2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：高中數(shù)學(xué)選修2-1全冊(cè)講義

2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)選修27全冊(cè)講

義（精華版）

第一章常用邏輯用語(yǔ)

******特別注意：本章歷來(lái)不做重點(diǎn),只需知道“且”“或”“非”的特點(diǎn)即可

一、基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】

1.充要條件的判定可利用集合包含思想判定：若A03,則xeA是xeB的充分條件；若

A&B,則xeA是xeB的必要條件；若A口3且A33即A=5,則xeA是xeB的

充要條件.

2.充要條件的問題要十分細(xì)心地去辨析：“哪個(gè)命題”是“哪個(gè)命題”的充分（必要）條件；

注意區(qū)分：“甲是乙的充分條件（甲二>乙）”與“甲的充分條件是乙（乙二甲”'，是兩種不

同形式的問題.

3.掌握命題的四種不同表達(dá)形式，會(huì)進(jìn)行命題之間的轉(zhuǎn)化，會(huì)正確找出命題的條件與結(jié)論.

能根據(jù)條件與結(jié)論判斷出命題的真假.有時(shí)利用“原命題”與“逆否命題”等價(jià)，“逆命題”

與“否命題”等價(jià)轉(zhuǎn)換去判定也很方便.

4.會(huì)用集合的子集的方法判斷充要條件：

①A是B的充分條件（或B是A的必要條件）即A=5O4±5

②A是B的充分不必要條件A=50Au5

w

③A是B的充要條件A=8OA=8

二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】

注意在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)

致錯(cuò)誤結(jié)論。

例1.（2009全國(guó)高考卷）己知函數(shù)/（%）=加+3f-x+l是減函數(shù)，求a的取值范圍。

【分析】/'（￡|<0卜?。3））是“尤）在（。,。）內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過

程中易誤作是充要條件，如/（%）=—三在R上遞減，但/（%）=—3dw。。

【解析】：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'（X）=3依2+6*—1（1）當(dāng)/'（x）<0時(shí)，“X）是減函數(shù)，則

fr（x）=3ax2+6x-l<0（xe7?）故解得a<-3。（2）當(dāng)a=-3時(shí)，

/(x)=—+3x2—x+1——3+-易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函數(shù)。（3）當(dāng)a>-3時(shí),

9

在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有/'（X）>0，所以當(dāng)a>-3時(shí)，函數(shù)/（九）不是減函數(shù),綜上，

所求a的取值范圍是（—8,—3］。

【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來(lái)說明:

①/'（x）>0與/（x）為增函數(shù)的關(guān)系:/'（x）>0能推出/（x）為增函數(shù)，但反之不一定。如

函數(shù)/(x)=/在(—00,+00)上單調(diào)遞增，但(0)20,.?./'(%)>0是/(X)為增函數(shù)的充

分不必要條件。②/(%)，。時(shí)，/(x)>0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系:若將r(x)=0的根作

為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定f\x)豐0,即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)/(%)為增函數(shù),就一定有/'(%)>0o

/.當(dāng)f\x)豐0時(shí)，廣(x)>0是/(%)為增函數(shù)的充分必要條件。③f'(x)20與/(x)為增

函數(shù)的關(guān)系:/(幻為增函數(shù)，一定可以推出r(x)20,但反之不一定，因?yàn)?(x)20,即

為/'(幻>0或尸(%)=0。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/'(x)=0,則/(x)為常數(shù)，函數(shù)不

具有單調(diào)性。，廣(%)20是/(幻為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條

重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)

的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討

論以上問題，也簡(jiǎn)化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。

因此本題在第一步后再對(duì)a=-3和a>-3進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要

條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性。

【練習(xí)】是否存在這樣的K值,使函數(shù)/(x)=F/-jx3—小+2x+；在(1,2)上遞減，

在(2,+。。)上遞增？

答案：k=g(提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知/'⑵=0,但/'⑵=0是函數(shù)在(1,2)

上遞減，在(2,抬)上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由/'(2)=0求出K值后要

檢驗(yàn)。)

注意：易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪?/p>

輯思維。

例2.(2010年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，)設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列｛a。｝的前n項(xiàng)和為Sn.

