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文檔簡介
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義平面向量、復(fù)數(shù)之平面
向量基本定理及坐標(biāo)表示
一'知識點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果ei,e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)①不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任
一向量a,②有且只有一對實(shí)數(shù)一,%2,使a=4iei+%e2.
(2)基底:若ei,e?③不共線,我們把{ei,e?}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)
基底.
注意(1)基底向量ei,e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,零向量不能作為基
底向量;(2)基底給定,同一向量的分解形式唯一.
2.平面向量的坐標(biāo)表示
(1)把一個(gè)向量分解為兩個(gè)④互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
坐標(biāo)表示
已知a=(xi,yi),b=(%2,"),則a+4=⑤(即十元2,yi+y2),a-
和(差)
辦二⑥(即一%2,乃一V2)?
數(shù)乘已知a=(X1,刀),則Aa=(An,2%),其中丸是實(shí)數(shù).
任一向量
已知A(xi,%),B(冗2,)2),則彳月二⑦(檢―xi,m―yi).
的坐標(biāo)
說明(1)相等向量的坐標(biāo)相同;(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的端點(diǎn)無
關(guān),只與其相對位置有關(guān).
(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示
如果a=(xi,yi),b=(%2,>2),那么a〃?的充要條件為⑧尤/2——丫1=0.
注意的充要條件不能表示成包=左的形式,因?yàn)檗危?有可能等于0.
x2y?.
二'基礎(chǔ)題練習(xí)
1.下列說法正確的是(B)
A.平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底
B.設(shè){a,6}是平面內(nèi)的一個(gè)基底,若實(shí)數(shù)九,fii,B,僅滿足力a+位5=22。+〃25,則刈=
義2,林\=林2
(2.若a=(xi,y\),b—(%2,,2),則〃〃力的充要條件可以表示成包
x2y?
D.平面向量經(jīng)過平移后其坐標(biāo)改變
解析對于A,共線向量不可以作為基底,故A錯(cuò)誤;對于B,同一向量在給定基底下的
分解是唯一的,B正確;對于C,若b=(0,0),則衛(wèi)=及無意義,故C錯(cuò)誤;對于D,
X2V2
平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移,其坐標(biāo)都不變,故D錯(cuò)誤.
2.[教材改編]已知M(—2,7),N(10,—2),點(diǎn)尸是線段上的點(diǎn),且兩=
-2PM,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(A)
A.(2,4)B.(-14,16)
C.(6,1)D.(2,-11)
解析設(shè)P(x,y),則兩=(10—尤,一2—y),PM=(一2—x,7—y),又麗=
-2PM,所以0°久-2(2%),解得2,所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為⑵4),故選A.
1―2—y=—2(7—y),ly=4,
3.已知ei,e2不共線,a=ei+2e2,占=2ei+初2,要使{a,6}能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)
基底,則實(shí)數(shù)力的取值范圍是(一8,4)U(4,+、).
三'知識點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)
命題點(diǎn)1平面向量基本定理的應(yīng)用
例1(1)[全國卷I]在△A8C中,為邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則麗=
(A)
A.-AB--ACB.-AB--AC
4444
C^-AB+-ACD.-AB+-AC
4444
解析解法一根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得,在AABE1中,麗=麗+樂.因?yàn)镋為的中
點(diǎn),所以瓦反,在△A3。中,瓦?=麗+瓦彳=礪一刀.因?yàn)椤?c的中點(diǎn),所以礪
三畝在AABC中,荏=屈一元逐步代入,可得而=瓦?+屈嚀病+荏三(DB-
AB)+AB=-(iCB-AB)+AB=-CB+-AB=-(AB-XC)+工通=三屈一三前.故選A.
22424244
解法二由。為8C的中點(diǎn),得詬=三(荏+左),由E為的中點(diǎn),得荏=工通=工
224
(X5+4C).在AABE中,^B=AB-AE=AB--(荏+左)=三荏一工前.故選A.
444
(2)如圖,在直角梯形ABC。中,DC^AB,BE^IEC,且荏=Dc
rAB+sAD,則2r+3s=(C)/
A.lB.2
C.3D.4B
解析根據(jù)題圖,由題意可得荏=前+南=荏+|阮=南+|(.BA+AD+DC^=|Z5
+|(Z5+0C)=|Zfi+|(.AD+^AB)=1而+|而.因?yàn)樽?而+5萬,所以廠=as
=|,所以2r+3s=1+2=3.故選C.
