湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

機密★啟用前

湖南省長沙市2025屆高三六校九月大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

B=-3x+m=0若

1.設(shè)集合LACB={I},則集合8=()

A.{1,-2}B.{1,2}c.{150}D.{L5}

z

2.若復(fù)數(shù)z滿足————1—if則2=()

1+i

A.2+2iB.-2-2iC.-2iD.2i

3.等差數(shù)列｛々/(neN*)中，4=10,由一生1—2q,則。7=()

A.40B.30C.20D.10

--+，=2,

4.已知sin(tz+￡)=則sindfsin/?=()

5tanatan/?

3113

A.——B.-c.——D.

105510

5.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將

其六個頂點看作正方體各個面的中心點.若正八面體的表面積為12班，則正八面體外接球的體積為

A4在兀B.46兀C.12兀D.36兀

6.已知函數(shù)/(x)=cosx+e、，且〃=/⑵、b=c=f(ln2),則〃、b、c的大小關(guān)系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

7.當(dāng)工￡［0,2兀］時，曲線y=cosx與y=2cos13x—胃交點的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

12025

8.已知"％)的定義域為R"(x+y)+/(x—y)=3/(x)/(y),且〃l)=w，則￡/(左)=()

3k=\

1212

A.一一B.一一C.-D.-

3333

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，至少有兩項

是符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分)

9.某校高三年級選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分X

的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為［30,100］,若等級分X?N(80,25),則()

參考數(shù)據(jù)：P(jU-o-<X</z+o-)=0.6827；P(4—2b<X<〃+2b)=0.9545；

P(〃-3b<XW〃+3<r)=0.9973

A.這次考試等級分的標(biāo)準(zhǔn)差為5

B.這次考試等級分超過80分的約有45人

C.這次考試等級分在［70,80］內(nèi)的人數(shù)約為48人

D.尸(65<X<75)=0.1573

10.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的

習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個

側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)

對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線C：（尤2+?。?=9（尤2-了2）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線c的圖象關(guān)于丁=%對稱

B.曲線。上任意一點到坐標(biāo)原點。的距離都不超過3

C.曲線。經(jīng)過7個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

D.若直線丁="與曲線C只有一個交點，則實數(shù)左的取值范圍為（一。,—

11.已知函數(shù)/（x）=X2—21nx,則下列選項中正確的是（）

A.函數(shù)/（X）的極小值點為x=l

B-/（"日（d、

C.若函數(shù)g（x）=/（|x|）T有4個零點，貝Ve（l,4<o）

D.若/（」）=/（%）（須7%），則無1+々<2

三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）

12.已知向量海滿足同=23=（3,0）,則向量￡在向量五方向上的投影向量的坐標(biāo)為，則卜—5|=

22

13.已知雙曲線—4=1（。〉0］〉0）左、右焦點分別為耳,心，離心率為2,過點用的直線/交

ab

E的左支于兩點（。為坐標(biāo)原點），記點。到直線/的距離為d,則/=.

14.十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的

5名工作人員分配到3個會議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個會議廳至少1人.每人只負(fù)責(zé)一個會議廳，則

甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

四、解答題（本大題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.記VABC內(nèi)角A5c的對邊分別為瓦。，已知（瘋?—abinA=（Z?+c）（sinB—sin。）.

（1）求角C；

(2)若VA3C外接圓的半徑為2,求VA3C面積的最大值.

16.如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,

AB=&.，BC=EF=2,AF=亞，EB,平面ABCD,M為AD上一點，且府，4￡),連接

BD、BE、BM.

(1)證明：平面5E0；

(2)求平面AB廠與平面￡出石的夾角的余弦值.

17.如圖在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知橢圓和：；+9=1,橢圓。2：^+]=1,直線/與橢圓G

只有一個公共點，且與橢圓C?交于A,3兩點.

(1)當(dāng)直線/傾斜角為135。時，求直線/的方程；

(2)求證：7A0B面積為定值.

18.已知函數(shù)/(x)=(x-l)e”

(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)求〃尤)的零點個數(shù).

(3)g(x)=/(x)—加在區(qū)間-1,|上有兩個零點，求機的范圍？

19.對于V/eN*，若數(shù)列｛4｝滿足加一%>1，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列1,2m,蘇+1是“K數(shù)列”,求實數(shù)機的取值范圍.

