人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.3 誘導公式-重難點題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題5.3誘導公式-重難點題型精講1．誘導公式(1)誘導公式(2)誘導公式的作用

2．一組重要公式(1)SKIPIF1<0(n∈Z).

①當n=2k(k∈Z)時，由誘導公式有SKIPIF1<0(k∈Z).

②當n=2k+1(k∈Z)時，由誘導公式有SKIPIF1<0SKIPIF1<0(k∈Z).

(2)SKIPIF1<0(n∈Z).

①當n=2k(k∈Z)時，由誘導公式有SKIPIF1<0(k∈Z).

②當n=2k+1(k∈Z)時，由誘導公式有SKIPIF1<0SKIPIF1<0(k∈Z).

類似地，有：

(3)SKIPIF1<0(n∈Z).

(4)SKIPIF1<0(n∈Z).【題型1利用誘導公式求值】【方法點撥】利用誘導公式可把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù)，口訣：負化正，大化小，化到銳角再查表.【例1】（2022·山東·高二階段練習）已知cosπ6-α=A．±35 B．35 C．-【解題思路】結合π6【解答過程】解：因為π6-α+故選：D.【變式1-1】（2022·四川省高三階段練習（理））已知sin(α+π12)=A．13 B．223 C．-【解題思路】由三角函數(shù)的誘導公式，化簡得cos(α【解答過程】由三角函數(shù)的誘導公式，可得cos(α又sin(α+π【變式1-2】（2022·北京朝陽·高三階段練習）若tan(π?x)=12A．±15 B．±25 C．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用誘導公式、同角公式計算作答.【解答過程】因tan(π?x)=12，則tanx=?1所以cos(【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知cosπ3?α=3A．±45 B．45 C．?【解題思路】根據(jù)α+π【解答過程】∵cosπ3?α=【題型2利用誘導公式化簡】【方法點撥】在對給定的式子進行化簡時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的關系結合誘導公式將角進行轉化.特別要注意每一個角所在的象限，勿將符號及三角函數(shù)名稱搞錯.【例2】（2022·全國·高一課時練習）化簡sinπ2?αA．tanα B．?tanα C．1【解題思路】利用誘導公式化簡可得結果.【解答過程】sinπ【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習）cos(π?x)+sinx+A．?2cosx B．0 C．?2sin【解題思路】由誘導公式直接化簡可得.【解答過程】cos(π?x)+【變式2-2】（2022·北京高一期中）化簡cos(2π?α)sin(?α)A．tanα B．cosα C．sinα【解題思路】應用誘導公式化簡即可得結果.【解答過程】cos(2π?α)【變式2-3】（2022·天津市高一期末）若f(α)=sin(π2?α)A．cosα B．sinα C．?sin【解題思路】根據(jù)誘導公式化簡即可得答案.【解答過程】解：f(α)=sinπ【題型3利用互余（互補）關系求值】【方法點撥】誘導公式的應用中，利用互余(互補)關系求值問題是最重要的問題之一，也是高考考查的重點、熱點，一般解題步驟如下：(1)定關系：確定已知角與所求角之間的關系.(2)定公式：依據(jù)確定的關系，選擇要使用的誘導公式.(3)得結論：根據(jù)選擇的誘導公式，得到已知值和所求值之間的關系，從而得到結果.【例3】（2022·全國·高一單元測試）已知cos(α?π6)=223A．?13 B．13 C．?【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系及誘導公式求解即可.【解答過程】∵cos(α?π6)=22∴cos(α【變式3-1】（2022·廣西梧州·高二期末（理））已知sinπ4+α=1A．13 B．223 C．?【解題思路】整體代換法用誘導公式進行計算【解答過程】cosα?【變式3-2】（2022·北京市高一期中）已知cosπ6?α=2A．?23 B．?12 C．【解題思路】找出α+π3與【解答過程】sinα+【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知sinθ?π6=1A．?32 B．?12 C．【解題思路】利用題目條件結合誘導公式即可得出答案.【解答過程】cosθ+【題型4誘導公式在三角形中的應用】【方法點撥】利用誘導公式解決三角形中有關問題時，既要注意綜合運用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式，還要注意三角形的隱含條件——三角形內角和等于SKIPIF1<0的靈活運用.【例4】（2022·全國·高一課時練習）在△ABC中，sinπ2+A+sinA．?125 B．125 C．?【解題思路】利用三角函數(shù)誘導公式對原式進行化簡可得sinA+cosA的值，利用平方關系得到sinAcosA的值，再結合三角形的內角，求解【解答過程】解：在△ABC中，sinπ平方得1+2sinAcosA=49169，2sin所以sinA?cosA>0，sinA?cosA2=1?2sinAcos【變式4-1】（2022·全國·高一專題練習）在△ABC中，下列等式一定成立的是（

