2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.2-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

1.下列函數(shù)中，在(0,+8)內(nèi)為增函數(shù)的是()

A./(x)=sin2xB.fix)=x^

C./(x)=x3—xD./(x)=—x+lnx

2.“加＜4”是“函數(shù)人x)=29—加x+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)人x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且函數(shù)｛x)的圖象如圖所示，則函數(shù)了=切,(x)的圖

象可能是()

4.若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)，且函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上也是增函數(shù)(其中

f(x)是函數(shù)段)的導(dǎo)函數(shù))，那么稱函數(shù)y=Ax)是區(qū)間。上的“快增函數(shù)”，區(qū)間。叫做“快

增區(qū)間”.則函數(shù)兀0=$也2》+2$也》在區(qū)間［0,川上的“快增區(qū)間”為()

C.[6'2」D.42_

5.設(shè)函數(shù)，(x)是奇函數(shù)/(x)(xW0)的導(dǎo)函數(shù)，八-1)=-1.當(dāng)x>0時，，(x)>l,則使

得;(x)>x成立的x的取值范圍是()

A.(—8,-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+8)

C.(-8,-l)u(l,+8)D.(-l,0)U(0,l)

6.(多選)設(shè)於)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，r(x),g'(X)為其導(dǎo)函數(shù),

當(dāng)x<0時，，(x>g(x)+/(x>g'(x)<0且g(—3)=0,則使得不等式“v>g(x)<0成立的x的

取值范圍是()

A.(—8,—3)B.(—3,0)

C.(0,3)D.(3,+°°)

7.(多選)下面比較大小正確的有()

A.—>-B.3In4<41n3

2e

C.->ln7tD.3<eln3

e

8.函數(shù)｛x)=lnx—$2+x的單調(diào)增區(qū)間為.

9.已知函數(shù)加)=一爐+辦2—x—1在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

10.討論函數(shù)兀r)=(°—l)lnx+ax2+l的單調(diào)性.

11.(多選)若函數(shù)g(x)=ey(x)(e=2.718-,e為自然對數(shù)的底數(shù))在於)的定義域上單調(diào)

遞增，則稱函數(shù)於)具有M性質(zhì).下列函數(shù)具有M性質(zhì)的為()

A./(x)=lnxB.於)=爐+1

C.fix)—sinxD.fix)—x3

12.請寫出一個同時滿足下列三個條件的函數(shù)")：

(1次0是偶函數(shù)；(2如)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

(3師)的值域是(0,+8).則負(fù)x)=.

13.已知函數(shù)兀r)=；x2—2alnx+(a—2)x.

(1)當(dāng)a=—i時，求函數(shù)負(fù)刈的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)0,使函數(shù)g(x)=/(x)—ax在(0,+8)上單調(diào)遞增？若存在，求出。的

取值范圍；若不存在，說明理由.

14.定義方程於)=/(x)的實(shí)數(shù)根配叫做函數(shù)")的“新駐點(diǎn)”.

(1)設(shè)“0=cosx,則於)在(0,兀)上的“新駐點(diǎn)”為；

(2)如果函數(shù)g(x)=e*—x與/z(x)=ln(x+l)的“新駐點(diǎn)”分別為a,0,那么a和￡的大小關(guān)

系是.

15.已知函數(shù)人》)=皿，若於)=加有兩個不相等的實(shí)數(shù)根Xl,X2,證明XlX2>e2.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.2-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

1.下列函數(shù)中，在(0,+8)內(nèi)為增函數(shù)的是()

A.f(x)=sin2xB./(x)=xeX

C.f(x)=x3—xD./(x)=-x+lnx

[J=—lv0,不符合題意；對

解析：B由于x>0,對于A選項(xiàng)，，(x)=2cos2x,f

(x)=3x2—1,f日=一

于B選項(xiàng)，，(x)=(x+l)e">0,符合題意；對于C選項(xiàng)，，料

不符合題意；對于選項(xiàng)，，一上

D(x)=-1+1/'(2)=0,不符合題意.綜上所述，選B.

x2

2.“加<4”是“函數(shù)人x)=2N—加x+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：A若小)=2N—mx+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，則，a)=4x一加+1,()對

x

—1.k+i]

任意的xd(0,+8)恒成立，2%對任意的XG(O,+8)怛成立，即加.AJmin,

X

而4x+l22'/4x」=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，則加W4.二“相〈4”是“函數(shù)/(x)=2x2

x\lx2

—加x+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選A.

3.已知函數(shù)40的導(dǎo)函數(shù)為，(x),且函數(shù)兀V)的圖象如圖所示，則函數(shù)(x)的圖

象可能是()

解析：C由圖可知函數(shù)於)在(一8,—1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，則

當(dāng)XG(-8,—1)時，r。)<0,當(dāng)xd(—1,+8)時，，(x)>0,且，(-1)=0.對于函數(shù)

y=M(x),當(dāng)xd(—8,—1)時，xf'(x)>0,當(dāng)xG(—l,0)時，xf(x)<0,當(dāng)xd(0,+<=0)

時，xf(x)>0,且當(dāng)X=-1時，xf(x)=0,當(dāng)x=0時，xf(x)=0,顯然選項(xiàng)C符合，故

選C.