(2)是否存在首項為-2的等差數(shù)列｛%｝為“K數(shù)列”，且其前w項和S“使得S〃"恒成立?若存

在，求出數(shù)列{4}的通項公式；若不存在，請說明理由.

(3)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列{4}是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列"，若看，試判斷

數(shù)列{%}是否為“K數(shù)列”，并說明理由.

參考答案

一、單選題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1.設(shè)集合A”*,5=即2-3%+*。},若AC5={1},則集合人()

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

【答案】B

【解析】

【分析】將尤=1代入方程求出加，再求集合3即可.

【詳解】由AcB={l}可知F—3+m=0=>切=2，

當(dāng)加=2時，x2-3x+2=0>解得：x=l或尤=2,即3={1,2}.

故選：B

z

2.若復(fù)數(shù)z滿足——=-l-i,貝ijz=()

1+1

A.2+2iB.-2-2iC.-2iD.2i

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運算直接計算即可.

z

【詳解】因為——二—1—i,所以z=—(l+i)2=—2i.

l+i

故選：C.

3.等差數(shù)列{a“}(neN*)中，％=10,%-%=2%，則%=()

A.40B.30C.20D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

詳解】設(shè)等差數(shù)列{"}("€N*)的公差為d,

%—%=2q,貝°3d=2q,

2

生=10,貝!]q+d=q=10,解得％=6,d=4,

%=4+6d=6+24=30.

故選：B.

311

4.已知sin(a+/?)=——,----+-------=2,則sincusin/?=()

5tanatan/?

3113

A.-----B.-C.——D.—

105510

【答案】A

【解析】

【分析】切化弦，通分即可求解.

【詳解】因為sin(a+夕)=—w，因為

11cosacos。cosasin/?+cos￡sinasin(/7+a).八3

------+-------=--------+——=--------------------------=--------------=2,所以smosin/=——.

tanatan/sinasinj3sinasin,sinasin/3---------------------------------10

故選：A.

5.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將

其六個頂點看作正方體各個面的中心點.若正八面體的表面積為12班，則正八面體外接球的體積為

()

A.4行兀B.4百兀C.12兀D.3671

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合條件可得外接球的半徑，進(jìn)而由球的體積公式即得體積.

【詳解】如圖正八面體，連接AC和班>交于點。，

因為胡=EC,ED=EB，

所以EOLAC,EOYBD,又AC和3D為平面ABCD內(nèi)相交直線，

所以￡0,平面ABCD,所以。為正八面體的中心，

設(shè)正八面體的外接球的半徑為A,因為正八面體的表面積為8x在AB?=12V3,所以正八面體的棱長為逐，

4

所以EB=EC=BC=?0B=0C=V3,EO=<EB2-OB2=遮，

則R=V3,V==%x3G=4GT

故選：B.

6.已知函數(shù)/（x）=cos%+e*,且a=〃2）、/?=/［：］、c=/（ln2）,則°、b、c的大小關(guān)系（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】首先判斷函數(shù)在（0,+。）上的單調(diào)性，再比較大小.

【詳解】/"(%)=-sin%+e￥,當(dāng)無>0時，/,(x)>0,

所以了（%）在（0,+。）單調(diào)遞增,

因為2>ln2>lnC=g,所以<〃ln2)<“2),即6<c<a.

故選：D

7.當(dāng)％e［0,2兀|時，曲線y=cosx與y=2cos13x—交點的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】分別畫出丁=85%與y=2cos［3x-在［°，2兀］上的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷即可?

【詳解】y=cosx與y=2cos，x-在［0,2句上的函數(shù)圖象如圖所示，

由圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)為6個.

故選：D.

12025

8.已知〃%)的定義域為R,/(x+y)+/(x-y)=3/(x)/(y),且/⑴=彳,則￡/(左)=()

3k=\

1212

A.一一B.——C.—D.—

3333

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用賦值法，求得了(x+6)=/(x),得到“力的一個周期是6,再根據(jù)函數(shù)的周期

性和奇偶性，求得“1),/(2),“3),/(4),/(5),〃6)的值，進(jìn)而得到答案.