(1)若首項(xiàng)4=§,公差d=l,求滿足=(S*)2的正整數(shù)k；

(H)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列｛an｝,使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有12=(，)2成立.

【分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.學(xué)生

在解第(II)時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sm=(5。2成立”這句話將k取兩

個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)己知條

件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。

【解析】：(I)當(dāng)為=3,d=i時(shí)

由SQ=(SQ2,得3/+笈2=§/+女尸，即后3(3_])=0又左#0,所以左=4.

(II)設(shè)數(shù)列｛?！埃墓顬閐,則在"=(54中分別取1<=1,2,得

.邑=(邑)2(1)

即4弓+生六(2弓+兇力

馬")2(2)

、22

由(1)得ax—0或q=1.當(dāng)％=0H寸,代入(2)得d=0或d=6,

若為=0,6?=0,則%=0,Sn=0,從而從=(Sk)2成立，

若%=o,d=6,則%=6(〃—1),由S3=18,(S3)2=324,S”=216知多士(邑尸，故所得

數(shù)列不符合題意.當(dāng)％=耐，代入(2)得4+6d=(2+4)2,解得d=?；騞=2

若％=1,d=0,則％=1凡=n,從而S/=(Sk了成立;

若q=l,d=2,則％=2n-l,Sn=1+3+???+(2幾—1)="2,從而5=(5〃)2成立.

綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：

①｛念｝:斯=0,即0,0,0,,,,；②｛斯｝:斯=1,即1,1,1,,,?；③｛斯｝:〃*2n—l,即

1,3,5,…，

第二章圓錐曲線與方程

一、基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】

1.橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)(大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的

距離)的點(diǎn)的軌跡，BP|PFi|+|PF2|=2a(2a>|FiF2|=2c).

第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0<e<l)的點(diǎn)

的軌跡(其中定點(diǎn)不在定直線上)，即

\PF\

-------L=e(0<e<l).

d

第三定義：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定兩圓Cl：x?+y2=a2,C2：x2+y2=b2,a,b￡R+且aWb。從原點(diǎn)出

發(fā)的射線交圓ci于P,交圓C2于Q,過P引y軸的平行線，過Q引x軸的平行線，兩條線

的交點(diǎn)的軌跡即為橢圓。

2.橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義

可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，若焦點(diǎn)在x軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2y2

—+-1(a>b>0)，

ab

x-

參數(shù)方程為<icosO(。為參數(shù))。

y-bsin。

若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

-1(a>b>0)。

a1b2

3.橢圓中的相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

22

三+與=1,

a~b'

a稱半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，b稱半短軸長(zhǎng)，c稱為半焦距，長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別

2

為(土a,0),(0,±b),(±c,0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(即第二定義中的定直線)為％=-J,

C

a2

與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為1=——；定義中的比e稱為離心率，且6二c上，由c?+b2=a2知0<e<l.

ca

橢圓有兩條對(duì)稱軸，分別是長(zhǎng)軸、短軸。

22

4.橢圓的焦半徑公式：對(duì)于橢圓j+2r=l(a>b>0),F(c,0),F2(c,0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x,

ab

y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PFi|=a+ex,|PF2|二a-ex.

