人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：圓的有關(guān)性質(zhì)（原卷版）

專題24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

目錄

圓的認(rèn)識(shí)....................................................................1

圓的相關(guān)概念................................................................2

求相關(guān)角度..................................................................3

求相關(guān)長(zhǎng)度..................................................................4

有關(guān)證明....................................................................5

垂徑定理的計(jì)算..............................................................5

垂徑定理的應(yīng)用..............................................................6

圓周角圓心角相關(guān)概念........................................................8

圓周角與圓心角求角度........................................................9

圓周角與圓心角求長(zhǎng)度.......................................................10

垂徑定理的推論.............................................................11

內(nèi)接四邊形.................................................................13

證明綜合...................................................................14

圓的認(rèn)識(shí)

在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的

圖形叫做圓。

①表示方法：。0,讀作“圓O”

②確定-個(gè)圓的條件：［定

定長(zhǎng)一半徑，

\7

【例1】下列結(jié)論正確的是（）

A.半徑相等的兩條弧是等弧

B.半圓是弧

C.半徑是弦

D.弧是半圓

【變式訓(xùn)練1】數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實(shí)例所應(yīng)用的最主要的幾何知識(shí),

說(shuō)法正確的是（）

A.學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對(duì)角線互相垂直平

分”

B.車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對(duì)稱圖形”

C.射擊時(shí)，瞄準(zhǔn)具的缺口、準(zhǔn)星和射擊目標(biāo)在同一直線上，應(yīng)用了“兩點(diǎn)確定一條直線”

D.地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對(duì)邊相等”

【變式訓(xùn)練2】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦

B.半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧

C.面積相等的兩個(gè)圓是等圓

D.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧

【變式訓(xùn)練3】在平面內(nèi)與點(diǎn)P的距離為1cm的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.無(wú)數(shù)個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

圓的相關(guān)概念

【例2】已知的半徑是3cm,則。。中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是（）

A.3cmB.6cmC.1.5cmD.y[3cm

【變式訓(xùn)練1】已知o。中最長(zhǎng)的弦為12厘米，則此圓半徑為_(kāi)_______厘米.

【例3】下列說(shuō)法：

①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個(gè)半圓是等??；④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧;

⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓.

正確的說(shuō)法有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式訓(xùn)練1】下列說(shuō)法：（1）長(zhǎng)度相等的弧是等弧，（2）相等的圓心角所對(duì)的弧相等，（3）

劣弧一定比優(yōu)弧短，（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

求相關(guān)角度

【例4】如圖所示，MN為。。的弦，/N=52。，則/MON的度數(shù)為（）

A.38°B.52°C.76°D.104°

【變式訓(xùn)練1】如圖，將一個(gè)含有60°角的三角板，按圖所示的方式擺放在半圓形紙片上,

O為圓心，則/AC。的度數(shù)為（）

A.150°B.120°C.100°D.60°

【例5】如圖，在△ABC中，ZC=90°,以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)。，交

AC于點(diǎn)E若NA=25°,求NOCE的度數(shù).

【變式訓(xùn)練1】如圖，C￡＞是。。的直徑，點(diǎn)A在。C的延長(zhǎng)線上，ZA=20°,AE交。。

于點(diǎn)B,且AB=OC.

（1）求/AOB的度數(shù).

（2）求NEOD的度數(shù).

求相關(guān)長(zhǎng)度

【例6】如圖，在△A3C中，ZC=90°,A3=若以點(diǎn)。為圓心，C4長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)

過(guò)的中點(diǎn)。，則。。的半徑為（）

A.5V3B.8C.6D.5

【變式訓(xùn)練1】如圖，是。。的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)（。不與A、8重合），CH

-LAB,垂足為"，點(diǎn)M是8。的中點(diǎn).若OO的半徑是3,則長(zhǎng)的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式訓(xùn)練2】如圖，0A是。0的半徑，B為OA上一點(diǎn)（且不與點(diǎn)0、A重合），過(guò)點(diǎn)B

作0A的垂線交于點(diǎn)C.以O(shè)B、3。為邊作矩形OBCD,連結(jié)BD.若CD=6,BC=8,

【變式訓(xùn)練3】如圖，在矩形A8CQ中，已知A8=3,3C=4,點(diǎn)尸是8C邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸

不與B,C重合）,連接AP,作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)”,則線段MC的最小值為（）

AD

M

BPC

5,—

A.2B.-C.3D.V10

2

有關(guān)證明

【例7】已知，如圖，在。。中，C、。分別是半徑OA、8。的中點(diǎn)，求證：AD=BC.