【詳解】由題意知，函數(shù)八％)的定義域為RJ(x+y)+/(x—y)=3/(x)/(y),且〃1)=；,

令x=l,y=0,得/(1+0)+/(1_0)=3/(1)/(0),所以/(0)=§；

令％=0,得/(0+y)+/(0—y)=3/(0)/(y),所以/(—y)=/(y),所以/(九)是偶函數(shù)，

令y=l,得/(x+l)+/(x—l)=3/(x)〃l)=〃x)①，所以“兀+可+”力=/^+9②，

由①②知〃x+2)+/(x—1)=0,所以/(x+3)+/(x)=0J(x+3)=—/(x),

所以/(x+6)=-/(x+3)=/(x),所以/(力的一個周期是6,

1o

由②得/(2)+/(0)=/(1),所以/(2)=—同理/(3)+/。)=/(2),所以/(3)=_§,

112

又由周期性和偶函數(shù)可得：44)=〃—2)=〃2)=-1〃5)=〃-1)=41)=§"(6)=/(0)=§,

所以〃1)+/(2)+〃3)+…+”6)=0,

202562

所以￡/(%)=337￡f(k)+/(1)+/(2)+/(3)=--.

k=lk=l3

故選：B.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，至少有兩項

是符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分)

9.某校高三年級選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分X

的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為［30,100］,若等級分X?N(80,25),則()

參考數(shù)據(jù)：P［jU—cr<X<//+cr)=0.6827；P(〃—2b<X<〃+2cr)=0.9545；

P(〃-3b<XW〃+3b)=0.9973

A.這次考試等級分的標(biāo)準(zhǔn)差為5

B.這次考試等級分超過80分的約有45人

C.這次考試等級分在［70,80］內(nèi)的人數(shù)約為48人

D,尸(65<X<75)=0.1573

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)X?N(80,25)含義易判斷A,B兩項，對于C,D,先把范圍轉(zhuǎn)換成用4。表示，利用3b概

率值求出相應(yīng)范圍的概率值，再進(jìn)行估算即可.

【詳解】對于A,因X~N(80,25),則b=/=5,故A正確；

對于B,因〃=80,即這次考試等級分超過80分的學(xué)生約占一半，故B錯誤；

對于C,因P(70<X<80)=—2。<XK〃)=gP(〃—2。KXK〃+2。)=%x0,9545?0.48,

故這次考試等級分在［70,80］內(nèi)的人數(shù)約為0.48x100=48人，故C正確；

對于D,因P（65<X<75）=P（〃-3crWXW〃一cr）

=1—3b<X<〃+3b）—P—。<X<〃+。）］=g（0.9973-0.6827）=0.1573,

故D正確.

故選：ACD.

10.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的

習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個

側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)

對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線。：（尤?+>2）2=9（尤2一J）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線。的圖象關(guān)于丁=兀對稱

B.曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點。的距離都不超過3

C.曲線C經(jīng)過7個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

D.若直線丁=6與曲線。只有一個交點，則實數(shù)左的取值范圍為1］?？?+S）

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A項，運用若點（》,y）關(guān)于丁=》對稱的點（y,x）滿足方程，則曲線的圖象關(guān)于y=x對稱，

檢驗即可；對于B項，根據(jù)已知條件可得好+丁<9即可；對于c項，計算邊界點來界定整數(shù)點個數(shù)；對

于D項，聯(lián)立直線方程與雙紐線方程，將問題轉(zhuǎn)化為方程只有一解即可.

【詳解】對于A項，把（y,X）代入，+y2）2=9（%2一丁2）得（/+/？=9（,2-/），

顯然點（y,x）不滿足雙紐線方程，

所以曲線c的圖象不關(guān)于y=x對稱，故A項錯誤；

對于B項，由（x2+y2）2=9（"產(chǎn)）可得/+）；2=9（：_：）=9--^^<9,

所以曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點。的距離d=萬<3，即都不超過3,故B項正確：

對于C項，令y=0解得x=0或x=±3,即曲線經(jīng)過（0,0）,（3,0）,（-3,0）,

由題意可知，—3VxM3,

令％=±1,得y2=Tl[&%<l,

令％=±2,得1</=T7+廊<2,

-2

因此曲線C只能經(jīng)過3個整點(0,0),(3,0),(-3,0),故C項錯誤；

對于D項，直線y="與曲線(必+y2)2=9(x2-一定有公共點(0,0),

若直線y=近與曲線C只有一個交點，

所以<(X+J)=NX—，),整理得/(1+/)2=9尤2(1_左2),只有一個解了=0,

y=kx

即1一左2三0，解得左€(—8,—1]。口,+°0),故D項正確.