5.補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：

幾個(gè)常用結(jié)論：

1)過橢圓上一點(diǎn)P(x0,yo)的切線方程為

2十72-1

ab

2)斜率為k的切線方程為y=kx+^a2k2+b2；

3)過焦點(diǎn)F2(c,0)傾斜角為0的弦的長(zhǎng)為

2ab°

a2-c2cos20

6.雙曲線的定義，第一定義：

滿足||PFiHPF2||=2a(2a<2c=|FF2|,a>0)的點(diǎn)P的軌跡；

第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)|>1|的點(diǎn)的軌跡。

7.雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為

好y2-1

藍(lán)一正八’

x=asec電

參數(shù)方程為1"(0為參數(shù))。

y=btan(p

焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

Hi

ab

8.雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

x2y2I

---=l(a,b>0),

a稱半實(shí)軸長(zhǎng)，b稱為半虛軸長(zhǎng)，c為半焦距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a,0),(a,0).左、右焦點(diǎn)為

22

Fi(-c,0),F2(C,0),對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為x-~—,x-—.離心率e=&,由a2+b2=c2

cca

kx2v2r2v2

知e>l。兩條漸近線方程為y=土勺x,雙曲線丁-4=1與丁-==-1有相同的漸近

aabab

線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若@=卜則稱為等軸雙曲線。

9.補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：

雙曲線的常用結(jié)論,

1)焦半徑公式，對(duì)于雙曲線「-「=1,Fi(-c,0),F2(C,0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)

ab-

是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|PFi|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P(x,y)在左支上，則

|PFi|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2)過焦點(diǎn)的傾斜角為6的弦長(zhǎng)是二—-——。

a-ccos0

10.拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F

叫焦點(diǎn)，直線1叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線1的直線為x軸，x軸與

1相交于K,以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p,則焦點(diǎn)F坐標(biāo)

為(§0),準(zhǔn)線方程為x=",標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),離心率e=l.

11.補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)

拋物線常用結(jié)論：若P(xo,yo)為拋物線上任一點(diǎn)，

1)焦半徑|PF|=x+(；

2)過點(diǎn)P的切線方程為yoy=p(x+xo)；

3)過焦點(diǎn)傾斜角為6的弦長(zhǎng)為一處廠。

1-cos20

12.極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為0,從0出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這

樣就建立了極坐標(biāo)系，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,記|OP|=P,ZxOP=。，則由(P,0)唯一

確定點(diǎn)P的位置，(P,。)稱為極坐標(biāo)。

13.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P,若0<e<l,

則點(diǎn)P的軌跡為橢圓；若e〉l,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=l,則點(diǎn)P的軌跡為拋

物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為夕=—"一。

1-ecos^

二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】

1.與定義有關(guān)的問題

22

例1已知定點(diǎn)A(2,1),F是橢圓二+二=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

2516

31PAi+5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

［解］見圖11T,由題設(shè)a=5,b=4,c=,52—4?=3,e=f=1.橢圓左準(zhǔn)線的方程為

a5

2541

%=——，又因?yàn)橐?—<1,所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為(-3,0),過P作PQ

32516

IpFI3<

垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知^~=則e|PF|=|PQ|。

\PQ\53

所以31PAi+5|PF|=3(|PA|+*|PF|)=3(|PA|+|PQ|)N31AMi^^,左準(zhǔn)線于M)。

3

所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，31PAi+5|PF|取最小值，把y=l代入橢圓方程得

%=±二6,又x〈o,所以點(diǎn)p坐標(biāo)為(_2叵J)

44

22

例2已知P,P為雙曲線C：［=1右支上兩點(diǎn)，PP延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于K,P國(guó)延

a~b~

長(zhǎng)線交雙曲線于Q,(Fi為右焦點(diǎn))。求證：/PRK=/KFQ

［證明］記右準(zhǔn)線為1,作PDL1于D,于E,因?yàn)镻E//PD,則^——IPK-I=^-I-P-'-K-I

\PD\\P'E\

網(wǎng)所以3:加二3

又由定義I由三角形外角平分線

\PD\\P'E\\P'Fl|\P'E\\P'K\

定理知，F(xiàn)iK為/PF#的外角平分線，所以/P'KK=/KFIQ。

2.求軌跡問題

例3已知一橢圓及焦點(diǎn)F,點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。

［解法一］利用定義，以橢圓的中心為原點(diǎn)0,焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系,

22

設(shè)橢圓方程：三+==1(a>b>0).F坐標(biāo)為(-c,0).設(shè)另一焦點(diǎn)為廣。連結(jié)A尸，0P,

ab

則OP〃工A尸。所以|FP|+|PO|=L(|FA|+|AF|)=a.