）A．sinA+B=?sinC．cosB+C2=【解題思路】由已知可得A+B+C=π，結合三角函數(shù)的誘導公式逐一核對四個選項即可得出答案.【解答過程】在△ABC中，有A+B+C=π，∴sinA+B=sinC，故A錯誤；cosA+B=?【變式4-2】（2022·上海高一階段練習）已知A、B、C是△ABC的內角，對于①sin(A+B)=sinC；②cos(A+B)=?cosC；③tanA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】直接利用誘導公式判斷每一個命題即得解.【解答過程】解：①sin(A+B)=sin(π?C)=sinC,所以正確；②cos(A+B)=cos【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習）設A，B，C為△ABC的三個內角，則不管三角形的形狀如何變化，表達式：①sin(A+B)+sinC；②cos(A+B)+cosC；A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】直接利用三角形的內角和，誘導公式化簡四個選項，求出數(shù)值即可．【解答過程】解：A，B，C為△ABC的三個內角，所以A+B+C=π，則不管三角形的形狀如何變化，表達式：①sin(A+B)+②cos(A+B)+③tan(④sin2所以始終是常數(shù)的是3個．故選：C．專題5.3誘導公式-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·黑龍江·高三開學考試）平面直角坐標系中，角α的終邊經過點P1,3，則cosα+A．?32 B．?12 C．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義結合誘導公式計算作答.【解答過程】依題意，點P1,3到原點距離r=1故選：A.2．（3分）（2022·黑龍江·高三階段練習）已知tanα=?3，則sin(πA．?910 B．?310 C．【解題思路】利用三角函數(shù)誘導公式化簡可得sin(π+α)?cos(【解答過程】由題意得sin(π3．（3分）（2022·江蘇南通·高一期末）若α，β的終邊（均不在y軸上）關于x軸對稱，則（

）A．sinα+sinβ=0C．sin2α+sin【解題思路】因為α，β的終邊（均不在y軸上）關于x軸對稱，則α+β=2kπ，k∈Z，然后利用誘導公式對應各個選項逐個判斷即可求解．【解答過程】因為α，β的終邊（均不在y軸上）關于x軸對稱，則α+β=2kπ，k∈Z，選項A:sinα+sin選項B:cosα+cos選項C:sin2α+選項D:tanα?tanβ=tan4．（3分）（2022·全國·高三專題練習）若cos(α+π)=?23，則sinA．23 B．?23 C．5【解題思路】利用誘導公式即可得到結果.【解答過程】∵cos(α+π)=?cosα=?23，∴5．（3分）（2022·廣東·高二階段練習）如果sinα=13，那么sin?A．?223 B．?23 【解題思路】根據(jù)誘導公式化簡即可得解.【解答過程】∵sinα=16．（3分）（2022·河北·高一開學考試）在△ABC中，下列關系一定成立的是（）A．sinA+sinC=C．cosB+C=?cos【解題思路】利用三角形的內角和定理和誘導公式依次判斷各個選項即可.【解答過程】對于A，若A=B=C=π3，則對于B，sinA+B對于C，cosB+C對于D，tanA+C7．（3分）（2022·遼寧·高三階段練習）已知點A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B在第二象限.記∠AOB=θ且sinθ=45.則sinA．320 B．34 C．?3【解題思路】利用同角三角函數(shù)平方和商數(shù)關系可求得cosθ,【解答過程】由題意知：θ∈π2,π，∴∴sin8．（3分）（2021·全國·高一專題練習）已知α=?37π6，則2sinA．?3 B．?32 C．3【解題思路】由誘導公式化簡后計算【解答過程】由誘導公式化簡原式得?2sin當α=?37π6時，tanα二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高一單元測試）已知x∈R，則下列等式恒成立的是（

