新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之幾何專項(xiàng)講義：定值問(wèn)題

第17講定值問(wèn)題

-.方法綜述

解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某

些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確，定的值，求定值問(wèn)題常見(jiàn)

的解題模板有兩種：

①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

類型一與面積有關(guān)的定值問(wèn)題

/V2

【例1】已知橢圓C:=4=1過(guò)點(diǎn)A(2,0),5(0,1)兩點(diǎn).

ab

(I)求橢圓C的方程及離心率；

(II)設(shè)尸為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線E4與y軸交于點(diǎn)直線PB與X軸交于點(diǎn)N,求證：四邊

形的面積為定值.

解：(1)由題意得，2,6=1.所以橢圓C的方程為《+丁=1.

4

又c=Na1-=石,所以離心率e=￡=且.

a2

(2)設(shè)0,%<0),則片+4y：=4,又A(2,0),3(0,l),.?.直線%的方程為y=2).

%-2

令x=。，得為‘，.?.""i+工.

直線尸3的方程為了=生」X+1.令y=0,得/

從而I⑷v|=2-xN=2+—^―

%y0-1%-1

所以四邊形的面積S=^\AN\?\BM\(2+2%、

l,)(1+■V2)

%-

有+4芥+4依。-氣-8%+4=2Vo-2x0-4yo+4=?從而四邊形加加的面積為定值.

2(毛為-%-2%+2)xoyo-x0-2%+2

【方法小結(jié)】

解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量

無(wú)關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的

代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.

22

【例2】已知橢圓￡:亍+3=1,點(diǎn)A,B,C都在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為中點(diǎn)，且CO=2OD.

（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（弋），求直線4?的方程；

（2）求證：AABC面積為定值.

13

解：（1）設(shè)4（冷必）,2（孫%），W0,y0）,VCO=2OD,：.￡＞（--）,將代入橢圓方程中

2

231

1化簡(jiǎn)可得（%+%）（+/）+（%+%）（，-%）=0

2

%14'3"

3一

二.3=%-%=.3(%+%)_3?1-；，，直線的的方程為x+2y+2=0；

AB

x「x24(%+y2)4'k0D

(2)證明：設(shè)C(m,力)，-土|),

33

①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，〃=0,由題意可得。(2,0),A(-l,-1,-)^C(-2,0)

3319

A(l,--),B(1,-)，此時(shí)S^c=5創(chuàng)B3=-；

313m

②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，晨0,由(1)kAB=--?—--,

4koc4n

即直線-步y(tǒng)3m3

—x--,

4〃2n

rr,l3mx+43+6=0,=?

2o2

即3mx+4ny+6=0,由I99得3x+3mx+3-4n=0

|3X2+4y2=12

4n2

x2=-m,x1x2=1-—

1+冷卜4Q16n2+9m2f4-學(xué)416n222

VCO=2OD,：.\AB\=+^^/16n+9m,

16n23

611/------------------6Q

。到AB的.距離d=,,；.S^BC=3sMAB=3倉(cāng)0-79m2+16川？-

+16-wei22、邪病+16-2

???加c為定值?

【方法歸納】

1.解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量（線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等）的大小或某些

代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，.而始終是一個(gè)確定的值.常見(jiàn)定值問(wèn)題的

處理方法：

（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示

（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），再進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).

2.定值問(wèn)題的處理技巧:

(1)對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直線等)求出定值，進(jìn)而給后面一般情況

的處理提供一個(gè)方向.

(2)在運(yùn)算過(guò)程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏

(3)巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【變式訓(xùn)練1】

己知點(diǎn)A3的坐標(biāo)分別為G后,0),(6,0)，直線AP,3尸相交于點(diǎn)尸，且它們的斜率之積為-2

3

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程;

(2)設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為C,點(diǎn)是軌跡C上不同于的兩點(diǎn)，且滿足AP〃。/求證：AMON的

面積為定值.

-扣貢石)

解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意得，lk

BPx+6x-6

22

化簡(jiǎn)得，點(diǎn)尸的軌跡方程為L(zhǎng)+匕=1(無(wú)貢6).