=22

所以點(diǎn)P的軌跡是以F,。為兩焦點(diǎn)的橢圓(因?yàn)閍〉|F0|=c),將此橢圓按向量m=(￡,0)平

2

22

移，得到中心在原點(diǎn)的橢圓：5+5=1。由平移公式知，所求橢圓的方程為

a~b

TT

4(X+2)214/^

［解法二］相關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y),A(xi,yi),則％=、？。，0=9，BPxi=2x+c,yi=2y.又

2222

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓二+==1上，所以斗+與=1.代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為

abab-

焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。

例4長(zhǎng)為a,b的線段AB,CD分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，且A,B,C,D四點(diǎn)共圓，求此

動(dòng)圓圓心P的軌跡。

［解］設(shè)P(x,y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A,B,C,D的坐標(biāo)分別為A(x-■!，()),B(x+3,0),C(O,y-

bb一

-),D(0,y+—),記O為原點(diǎn),由圓哥定理知|OAMOB|=|OCk|OD|,用坐標(biāo)表示為

22

272272

2a2b??22a-b

x=y--，BPx-y=-----

T44

當(dāng)a=b時(shí),軌跡為兩條直線y=x與y=-x；

當(dāng)a>b時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線;

當(dāng)a<b時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的兩條等軸雙曲線。

7T

例5在坐標(biāo)平面內(nèi)，ZAOB=—,AB邊在直線l:x=3上移動(dòng)，求三角形AOB的外心的軌

3

跡方程。

JT

［解］設(shè)NxOB=0,并且B在A的上方，則點(diǎn)A,B坐標(biāo)分別為B(3,3tan。)，A(3,3tan(0—)),

3

設(shè)外心為P(x,y),由中點(diǎn)公式知0B中點(diǎn)為M［p'|tan^j。

由外心性質(zhì)知丁=^tan6?+tan(e—g).再由PM,05得

y——tan9

------2-———Xtan0=-lo結(jié)合上式有

tan(8——)*tan0I——I.①

712

又tan0+tan(。-y)=-y.

所以tan9-tan(6?-y)=731+tan6?-tan|^6?-j兩邊平方，再將①，②代入得

ID?上二1。即為所求。

412

3.定值問題

2

x/

例6過雙曲線丁-七=1(a>。，b>0)的右焦點(diǎn)F作B1B2X軸，交雙曲線于BI，B兩點(diǎn)，

ab2

B2與左焦點(diǎn)B連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)BiB交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。

［證明］設(shè)點(diǎn)B,H,F的坐標(biāo)分別為(aseca,btana),(xo,O),(c,O),則Fi,Bi,B2的坐標(biāo)分

b-b2

別為(-c,0),(c,----),(c,—),因?yàn)镕i，H分別是直線B2F,BB1與x軸的交點(diǎn)，所以

aa

abab+acsma三

c=---------------，九0=--------------.①

2。sin。一bcosaasin。+bcosa

42bs+csin。)

所以C%。―2299

2asina+absinacosa-bcosa

42bs+csina)

a1sin2a+absmacosa-b2+c2sin2a

42bs+csina)

〃sina(〃sina+/2cosa)+(csina-Z?)(csina+/?)

