44,

：.AC=A'C,AACA'=90°,

.?.△ac4是等腰直角三角形，

???/.CAA'=Z.CA'A=45°,

???/.AA'B'=20°,

???^.B'A'C=^CA'A-^AA'B'=45°-20°=25°,

???/LCB'A'+^B'A'C=90°,

???^LCB'A'=90°-^B'A'C=90°-25°=65°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）在△力BC中，AB=AC,ABAC=100°,點(diǎn)。在BC邊上，連

接2D,若△4BD為直角三角形，貝叱4DB的度數(shù)是.

【答案】50?；?0。

【分析】由題意可求出NB=ZC=40°,故可分類(lèi)討論①當(dāng)NBA。=90。時(shí)和②當(dāng)N4DB=90。時(shí)，進(jìn)而即可

求解.

【詳解】解：?."B=AC,ABAC=100°,

?.■△48。為直角三角形，

可分類(lèi)討論：①當(dāng)NB4D=90。時(shí)，如圖1,

：.^ADB=180°-4BAD-ZB=50°；

②當(dāng)乙4DB=90。時(shí)，如圖2,

綜上可知N4DB的度數(shù)是50。或90。.

故答案為：50?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用等腰三

角形的性質(zhì)和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解答.

【變式7-2］（2023?湖北?中考模擬）如圖，△4BC中，以2為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交力C、AB于

D、E兩點(diǎn)，并連接BD、DE.若44=30。，AB=AC,則NBDE的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用“等邊對(duì)等角”求角的度數(shù)是解

題關(guān)鍵.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及“等邊對(duì)等角“可得乙48c=^ACB=75。，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得

乙DBE=45°,最后再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出48DE的度數(shù)即可.

【詳解】解：???4B=4C,

：.Z-ABC=Z-ACB,

???乙4=30°,

1

??/ABC=乙ACB=-(180°-30°)=75°,

??,以3為圓心，8c長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

.,.BE=BD=BC,

"BDC=乙ACB=75°,

"CBD=180°-75°-75°=30°,

"DBE=75°-30°=45°,

；/BED=乙BDE=|(180°-45°)=67.5°.

故選：A.

【變式7-3］（2023?江蘇?無(wú)錫市第一女子中學(xué)?？贾锌寄M）如圖，在△2C8和△DCE中,"==CE,

^ACB=ADCE=90°,連接力E、BD交于點(diǎn)。，4E與DC交于點(diǎn)M,BD與力C交于點(diǎn)N.試判斷AE、BD之間的

關(guān)系，并說(shuō)明理由.

E

【答案】4E=BD且力E1BD,理由見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)N4CB=NDCE=90。，可得乙DCB=4ACE,已知AC=BC,CD=CE,可得△ACE三△BCD,

則4E=BD,乙CEA=4BDC,由NCME=NDM。，理由三角形內(nèi)角賀可知

^CEA+ACME=ABDC+Z.DMO,進(jìn)而可得NDOM=NECM=90。，AE1BD,即4E=B。且4E1BD.

【詳解】解：=且AELBD.理由如下：

■,■/.ACB=乙DCE=90°,

：.Z-ACB+^DCA=乙DCE+ZDC4,即NDCB=AACE,

-AC=BC,CD=CE,

△ACE=△BCD（SAS）,

：-AE=BD,Z-CEA=乙BDC,

???乙CME=^DMO,^DCE=90°,

貝！Jz_CEZ+乙CME=（BDC+乙DMO=90°

：,Z.DOM=乙ECM=90°,

：.AE1BD,

.'.AE=BDS.AELBD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，三角形的內(nèi)角和定理，證明△力CE三△BCD是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

【題型8三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】

【例8】（2023?四川?中考真題）如圖，在△ABC中,/.CAB=70°,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABC

的位置，使得COII4B,戈此艮4B，的度數(shù)是（）

A.35°B.40°C.50°D.70°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，由等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案.