32

(2)證明：由題意知，是橢圓C上不同于的兩點(diǎn)，目AP//OM,BP//ON,則直線AP,3尸的斜率

必存在且不為0.

因?yàn)椤薄凹?/吆^^所以心“？/^lkBP-g(無(wú)貢坦).

設(shè)直線的方程為x=〃9+t,M,N的坐標(biāo)分別為用(元1,y),?/(X2，%)，

4mt

2%+%=-三。=

rv23+2m

把龍=my+才代入橢圓方程二十匕=1，得（3+2m2）y2+4mty+2t2-6=0

32If-6

%%=-2

3+2m

2t2-62產(chǎn)-67

又k()M?k()N即2/=2m2+3.

加2yly2+。］+%）+/2222

x{x2mt3t-6m3t-6m3

2

1\t\yl-24?+48m+722ya2_瓜即的面積為定值如

又S^MON

223+2m24?~2'2

【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系wy中，已知點(diǎn)4%,%),3(%2，%)是橢圓E：?+y2=1上的非坐標(biāo)軸上的點(diǎn),

且4%？自B1=0分別為直線3,08的斜率)?

(1)證明：片+尤;,y：+y2均為定值;

(2)判斷AOR的面積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：⑴證明：依題意，不，無(wú)2,%,%均不為。，

則由軟3?%贏1=0,得少退+1=0,化簡(jiǎn)得％=-至i,

中2-4%

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以無(wú)；+4寸=4,①，%+4貨=4,②

把火二--代入②，整理得(%；+44)只=16^.

4yl

結(jié)合①得/=4代，同理可得X；=4式,從而才+后=4￡+考=4,為定值,

犬+￡=犬+子=1，為定值.

⑵S3g|OA俾邱inAOB=+y；?,COS2?AOB

:器芯［；）=向;+y；）『y”（「+x%）二加一”才

由⑴知、=4〉；,片=4￡,易知%=-（X=］或必=（%=-y>

SAAC?=gl%%-%%|=；1■玉2+2y；=*；句=1,因此AQIB的面積為定值1.

類型二：與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題

與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題包括直線的斜率為定值，或兩直線的斜率之積為定值，或兩直線的斜率之比為定

值，或兩直線的斜率之和為定值等.

橢圓W+4=1的離心率是走，點(diǎn)（百,g）在橢圓上,

【例11如圖,設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂

a2b22

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，4引橢圓。的兩條弦4瓦男尸.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線AE與耳尸的斜率是互為相反數(shù).

①直線所的斜率是否為定值？若是求出該定值，若不是，說(shuō)明理由;

②設(shè)處EF、ABiEF的面積分別為S1和邑，求SI+S2的取值范圍.

「解得仁；一..橢圓的方程為:/“

解：（1）1a2

I31

上衣

（2）①設(shè)點(diǎn)E?，x）,_F（無(wú)2，%），直線4"：了=左（尤-2）,直線4/：丫=-卮+1

iy=k(x-2)

聯(lián)立方程組If，消去y得(4公+1)/-i6Fx+16/-4=0

匕+y=i

/.2%=I，%-4=8k-2,必=以匹.2)=-乎，點(diǎn)E、k；2,一軟)

、4廿+1"4^+1-114k2+14左2+14k2+1

y=-kx+1

_8k

聯(lián)立方程組I*1，消去y得:(4嚴(yán)+1)%2-8Ax=0,x2

lv+y~4S+1'

,1-4k2.q13k1-4k2、,,,_y-y_1

%--kX]+1——；---,?.點(diǎn)F(—----,—5---),故k--t----2---

22EF

4/+1+1+1xA-x22

1

尸—x+t

②設(shè)直線EF:y=-x+t聯(lián)立方程組I9

f，消去y得：jC+2tx+2r-2=0,

2I

-+/=1

4-

222

A=(-20-4(2』-2)=8-4t>0,-A/2<t<A/2,x,+x2=-2t,xxx2-2t-2,

設(shè)分別為點(diǎn)A，4到直線EF的距離，則4=

1I-----

2

H+邑=萬(wàn)(4+tZ2)|EF|=(卜+1|+\t-l|)v2-t,

l

當(dāng)1<t<6時(shí)，st+S2=2M2-2=212t--？(0,1)；

2

當(dāng)-l#r1時(shí)，St+S2=272-t?[2,2A/2]；

當(dāng)-忘<f<-1時(shí)，St+S2=-2W2-1=2』2t2--？(0,1)；

綜上可知：4+$2的取值范圍是(0,20].