,?口.7a(b+csina)

由①得osina+Z?cosa=-----------

代入上式得“0=——--------

〃2sin。/.7、

一(csina—。)

2

即%=--(定值)。

C

例7設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)

線上，且BC〃x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點(diǎn)。

,則。卜，為

［證明］設(shè)，以，，丁2

7

p

Q4=＞為)，OC,FA-力3

22

FA//FB,所以"5乃一就％+日yR,即⑸

2P

/

%為

以力為，所以與2+￥=o。所以+￡%=°,

2p2I2P2)

以。4〃OC，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。

22

xy11

例8橢圓二+上~=1上有兩點(diǎn)人，B,滿足0A_L0B,。為原點(diǎn)，求證:2+2

a~b2\OA\\OB\

為定值。

JT

［證明］設(shè)|0人|=1:1,|08|==2,且/*0人=。，/*08=——I-0,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A（ricos

2

0,nsin。），B（-osin0,r2cos0）。由A,B在橢圓上有

zfcos28+片sin23r,2sin261r；cos20

=1,+=1.

b2a2b2

1cos20sin26"

即--=--------1-----①

片4b2

1sin20cos20

--=-------1-------②

啟a1b2'

1

①+②得------H--------Y=-r—~（定值）。

\OA\2\OB\-a2b2

4.最值問題

例9設(shè)A,B是橢圓（+3/=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OALOB（0為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最

小值。

+4=4。設(shè)

［解］由題設(shè)a=l,b=,ifiIOA|=rb|OB|=r2,--t,參考例8可得

ri2

3丫2

+&2=：解2+片）（:+:）=：（2+J+-L）,

222

cos0sin01a--b2且a?>!/,所以二〈二<］，所以b

因?yàn)镕=-919---1sin6?,

2a2Y2

不ab-?----a2b2b

WnWa,同理bWeWa.所以又函數(shù)f（x）=x+，在2T,1上單調(diào)遞減，在

abxa

Zi

14上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=l即|OA|=|OB|時(shí)，|AB|取最小值1；當(dāng)/=2或q時(shí)，|AB|

b-ab

取最大值逋。

3

例10設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為手，若圓c：x2+（j-|）2=1

上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為1+J7,試求這個(gè)橢圓的方程。

［解］設(shè)A,B分別為圓C和橢圓上動(dòng)點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為|o,||,半徑|CA1=1,因?yàn)?/p>

AB|^|BC|+|CA|=|BC|+1,所以當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C共線，且|BC|取最大值時(shí)，|AB|取最大值

1+V7,所以|BC|最大值為J7.

因?yàn)閑="；所以可設(shè)橢圓半長(zhǎng)軸、半焦距、半短軸長(zhǎng)分別為2t,橢圓方程為

2

22/1、2

工■+多~=1,并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcos。，tsin。)，則|BC「=(2tcos。)?+%sin9—

4〃產(chǎn)I2J

91

=3t2sin29-3tsin0+—+4t2=-3(tsin0+—)2+3+4t2.

42

io

若，V—,則當(dāng)sinO=-1時(shí)，出。2取最大值七2+3=+=<7,與題設(shè)不符。

24

若t〉一，則當(dāng)sin9=----時(shí)，IBC」取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=l.

2It

r2

所以橢圓方程為一+：/=1。

4

5.直線與二次曲線

例11若拋物線y=ax2-l上存在關(guān)于直線x+y=O成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。

［解］拋物線y=ax2-l的頂點(diǎn)為(0,-1),對(duì)稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱兩點(diǎn)的條

件是存在一對(duì)點(diǎn)P(xbyi),P'(-yb-xi),滿足yi=a-1且-xi=a(-yi)2-l,相減得

xi+yi=a(xf一?。?，因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以Xi+yiWO,所以l=a(xi-yi),即Xi=yi+—.

a

ii3

所以紗；+%+——1=0.此方程有不等實(shí)根，所以△=：!—4。(——1)>0,求得

aa4

即為所求。

V2

例12若直線y=2x+b與橢圓一+丁2=1相交，(I)求b的范圍；(2)當(dāng)截得弦長(zhǎng)最大時(shí)，

4

求b的值。

［解］二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-l)=0.由A>0,得—JF7<b<VF7；設(shè)兩交點(diǎn)為

