浙江省北斗聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題

2023學年第二學期北斗聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題考生須知：1．本卷共四頁滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效：4．考試結束后，只需上交答題紙.一、單選題（每小題5分共40分）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，則，故B正確.故選：B2.已知空間兩條不同直線，兩個不同平面，下列命題正確的是（）①，則②，則③，則④，則A.①③ B.②④ C.①③④ D.①④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面和面面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.【詳解】若，由線面垂直的性質，垂直同一個平面的兩條直線平行，則，故①正確；若，則或與相交或異面，故②錯誤；若，由垂直同一條直線的兩個平面平行，則，故③正確；若，由線面垂直和線面平行的性質可得，故④正確.故選：C.3.已知非零向量，，則“兩向量，數(shù)量積大于0”是“兩向量，夾角是銳角”的（）條件A.必要 B.充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合數(shù)量積的定義分析判斷.【詳解】因為非零向量，，所以當兩向量，數(shù)量積大于0時，兩向量，夾角是銳角或是零度的角，而當兩向量，夾角是銳角時，兩向量，數(shù)量積大于0，所以“兩向量，數(shù)量積大于0”是“兩向量，夾角是銳角”的必要不充分條件.故選：A4.東陽市一米陽光公益組織主要進行“敬老”和“助學”兩項公益項目，某周六，組織了七名大學生開展了“筑夢前行，陽光助學”活動后，大家合影留念，其中米一同學想與佳艷?劉西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（）種.A.120 B.240 C.480 D.720【答案】B【解析】【分析】根據(jù)米一同學想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，將米、佳艷、劉西捆綁在一起，與剩余4個同學作為5個元素全排列求解.【詳解】解：因為米一同學想與佳艷?劉西排一起，所以捆綁在一起，與剩余4個同學作為5個元素全排列有種，又因為米一同學想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，則佳艷?劉西全排列有種，所以全部排法有：種，故選：B5.已知等差數(shù)列，前項和為是方程兩根，則（）A.2020 B.2022 C.2023 D.2024【答案】D【解析】【分析】利用韋達定理求得，然后利用等差數(shù)列通項性質求得，從而利用求和公式求解即可.【詳解】因為是方程兩根，所以，所以，所以.故選：D6.空間點，則點到直線的距離（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，利用空間向量夾角余弦公式求出，進而求出，再利用距離公式即可求出結果.【詳解】由題意得，所以，所以，所以點A到直線BC的距離.故選：D.7已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定條件確定的位置，再結合同角三角函數(shù)的基本關系求解即可.【詳解】因為，，所以是第四象限角，所以，而，故，化簡得，而，代入得，解得(正根舍去)，故B正確.故選：B8.三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)條件求出底面的半徑，進而利用直角求出外接球的半徑為，代入表面積公式即可求出結果.【詳解】中，，由余弦定理得；設底面的外心為，外接圓的半徑為；由正弦定理，則；連結，此時的外接球的球心在上，利用直角可得：，設的外接球的半徑為；此時，在直角中，，即，解得；所以，三棱錐的外接球的表面積.故選：.二、多選題（每小題6分，共18分，多選．錯選0分少選則根據(jù)比例得分）9.已知直線和直線，則下列說法正確的是（）A.若，則表示與軸平行或重合的直線B.直線可以表示任意一條直線C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用線線平行、線線垂直的性質可直接判斷.【詳解】對于A，當時，斜率為0，與軸平行或重合，故A正確；對于B，當時，斜率不存在，當時，斜率存在，能表示任意直線，故B正確；對于C，若，且或，則，故C錯誤；對于D，若，則由可得斜率之積為1，故，若，可得，此時滿足，此時兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故，故D正確.故選：ABD.10.已知正項等比數(shù)列的公比為，前項積為，且滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.存在最大值【答案】ACD【解析】【分析】先通過條件確定和的取值情況判斷AB，然后利用等比數(shù)列的性質計算即可判斷C，再根據(jù)數(shù)列的單調性判斷D.【詳解】由已知，又，，所以，，A正確，B錯誤；，，所以，C正確；因為且，所以等比數(shù)列遞減數(shù)列，于是，則的最大值為，D正確.故選：ACD11.已知定義域為R的函數(shù)不恒為零，滿足等式，則下列說法正確的是（）A. B.在定義域上單調遞增C.是偶函數(shù) D.函數(shù)有兩個極值點【答案】AD【解析】【分析】令可判斷A；令，結合和單調性可推出，得到矛盾，進而可判斷B；假設是偶函數(shù)，根據(jù)已知推導可得，可判斷C；令，求導后消去，整理得，即可判斷D.詳解】對于A，令得，即，A正確；對于B，若在定義域上單調遞增，當時，，令，得，即，與在定義域上單調遞增矛盾，故B錯誤；對于C，若偶函數(shù)，則，且，因為，所以，所以，即，得或，又，所以恒成立，矛盾，故C錯誤；對于D，當時，，記，則所以，令解得或，因為不恒為零，所以在兩邊異號，所以為的極值點，所以函數(shù)有兩個極值點，D正確.