人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題5.2 三角函數(shù)的概念-重難點(diǎn)題型精講及檢測(cè)（原卷版）

第第頁(yè)專題5.2三角函數(shù)的概念-重難點(diǎn)題型精講1．任意角的三角函數(shù)(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)SKIPIF1<0是一個(gè)任意角，SKIPIF1<0∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y).

①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做SKIPIF1<0的正弦函數(shù)，記作SKIPIF1<0，即y=SKIPIF1<0；

②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做SKIPIF1<0的余弦函數(shù)，記作SKIPIF1<0，即x=SKIPIF1<0；

③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的正切，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：(2)用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)SKIPIF1<0是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(hào)(1)三角函數(shù)的定義域(2)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)由于角的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離r是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義，知

①正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào)；

②余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào)；

③正切函數(shù)值的符號(hào)是由x,y的符號(hào)共同決定的，即x,y同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù).

因此，正弦函數(shù)(SKIPIF1<0)、余弦函數(shù)(SKIPIF1<0)、正切函數(shù)(SKIPIF1<0)的值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)如圖所示.

3．誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.

由此得到一組公式(公式一)：4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(2)基本關(guān)系式的變形公式【題型1任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解任意角的三角函數(shù)的定義.【例1】已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)M1,2，則cosα=A．63 B．33 C．2 【變式1-1】設(shè)α是第二象限角，Px,8為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=45，則A．?3 B．?4 C．?6 D．?10【變式1-2】已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P?4m,3mm≠0，則2sinA．?35 B．25 C．1或?25【變式1-3】已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若A?1,y是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ=?31010A．3 B．?3 C．1 D．?1【題型2三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于確定角SKIPIF1<0是第幾象限角的問題，應(yīng)先確定題目中所有三角函數(shù)值的符號(hào)，然后依據(jù)上述三角函數(shù)值的符號(hào)來確定角SKIPIF1<0是第幾象限角，則它們的公共部分即所求；對(duì)于已知角SKIPIF1<0的終邊所在的象限來判斷角SKIPIF1<0的三角函數(shù)值的符號(hào)問題，則常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來解決.【例2】已知α為第二象限角，則（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cosα<0【變式2-1】已知α為第二象限的角，則1?cos2αA．sinα B．?sinα C．±【變式2-2】若sinθ<0且tanθ<0，則角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式2-3】設(shè)α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】1.誘導(dǎo)公式一的實(shí)質(zhì)是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.2.利用誘導(dǎo)公式一可將負(fù)角或大于等于2π的角的三角函數(shù)化為0~2π之間的角的同名三角函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化正，大化小”.【例3】求值：3cos【變式3-1】計(jì)算下列各式的值：(1)tan405°?sin450°+cos750°【變式3-2】化簡(jiǎn)下列各式：(1)sin760°1?cos240°【變式3-3】求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan?(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【題型4根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值】【方法點(diǎn)撥】第一步：由已知三角函數(shù)的符號(hào)，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限進(jìn)行分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值.【例4】已知tanα=?2，則sinα?3cosA．?7 B．?53 C．?【變式4-1】已知sinα?cosα=12A．?34 B．34 C．?【變式4-2】已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．?75 C．【變式4-3】已知tanθ=2,則cosθ?sinA．?13 B．13 C．?3【題型5三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)】【方法點(diǎn)撥】1.化簡(jiǎn)原則：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)就是代數(shù)式的恒等變形，使結(jié)果盡可能簡(jiǎn)單，也就是項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)種類盡可能少，式子中盡量不含根號(hào)，能求值的一定要求值.2.化簡(jiǎn)常用的方法：(1)對(duì)于含有根號(hào)的，常把被開方數(shù)(式)化成完全平方數(shù)(式)，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；(2)化切為弦，從而減少函數(shù)種類，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；(3)對(duì)于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構(gòu)造SKIPIF1<0，以降低次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.【例5】（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【變式5-1】已知3sin(1)求tanα的值；(2)求sin【變式5-2】已知tanα=2(1)1sinαcosα；【變式5-3】已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【題型6三角恒等式的證明】【方法點(diǎn)撥】三角恒等式的證明方法非常多，其主要方法有：(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡(jiǎn)；(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)化異為同法，即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除差異.【例6】求證：(1)(1?cosαsinα+【變式6-1】求證：(1)1?2sinxcos【變式6-2】求證：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【變式6-3】求證：(1)sinα?cosα+1sinα+cos專題5.2三角函數(shù)的概念-重難點(diǎn)題型檢測(cè)一．選擇題1．cos?23πA．?12 B．12 C．?2．已知P?2,y是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ=225A．?225 B．225 3．已知tanα=2，則sinαcosA．?25 B．?52 C．4．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P1,3，則sinα+cosA．43 B．53 C．2 5．已知cosα?3sinα=0A．?54 B．?45 C．6．已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．若角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為cos2π3,sinA．?32 B．?32 C．7．如果θ是第二象限角，且滿足cosθ2?sinθA．是第一象限角 B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，若S1S2A．355 B．255 C．二．多選題9．給出下列各三角函數(shù)值：①sin?100°；②cos?220°；③tanA．① B．② C．③ D．④10．已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=A．sinθcosθ<0 B．sinθ?cosθ=11．閱讀下列命題：其中正確的命題為（

）A．終邊落在x軸上的角的集合αB．同時(shí)滿足sinα=12C．設(shè)tanα=12且D．1?12．下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的有（

）A．Ptanα,cosB．已知扇形OAB的面積為4，周長(zhǎng)為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為1C．若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)a,2aa≠0，則D．sin三．填空題13．若角α的終邊過點(diǎn)P(m,?1)，且cosα=?255，則m=14．比較大?。篶os?174π15．若A∈0,π，且sinA+cosA=716．若α，β∈0,π2，且1+sin2αsin四．解答題17．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合的角α的終邊上有一點(diǎn)P?3,m，且sinα=24m18．確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)sin4π3；(2