4.若函數(shù)>=於)在區(qū)間。上是增函數(shù)，且函數(shù)了=/(x)在區(qū)間。上也是增函數(shù)(其中

f(x)是函數(shù)段)的導(dǎo)函數(shù))，那么稱函數(shù)是區(qū)間。上的“快增函數(shù)”，區(qū)間。叫做“快

增區(qū)間”.則函數(shù)加)=sin2x+2sinx在區(qū)間［0,川上的“快增區(qū)間”為()

解析：Ay(x)=sin2x+2sinx,[0,TT],所以/(x)=2sinxcosx+2cosx=2cosx(sinx

..Fo,可一一，,

+1),因?yàn)閟inx+l20恒成立，當(dāng)xd1時COSX20,所以，(x)20,所以外)為增函

數(shù)，當(dāng)q時COSX<0,所以/'(X)<0,所以火X)為減函數(shù)，令g(x)=/(x)=2sinxcosx

「0,』，

+2cosx,x^L2j,貝Ug'(x)=2cos2x_2sin2x—2sinx=:2-4sin2x—2sinx,々t=sinx,貝!]

0i0-

[0,1],g'(?)——4t2一2f+2=—2(2t—1)(?+1),所以fe]21時g'(。三0,即6

時g'(x)》0,且g(x)單調(diào)遞增,所以函數(shù)?c)=sin2x+2sinx在區(qū)間[0,川上的“快增區(qū)間”

「0可

為[6」，故選A.

5.設(shè)函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)於)(xW0)的導(dǎo)函數(shù)，八-1)=-1.當(dāng)x>0時，，(x)>l,則使

得以)>x成立的x的取值范圍是()

A.(-8,-1)U(O,1)B.(-l,0)U(l,+8)

C.(-8,-1)U(1,+°o)D.(-l,0)U(0,l)

解析：B由，(x)>l(x>0),可得，(x)—1>0,令g(x)=/(x)—x,則g'(x)=/'(x)—1>0,

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.因?yàn)?(—1)=-1,所以g(—1)=次-1)+1=0,又因?yàn)槿斯?/p>

為奇函數(shù),所以g(x)=/(x)—x為奇函數(shù)，所以g(l)=0,且在區(qū)間(一8,0)上g(x)單調(diào)遞增.所

以使得即g(x)>0成立的x的取值范圍是(一l,0)U(l,+8).故選B.

6.(多選)設(shè)於)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，r(x),g'(X)為其導(dǎo)函數(shù)，

當(dāng)x<0時，，(x>g(x)+/(x>g'(x)<0且g(—3)=0,則使得不等式“v>g(x)<0成立的x的

取值范圍是()

A.(—8,—3)B.(—3,0)

C.(0,3)D.(3,+8)

解析：BD,?了3),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，八-x)=一/)，g(-x)

=g(x),令〃(x)=/a>g(x),則〃(一%)=—〃(x),故〃(x)=/(x),g(x)為R上的奇函數(shù)，二?當(dāng)％V0

時,〃(勸=，(x>g(x)+Hx)-g'(x)VO,...3)=/(x>g(x)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減，...奇

函數(shù)〃(x)在區(qū)間(0,+8)上也單調(diào)遞減，作出〃(X)的草圖，如圖所示：

由g(—3)=0,：./;(—3)=一%(3)=0,.?.當(dāng)尤>(—3,0)U(3,+8)時，〃.)=/任)*任)<0,

故選B、D.

7.(多選)下面比較大小正確的有()

A.—>-B.3In4<41n3

2e

jr

C.->ln7iD.3<eln3

e

解析：BC根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)正)=啦，則(》)=匕學(xué)，由于函數(shù)y=lnx在(0,

XX2

+8)上單調(diào)遞增，且lne=l,從而當(dāng)0〈xWe時，，(X)三0,則函數(shù)加)=坦"在(0,e］上單

調(diào)遞增，當(dāng)x>e時，，(x)vO,則函數(shù)人x)=皿在(e,+8)上單調(diào)遞減，又0<2<?<3<兀<4,

x

叱z〃八、〃、〃、/rr、zr、口口1口2IneIn3In4IneIn71IneIn3>/.ln2Ine

所以八2)勺⑹，/(e)況3)次兀)況4),即〒v——，———>—,故二y——=

2e34e兀e32e

選項(xiàng)A錯；3In4<41n3,選項(xiàng)B正確；->ln71,選項(xiàng)C正確；3>eln3,選項(xiàng)D錯.故選

ee

B、C.

8.函數(shù)段)=lnx—$2+%的單調(diào)增區(qū)間為.