故選：AD【點睛】關鍵點睛：本題難點在于D選項，關鍵在于求導后利用已知消去，然后可判斷極值點.三、填空題（每小題5分共15分）12.復數(shù)，則的虛部為______．【答案】1【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算法則結合虛部的定義求解即可.【詳解】因為，所以，，故的虛部為1.故答案為：113.一學校對高二女生身高情況進行采樣調查，抽取了10個同學的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，則估計這些女生的上四分位數(shù)是______【答案】172【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.【詳解】10個數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，上四分位數(shù)是第8個數(shù)據(jù)，即172.故答案為：172.14.在中，，，，為邊上一點，，，，則的最小值為______【答案】##【解析】【分析】分析題意得到的范圍，利用正弦定理和銳角三角函數(shù)的定義表示出邊長，再利用基本不等式里‘1’的代換求解最值即可.【詳解】因為為邊上一點，過作交于，則，當在之間時，無法構成，此時如圖所示，所以在的延長線上，可得，所以，，因為，所以，，而在中，，，可得，，在中，由正弦定理得，即，可得，，所以，，，當且僅當時取等，此時解得，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查解三角形，解題關鍵是合理利用條件表示出邊長，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．四、解答題（共77分）15.函數(shù)，求的最大值和最小值【答案】，【解析】【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求最值即可.【詳解】，又時遞減，時遞增，且，，，16.如圖多面體，底面為菱形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，則，由面面垂直的性質得到平面，即可得到，再由，證明平面，即可得證；（2）取中點，連接，即可得到，則，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得【小問1詳解】在中，，由，，所以，由余弦定理可得，所以，所以，即，又，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，在菱形中，又，平面，平面，平面，.【小問2詳解】菱形中，所以為等邊三角形，取中點，連接，所以，又，所以，又平面，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，設，則，又，所以，所以，即，所以，設平面的一個法向量為，則，取設平面的一個法向量，則，取，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.17.（1）求圓和圓的公切線（2）若與拋物線相交，求弦長【答案】（1）或；（2）1或【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解；（2）將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解.【詳解】解：（1）當斜率存在時，設公切線為，因為與兩圓相切，所以，解得.切線當斜率不存在時，也符合題意，綜上：公切線為：或；（2）當切線和時經檢驗無交點，當切線為時，求得弦長為1，當切線為時，代入，得：，由韋達定理得，所以由弦長公式得：，，綜上：弦長為1或18.在高等數(shù)學中對于二階線性遞推式求數(shù)列通項，有一個特殊的方法特征根法：我們把遞推數(shù)列的特征方程寫為①，若①有兩個不同實數(shù)根，則可令；若①有兩個相同的實根，則可令，再根據(jù)求出，代入即可求出數(shù)列的通項.（1）斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），又稱黃金分割數(shù)列，因出自于意大利數(shù)學家斐波那契的一道兔子繁殖問題而得名.斐波那契數(shù)列指的是形如的數(shù)列，這個數(shù)列的前兩項為1，從第三項開始，每一項都等于前兩項之和，請求出斐波那契數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列中，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用特征根法求解即可；（2）利用特征根法求解的通項公式，然后利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】易知斐波那契數(shù)列對應的特征方程為，解得兩個實根分別為，令，代入可得，解得，所以斐波那契數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】易知數(shù)列對應的特征方程為，解得，所以令，代入，解得，所以，所以，所以是公差為1的等差數(shù)列，，所以，所以【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)列新定義，處理此類問題，注意根據(jù)題目的定義，結合已知內容進行求解即可.19.已知點為焦點在軸上的等軸雙曲線上的一點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線且交雙曲線右支于兩點，直線分別交該雙曲線斜率為正的漸近線于兩點，設四邊形和三角形的面積分別為和，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設出等軸雙曲線方程，將點代入即可得到雙曲線的方程；（2）由直線可得斜率，設出的方程，聯(lián)立雙曲線方程消元，又是雙曲線右支