/2L

【例2】已知橢圓C:二+4v=l(a>6>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2A/L

ab

(I)求橢圓C的方程；

(II)過(guò)動(dòng)點(diǎn)0)的直線交x軸與點(diǎn)N,

交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限)，且/是線段尸N

的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,

延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)3.

⑴設(shè)直線的斜率分別為匕V，證明y為定值.

(ii)求直線AB的斜率的最小值.

解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意知2〃=4,2c=20，a-2,b=^a2-c2-42

22

橢圓C的方程為r土+v匕=1.

42

(2)(i)設(shè)尸(%,%)(%0>0,%>0),由M(0,加)，可得P(%o,22叫

直線尸M的斜率人也」=%,直線QM的斜率展=-2mLm=-犯

X。玉）玉）玉）

此時(shí)-3,?,?身為定值-3.

kk

（ii）設(shè)4%1，%）,3（%2，%），直線Q4的方程為^=kx+m,直線。8的方程為丁=-3Ax+m，

y=kx+m2)

)J9m_42/-4

__2y2整理得(2左之+1)/+4加區(qū)+2蘇-4=0.由％0%=——------可得石二

x2

i—+—=12k+1Qk+l)x0

I42

2k(m2-2)2(m2-2)-6左(蘇-2)

y=kxy+m=----z---------+m同理:

x22

(2k+1)/(18F+l)x0(1842+1)%

25?_2)2(m2-2)_-32k2(m1-2)

2222

(18k+l)x0-(2k+l)x0~(18k+l)(2k+l)x0

-6A;(m2-2)2(m2-2)-8k(6k2+l)(m2-2).%-K6k2+11“，1、

----------------+m-------m=-----------z---------，??k7=-------=------=一(6左+—)

ABR

(18F+l)x0(2公+1)%---------(18公+1)(2左2+1)/%-%4k4k

由根＞0,1＞0,可知左＞0,6左+工？2遙，當(dāng)且僅當(dāng)」="時(shí)取等號(hào).此時(shí)，=邁

k674-8m26

即加=巫，符合題意.所以直線的斜率的最小值為逅.

72

【方法歸納】本題利用。，"c,e的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐

曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到參數(shù)的解析式或方程是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式

子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.

【例3】如圖，橢圓氏1+衛(wèi)=1（4＞。＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)40,-1）,且離心率為變.

ab2

（I）求橢圓E的方程；

（II）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,且斜率為％的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn)P,Q（均異于點(diǎn)A）,證明：直線AP與AQ的

斜率之和為2.

解：（I）由題意知￡=且力=1,又4=/+/,.?.“=夜，.?.橢圓的方程為蘭+丁=1.

a22

（II）由題設(shè)知直線尸。的方程為y=?x-1）+1（左？2）,代入*+y=i,得

(1+2k2)x2-4k(k-l)x+2k(k-2)=0,由已知A>0,設(shè)2(國(guó),/),。(%2，%)，玉龍2］。，

占+%=4kg?,7尤2=2k(k-?，直線"與AQ的斜率之和為

1+2k1+2k

kAp+kAQ=^+^=2+2」+>+2」=2k+(2-幻(工+-1)

再x2jqx2再x2

=2k+(2-k)X'+Xi=2k+(2-k)4k8D=2k-201)=2.即直線"與AQ的斜率之和為2.

^x22k(k-2)

【方法歸納】定值問(wèn)題的處理常見(jiàn)的方法：(1)通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進(jìn)行一般

性的證明或計(jì)算，即將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形形式，證明該式是恒定的，如果以客觀題形

式出現(xiàn)，特殊方法往往比較快速奏效；(2)進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果.

22

【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系必y中，橢圓'+與=l(a>0)的右頂點(diǎn)和

ab

上頂點(diǎn)分別為ABM為線段AB的中點(diǎn)，且--b2.