【詳解】解：■CC||AB,"AB=70°,

.-.Z.CCA=/.CAB=70°,

?.,將△4BC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△4BC的位置，

■.^C'AB'=^CAB=70°,AC=AC,

：./.AC'C=/.CCA=70°,

.-.AC'AC=180°-70°-70°=40°,

?-?Z.BAB'=乙CAB-CAB',/.CAC=Z.CAB'-CAB',

:ZBAB，=乙CAC=40°,即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是40。，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求角度，涉及平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)

角和定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式8-1]（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在△ABC中，CD1AB,垂足為點(diǎn)。，DEWAC,

交BC于點(diǎn)￡.若44=50。，貝此CDE的度數(shù)是（）

B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得NBDE=44=50。，再根據(jù)垂直的定義得NCDB=90。，進(jìn)而根據(jù)

乙CDE=4CDB-N8DE即可得出答案.

【詳解】解：-??DE||AC,N4=50°,

???Z.BDE==50°,

vCDLAB,

：.Z.CDB=90°,

???Z.CDE=4CDB-乙BDE=90°-50°=40°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式8-2]（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）如圖，AD//BC,AADC=120°,ABAD=3^CAD,E為/C上一

點(diǎn)，且N4BE=2NCBE,在直線NC上取一點(diǎn)P,^ABP=ADCA,則NCBP：N4BP的值為.

【答案】2或4

【分析】分點(diǎn)P在線段AC上、在CA的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，利用三角形內(nèi)角和、

平行線的性質(zhì)，等量代換，得出各個(gè)角之間的倍數(shù)關(guān)系.

【詳解】如圖，①當(dāng)NABPi=NDCA時(shí)，即N1=N2時(shí)，

VZD=120°,

???Z1+Z3=180°-120°=60°,

vZ.BAD=3ZCAD,匕ABE=2ZCBE,AD//BC,

3z3+3zEBC=180°,

???z3+Z.EBC=60°,

?e.Z.EBC=z.1=z.2=zPiBE,

???NCBPi：/ABPi的值為2,

②當(dāng)NABP2=NDCA時(shí)，由①貝有NCBP2：NABP2的值為4,

故答案為：2或4.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用等知識(shí)，畫(huà)出相應(yīng)圖形,

利用等量代換得出各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式8-3]（2023?浙江金華?一模）如圖，已知/8IICD,小妍同學(xué)進(jìn)行以下尺規(guī)作圖：

①以點(diǎn)/為圓心，NC長(zhǎng)為半徑作弧，交射線48于點(diǎn)E；

②以點(diǎn)￡為圓心，小于線段CE的長(zhǎng)為半徑作弧，與射線CE交于點(diǎn)M,N；

③分別以點(diǎn)“，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)尸，直線昉交CD于點(diǎn)G.若NCGE=a,

則入4的度數(shù)可以用a表示為（）

A.90?！猘B.90°-|aC.180°-4aD.2a

【答案】D

【分析】由作圖可知：/C=/￡,CELCE,所以UCE=，4EC,4CEG=90°,則NCGE+NECG=90。,所以乙項(xiàng)其7=90。-。,

再根據(jù)平行線的性質(zhì)得々￡C=〃CG=9()o-a,即可由三角形內(nèi)角和定理求解.

【詳解】解：由作圖可知：AC=AE,CEVCE,

：./-ACE=/-AEC,Z.CEG=90°,

.?ZCGE+N￡CG=9O。，

■■■/.ECG=90°-a,

■■■ABWCD,

:.UCE=UEC=^ECG=90°-a,

ZJ=180。-乙ICE-乙4EC=180°-2乙4EC=180°-2(90°-a)=2a,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查作線段等于已知線段，經(jīng)過(guò)上點(diǎn)作直線的垂線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三

角形內(nèi)角和定理，熟練掌握尺規(guī)基本作圖和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

【題型9三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】

【例9】(2023?山東淄博?統(tǒng)考一模)如圖，在△ABC中，NB=30。，ZC=50°,通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，

ADE4的度數(shù)是().