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(X)=f—21nx,則下列選項中正確的是()

A.函數(shù)/(%)的極小值點為x=l

C.若函數(shù)g(x)=/(W)T有4個零點，貝Ve(l,4<o)

D.若/(玉)=/(*2)(七h(yuǎn)大2)，則西+工2<2

【答案】AC

【解析】

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷了(龍)的單調(diào)性和最值，可得〃龍)的圖象，進(jìn)而可以判斷A；對于B：根據(jù)

了(%)的單調(diào)性分析判斷；對于C：根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)分析可知：原題意等價于當(dāng)x>0時，丁=/(%)與

y=f有2個交點，結(jié)合“村的圖象分析求解；對于D：構(gòu)建g(x)=〃2—x)—/(x),xw(O,l),結(jié)合

導(dǎo)數(shù)可得/(2-x)</(x),xe(O,l),結(jié)合極值點偏移分析證明.

【詳解】由題意可知：/(%)的定義域為(o,+“)，且ra)=2x—2=乂士

XX

令解得X>1；令/'(%)<0,解得O<X<1；

可知/(%)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+")內(nèi)單調(diào)遞增,

則且當(dāng)了趨近于0或+8時，”力趨近于+8,

可得函數(shù)7(%)的圖象，如圖所示:

對于選項A：可知函數(shù)/(%)的極小值點為x=l,故A正確;

對于選項B：因為1＜血＜7=,且/(%)在(1,+。)內(nèi)單調(diào)遞增,

所以/?(&)</3

,故B錯誤;

對于選項C：令g(x)=/QM)T=0,可得國)=f,

可知函數(shù)g(x)=/(W)T有4個零點，即y=/(附與y=，有4個交點,

且y=/(M)的定義域為(―8,O)U(O,+8)，且/(n)=/(W)，

可知y=/(|x|)為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，j=/(|x|)=/(x)

原題意等價于當(dāng)X>o時，丁=/(力與y=f有2個交點，

由題意可知：t>2,故C正確；

對于選項D：設(shè)g(x)=/(2-x)-/(x)=21nx-21n(2-x)+4-4x,xe(0,l),

“、224(x-l)2

則g'x)=*+---4=4_4〉0,

V'x2-xx(2-x)

可知y=g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，則g(x)<g⑴=0,

即/(2-x)</(x),xe(O,l),

若/（玉）=/（%2）（%片為2）,不妨設(shè)。（玉<1<%,

則“2-%）</（%）=〃蒞）,

且2—3>1,無2>1，且“X）在（1,+。）內(nèi)單調(diào)遞增,

則2-西<工2，所以入+々〉2,故D錯誤;

故選：AC.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟

（1）作差或變形；

（2）構(gòu)造新函數(shù)人（X）；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究可X）的單調(diào)性或最值；

（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問

題.

三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）

12.已知向量滿足口=2,1=（3,0）,則向量￡在向量B方向上的投影向量的坐標(biāo)為,則卜一可=

【答案】回

【解析】

【分析】由已知分別求出cos<Z,B>和同，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律求解即可.

【詳解】由B=（3,o）得，W=3,

因為向量￡在向量5方向上的投影向量的坐標(biāo)為，

所以==即cos<￡,1>=（,

所以"一可=|a|+|&|一2同B].cos<a,石>=4+9—2x2x3x；=10,

所以卜—閘=

故答案為：yflQ.

13.已知雙曲線石:三-谷=1（〃>0/>0）的左、右焦點分別為耳,B，離心率為2,過點片的直線/交

ab

E的左支于兩點（。為坐標(biāo)原點），記點。到直線/的距離為d,貝!］&=.

a

［答案］匕立

2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可得3耳，再利用雙曲線定義及勾股定理

求解即得.

【詳解】令雙曲線E的半焦距為c,由離心率為2,得c=2a,

取平?的中點￡>,連接8,由|05|=|。周，得。。，耳8,貝HOD|=d,

連接F/,由。為耳耳的中點，得8居鳥|=2d,BF2LBF{,\FlB\^2d-2a,

因此|3招『+|34『=|耳居|2,即（2d）2+（21—24=（44,整理得（412一4-3=0,

aa2

Ed、Cr-r-Kld1+y/^7

而一〉0,所以一=———.

aa2

14.十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的

5名工作人員分配到3個會議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個會議廳至少1人.每人只負(fù)責(zé)一個會議廳，則

甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】114

【解析】

【分析】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是1,1,3和1,2,2,先求出5名工作人員分配到

3個會議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數(shù)，相減得到答案.