方法技巧
1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量,實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的
加、減或數(shù)乘運(yùn)算.
2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路:先選擇一個(gè)基底,并運(yùn)用該基底將相關(guān)向量
表示出來,再通過向量的運(yùn)算來解決.
注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的,但在同一基底下的分解是唯一的.
訓(xùn)練1(1)[2024昆明市模擬]在平行四邊形ABC。中,點(diǎn)T為C£)的中點(diǎn),貝U(A)
A^AT=-AB+ADBJf=AB+-AD
22
CAT=-AB+-ADDAT=-AB+-AD
3333
解析因?yàn)樗倪呅蜛BC。是平行四邊形,所以瓦=荏.因?yàn)門為。。的中點(diǎn),所以罰=
|PC,則方=礪+詞=而+[反=|荏+而,故選A.
(2)[2024廣東省模擬]己知△048中,OC^CA,0D^2DB,與BC相交于點(diǎn)M,0M
=x0A+y0B,則有序數(shù)對(尤,y)=(D)
解析如圖,依題意A,M,。三點(diǎn)共線,故前=瓶了,所以而=方
O
+AM^0A+XAD^0A+^(0D-0X)=次+2C-OB-OA')^—0B
33
+(1-/)0A,又C,M,8三點(diǎn)共線,故兩="而,則。羽=反+
?^―-------
CM=0C+/zCB=0C+/z(0B-0C)=(1一〃)~0C+/nOB^^0A+/nOB,所以
3(1
:‘所以麗=三赤+工07,又麗=x01+y而,所以|:‘所
724(『,
以有序數(shù)對(尤,j)=3.故選D.
42
命題點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2(1)[全國卷I]已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量方=(-4,-3),則向量前
=(A)
A.(-7,-4)B.(7,4)
C.(-1,4)D.(1,4)
解析因?yàn)榍?(3,2)-(0,1)=(3,1),所以說=萬一通=(-4,-3)-
(3,1)=(-7,-4).故選A.
(2)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,以a,為基底,則(C)
A.c=-2a-\-3bB.c=-3〃+2)
C.c=3a-2bD.c=2a—3b
解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則a=(1,1),b=
(—2,3),c=(7,—3).設(shè)c=xa+y方,貝'解得
1%+3y=—3,
x=3,,L
故。=3。一2無故選C.
?=-2,
方法技巧
1.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題,主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則,根據(jù)“兩個(gè)向量相等
當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則,化歸為方程(組)進(jìn)行求解.
2.向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化,成為數(shù)與形結(jié)合的載體,可以使很多幾何問題的解
答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算.
訓(xùn)練2(1)如圖,在直角梯形A5CD中,AB//DC,ADLDC,AD=DC=2AB,E為AD
的中點(diǎn),若而+〃礪(九〃£R),則2+〃的值為(B)
A.-B.-
55
p
C.2D.-
3
解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則。(0,0).不妨設(shè)AB=1,則
CD=AD=2,:.C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),:.CA=
(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),VG4=2CE+/zOB,
(-2,2)=/(-2,1)+〃(1,2),2'+"—―2'解得ff
+2〃=2,(4=屋
故2+//=|,
(2)已知平面上的三個(gè)點(diǎn)A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),若A,B,C,。四
點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)或(4,6)或(一6,0).
解析由四邊形A3。為平行四邊形,得近=虎,可解得。(2,2).
由四邊形ABOC為平行四邊形,得荏=而,可解得。(4,6).
由四邊形AZJ8C為平行四邊形,得同=方,可解得。(-6,0).
因此,使A,B,C,。四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,2)或(4,6)或
(―6,0).
命題點(diǎn)3向量共線的坐標(biāo)表示
例3(1)[2021全國卷乙]已知向量。=(2,5),b=(九4),若則2=[.
解析因?yàn)閍〃b,所以2x4—52=0,解得4=1.
(2)已知點(diǎn)。(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=-OA,OD=-OB,4。與8C交于
42
點(diǎn)、M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(苫,2).
解析由已知可得點(diǎn)C(0,9),點(diǎn)。(2,-).因?yàn)锳,M,。三點(diǎn)共線,所以前與麗共
42
---->>77
線,設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),則4M=G,廠5),又(2,一;),所以一夕一2。
-5)=0,即7x+4y=20.因?yàn)镃,M,8三點(diǎn)共線,所以兩與方共線,又兩=(無,y—
-),CB=(4,-),所以4—4(y--)=0,即7x—16y=—20.由+-2°'得
444-4(7x—16y=—20,
_12
X=--,1O
7所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(工,2).
