人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.2 三角函數(shù)的概念-重難點題型精講及檢測（原卷版）

第第頁專題5.2三角函數(shù)的概念-重難點題型精講1．任意角的三角函數(shù)(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)SKIPIF1<0是一個任意角，SKIPIF1<0∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).

①把點P的縱坐標(biāo)y叫做SKIPIF1<0的正弦函數(shù)，記作SKIPIF1<0，即y=SKIPIF1<0；

②把點P的橫坐標(biāo)x叫做SKIPIF1<0的余弦函數(shù)，記作SKIPIF1<0，即x=SKIPIF1<0；

③把點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的正切，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：(2)用角的終邊上的點的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)SKIPIF1<0是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標(biāo)為(x,y)，點P與原點的距離為r.則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(1)三角函數(shù)的定義域(2)三角函數(shù)值在各象限的符號由于角的終邊上任意一點P(x,y)到原點的距離r是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義，知

①正弦函數(shù)值的符號取決于縱坐標(biāo)y的符號；

②余弦函數(shù)值的符號取決于橫坐標(biāo)x的符號；

③正切函數(shù)值的符號是由x,y的符號共同決定的，即x,y同號為正，異號為負.

因此，正弦函數(shù)(SKIPIF1<0)、余弦函數(shù)(SKIPIF1<0)、正切函數(shù)(SKIPIF1<0)的值在各個象限內(nèi)的符號如圖所示.

3．誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.

由此得到一組公式(公式一)：4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(2)基本關(guān)系式的變形公式【題型1任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】【方法點撥】解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解任意角的三角函數(shù)的定義.【例1】已知角α的終邊經(jīng)過點M1,2，則cosα=A．63 B．33 C．2 【變式1-1】設(shè)α是第二象限角，Px,8為其終邊上的一點，且sinα=45，則A．?3 B．?4 C．?6 D．?10【變式1-2】已知角α的終邊經(jīng)過點P?4m,3mm≠0，則2sinA．?35 B．25 C．1或?25【變式1-3】已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，若A?1,y是角θ終邊上一點，且sinθ=?31010A．3 B．?3 C．1 D．?1【題型2三角函數(shù)值在各象限的符號】【方法點撥】對于確定角SKIPIF1<0是第幾象限角的問題，應(yīng)先確定題目中所有三角函數(shù)值的符號，然后依據(jù)上述三角函數(shù)值的符號來確定角SKIPIF1<0是第幾象限角，則它們的公共部分即所求；對于已知角SKIPIF1<0的終邊所在的象限來判斷角SKIPIF1<0的三角函數(shù)值的符號問題，則常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來解決.【例2】已知α為第二象限角，則（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cosα<0【變式2-1】已知α為第二象限的角，則1?cos2αA．sinα B．?sinα C．±【變式2-2】若sinθ<0且tanθ<0，則角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式2-3】設(shè)α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用】【方法點撥】1.誘導(dǎo)公式一的實質(zhì)是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.2.利用誘導(dǎo)公式一可將負角或大于等于2π的角的三角函數(shù)化為0~2π之間的角的同名三角函數(shù)，實現(xiàn)了“負化正，大化小”.【例3】求值：3cos【變式3-1】計算下列各式的值：(1)tan405°?sin450°+cos750°【變式3-2】化簡下列各式：(1)sin760°1?cos240°【變式3-3】求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan?(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【題型4根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值】【方法點撥】第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限進行分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值.【例4】已知tanα=?2，則sinα?3cosA．?7 B．?53 C．?【變式4-1】已知sinα?cosα=12A．?34 B．34 C．?【變式4-2】已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．?75 C．【變式4-3】已知tanθ=2,則cosθ?sinA．?13 B．13 C．?3【題型5三角函數(shù)式的化簡】【方法點撥】1.化簡原則：三角函數(shù)式的化簡就是代數(shù)式的恒等變形，使結(jié)果盡可能簡單，也就是項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)種類盡可能少，式子中盡量不含根號，能求值的一定要求值.2.化簡常用的方法：(1)對于含有根號的，常把被開方數(shù)(式)化成完全平方數(shù)(式)，然后去根號達到化簡的目的；(2)化切為弦，從而減少函數(shù)種類，達到化簡的目的；(3)對于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構(gòu)造SKIPIF1<0，以降低次數(shù)，達到化簡的目的.【例5】（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【變式5-1】已知3sin(1)求tanα的值；(2)求sin【變式5-2】已知tanα=2(1)1sinαcosα；【變式5-3】已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【題型6三角恒等式的證明】【方法點撥】三角恒等式的證明方法非常多，其主要方法有：(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡；(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)化異為同法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對性地變形，以消除差異.【例6】求證：(1)(1?cosαsinα+【變式6-1】求證：(1)1?2sinxcos【變式6-2】求證：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【變式6-3】求證：(1)sinα?cosα+1sinα+cos專題5.2三角函數(shù)的概念-重難點題型檢測一．選擇題1．cos?23πA．?12 B．12 C．?2．已知P?2,y是角θ終邊上一點，且sinθ=225A．?225 B．225 3．已知tanα=2，則sinαcosA．?25 B．?52 C．4．已知角α的終邊經(jīng)過點P1,3，則sinα+cosA．43 B．53 C．2 5．已知cosα?3sinα=0A．?54 B．?45 C．6．已知角α的頂點與坐標(biāo)原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合．若角α終邊上一點P的坐標(biāo)為cos2π3,sinA．?32 B．?32 C．7．如果θ是第二象限角，且滿足cosθ2?sinθA．是第一象限角 B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角8．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，若S1S2A．355 B．255 C．二．多選題9．給出下列各三角函數(shù)值：①sin?100°；②cos?220°；③tanA．① B．② C．③ D．④10．已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=A．sinθcosθ<0 B．sinθ?cosθ=11．閱讀下列命題：其中正確的命題為（

）A．終邊落在x軸上的角的集合αB．同時滿足sinα=12C．設(shè)tanα=12且D．1?12．下列四個選項，正確的有（

）A．Ptanα,cosB．已知扇形OAB的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為1C．若角α的終邊經(jīng)過點a,2aa≠0，則D．sin三．填空題13．若角α的終邊過點P(m,?1)，且cosα=?255，則m=14．比較大小：cos?174π15．若A∈0,π，且sinA+cosA=716．若α，β∈0,π2，且1+sin2αsin四．解答題17．已知頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合的角α的終邊上有一點P?3,m，且sinα=24m18．確定下列各三角函數(shù)值的符號：(1)sin4π3；(2