【詳解】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是LL3和1,2,2,

03

人數(shù)組合是LL3時，共有xA：=60種情況,

其中甲、乙兩人分配到同一個會議廳的情況為啖=18種,

從而甲、乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有60-18=42種;

「2r2rl

yJJ

人數(shù)組合是1,2,2時,共有xA；=90種情況,

A；

其中甲、乙兩人分配到同一個會議廳的情況為C；C；xA；=18種,

從而甲、乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有90-18=72種，

所以甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有42+72=114種.

故答案為：H4.

四、解答題（本大題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.記VABC的內(nèi)角A,5c的對邊分別為反c,已知（亞》-4卜］!14=。+C）卜1118-5111。）.

（1）求角C；

（2）若VA3C外接圓的半徑為2,求VA3C面積的最大值.

7T

【答案】（1）c=-

6

（2）2+6

【解析】

【分析】（1）運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合外接圓的半徑可以求出c=2,根據(jù)三角形面積公式、利用重要不等式進(jìn)行求解即

可.

【小問1詳解】

由已知及正弦定理可得（，0-a）a=0+c）0-c）,

整理得6+匕2一°2=后方，

.?.cosC一—=無，

1'l"ab2

JT

*/C￡（0,兀）,.二c二%.

【小問2詳解】

?.?△ABC外接圓的半徑為2,

.?~———4,得c=2,/./+/=4+y/3cib，

sinC

又。>2ab.<4（2+6）,

當(dāng)且僅當(dāng)。=。=痛+后時，等號成立,

（，

?q=-aZ?sinC<-x42+@xg=2+G

22

即NABC面積的最大值為2+石.

16.如圖，四邊形ABCD與四邊形AD石方均為等腰梯形，BCHAD,EF//AD,AD=4,

AB=6.，BC=EF=2,AF=A，EB,平面ABC。，M為AD上一點，且府_LA￡）,連接

BD、BE、BM.

（1）證明：平面

（2）求平面AB廠與平面￡出石的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見詳解

3A/47

47

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

（2）作石N_LAD,垂足為N,根據(jù)平行四邊形和矩形的判定定理，結(jié)合（1）的結(jié)論，利用勾股定理，因

此可以以BAf,BC,所所在的直線分別為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公

式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

因為FBI,平面ABCD,又ADu平面ABCD,

所以用，4。.又府，40,且方8。9=/，

所以ADL平面3RW.因為BC7/AD,所以BC，平面8RW.

【小問2詳解】

作石NJ_AZ),垂足為N.則FM//EN.又EF//AD,

所以四邊形引MNE是平行四邊形，又ENLAD,

所以四邊形引⑷VE是矩形，又四邊形ADEF為等腰梯形，且AD=4,EF=2,

所以A"=l.

由(1)知AD,平面5引欣，所以又AB=J5，

所以BM=1.在RtAAFW中，F(xiàn)M=^AF2-AM2=V10-

中，F(xiàn)B=^FM--BM2=3-

由上可知，能以BC,加'所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則A(—l,—1,0),5(0,0,0),F(0,0,3),￡>(—1,3,0),E(0,2,3),所以，AB=(1,1,0),麗=(0,0,3),

麗=(—1,3,0),麗=(0,2,3),設(shè)平面AB廠的法向量為沅=(%,％,zj,

m-AB=0x+y=0,

由＜,得?二可取沅=(l,—L0).

m-BF=0匕=0,

設(shè)平面BDE的法向量為n=(^,y2,z2),

n-BD=0~xi+3y2=0,

由＜，得可取為=(9,3,—2).

n-BE=02y2+3Z2=0,

m-n9-3_3屈

因此，cos<in,n>=

\m\-\n\71+1-781+9+4-47

依題意可知，平面AB廠與平面。BE的夾角的余弦值為白國.

47

17.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓橢圓。2：千+(=1,直線/與橢圓。

只有一個公共點，且與橢圓G交于兩點.