A．sin?x=sinC．cosπ2+x【解題思路】由三角函數(shù)的誘導公式化簡可得.【解答過程】∵sin?x=?sinx∵cosπ2+x=?10．（4分）（2022·山東東營·高一期中）在平面直角坐標系中，角α的始邊為x的正半軸，終邊經過點(?1,2)，則下列式子正確的是（

）A．sinα+cosαC．2sin2α+sinα【解題思路】根據(jù)終邊上的點求出三角函數(shù)值進行計算，誘導公式，余弦函數(shù)在第二象限單調遞減即可解決.【解答過程】解：因為角α終邊經過點(?1,2)，則sin對于A：sinα+cosαsinα?7cosα=2對于C：2sin2α+對于D：因為當α∈[π2,π]，y=cosα單調遞減，而?1211．（4分）（2022·全國·高一課時練習）已知sinx+π4A．cosx+π4C．cosπ4?x【解題思路】依題意，可得x+π4∈【解答過程】解：∵x∈π2,π∴cosx+π又cosπsinπ12．（4分）（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，下列關系式恒成立的有（

）A．sinA+B=sinC．sin2A+2B+sin【解題思路】結合三角形的內角和定理和誘導公式，準確運算，即可求解.【解答過程】對于A中，由sinA+B對于B中由cosA+B對于C中，由sin=sin對于D中，cos(=cos故選：ABC.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高一）cos330°+sin?30°+【解題思路】根據(jù)誘導公式及特殊角三角函數(shù)值，即可求解.【解答過程】cos=cos30°?1214．（4分）（2022·湖北·高一階段練習）若sinπ6+α=【解題思路】根據(jù)誘導公式計算．【解答過程】sin5π故答案為：0.15．（4分）（2022·全國·高一課時練習）化簡：cos(θ+4π)cos2(θ+π)【解題思路】利用誘導公式進行化簡即得.【解答過程】原式=cosθ?cos16．（4分）（2022·上海市高三階段練習（理））已知△ABC，若存在△A1B1C1，滿足cosAsinA①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．【解題思路】滿足cosAsinA1=cosB【解答過程】滿足cosAsinA1=cosB對于①,cosA=cos90°=0,顯然不成立．對于②，可取A1=15°對于③，由A=75°,B=75°，則A1,B1可取的角為15°或165°,若有一個角為165°,另一個角△A1B1C1大于180°,不合題意,故A1=B1=故答案為②．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021·全國·高一專題練習）求證：2sin(θ?3π【解題思路】左邊由誘導公式平方關系化簡變形，右邊用誘導公式，商數(shù)關系化簡變形可證．【解答過程】左邊=?2cosθ?sinθ?1sin右邊=tan(8π+π+θ)+1tan(π+θ)?1=tan18．（6分）（2022·福建省高三階段練習）已知角θ是第二象限角，其終邊與以原點為圓心的單位圓交于點P?(1)寫出三角函數(shù)sinθ，cos(2)求sinπ【解題思路】（1）先利用單位圓解出P的坐標，然后根據(jù)三角函數(shù)定義求解;（2）先根據(jù)誘導公式化簡解析式，即可得到答案【解答過程】（1）因為角θ的終邊與以原點為圓心的單位圓交于點P?所以?12132+y2=1所以角θ的終邊與以原點為圓心的單位圓交于點P(?1213,513（2）sin(π219．（8分）（2022·安徽·高三階段練習）已知tanθ(1)求sinθ(2)求2sin3【解題思路】（1）根據(jù)平方關系及商數(shù)關系化弦為切，即可得解；（2）利用誘導公式化簡，再根據(jù)平方關系化弦為切即可得解.【解答過程】（1）解：sinθsin（2）解：2sin=?20．（8分）（2022·全國·高一課時練習）已知A、B、C為△ABC的三個內角，求證：sin【解題思路】利用三角形的內角和定理可得出B+C2【解答過程】證明：在△ABC