【變式訓(xùn)練1】已知：如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C、。在。。上，CE_LAB于E,DFLAB

于R且AC與8。相等嗎？為什么？

垂徑定理的計(jì)算

（X

垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

要點(diǎn)：①過(guò)圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分?。▋?yōu)弧、劣?。虎萜椒謭A心角

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

\______________________J

【例8】如圖，AB是O。的直徑，弦COL42,垂足為P.若C￡）=A尸=8,則的半徑為

A.10B.8C.5D.3

【變式訓(xùn)練1】如圖，CD是圓。的弦，直徑垂足為E,若A8=12,BE=3,則

四邊形ACBD的面積為（）

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

【變式訓(xùn)練2】如圖，正方形ABC。和正方形BEFG的頂點(diǎn)分別在半圓0的直徑和圓周上,

若8G=4,則半圓。的半徑是（）

A.4+V5B.9C.4V5D.6V2

【變式訓(xùn)練3】已知的直徑CO=10,CD與。。的弦4B垂直，垂足為M,且AM=4.8,

則直徑CD上的點(diǎn)（包含端點(diǎn)）與A點(diǎn)的距離為整數(shù)的點(diǎn)有（）

一

A.1個(gè)B.3個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

垂徑定理的應(yīng)用

【例9】往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示,若水面寬AB=4Scm,水的最大

深度為16。〃，則圓柱形容器的截面直徑為（）cm.

A.10B.14C.26D.52

【變式訓(xùn)練1】一裝有某種液體的圓柱形容器，半徑為6on,高為18aH.小強(qiáng)不小心碰倒,

容器水平靜置時(shí)其截面如圖所示，其中圓心。到液面A5的距離為3CM,若把該容器扶正豎

47T-3V3127T-9V3127T-9V3127T-9V3

A.-------cmB.-------------cmC.-------------cmD.-------------cm

127127rn2

【變式訓(xùn)練2】往直徑為78c7"的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬

AB=72cm,則水的最大深度為（）

<—72—?

A.36cmB.27cmC.24cmD.15cm

【變式訓(xùn)練3】如圖，某同學(xué)測(cè)試一個(gè)球體在水中的下落速度，他測(cè)得截面圓的半徑為5cm,

假設(shè)球的橫截面與水面交于A,8兩點(diǎn)，AB=8cm.若從目前所處位置到完全落入水中的時(shí)

間為4s,則球體下落的平均速度為（)

A.0.5cm/sB.0：50nlsC.1cm/sD.2cmis

【例10］如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下的水面寬度A3為7.2山，拱頂高出水面

（CD）2.4m,現(xiàn)有一艘寬EF為3m且船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面1.5m的貨船要經(jīng)過(guò)這

里，則貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由.

【變式訓(xùn)練1】詩(shī)句“君到姑蘇見(jiàn)，人家盡枕河”所描繪的就是有東方威尼斯之稱的水城蘇

州.小勇要幫忙船夫計(jì)算一艘貨船是否能夠安全通過(guò)一座圓弧形的拱橋，現(xiàn)測(cè)得橋下水面

寬度16根時(shí)，拱頂高出水平面4加，貨船寬12加，船艙頂部為矩形并高出水面3%

（1）請(qǐng)你幫助小勇求此圓弧形拱橋的半徑；

（2）小勇在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)遇到困難，請(qǐng)你判斷一下，此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？

說(shuō)說(shuō)你的理由.

圓周角圓心角相關(guān)概念

圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.

\/

【例11】下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）

（1）在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的弧相等；

（2）優(yōu)弧一定比劣弧長(zhǎng)；

（3）弧相等則所對(duì)的圓心角相等；

（4）在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式訓(xùn)練1】下列說(shuō)法正確的是（）

A.同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等

B.所對(duì)圓心角相等的弧是等弧

C.弧長(zhǎng)相等的弧一定是等弧

D.平分弦的直徑必垂直于弦

【變式訓(xùn)練2】下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.同心圓的周長(zhǎng)相等

B.面積相等的圓是等圓

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等

D.平分弧的弦一定經(jīng)過(guò)圓心

【變式訓(xùn)練3】下列說(shuō)法中，正確的有（）

①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；

②平分弦的直徑也平分弦所對(duì)的??；

③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；

④經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線將圓分成兩條等弧

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

圓周角與圓心角求角度

【例12］如圖，AB是。。的直徑，/D=32°,則NAOC等于（）

【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，是弦，C是弧上一點(diǎn).若/。48=25°,NOCA=

40°,則/80C的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【變式訓(xùn)練2】如圖,△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在。。上，^ZABC+ZAOC=75°，則N

Q4C的大小是（)