)=2,
方法技巧
平面向量共線問題的解題策略
(1)若a=(尤1,ji),b—(尤2,>2),則?!?—1"一%2以=0.
(2)若a//b(屏0),則a=Xb.
1
訓(xùn)練3(1)[2023貴州省聯(lián)考]已知尸(3,2),P2(9,11),P(5,y),可=4呢,
則y與2的值分別為(D)
131
A.y=8,丸=2Bj=y,2三
C.Jy=—4,A=2-D.yJ=5,A=-2
解析因?yàn)槭琲(3,2),尸2(9,11),P(5,y),所以9=(2,y—2),PP^=(4,
11—y),由9=%配,得(2,y—2)=A(4,11—y)=(4九112一心),所以
P=4A,解得P"故選D.
ly—2=11A—Ay,(y=5.
(2)設(shè)0Ve<]向量Q=(sin2acos9),b=(cos0,1),若allb,則tan<9=_
1
2—?
解析\*a//b,Asin23=cos23,
2sin8cos0=cos2ft
(0,-),
2
..1
??2sin0=cos0,tan0=~.
2
提升思維快速解題
奔馳定理
例4[2023江蘇南京三模]如圖,。是AABC內(nèi)一點(diǎn),且耐+加+2擊=0,
則S"BC=4.
SAAOC-%
解析解法一取A8的中點(diǎn)。,連接。。,則彷4(0^4+05),又瓦?+赤+2?=
0,所以而=一。乙即。為CQ的中點(diǎn).
又。為AB的中點(diǎn),所以品AOC=;SAADC=^S^ABC,故受匹=4.
N4、RAOC
解法二OA+OB+2OC=0,則由奔馳定理得義理=上里=4.
S^AOC1
方法技巧
奔馳定理:尸為△ABC內(nèi)一點(diǎn),貝[Sr園+SB?麗+Sc?無=0,其中St,SB,Sc分別是
△BPC,ACPA,AAPB的面積.
證明過程如下.
延長AP交邊8c于點(diǎn)。,如圖所示.
用S表示△ABC的面積,則S=SA+SB+SC,用歷表示△8PC的邊3C
上的高,用Zz表示△A5C的邊3。上的高.M-,r-
貝]jPQ_九I_[BC?1i_s。4P_AQ_PQ_]_PQ_]_S[_SB+SC所以
、」AQh^BC-hS'AQAQAQSS'S
用后表示△CPA的邊AP上的高,用力3表示△APB的邊AP上的高.
則*=『=瀉所以而=占海+/丁次,則存=*與+占前,
BQ九3ScSB-TSCSB十SC5'
即S?而=SB?(麗一麗)+Sc-(PC-PA),所以St?西+SB?麗+Sc?麗=0.
訓(xùn)練4[2023江蘇蘇州市第六中學(xué)三模]已知0是^ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足布+2而+=
0,且包g=3,則小=(C)
S&ABC7
A.2B.3C.4D.5
解析解法一由瓦?+2礪+優(yōu)瓦=0,得一g反=]瓦5+|礪,令麗=—段反,則說
^-0A+-0B,所以A,B,M三點(diǎn)共線,所以①磔=31=』-==解得加=4.
33S&ABCI0CI771+37
解法二由奔馳定理得SABOC,0A~\~S^AOC'0B~\~S^AOB,OC=0,又②?+2赤+相擊=0,所
以SABOC:SAAOC:S"OB=1:2:m,所以學(xué)=招上=:,解得m=4.
