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文檔簡(jiǎn)介
1.1.3集合的基本運(yùn)算第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)人教B版(2019)情境與問(wèn)題學(xué)校高一年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)科學(xué)興趣小組,招募成員時(shí)要求:(1)中考的物理成績(jī)不低于80分;(2)中考的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于70分.如果滿(mǎn)足條件(1)的同學(xué)組成的集合記為P,滿(mǎn)足條件(2)的同學(xué)組成的集合記為M,而能成為科學(xué)興趣小組成員的同學(xué)組成的集合為S,那么這三個(gè)集合之間有什么聯(lián)系呢?可以看出,集合S中的元素既屬于集合P,又屬于集合M.1.交集一般地,給定兩個(gè)集合A,B,由既屬于A又屬于B的所有元素(即A和B的公共元素)組成的集合,稱(chēng)為A與B的交集.記作:A∩B,讀作“A交B”.兩個(gè)集合的交集可用如圖所示的陰影部分形象地表示.
因此,上述情境與問(wèn)題中的集合滿(mǎn)足P∩M
=
S.例如,{1,2,3,4,5}∩{3,4,5,6,8}=
{3,4,5}在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),x軸與y軸相交于坐標(biāo)原點(diǎn),用集合語(yǔ)言可以表示為{(x,y)|y=0}∩{(x,y)|x=0}={(0,0)}從定義可以看出,A∩B表示由集合A,B按照指定的法則構(gòu)造出一個(gè)新集合,因此“交”可以看成集合之間的一種運(yùn)算,通常稱(chēng)為交集運(yùn)算.交集運(yùn)算具有以下性質(zhì),對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,都有:(1)(2)(3)(4)如果,則,反之也成立.例1
求下列每對(duì)集合的交集:解:(1)因?yàn)锳和B的公共元素只有-3,所以A∩B={-3}.(2)因?yàn)镃和D沒(méi)有公共元素,所以C∩D=?.(3)在數(shù)軸上表示出區(qū)間E和F,如圖所示,
由圖可知E∩F
=(1,2).例2
已知A
={x
|
x是菱形},B
={x
|
x是矩形},求A∩B.解:A∩B={x|x是菱形}∩{x|x是矩形}={x|x是正方形}.情境與問(wèn)題某班班主任準(zhǔn)備召開(kāi)一個(gè)意見(jiàn)征求會(huì),要求所有上一次考試中語(yǔ)文成績(jī)低于70分或英語(yǔ)低于70分的同學(xué)參加.如果記語(yǔ)文成績(jī)低于70分的同學(xué)組成的集合為M,英語(yǔ)成績(jī)低于70分的所有同學(xué)組成的集合為N,需要去參加意見(jiàn)征求會(huì)的同學(xué)組成的集合為P,那么這三個(gè)集合之間有什么聯(lián)系呢?可以看出,集合P中的元素,要么屬于集合M,要么屬于集合N.2.并集一般地,給定兩個(gè)集合A,B,由這兩個(gè)集合的所有元素組成的集合,稱(chēng)為A與B的并集,記作:A∪B,讀作“A并B”.兩個(gè)集合的并集可用圖(1)或(2)所示的陰影部分形象地表示.由A,B構(gòu)造出A∪B,通常稱(chēng)為并集運(yùn)算.
因此,上述情境與問(wèn)題中的集合滿(mǎn)足
N∩M
=
P.例如,{1,3,5}∪{2,3,4,6}=
{1,2,3,4,5,6}注意:同時(shí)屬于A和B的元素,在A∪B中只出現(xiàn)一次.嘗試與發(fā)現(xiàn)類(lèi)比交集運(yùn)算的性質(zhì),探索得出并集運(yùn)算的性質(zhì),對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,都有:B∪AAAB例3已知區(qū)間A=(-3,1),B=[-2,3],求A∩B,A∪B.解:在數(shù)軸上表示出A和B,如圖所示.
由圖可知
A∩B=
,A∪B=
.[-2,1)(-3,3]探索與研究(1)設(shè)有限集M所含元素的個(gè)數(shù)用card(M)表示,并規(guī)定card(?)=0.已知A={x|x是興趣小組的成員},B={x|x是數(shù)學(xué)興趣小組的成員},且card(A)=20,card(B)=8,card(A∩B)=4,你能求出card(A∪B)嗎?(2)設(shè)A,B為兩個(gè)有限集,討論card(A),card(B),card(A∩B),card(A∪B)之間的關(guān)系.card(A∪B)=
16
+
4
+
4
=
24card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)情境與問(wèn)題如果學(xué)校里所有同學(xué)組成的集合記為S,所有男同學(xué)組成的集合記為M,所有女同學(xué)組成的集合記為F,那么:(1)這三個(gè)集合之間有什么聯(lián)系?(2)如果
x∈S且
x
?M,你能得到什么結(jié)論?可以看出,集合M和集合F都是集合S的子集,而且如果
x∈S且
x
?M,則一定有x∈F.3.補(bǔ)集在研究集合與集合之間的關(guān)系時(shí),如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集,那么稱(chēng)這個(gè)給定的集合為全集,全集通常用U表示.
如果集合A是全集U的一個(gè)子集,則由U中不屬于A的所有元素組成的集合,稱(chēng)為A在U中的補(bǔ)集.記作:?UA,讀作:“A在U中的補(bǔ)集”.由全集U及其子集A得到?UA,通常稱(chēng)為補(bǔ)集運(yùn)算.集合的補(bǔ)集也可用維恩圖形象地表示,其中全集通常用矩形區(qū)域代表,如圖所示:
因此,上述情境與問(wèn)題中的集合滿(mǎn)足?SF=M,?SM=F.例如,如果U
={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},則
?UA={2,4,6}.注意,此時(shí)?UA仍是U的一個(gè)子集,因此?U(?UA)={1,3,5}=A.
事實(shí)上,給定全集U及其任意一個(gè)子集A,補(bǔ)集運(yùn)算具有如下性質(zhì):分析:注意U中的元素都是自然數(shù),而且A,B
都是U的子集.解:在數(shù)軸上表示出A和B,如圖所示.
由圖可知?RA=__________,?RB=__________.(-∞,-1](2,+∞)探索與研究給定三個(gè)集合A,B,C,式子(A∪B)∩C的意義是什么?(A∩C)∪(B∩C)呢?作維恩圖研究這兩個(gè)式子之間的關(guān)系,并研究(A∩B)∪C和(A∪C)∩(B∪C
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