2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之二次根式

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之二次根

選擇題（共10小題）

1.實(shí)數(shù)mb在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡|a|+J（a-E）2的結(jié)果是（）

-a0h~

A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b

2.如果H?>0,〃+/?V0,那么下面各式：①4=今②③=-b,其中正確的是

（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

3.把根]三根號外的因式移入根號內(nèi)得（）

A.4mB.yj—mC.—y/mD.一7一m

4.己知。為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式V27-12a+2a2的最小值為（)

A.0B.3C.3V3D.9

5.下列的式子一定是二次根式的是（）

A.V—x—2B.VxC.yjx2+2D.V%2-2

6.若代數(shù)式」一+4有意義，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是（

)

x-1

A.B.%20C.SOD.x20且e

7?把xj1根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，結(jié)果是（）

A.y[xB.V—xC.—V—xD.—y[x

8.若代數(shù)式容二有意義，則x的取值范圍是（）

|x|-3

22

A.x>可且B.x>

22

C.后仔且xW3D.x<可且xW-3

9.若2Va<3,則>若一4^+4—'(a—3)2等于()

A.5-2aB.1-2aC.2a-5D.2a-1

10.若實(shí)數(shù)尤滿足|x-3|+Vx2+87+16=7,化簡2|x+4|-J（2x-6尸的結(jié)果是（）

A.4x+2B.-4x-2C.-2D.2

二.填空題（共5小題）

ii.若最簡二次根式夜不刀與m是同類二次根式，則。=

12.化簡，1一6%+9*2一(竟=弓)2,結(jié)果是.

13.^|2017-,n|+Vm-2018=m,貝bw-20172=.

14.若y=Vx—3+V3—x+2,則爐=.

15.已知|a-2007|+Va—2008=a,則a-20072的值是

三.解答題(共5小題)

16.計(jì)算：V48-V3-j|xV12+V24.

17.計(jì)算:(V5-1)(V5+1)-(-1)-2+|l-V2|-(TT-2)0+V8.

18.已知尤=廊,y—且19?+123孫+19廿=1985.試求正整數(shù)〃.

Vn+H-Vn。九+1-Vn

11+2x+11

19.先化簡，再求值：(一一一-)*-~2(―其中

%%+1(%+1)2-(%-1)22

20.已知：實(shí)數(shù)m人在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：j(a+l)2+2j(b—1)2—|4-".

-4-3-2-1012345

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之二次根式(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.實(shí)數(shù)。，6在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡|a|+J(a—6)2的結(jié)果是()

-a0h~>

A.-2〃+/?B.2a-bC.-bD.b

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡；實(shí)數(shù)與數(shù)軸.

【答案】A

【分析】直接利用數(shù)軸上。，。的位置，進(jìn)而得出a<0,a-b<0,再利用絕對值以及二次根式的性質(zhì)

化簡得出答案.

【解答】解：由圖可知：a<0,a-b<0,

則|a|+J(a—「一

--a-(A-/?)

=-2a+b.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確得出各項(xiàng)符號是解題關(guān)鍵.

2.如果漏>0,a+b<0,那么下面各式：①夠=3②③疝+位=一6,其中正確的是

()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.

【專題】計(jì)算題.

【答案】B

【分析】由ab>0,a+b<0先求出。<0,b<Q,再進(jìn)行根號內(nèi)的運(yùn)算.

【解答】M：'：ab>0,a+b<0,

Z?<0

①號=■，被開方數(shù)應(yīng)、0,。，6不能做被開方數(shù)，(故①錯誤),

=VT=1,（故②正確）,

=-b,Vab+1=4ab+=4abX-^==—/?,（故③正確）.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題是考查二次根式的乘除法，解答本題的關(guān)鍵是明確。<0,b<0.

3.把爪JW根號外的因式移入根號內(nèi)得()

A.y/mB.yj—mC.—VmD.—y/—m

【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及二次根式成立的條件解答.

【解答】解：???mjW成立，

1

.*.-->0,即mV0,

m

.?.原式=_J(fi)2(_1)-

故選：D.

【點(diǎn)評】正確理解二次根式乘法、積的算術(shù)平方根等概念是解答問題的關(guān)鍵.

二次根式成立的條件：被開方數(shù)大于等于0,含分母的分母不為0.

4.已知0為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式427-12a+2a2的最小值為()

A.0B.3C.3A/3D.9

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】壓軸題.

【答案】B

【分析】把被開方數(shù)用配方法整理，根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義求二次根式的最小值.

【解答】解：：原式=V27-12a+2a2

=J2(a2-6a+9)+9

=j2(a—3)2+9

...當(dāng)(a-3)2=0,即a=3時

代數(shù)式V27-12a+2a2的值最小,為眄即3

故選：B.

【點(diǎn)評】用配方法對多項(xiàng)式變形，根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義解題，是常用的方法，需要靈活掌握.

5.下列的式子一定是二次根式的是()

A.yj—x—2B.y[xC.V%2+2D.Vx2—2

【考點(diǎn)】二次根式的定義.

【專題】二次根式.

【答案】c

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)對每個選項(xiàng)做判斷即可.