2

(1)求橢圓的離心率；

(2)若Q=2,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，且A5〃DC.記直線

的斜率分別為3上2,求證：匕戲2為定值.

解：(1)由題意，A(a,0),B(0,b),由“為線段他的中點(diǎn)得

二加翳AB=（-b）.

2

因?yàn)?-b,所以（色,與?（a,b）=-整理得4=4尸，即a=26.

222222

因?yàn)閒+，,所以…,即其=2。.所以橢圓的離心率小邛.

f1

⑵證明：由1=2得b=l,故橢圓方程為土+丁=1.從而42,0),3(0,1),直線筋的斜率為.

42

九21

設(shè)則才+1.因?yàn)楣蔆D的方程為y=-5(x-瓦)+%.

ly=-%)十為

聯(lián)立方程組；，消去y,得爐-(%+2%)x+2%o%=0,

I

解得％二/或兀=2yo.所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2%1%0).

1

所以勺？&5°L即勺的為定值」.

2%-2/44

【例5】已知橢圓/+，=1(Q0)的焦距為2,離心率為乎，右頂點(diǎn)為.

(1)求該橢圓的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)0(-應(yīng)，應(yīng))作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)尸，0,求證：直線AP,A。的斜率之和為定值.

解：(1)由題意可知2c=2?c1,又e=￡?ay/2?b1,所以橢圓方程為二+V=1.

c2

(2)由題意得，當(dāng)直線尸。的斜率不存在時(shí)，不符合題意；

當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線尸。的方程為y+應(yīng)=6X-丘),即〉=履-41k--J1,

ly=kx-41k-應(yīng)

?(12k2)x2-4夜(.+k)x+4k2+8k+2=0,

因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，故其D=-4(8左+1)>0?k

設(shè)尸(巧，必)，Q(0,y),則/+/=--———,巧工4M*弘：2,又A(夜，o)

21+2攵

,,%%_k(xrA/2)-72_k(x2-A/2)-A/2_A/2(XJ+x2)-4_

AP

GF后-x2-V2-x.2-&(/+/)+2一

即直線A尸，AQ的斜率之和為定值1.

1

【變式訓(xùn)練2】已知橢圓C:]+方x=l(a>6>0)的離心率為1:，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓

與直線J5y+12=0相切.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)A(-4,0),過(guò)點(diǎn)R(3,0)作與無(wú)軸不重合的直線/交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，連接AP,AQ分別交直線

x=”于M,N兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為匕，為，試問(wèn)：勺次2是否為定值？若是，求出該定值，

3

若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)由題意得。%2^3?—亡=1；

產(chǎn)41612

壽=/+021

22

土+匕=1

2

O義，5],)2人11人2，)2八旦幺，丫1士八人一〃0丁J，mi)1612?(3加24)y+ISmy-21=0,

x=my+3

由A三點(diǎn)共線可知=」■；?yM

3+4修+43(巧+4)

3

力

同理可得以=4'；.優(yōu)yM?yN^yMyN_16/

3-3叫349(%1+4)(X2+4)

33

???6+4)(X2+4)=(g+7)"+7)=m\y2+7…+為)+49'快=*乃+嘉+…=一:.

【變式訓(xùn)練3].如圖，橢圓G：O/=l(a>6>0"^G：x2+y2=62,已知橢圓C1過(guò)點(diǎn)焦距為

2.

(1)求橢圓C］的方程;

(2)橢圓C1的下頂點(diǎn)為E,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線/與圓C2相交于點(diǎn)A,3,直線

外,EB與橢圓G的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P,M.設(shè)PM的斜率為匕，

直線/斜率為42,求&的值.

一及

解：(I)解法1：將點(diǎn)代入方程，解方程組，求得橢圓G的方

程為E+/=i.

2

2

解法2：由橢圓定義的2a=20，，橢圓Q的方程為三+j1.