B.50°C.65°D.75°

【變式訓(xùn)練3】如圖，。。在△ABC三邊上截得的弦長(zhǎng)相等，即DE=FG=MN,NA=50°,

則ZBOC=()

C.115°D.120°

圓周角與圓心角求長(zhǎng)度

【例13］如圖，是。。的直徑，點(diǎn)。是弧AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。ELA8于點(diǎn)E,延長(zhǎng)

DE交OO于點(diǎn)、F,若AE=2,。。的直徑為10,則AC長(zhǎng)為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式訓(xùn)練1】如圖，為。。的直徑，點(diǎn)。是弧AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,

延長(zhǎng)。E交。。于點(diǎn)尸，若AE=3,。。的直徑為15,則AC長(zhǎng)為（）

/1\EOjB

Z--/

A.10B.13C.12D.11

【變式訓(xùn)練2】如圖，在半徑為2曲的O。中，弦AB,CZ）互相垂直，垂足為點(diǎn)尸.若

CD=8,則0P的長(zhǎng)為（）

【變式訓(xùn)練3】如圖，A2為。。的直徑，點(diǎn)。是弧AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,

延長(zhǎng)。E交。。于點(diǎn)孔若AC=12,AE=3,則G）O的直徑長(zhǎng)為（）

垂徑定理的推論

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

要點(diǎn)：①過(guò)圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分?。▋?yōu)弧、劣?。虎萜椒謭A心角

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

【例14］如圖，。。是。。的直徑，弦于則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.AM^BMB.CM=DMC.AC=BCD.ADBD

【變式訓(xùn)練1】如圖，C。是。。的直徑，弦ABLCD于點(diǎn)E,則下列結(jié)論不一定成立的是

（）

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB是。。的直徑，弦C。與A8相交于點(diǎn)E.不能推出CE=DE的條

件是（）

B

A.AB1CDB.AC=ADC.BC=BDD.OE=ED

【變式訓(xùn)練3】如圖，CO是。。的弦，AB是O。的直徑，ABLCD于點(diǎn)E,下列結(jié)論：①

AC=AD；②猶=通?EO=EB；@EC=ED.其中一定成立的是（）

A.①③B.①④C.①②④D.①②③④

內(nèi)接四邊形

定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

k_____________________________________________________________________________Z

【例15］如圖，四邊形48C。是。。的內(nèi)接四邊形，連接OA,OC.若/A8C=108°,則

NAOC的度數(shù)為（）

A.72°B.108°C.144°D.150°

【變式訓(xùn)練1】如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，對(duì)角線3。垂直平分半徑OC,若

50°,則NAOC的大小為（）

C

A.130°B.120°C.110°D.100°

【變式訓(xùn)練2】如圖，C,。是。。上直徑A8兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)/A8C=15°,則/B￡）C=（）

D

A.85°B.75°C.70°D.65°

【變式訓(xùn)練3】如圖，A8是。。的直徑，弦。垂直平分。8,P是冠上一點(diǎn)，則/AP。等

于（）

C.135°D.150°

證明綜合

【例16］如圖，AB為O。的直徑，CD為弦,CDLA2于點(diǎn)E,連接DO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)

F,連接交CD于點(diǎn)G,連接AC,S.AC//DF.

(1)求證：CG=AG；

(2)若A2=12,求NCA。和GD的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練1】如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，ACBC,點(diǎn)。是品的中點(diǎn)，連

結(jié)。C,AD,交于點(diǎn)E,連結(jié)BE,BD.

(1)求/EB4的度數(shù).

(2)求證：AE=V2BD.

(3)若DE=1,求。。的面積.

選擇題（共8小題）

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，有4條

B.長(zhǎng)度相等的弧是等弧

C.如果QA的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的4倍，那么的面積是03面積的8倍

D.已知OO的半徑為8,A為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且。4=8,那么點(diǎn)A在0。上

2.小明在半徑為5的圓中測(cè)量弦4?的長(zhǎng)度，下列測(cè)量結(jié)果中一定是錯(cuò)誤的是（）

A.4B.5C.10D.11

3.如圖，。。的直徑54的延長(zhǎng)線與弦。C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且CE=OB,已知

Z.DOB=72°,則ZE等于（）

4.如圖，QO的直徑AB=12,弦CD垂直AB于點(diǎn)P.若BP=2,則CD的長(zhǎng)為（）

A.275B.472C.4^D.872

5.已知。。的半徑為5,點(diǎn)。到弦的距離為3,則。O上到弦的所在直線的距離為2

的點(diǎn)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

6.如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面=拱高8=3〃工，則該拱門的半徑為（

)

D

A.—mB.2mC.-mD.3m

33

7.如圖，在RtAACB中NACB=60