S^ABC1+2+m7
四'命題點(diǎn)習(xí)題講解
1.[命題點(diǎn)1]如圖是由等邊三角形A/E和等邊三角形KGC構(gòu)成的六角星,
圖中的8,D,F,H,J,L均為對應(yīng)線段的三等分點(diǎn),兩個(gè)等邊三角形的''一
中心均為O.若成=〃而?+:而,貝產(chǎn)=(B)
A.iB.-
23
C.-D.l
4
解析因?yàn)榈冗吶切蜛/E和等邊三角形KGC的中心均為。,所以“,
yk
O,8三點(diǎn)共線,J,0,。三點(diǎn)共線.如圖,連接H8,OD,則四邊形、../,
AJHB,80DC都是平行四邊形,且點(diǎn)、。為HB,的中點(diǎn).瓦?=加+笈=
一一一一——,
OJ+1TB^OJ+2OB,又方=反=麗+反=次+反,所以切+2而=司
+2(.OC+OJ')^2OC+3OJ,即Ul=2瓦+3次,又近=i麻+麗,所以根=2,”=3,
七乙,、?7712
所kZ—=-.
n3
2.[命題點(diǎn)2/多選]已知向量ei=(-1,2),62—(2,1),若向量。=;1通1+2202,則使
刈彳2<0成立的。可能是(AC)
A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)
解析因?yàn)閑i=(―1,2),ei—(.2,1),所以向量a=/Uei+?l2e2=(一九,2加)+
(2%,石)=(2^2—九,221+^2).當(dāng)a=(1,0)時(shí),2九+九2=。,滿足題意;當(dāng)a=
(0,1)時(shí),2七一/U=0,不滿足題意;當(dāng)a=(-1,0)時(shí),2/U+/l2=0,滿足題意;當(dāng),
=(0,-1)時(shí),242—21=0,不滿足題意.
3.[命題點(diǎn)2]在矩形ABC。中,48=3,AD=4,尸是以點(diǎn)C為圓心,2為半徑的圓上的動
點(diǎn).設(shè)點(diǎn)=幾屈+〃而,則什〃的最小值為(B)
7
A.lB二
6
p
C.2D.-
3
解析如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn),以A3和AZ)所在直線分別為x軸
和y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),
D(0,4),圓。的方程為(x—3)2+(y—4)2=4.
n.11
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓。上,所以可設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2cos8+3,2sin0+
4),又而=2荏+〃而,所以(2cos0+3,2sin0+4)=4(3,「:
、?(2cos。+3=3A,“,
0)+〃(0,4)=(3/1,4〃x),m所以/+〃=
(2sin6+4=4/1,
-cos0+-sin^+2=-sin(6+9)+2>-(其中tan,=2).故選B.
32663
4.[命題點(diǎn)3]已知向量。=(1,x),b=(y,1),尤>0,y>0.^a//b,則等的最大值為
A)
A.|B.lC.V2D.2
解析a//b^>xy=\,所以y==又x>0,y>0,所以丹-=一一^=工,當(dāng)且僅當(dāng)
,
Xx+yx+yx+-2\i2
qx
x=-,即%=1時(shí)取等號,所以丹-的最大值為士
xx+y2
五'習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練
“2024山東荷澤模擬]設(shè){ei,ez}為平面內(nèi)的一個(gè)基底,則下面四組向量中不能作為基底的
是(C)
A.ei+e2和ei——€2B.4ei+2e2和2改——4幻
C.2ei+e2和D.ei—2c2和4e2+2^1
解析平面向量的基底由兩個(gè)不共線的非零向量組成,選項(xiàng)C中,20+/=2(ci+
/2),即2ei+e2和ei+*2為共線向量,所以它們不能作為基底,故選C.
2.[2024河南商丘期末]已知點(diǎn)A(8,-1),B(1,—3),若點(diǎn)C(2機(jī)一1,加+2)與
A,3共線,則實(shí)數(shù)根=(C)
A.-12B.13C.-13D.12
解析因?yàn)辄c(diǎn)C與A,2共線,且屈=(一7,一2),左=(2加一9,根+3),故”=
—,所以根=一13.故選C.
3.[2023山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)開學(xué)考試]已知向量.=(2,-3),b=(m,1),若Ia+2Z>I
=Ia~2bI,則m=(A)
AA-3CD
2-1--l
解析由a=(2,—3),b—(機(jī),1),可得a+2Z>=(2+2%,—1),a—2b=(2—
2m,-5),又Ia+2b\=Ia~2bI,所以Ia+2bI2=Ia~2bI2,(2+2m)2+l
=(2—2m)2+25,解得m=|,故選A.
4.[2023河北石家莊質(zhì)檢]AABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)、N為AB上一點(diǎn),AM與CN交
于點(diǎn)。,且而=:前,AN=AAB,貝iU=(A)
Ac.-4D
-i5i
解析如圖,因?yàn)辄c(diǎn)M是2C的中點(diǎn),所以而=:前=沔(ZB+ZC)
=|(.AB+AC).因?yàn)镹,D,C三點(diǎn)共線,所以而=〃而+(1—〃)
AN,又麗=/1屈,所以|(XB+ZC)=〃前+(1—〃)AAB,由平面向
_2
~=4,〃=工,
量基本定理可知?1解得4/故選A.