2

(2)由題意可知直線1的斜率存在且不為0,PE±EM,不妨設(shè)直線PE的斜率為k(k>0),則

4k

x=

由得2r+1Ax=0.P(4k2k2-1

PE:y=kx-1,I2+,1,或f

|y=kx-1I2k-1\y=-12左？+1'2Z?+I.

y=

2產(chǎn)+1

用--去代去,得Af(2,貝ijk、=k=-——-

k左2+2左2+21PM3k

I2k

22x=

,jx+y=lznIk+1Ax=0

由I；得：,或1

|y-kx-1|k-1ly=-

y=

k2+1

則「心=幻k3

所以

k]2

【變式訓(xùn)練4】如圖，〃是拋物線Vx上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME,分別交x軸于A3兩點(diǎn)，且若M

為定點(diǎn),證明：直線。的斜率為定值.

【證明】設(shè)直線腔的斜率為-人>0),則直線的斜率為-左,

，直線ME的方程為y-y0=k(x-yj).

聯(lián)立嫡消去尤，得好-y+yod-以)=o.

fy=x

解得%=上~纏，(1-軌y(1+僅-

.?.4=.同理,yF=*伙,xF

k-k

1-伙1+ky02

=y-y_k--k_1

EF—(定值).直線EF的斜率為定值.

XE-XF(1-%)2(1+Ay。)2-4佻2%

TP-k2

類型三：與長(zhǎng)度有關(guān)的定值問(wèn)題

與長(zhǎng)度有關(guān)的定值問(wèn)題包括線段長(zhǎng)度(弦長(zhǎng))為定值，或兩線段長(zhǎng)度之積為定值，或兩線段對(duì)應(yīng)數(shù)量積為

定值等.

［例1］已知橢圓C：「+，=Ka>b>0)的離心率為等,橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為

2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線y=々(x-1)(左>0)與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，且與無(wú)軸，y軸交于M,N兩點(diǎn).

(I)若MB=AN,求上的值;

7

(II)若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(70)，求證：QAxQB為定值;

22￡7

解：(1)?.?二+5=1(°>>>0)滿足6=廿+°2,又e=上a2=2c2?b2(?

a2b12

又橢圓的頂點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為即抑…'即隨

C2,-2?4

以上各式聯(lián)立解得/=4,廿=2,

22

...橢圓方程為二+匕=1.

42

(2)(I)直線y=k(x-1)與x軸交點(diǎn)為M(l,0),與y軸交點(diǎn)為N(0,儲(chǔ)，

聯(lián)立F：“X；°?(12/記-4儲(chǔ)X+2K-4=0

\x2+2y2=4

二D16K-4(1+2左2)(2左2-4)=24F+16>0.

4k2

設(shè)AOq,%),8(乙，為)，則無(wú)i+/二

1+2k2

又MB=(x2-l,y2),AN=(-x1k-必)

由MB=AN得X]+x,=&,=1,解得k=?

121+2k22

由左>0?k

2

(II)由上可知X[+x,=軟,，x,?x,2k2-4

121+lie121+21C

所以(x「：％)(工2-()(》2-1)+為力

,,,2、/7,2、4產(chǎn),49

(1+左+(-—k)------+k2+—

1241+2k216

2k2-4+2k&-4k2-Ik2-4/+k2+2k249

-----------------------------------------------------+—

1+2k216

-Sk2-44934915

.....-+——=-4+——=

1+2k2161616

所以,QAXQB為定值-—.

16

【例2】已知橢圓氏￡+?=1(a>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P(后」)

ab2

在橢圓E上.

(1)求橢圓石的方程；

(II)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)。且斜率為;的直線/與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)線段AB的中點(diǎn)為直線與橢圓

E交于C,。,證明：陛國(guó)業(yè)科\MC\1\MD\.

解：(1)由已知，。=26.又橢圓]+/=1(。>6>0)過(guò)點(diǎn)P(G,；)，，京+，=1，解得/=1，所以橢圓

E的方程為片+丁=1.

4

(2)設(shè)直線/的方程為y=g無(wú)+見(jiàn)根？0),AO],%),/??,%)

lx2_,

I-r+y2-1

由方程組：4得￡+2如+2蘇-2=0,

卜=-x+m

22

由A=4(2-m)>0得-A/2<m<叵.x2=-2m,x{x2-2m-2,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-m,—)

直線OM的方程為y=-1x,由方程組[得C(-0,亨,0(0,-亭,

所以孚(-根+夜)?亨■(點(diǎn)m)=|(2-m2).

ii5

又陷彳-\AB\7=-[(J1-無(wú)2>+(%-%)2]=77[(與+無(wú)2>-4占尤21

4416

=一[4m2-4(2m2-2)]=-(2-m2).