A.35°B.60°C.70°D.85°

【答案】D

【分析】由題可得，直線DF是線段力B的垂直平分線，4E為AD4C的平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、

角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解:由題可得，直線。尸是線段4B的垂直平分線，4E為N04C的平分線，

：.AD=BD,乙DAE=Z.CAE,

:.乙B—Z.BAD—30°,

：.Z-ADC=Z-B+Z.BAD=60°,

vzC=50°,

：,Z.DAC=180°-60°-50°=70°,

i

.-.ADAE=^CAE="/.DAC=35°,

.-./.DEA=Z.C+/.CAE=85°.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分

線的性質(zhì)、角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵.

【變式9-1]（2023?浙江?中考真題）如圖，在A42。中，點(diǎn)P是AIBC的內(nèi)心，則NP3C+NPC4+NP4B=

度.

【答案】90

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義知內(nèi)心是三角形三角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以得到題

目中的三個(gè)角的和.

【詳解】解：?.,點(diǎn)尸是△ABC的內(nèi)心，

；.PB平分UBC,P/平分乙B/C,尸C平分乙4C8,

■.■^ABC+^ACB+^BAC=ISO°,

：.Z.PBC+ZJ）CA+ZJ）AB=9O°,

故答案是：90.

【點(diǎn)睛】考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的理解三角形的內(nèi)心的定義，是三角形三內(nèi)角的

平分線的交點(diǎn).

【變式9-2]（2023?廣東佛山?校考一模）如圖，已知△A8C的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。在C4的延

長(zhǎng)線上，5.AD=A0,CB=CD,連接BD.

D

A

(1)求證：(OBD=乙ODB；

(2)若48AC=80。，求乙4cB的長(zhǎng)度.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)乙=60°

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；

(1)由“SAS”可證△C。。三△COB,可得。0=。8,即可得結(jié)論；

(2)根據(jù)4員4c=80。，得48/0=100。，由角平分線可得444。=40。，從而得出4ZM。=140。，根據(jù)

AD=A0可得出乙。64=20。，即可得出NCB。=20。，則乙4BC=40。，最后算出=60。.

9

【詳解】(1)解：證明：???△/BC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)。，

Z.ACO=Z.BCO,

在△COD和△COB中，

(CD=CB

\^OCD=乙OCB,

ICO=CO

???△COD三△COB(SAS),

OD=OB,Z,OBC=Z-ODC,

Z-OBD=Z.ODB；

(2)解：vL.BAC=80°,

???4BAD=100°,

???/,BAO=40°,

???^DAO=140°,

vAD—AO,

???AODA=20°,

???乙CBO=20°,

???AABC=40°,

???Z.BCA=60°.

【變式9-3］（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△A8C中，AB=4C/D為△ABC的角平分線.以點(diǎn)

4圓心，4D長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB/C分別交于點(diǎn)E,F,連接DE,DF.

（1）求證：AADE=AADF；

（2）若ABAC=80°,求NBDE的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析

QMBDE=20°

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出=由作圖可得力E=4F,即可證明△4DE三△4DF；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出4E4D=40。，由作圖得出=則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角

形的性質(zhì)得出NADE=70。，AD1BC,進(jìn)而即可求解.

【詳解】（1）證明：?./￡＞為△ABC的角平分線，

■■■/-BAD=Z.CAD,

由作圖可得4E=AF,

在△2DE和△4DF中，

（AE=AF

1/.BAD=/.CAD,

IAD=AD

AADE=AADF（SAS）;

（2）-ABAC=80°,4D為△ABC的角平分線，

■.^EAD=40°

由作圖可得4E=4。，

：.^ADE=70°,

■：AB=AC,4。為△ABC的角平分線,

.-.AD1BC,

"BDE=20°

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等

腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【題型10利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問(wèn)題】

【例10】（2023?青海?統(tǒng)考中考真題）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點(diǎn)。恰好放在等腰直

角三角板的斜邊上，/C與DM、ON分別交于點(diǎn)￡、F,把△兒QN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到一定位置，使得DE=D尸,

A.105°B.115°C.120°