-=(1一〃)A,A=-
、5,3f
5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知A(1,0),B(0,1),點(diǎn)C在第二象限內(nèi),NAOC=
”,且IOCI=2,若灰=而1+〃而,則九〃的值分別是(D)
A.V3,1B.l,V3C.-l,V3D.-V3,1
解析設(shè)C(x,y),:點(diǎn)C在第二象限,且/AOC=巴,IOCI=2,
=|OCI-cos—=—V3,y=IOCI-sin—=1,
:.C(-V3,1),.\0C=(-V3,1).
又:泥=拓1+〃甌;.(-V3,1)=2(1,0)+〃(0,1),
即(一V3,1)—(.A,/z),—y/3,—
6.[多選]已知等邊三角形ABC內(nèi)接于。。,。為線段。4的中點(diǎn),E為BC的中點(diǎn),則麗=
(AC)
A.-BA+-JCB.-BA--BC
3636
C1A+-AED.-BA+-AE
333
解析BD=BA+AD=BA+^AE=BA^(布+而)=雨甘雨+/前=|0+[就.
33236
故選AC.
7.[多選]已知向量02=(1,-3),0B=(2,-1),0C=(m,m—2),若連接AB,
BC,AC能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)小的值可以是(ACD)
A.-2B.3
D.-l
解析由題知,AB=OB—0A=(2,—1)—(1,-3)=(1,2),AC=OC~OA=
(m,m-2)—(1,13)=(m-1,m+1).假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線,則lx(m+1)-
2(771-1)=0,即機(jī)=3.所以若連接A8,BC,AC能構(gòu)成三角形,貝U機(jī)力3.故選ACD.
8.[2024河南信陽模擬]已知兩點(diǎn)A(3,-2)和8(—5,—1),點(diǎn)尸滿足而三荏,則點(diǎn)
P的坐標(biāo)為(一1,一1.
解析解法一設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(尤,y),由布三荏,得(無一3,y+2)=|(—8,
1).
%-3=~4,x=一]
所以1解得?3’所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,--).
b+2=7,——2
2,
解法二由布=/南,得尸為45的中點(diǎn),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(”,
二F),即(-1,-1)-
9.在△ABC中,點(diǎn)、M,N滿足前=2疵,前=祝.若麗=x^+y前,則尤=1,j=_
_1
-6—?
解析由題意得標(biāo)=流+而=工前+工荏=三前+乙(Zfi-Ic)^-AB--AC^XAB+
323226
y^c,所以尤=?,y=~l-
10.如圖,在平行四邊形ABC。中,E,尸分別為邊A8,8c的中點(diǎn),連接CE,DF,交于點(diǎn)
G.若德=標(biāo)+〃而(九蚱R),貝哈
------f.
/
解析由題圖可設(shè)出=屋(尤>0),則方=x(CB+BE)=x(CB+|C5)=:而+
n5.因?yàn)榈?2而+〃方,而與荏不共線,所以4a〃=%,所以q=|.
11J2023陜西安康一模]已知。是△ABC內(nèi)一點(diǎn),2方+3麗+山泥=0,若AAOB與
△ABC的面積的比值為:則實(shí)數(shù)機(jī)的值為(D)
A.--B.-C.--D.-
3333
解析解法一由26<+3標(biāo)=—機(jī)而得|瓦礪=—£反,設(shè)一三反
=彷,則麗=|瓦1+|赤,則A,B,。三點(diǎn)共線,如圖所示,:灰與
而反向共線,,IODIm.IODIm?S^AOB\OP\
'9\OC\5'**ICDIm+5JSxABCICDI
去W,解得片拿故選D.
解法二u:2dA+3OB+mOC=0,工由奔馳定理(。為△ABC內(nèi)一點(diǎn),則&BOC?畫+
SAAOC'OB+SAAOB,OC-O)
可知SABOC:SAAOC:SAAOB=2:3:...SAAOB:SAABC=^I:(2+3+m),———=
2+3+m
:,解得機(jī)=g,故選D.
12.[與基本不等式交匯]在正方形ABC。中,。為
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