河南省安陽(yáng)市林州市部分學(xué)校2023屆高考一模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省安陽(yáng)市林州市部分學(xué)校2023屆高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?故選：B.2.已知全集，集合滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槿?，，所以，所?故選：C.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量，若，則，則.故選：D.4.已知，直線，若點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的橢圓，所以點(diǎn)的軌跡為，聯(lián)立，消去得，，所以直線與橢圓相離，設(shè)與直線平行的直線方程為，聯(lián)立，消去得令，解得，當(dāng)時(shí)，，可得的最大值為，當(dāng)時(shí)，，可得的最小值為，故選：A.5.陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也作陀羅，閩南語(yǔ)稱作“干樂(lè)”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．傳統(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形、現(xiàn)有一圓錐形陀螺（如圖所示），其底面半徑為4，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回到原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了4周，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，所以，所以該圓錐的表面積為.故選：D.6.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.已知正三棱臺(tái)的上、下底面的棱長(zhǎng)分別為，高為3，則該棱臺(tái)外接球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖為正三棱臺(tái)，分別為正三棱臺(tái)上下底面的中心，則該棱臺(tái)外接球的球心在直線上，設(shè)上下底面外接圓的半徑分別為，棱臺(tái)外接球的半徑為，則，所以r1=1,因?yàn)?，則球心在三棱臺(tái)內(nèi)部，即線段上，設(shè)OO由勾股定理可得，解得，所以，所以該棱臺(tái)外接球的體積為.故選：A.8.已知函數(shù)定義域均為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，所以①，所以，所以，即，所以函數(shù)是以為周期周期函數(shù)，由①得，所以，所以，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.端午節(jié)，又稱端陽(yáng)節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日，賽龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國(guó)自古傳承，至今不輟，一個(gè)袋中裝有大小一樣的4個(gè)豆沙粽、2個(gè)成肉粽，現(xiàn)從中隨機(jī)地取3個(gè)粽子，設(shè)取出的3個(gè)粽子中成肉粽的個(gè)數(shù)為X，則（）A.的所有可能取值為0，1，2，3 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)榇醒b有4個(gè)豆沙粽、2個(gè)成肉粽，從中隨機(jī)地取3個(gè)粽子，所以的所有可能取值為0，1，2，且，，，則，.故選：BCD.10.已知，則（）A. B.C.的最小值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗由，得，則分別為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又直線與互相垂直，因此點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，函數(shù)單調(diào)遞增，，，則，，即，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然，因此，D正確.故選：ABD.11.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A.拋物線的方程為B.的最小值為8C.以為直徑的圓與軸相切D.若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則直線過(guò)焦點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，解得，所以拋物線的方程為，故A正確；可得拋物線的方程為的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.對(duì)于B：若，則，解得，即點(diǎn)在拋物線內(nèi)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作的垂線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)作y軸的垂線，垂足為，則，因?yàn)?，可得，所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；對(duì)于D：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，，即的中點(diǎn)，若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則，即，整理得，即，此時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線過(guò)焦點(diǎn)，故D正確；故選：ACD.12.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由，可得，即，又，，則則，則，故選項(xiàng)A判斷正確，選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則在R上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時(shí)，，即，，則，又，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，則，則故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開(kāi)式中的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為，解得.14.寫出一個(gè)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依題意，不妨求以為直徑的圓，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)，所以，的中點(diǎn)為，則以為直徑的圓的方程為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則圖象的對(duì)稱中心為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減可得，解得，又，解得，解得所以當(dāng)時(shí)，，所以，令，得，所以圖象的對(duì)稱中心為.16.在正四面體中，M為線段AC上一點(diǎn)，且，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值是_____．〖答案〗〖解析〗如圖，過(guò)點(diǎn)A作AO垂直底面，垂足為O，連接，因?yàn)槠矫?，則，，過(guò)點(diǎn)M作于G，連接NG，又，則且，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，則即為直線與平面所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，所以，則，在中，則由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直線與平面所成角的正切值是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，由，得，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．（1）求；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，?（2）由題意知，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去）.因?yàn)?，所以，?所以，即的長(zhǎng)為.19.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為，其母線長(zhǎng)為3，點(diǎn)都在底面圓上，為直徑，且，設(shè)分別是母線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．（1）證明：．（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，，，所以，則，在圓錐中，平面，平面，則，即,又因?yàn)闉橹睆?，則，又，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)榉謩e是母線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以且，又，所以，即.（2）解：由得，均為等邊三角形，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，的高為，則，，則，，，，，，分別是母線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，則，，則，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,令，則，設(shè)平面的法向量為n=x2,令，則，因?yàn)?，所以，故二面角的余弦值?20.某公司進(jìn)行工資改革，將工作效率作為工資定檔的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，大大提高了員工的工作積極性，但也引起了一些老員工的不滿．為了調(diào)查員工的工資與工齡的情況，人力資源部隨機(jī)從公司的技術(shù)研發(fā)部門中抽取了16名員工了解情況，結(jié)果如下：工齡（年）12345678年薪（萬(wàn)）9.9510.129969.9610.019.929.9810.04工齡（年）910111213141516年薪（萬(wàn)）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，，，其中表示工齡為i年的年薪，．（1）求年薪與工齡i（）的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為年薪與工齡具有線性相關(guān)關(guān)系（若，則可以認(rèn)為年薪與工齡不具有線性相關(guān)關(guān)系）．（2）在抽取的16名員工中，如果年薪都在之內(nèi)，則繼續(xù)推進(jìn)工資改革，同時(shí)給每位老員工相應(yīng)的補(bǔ)貼，如果有員工年薪在之外，該員工會(huì)被人力資源部約談并進(jìn)行崗位調(diào)整，且需要重新計(jì)算原抽取的16名員工中留下的員工年薪的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，由于人力資源部需要安撫老員工的情緒，工作繁重，現(xiàn)請(qǐng)你幫忙計(jì)算留下的員工年薪的均值和標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到0.01）附：樣本的相關(guān)系數(shù)，，，，．解：（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，因?yàn)椋钥烧J(rèn)為年薪與工齡不具有線性相關(guān)關(guān)系．（2）因?yàn)?，，所以在之?nèi)的范圍是，顯然第13號(hào)員工不在此范圍之內(nèi)，所以需要對(duì)余下的員工進(jìn)行計(jì)算，剔除離群值后，剩下的數(shù)據(jù)平均值為，因?yàn)?，所以，所以剔除離群值后樣本方差為，故剔除離群值后樣本標(biāo)準(zhǔn)差為．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)x<1時(shí)，；當(dāng)x>1時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，有三個(gè)不同的根，又不是方程的根，有三個(gè)不同的根，令，，即與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的極小值為，又為過(guò)點(diǎn)的直線，斜率為，由與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且，直線的斜率，，即a的取值范圍為.22.如圖，已知直線，M是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MA與相交于點(diǎn)A（A位于第一象限），，且MB與相交于點(diǎn)B（B位于第四象限），若四邊形OAMB（O為原點(diǎn)）的面積為．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與C相交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在定