I

P（X1,y,）,Q（X2,y2）,由韋達(dá)定理得|PQ|=J1+左2|xx-x2|=V5x---------?所以當(dāng)b=0

時(shí)，|PQ|最大。

三、趨近高考【必懂】

1.(2010湖南文)5.設(shè)拋物線r=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)

的距離是

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

22

2.（2010浙江理）（8）設(shè)《、凡分別為雙曲線0-==1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn).若

ab

在雙曲線右支上存在點(diǎn)尸，滿足I尸耳|=比閶，且工到直線P耳的距離等于雙曲線的實(shí)軸

長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為

（A）3x±4y=0（B）3x±5y=0（C）4x±3y=0（D）5x±4y=0

解析：利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，

可知答案選C,本題主要考察三角與雙曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知

識(shí)能力的考察，屬中檔題

3.（2010陜西文）9.已知拋物線y=2px（p>0）的準(zhǔn)線與圓（為-3）2+/=16相切，則p

的值為

（A）-（B）1（C）2（D）4

2

【答案】C

解析：本題考查拋物線的相關(guān)幾何性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系

法一：拋物線/=2px（0〉0）的準(zhǔn)線方程為x=—因?yàn)閽佄锞€/=2px（0〉0）的準(zhǔn)線與

2

圓(x—3)?+/=16相切，所以3+g=4,p=2

法二：作圖可知，拋物線/=2°x（0〉0）的準(zhǔn)線與圓（x—3）2+/=16相切與點(diǎn)（-1,0）

所以—e=—l,p=2

2

4.（2010遼寧文）（9）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為尸，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為8,如果直線￡8與該

雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為

G+1A/5+1

(A)逝(B)G(C)(D)

22

【答案】D

22

解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在無(wú)軸上，設(shè)其方程為：工-3=1(。＞0,6＞0)，

ab

則一個(gè)焦點(diǎn)為b(c,O),3(0,A)

一條漸近線斜率為：一，直線￡8的斜率為：—，；.一,(—)=-1,b2=ac

acac

,,“f,0cV5+1

c2-a2-ac-0,解得e=—=------.

a2

5.(2010遼寧文)(7)設(shè)拋物線/=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為/,P為拋物線上一點(diǎn)，PA，/,

A為垂足，如果直線AF斜率為-百，那么|尸產(chǎn)|=

(A)4百(B)8(C)8A/3(D)16

【答案】B

4

解析：選B.利用拋物線定義，易證尸為正三角形，貝HP廠上＜寸=8

sm30

6.(2010遼寧理)(9)設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該

雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為

⑷后⑻G?空⑻空

【答案】D

22

【解析】設(shè)雙曲線方程為J—1=1(?！?］〉0),則F(c,0),B(O,b)

ab

bhh

直線FB：bx+cy-bc=O與漸近線y=-X垂直，所以----—=-1,即"=ac

aca

所以＜/-a』G即e'el=0,所以e=生苴^或e=~—(舍去)

22

7.(2010遼寧理)(7)設(shè)拋物線y：8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,P為拋物線上一點(diǎn),PALI,A為

垂足.如果直線AF的斜率為-JJ,那么|PF|=

(A)443(B)8(C)843(D)16

【答案】B

【解析】拋物線的焦點(diǎn)F(2,0),直線AF的方程為y=-G(x-2),所以點(diǎn)A(-2,46)、

P(6,4百)，從而|PF|=6+2=8

一x23=1(a〉b〉0)的離心率為左，過右焦

8.(2010全國(guó)卷2文)(12)已知橢圓C：—+

a

點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線于C相交于A、B兩點(diǎn)，若AP=3F3。則卜=