(1)當(dāng)直線/傾斜角為135。時，求直線/的方程;

(2)求證：VAOB的面積為定值.

【答案】(1)x+y+百=0或x+y—6=0

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直線傾斜角得到直線的斜率，進(jìn)而設(shè)直線方程，根據(jù)直線與曲線有一個交點聯(lián)立方程組解

得答案;

(2)設(shè)直線/為丁=丘+匕，直線/與橢圓。只有一個公共點聯(lián)立方程組消元得2公一尸+1=0,直線與橢

一4kb

圓C?交于兩點,連立方程組結(jié)合韋達(dá)定理得《,結(jié)合三角形面積公式得答案;

2"4

【小問1詳解】

因為直線/傾斜角為135。，直線/為y=-x+6,因為橢圓弓：事+/=1,

y=-x+b

直線/與橢圓G只有一個公共點，聯(lián)立方程《X221得3y2-2勿+/—2=0,

—+V=1

I2-

；.△=482—12僅?―2)=0,，〃=土G,所以直線/為x+y+y/3=OsS,x+y-y/3=O

【小問2詳解】

y=kx+b

因為直線I與橢圓G只有一個公共點，設(shè)直線/為y=依+人由＜X221，得

—+y=1

I2,

（21C+l）x2+4kbx+2b--2=Q,:.A=16Z:V-4（2^+1）（2&2-2）=0,:.2k2-b2+l=0,

y=kx+b

X2丁得Q42+1）22

又因為直線與橢圓c2交于A,B兩點《x+^kbx+2b-4=0

--1---I

142

—4kb

石+九2=%2[1

所以《:,因為直線/與y軸交于點(08)，所以1bM玉―引

2Z?—42

—4kb22b--4-

所以S|-4-

2k2+12k2+1

Sb-（2k--b2）+16b2

2^—4—=V2■

~b^

18.已知函數(shù)=一x2.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求〃龍)的零點個數(shù).

(3)g(x)=/(x)—加在區(qū)間-1,|上有兩個零點，求用的范圍?

【答案】(1)/(%)的單調(diào)減區(qū)間為：(01n2)；單調(diào)增區(qū)間為：(—8,0),(ln2,+w)

人「捉1八

(2)1個(3)-------,-1

L24J

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)的關(guān)系求解即可；

(2)結(jié)合(1)問的單調(diào)性，求出函數(shù)/(幻的值域，結(jié)合零點存在定理即可求解.

(3)將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，求出/(%)在區(qū)間-L；上的值域即可求解.

【小問1詳解】

由題可得：f(^)=xex-2x-x(cx-2),

令/'(x)=0,角軍得：x=。或x=ln2,

令廣(%)<0,解得：0<x<ln2；

令—(%)>0,解得：％<0或x>ln2；

所以了(%)的單調(diào)減區(qū)間為：(0,ln2)；單調(diào)增區(qū)間為：(-oo,0),(ln2,+8)

【小問2詳解】

因為/(%)的單調(diào)減區(qū)間為：(。/口2)；單調(diào)增區(qū)間為：(-oo,0),(In2,+oo),

由于7(。)=—Iv。，則/。)在(—8,0)上無零點；

由于/(In2)=2(ln2-l)-(ln2)2<0,則/(%)在(0,ln2)上無零點；

由于f(2)=e2-4>0,則f(x)在(In2,2)上存在唯一零點；

綜上，函數(shù)/(%)在R上存在唯一零點.

【小問3詳解】

若g(x)=/("—現(xiàn)在區(qū)間上有兩個零點，則函數(shù)y=/(x)與丁=加在區(qū)間-1[上有兩個交

點；

由(1)知，/(X)在(—1,0)上單調(diào)遞增，(0,；)上單調(diào)遞減；

=/(0)=-1<0,錯)=_手_；〉/(_1),

所以函數(shù)y=/(x)與y=”在區(qū)間—1,1上有兩個交點，則—立—1三機<—1,

L2J24

即g(x)=/(x)—加在區(qū)間—L；上有兩個零點，則機的范圍為一4一：，T

L」/

19.對于V/eN*，若數(shù)列｛七｝滿足九一%>1，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列1,2m,蘇+1是“K數(shù)列”,求實數(shù)m的取值范圍.

(2)是否存在首項為-2的等差數(shù)列｛q｝為“K數(shù)列”，且其前〃項和r使得S〃