1-r2_|_r_|_1|%>0,

解析：f(x)=—x+l=---------,x￡(0,+°°),由，(x)>0,得，

xx—x2+x+1>0,

解得0<x<±B,.?.單調(diào)增區(qū)間為卜'21

2

農(nóng)案?12

9.已知函數(shù)加)=—V+aN—x—l在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：由題意知/(x)=-3爐+2辦-1W0在R上恒成立，所以/=44-12W0,解得一

韻WaW他.

答案：［一他，他］

10.討論函數(shù)兀r)=(a—Dlnx+aN+l的單調(diào)性.

解：人x)的定義域?yàn)?0,+8),f(x)=-+2ax=W+°~1

XX

①當(dāng)時，f(x)>0,故｛x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)aWO時，/(x)<0,故｛x)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

③當(dāng)0<a<l時，令，(x)=0,解得

綜上，當(dāng)時，人x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)aWO時，人x)在(0,+8)上單調(diào)遞

減；當(dāng)0<a<1時，“X)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

11.(多選)若函數(shù)g(x)=《")(e=2.718…，e為自然對數(shù)的底數(shù))在加)的定義域上單調(diào)

遞增，則稱函數(shù)人x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)具有M性質(zhì)的為()

A./(x)=lnxB.4)=12+1

C./(x)=sinxD.火工)=%3

finx+1]

解析：AB對于A,/(x)=lnx,則ga)=e4nx,貝Ig'(x)=exlxj,因?yàn)樵?0,十

8)上lnx+l》l恒成立，所以函數(shù)g(x)=e4nx在(0,+8)遞增；對于B,人乃=X2+1,則

g(x)=ey(x)=ev(x2+l),gz(%)=或%2+1)+2%廿=式工+1)2^0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，所以g(x)

=邙(%)在定義域R上是增函數(shù)；對于C,/(x)=sinx,貝UglX^e^sinx,g'(x)=ex(sinx+cos

%)=也*吊[+J,顯然g(x)不單調(diào)；對于D,人工)=工3,則且(%)=?a3,g'(%)=exx3+3exx2

=^(x3+3x2)=^(x+3),當(dāng)xV—3時，gr(x)<0,所以g(x)=e7(x)在定義域R上先遞減

后遞增，所以具有M性質(zhì)的函數(shù)的選項(xiàng)為A、B.

12.請寫出一個同時滿足下列三個條件的函數(shù)外)：

(1小)是偶函數(shù)；(2)/(%)在(0，+8)上單調(diào)遞減；

(3次0的值域是(0,+8).則加尸.

解析：設(shè)4)=/2(xW0),因?yàn)榇巍?)=(—%)-2=/2=益)(x之0),所以"0是偶函數(shù)；X>0

時，f(x)=-2x-3<0,所以於)在(0,+8)上單調(diào)遞減；｛x)=x-2>0,火X)的值域是(0,+

答案：/2(xW0)(答案不唯一)

13.已知函數(shù)兀v)=：x2—2alnx+(a—2)x.

(1)當(dāng)。=—1時，求函數(shù)兀r)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)0,使函數(shù)g(x)=/(x)—ax在(0,+8)上單調(diào)遞增？若存在，求出。的

取值范圍；若不存在，說明理由.

解：(1)當(dāng)a=—1時，/(x)=；x2+21nx-3x,

則/(x)=x+2_3=3x+2=(xlXx2)a>o).

XXX

當(dāng)0<x<l或x>2時，f(x)>0,/)單調(diào)遞增；

當(dāng)l<x<2時，/(x)<0,於)單調(diào)遞減.

所以的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(2,+-),單調(diào)減區(qū)間為(1,2).

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使g(x)=/(x)—ax在(0,+8)上是增函數(shù)，

則g'(x)=/(x)-a=x—紅一220在xG(0,+8)上恒成立.

即——2x—20^0在十8)上恒成立.

X

所以X2—2x—2Q》0在x>0時恒成立，

令°(x)=；(x—1)2—x￡(0,+°°),則其最小值為一

所以當(dāng)aW—；時，g，a)、o恒成立.

又當(dāng)a=-1時，g'W=———,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，g'(x)=0.

2x

1

2_1時，g(x)=/3)—QX在(0，+8)上單調(diào)遞增.

故當(dāng)

14.定義方程外)=/(x)的實(shí)數(shù)根配叫做函數(shù)人x)的“新駐點(diǎn)”.

(1)設(shè)｛x)=cosx,則小)在(0,兀)上的“新駐點(diǎn)”為；

(2)如果函數(shù)x與〃(x)=ln(x+l)的“新駐點(diǎn)”分別為a,0,那么a和丑的大小關(guān)

系是.

解析：⑴??7(x)=cosx,.?./(X)=—sinx,根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得兀v)=/(x),即cos

x=—sinx,可得tanx=-1,'/xe(0,71),解得x=—，，函數(shù)/(x)=cosx在。兀)上的“新

駐點(diǎn)”為學(xué)

(2)g(x)=e%—x,則g'(%)=^—1,根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得g(Q)=g'(a),即。=1.二

/z(x)=ln(x+l),貝】〃(%)=-—,由“新駐點(diǎn)”的定義得〃(%)=〃'(x),即ln(x+l)=T—,