(A)1(B)0(C)V3(D)2

【答案】B

［解析］4%,%),_8(%2,%)，?.?AF=3FB,.?.X=—3%,?.?2,設(shè)

a=2t,c=y/3tb=t?/+分2-4/=o,直線皿方程為x=sy+5。代入消去X,

2卡ist產(chǎn)

.(§2+4)/+2底=0.M+L卞ML

S2+4

2瓜t2_產(chǎn)2=1

『+4'%s?+4,解得'5,k=y［i

9.(2010浙江文)(10)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，F(xiàn)2是雙曲線X二—aV=1(a>0,b>0)的

焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P,滿足NEPF2=60。，IOPI二夜a,則該雙曲線的漸近線方

程為

(A)x土百y=0(B)y/3x+y=0

(C)x±V2y=0(D)A/2X±y=o

【答案】D

【解析工選D,本題將解析幾何與三角知識(shí)相結(jié)合，主要考察了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，

幾何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題

10.(2010重慶理)(10)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且

平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【答案】D

解析：排除法軌跡是軸對(duì)稱圖形，排除A、C,軌跡與已知直線不能有交點(diǎn)，排除B

11.(2010山東文)(9)已知拋物線y2=2px(p〉0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物

線與A、6兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為

(A)x=l(B)x=-l

(C)x=2(D)x=-2

【答案】B

12.(2010四川理)(9)橢圓j+2r=l(a〉6〉0)的右焦點(diǎn)E,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)

ab

為A,在橢圓上存在點(diǎn)月滿足線段/尸的垂直平分線過點(diǎn)尸，則橢圓離心率的取值范圍是

(4)(0件](B)(0,；(O[72-1,1)5)

【解析]由題意，橢圓上存在點(diǎn)戶，使得線段/戶的垂直平分線過點(diǎn)E,

即尸點(diǎn)到尸點(diǎn)與4點(diǎn)的距離相等

KII〃2/

而|￡4|=------c=—

CC

|PF\￡\_a-c,a-\~c\

b1

于是一￡[a—c,a+c~\

c

即ac~l}ac+c

etc—c—c

*,a2—c7<etc+c7

Al

Ia

“L-1或2」

a2

又eG(0,1)

故ee[11]

【答案】D

13.(2010江蘇卷)18、(本小題滿分16分)

在平面直角坐標(biāo)系切丁中，如圖，已知橢圓反+三-二：!的左、右頂點(diǎn)為A、B,右焦點(diǎn)為F。

設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(A，%)、N(x2,y2),其中m>0,

%>0,為<0。

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡;

(2)設(shè)X]=2,X2=g,求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)設(shè)，=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān))。

【解析]】

(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則：F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。

9

由PR?—「52=4,得(x—2)2+y2_?_3)2+y2]=4,化簡(jiǎn)得x=]。

9

故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x=一。

2

(2)將X]=2,X2=—分別代入橢圓方程，以及％>0,為<。得：M(2,—)>N(—,——)

直線MTA方程為：1__2=二±2,即丫=工工+1,

5_02+3-3

3

v-0r-355

直線NTB方程為：$一=--,即丁=-X——。

62

T_01_3

93

x=7

聯(lián)立方程組，解得：\10，

Iy=-3

所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7,5)。

(3)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9,機(jī))

直線MTA方程為：2二°=±2,即y=%(x+3),

m-09+312

直線NTB方程為：上二&=2匚，即丁二竺口―3）。

m-09-36

22

分別與橢圓+三-=1聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到％w-3,々W3,

解得："3（8。-*,工）、N（迎T，—工）。

80+m280+m220+m220+m2

3(加2_20)

加

（方法一）當(dāng)石W九2時(shí)，直線呱方程為:20+2

3(80-m2)3(m2-20)

--------7---：------:

80+m220+m80+m20+m

令y=0,解得：1=1。此時(shí)必過點(diǎn)D（1,o）；

當(dāng)石=々時(shí)，直線MN方程為：x=l,與x軸交點(diǎn)為D（l,0）