164

所以聚叫=|MC|

【方法歸納】在涉及到直線與橢圓(圓錐曲線)的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(占,%),(9,力),同時(shí)把直

線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得玉+尤2,玉工2，再把用和冗2表示出來(lái),并代入剛才的無(wú)1+X2,X1X2,

這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求”法.可減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

22

【例3】已知橢圓E:=+4=13＞匕＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線

ab

l：y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.

(I)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(II)設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/四。7,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A3,且與直線/交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)

譏使得|pif=川弘|?|尸目，并求之的值.

22

解：(I)由已知，a2+a2=(2c)2,即口=缶，所以“=缶，則橢圓E的方程為東+方=1.

+匚1

由方程組b25得3d-Ux+(18-2/)=0.①

y=-x+3,

方程①的判別式為A=24S2-3),由△=(),得6\3,此時(shí)方程①的解為戶2，

22

所以橢圓E的方程為二+匕=1.點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1).

63

1

(ID由已知可設(shè)直線4的方程為了=工尤+m(m?0),由方程組］y-—x+m,

2

2i

y=-x+3,

1=2-網(wǎng)，99

可得,所以p點(diǎn)坐標(biāo)為Q-冽,1+網(wǎng)),.-.IPTI'Bl.

/j2機(jī)3311

片1+于9

1,

3

設(shè)點(diǎn)A.8的坐標(biāo)分別為3(尤2，%)?由方程組i6可得#+4如+(4/-12)=0.②

［y=］尤+m,

方程②的判別式為A=16(9-2m2),由A〉。，得-乎〈加〈乎，由②得%+9=-日產(chǎn)/=若士

=J(2-符-為y+(1+笄-M)76,2m_2m

I=------2---西-,同理：|PB|=12-

3

所以|PA|才尸卻|(2-2m2m

5一)(2-T

5小22mg-22m、/、

=

—(2--(2-^-)(玉+%2)+玉%2

33

2

5—2rmn、?小2m4m4m-12

_(2----)2-(2----)x(z----)x+

4333

102

二——m.

9

故存在常數(shù)4=使得|P?f=2|PA|?|PB|.

【方法歸納】在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（%,%）,（%,%），同時(shí)把直

線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得尤］+x2,xlx2,再把|PA|x|PB|用西，尤2表示出來(lái)，并代入剛才的占+x2,x1x2,

這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求”法.可減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

【例4】在平面直角坐標(biāo)系皿y中，過(guò)點(diǎn)0>,0）的直線與拋物線,2=2。X（「>0）相交于48兩點(diǎn).設(shè)

4（元］,弘）,3（尤2，%）.

（1）求證：%為為定值；

（2）是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長(zhǎng),

如果不存在，說(shuō)明理由.

解：（1）（解法1）當(dāng)直線至垂直于無(wú)軸時(shí)，*=四。,%=-夜。，因此%%=-2/（定值）；

當(dāng)直線不垂直于無(wú)軸時(shí)，設(shè)直線的方程為、=以尤-p）,由「）得江-2py-2p2k=0,

fy=2Px

l

，%%=■2P②,因此yxy2=-2P為定值；

（解法2）設(shè)直線AB的方程為陽(yáng)=x-p,由j?''得丁-2pmy-2p2=0,=-2p2,因此

X%=-2P2為定值；

（2）設(shè)存在直線/:x=〃滿足條件，則AC的中點(diǎn)夙號(hào)上,號(hào)~）,???2C=-pY+短.以為直徑的圓

的半徑r-^AC=-pj+y；-+p?，點(diǎn)E到直線x=a的距離d="；a

所以所截弦長(zhǎng)為：

2222122

2A/F-d=+p）-（西；夕—a）=+p-（Xj+p-2a）=yJ-2x｛（p-2a）+Aap-4a,

當(dāng)p-2a=0即4=護(hù)，弦長(zhǎng),?言4?fp為