人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題4.1 指數(shù)-重難點題型精講及檢測（原卷版）

第第頁專題4.1指數(shù)-重難點題型精講1．根式(1)n次方根的定義與性質(zhì)(2)根式的定義與性質(zhì)2．分數(shù)指數(shù)冪注：分數(shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分數(shù)指數(shù)冪SKIPIF1<0是根式的一種新的寫法，不可理解為SKIPIF1<0個a相乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分數(shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已.3．有理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①SKIPIF1<0(a>0,r,s∈Q)；

②SKIPIF1<0(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指數(shù)冪的幾個常用結(jié)論：①當a>0時，SKIPIF1<0>0；

②當a≠0時，SKIPIF1<0=1，而當a=0時，SKIPIF1<0無意義；

③若SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)，則r=s；

④乘法公式仍適用于分數(shù)指數(shù)冪.4．無理數(shù)指數(shù)冪及實數(shù)指數(shù)冪(1)無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪SKIPIF1<0(a>0,SKIPIF1<0是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).這樣，我們就將指數(shù)冪SKIPIF1<0(a>0)中指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實數(shù).

(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：

整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪，區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.【題型1根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化】【方法點撥】根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化運算法則，進行計算即可.【例1】下列根式、分數(shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（）A．?x=(?x)?12（x≠0C．(xy)?34=4(yx)3（【變式1-1】下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．?x=(?x)12C．6y2=y【變式1-2】下列根式中，分數(shù)指數(shù)冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【變式1-3】下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【題型2指數(shù)式的化簡】【方法點撥】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)，進行化簡計算即可．【例2】（112）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷A．?13 B．13 C．43【變式2-1】20+A．25 B．35?1 C．35+1 【變式2-2】設a＞0，b＞0，化簡(aA．?13a23 B．?3a23【變式2-3】計算12A．1e B．e C．e2 D．【題型3根據(jù)指數(shù)式求參】【方法點撥】根據(jù)所給的指數(shù)關(guān)系式，利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)，化簡求解參數(shù)的值.【例3】已知x7＝5，則x的值為（）A．5 B．75 C．?75 【變式3-1】已知x?23=A．±18 B．±8 C．344【變式3-2】若4a2?4a+1A．a(chǎn)≥12 B．a(chǎn)≤12 C【變式3-3】若69a2A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，13] C．[13，+∞） D．（13，【題型4指數(shù)式的給條件求值問題】【方法點撥】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：(1)將條件中的式子用待求式表示出來，進而代入化簡得出結(jié)論.(2)當直接代入不易求解時，可以從總體上把握已知,式和所求式的特點，從而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進行化簡，再用整體代入法來求值.(3)適當應用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔.【例4】已知a+1a=4A．2 B．2 C．?2 D．±【變式4-1】若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，則ab+a﹣b的值為（）A．22 B．±22 C．?2【變式4-2】已知10m＝2，10n＝3，則10A．49 B．89 C．23 【變式4-3】已知實數(shù)a，b滿足(a+a2+1A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【題型5指數(shù)冪等式及冪的方程問題】【方法點撥】指數(shù)方程常見的類型有：(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0f(x)=g(x)；(2)SKIPIF1<0=0.其中類型(1)利用同底法解，類型(2)利用換元法解.【例5】方程3x?1A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【變式5-1】方程5x﹣1?103x＝8x的解集是（）A．{1，4} B．{14} C．{1，14} D．{4，【變式5-2】方程4x﹣1=1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【變式5-3】方程4x﹣10?2x+16＝0的解集是．【題型6指數(shù)冪等式的證明】【方法點撥】指數(shù)冪等式的證明中，設輔助參數(shù)是對數(shù)學問題的“層次性”的深刻認識的體現(xiàn)，是把復雜問題轉(zhuǎn)化為兩個或多個基本問題的重要分析方法.【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求證：（32）mn＝2n【變式6-1】已知6|m|3k2+2?m22+3【變式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求證：（ab）a【變式6-3】已知ax3＝by3＝cz3，且1x+1y+1z=1，求證：（ax專題4.1指數(shù)-重難點題型檢測一．選擇題1．把二次根式xyA．xy B．xy C．xyy 2．3×A．2 B．3 C．4 D．63．下列運算正確的是（）A．（﹣3a）3＝﹣9a3 B．﹣a2?a3＝﹣a6 C．﹣（﹣2a2）3＝8a6 D．3a+2a＝54．下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．?x=(?x)12C．6y2=y5．已知x+1x=6A．38 B．36 C．34 D．326．若|3x﹣2y﹣1|+x+y?2=0，則x，A．1，4 B．2，0 C．0，2 D．1，17．若y?1yA．m2+2 B．m2﹣2 C．m+2 D．8．已知a是大于1的實數(shù)，滿足方程a2+a﹣2＝7，則a1A．1 B．72+72 C．3二．多選題9．下列運算結(jié)果中，一定正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a7 B．（﹣a2）3＝a6 C．8a8=a 10．下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．6y2=y1C．x?13=?11．已知a+a﹣1＝3，則下列選項中正確的有（）A．a(chǎn)2+a﹣2＝7 B．a(chǎn)3+a﹣3＝16 C．a(chǎn)12+a12．以下化簡結(jié)果正確的是（字母均為正數(shù)）（）A．a(chǎn)52?a13C．?15a12b1三．填空題13．(278)214．若(1?a)2+(1+a)15．方程24x+1﹣17×4x+8＝0，x＝．16．若a+b＝5，ab＝2，則a4+b4+3a2b2值是．四．解答題17．已知27x＝67，81y＝603，求證：4y﹣3x＝2．18．已知a﹣b＝2，ab＝48，求a