【解答】解：A、當(dāng)x=0時，-X-2C0,7-x一2無意義,故本選項(xiàng)錯誤；

B、當(dāng)x=-l時，代無意義；故本選項(xiàng)錯誤；

C、；/+2》2,...它短符合二次根式的定義；故本選項(xiàng)正確；

D、當(dāng)尤=±1時，%2-2=-1<0,一2無意義;故本選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的定義.一般形如6QNO）的代數(shù)式叫做二次根式.當(dāng)。20時，6表

示a的算術(shù)平方根.

6.若代數(shù)式」一+6有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

x-1

A.xWlB.尤》0C.xWOD.x》O且xWl

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件.

【答案】D

【分析】先根據(jù)分式及二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式組，求出尤的取值范圍即可.

【解答】解：???代數(shù)式」一+4有意義，

x-1

?/％—1H0

>0'

解得120且xWl.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式及分式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵.

7?把々PI根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，結(jié)果是（）

A.y/xB.V—xC.-V—xD.—yfx

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡.

【答案】C

【分析】由xJW得出x<0,再利用二次根式的性質(zhì)來化簡求解.

【解答】解：由可知尤<0,

所以X」一＜=_Jx2X(―3=

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的意義.解題的關(guān)鍵是能正確的把根號外的代數(shù)式或數(shù)字移到根號內(nèi)

部，它是開方的逆運(yùn)算.從根號外移到根號內(nèi)要平方，并且移到根號內(nèi)與原來根號內(nèi)的式子是乘積的關(guān)

系.如果根號外的數(shù)字或式子是負(fù)數(shù)時，代表整個式子是負(fù)值，要把負(fù)號留到根號外再平方后移到根號

內(nèi).

8.若代數(shù)式浮至有意義，則x的取值范圍是()

W-3

22

A.x＞可且x#3B.

C.也專且xW3D.尤〈年且

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【答案】C

【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案.

【解答】解：；代數(shù)式浮浮有意義，

|x|-3

：.3x-2^0,IR-3W0,

7

解得：xNg且xW3.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

9.若2V〃V3,則＞若—4a+4-J(a—3位等于()

A.5-2aB.1-2aC.2a-5D.2a-1

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】先根據(jù)2V〃V3把二次根式開方，得到2-(3-〃)，再計(jì)算結(jié)果即可.

【角軍答】解:?.,2V〃V3,

7心-4a+4-J(a-3)2

=a-2-(3-。)

=a-2-3+〃

=2〃-5.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

10.若實(shí)數(shù)x滿足|x-3|+Vx2++16=7,化簡2|x+4|-J（2久-6）2的結(jié)果是（）

A.4x+2B.-4x-2C.-2D.2

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】二次根式.

【答案】A

【分析】根據(jù)x的取值-4W尤W3以及二次根式的性質(zhì)，化簡絕對值即可得到結(jié)果.

【解答】解：-3|+Vx2+8x+16=7,

\x-3|+|x+4|=7,

???44W3,

；.2|x+4|-J（2x-6）2

=2（尤+4）-|2x-6|

=2（x+4）-（6-2元）

—4x+2,

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查二次根式和絕對值問題，此題難點(diǎn)是由絕對值和二次根式的化簡求得x的取值范圍,

要求對絕對值的代數(shù)定義和二次根式的性質(zhì)靈活掌握.

二.填空題（共5小題）

II.若最簡二次根式二^與是同類二次根式，則。=3.

【考點(diǎn)】同類二次根式；最簡二次根式.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】3.

【分析】先求出g=2V3,再根據(jù)同類二次根式的定義得出2a-3=3,再求出答案即可.

【解答】解:V12=2V3,

最簡二次根式畫二后與是同類二次根式，

2a-3=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能得出2〃-3=3是解此題的關(guān)鍵.

12.化簡-6尤+9x2一一5A,結(jié)果是4.

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】4.

【分析】先判斷尤的取值范圍，然后將二次根式化為最簡，合并運(yùn)算即可.

【解答】解：：3尤-520,

原式=J(1-3x)2—(3%-5)=3x-1-3無+5=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，注意隱藏條件：被開方數(shù)不小于零，否則容易造成多解.

13.若|2017-優(yōu)|+Sn-2018=m,則m-20172=2018.

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【專題】二次根式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出熱N2018,再化簡絕對值，根據(jù)平方運(yùn)算，可得答案.

【解答】解：V|2017-m|+Vm-2018

：.m-2018N0,

加N2018,

由題意，得m-2017+Sn—2018=m.

化簡，得Sn-2018=2017,

平方，得相-2018=20172,

m-20172=2018.

故答案為：2018.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質(zhì)化簡絕對值是解題關(guān)鍵.

14.若y=，久一3+一久+2,則x，=9.

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出尤-320,3-x20,求出x,代入求出y即可.

【解答】解：＞=77=^+回7+2有意義,

必須尤-320,3-x^0,

解得：尤=3,

代入得：y—0+0+2—2,

：.^=32=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評】本題主要考查對二次根式有意義的條件的理解和掌握，能求出無y的值是解此題的關(guān)鍵.

15.已知-2007|+Va—2008=a,則a-20072的值是2008.

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】此題首先能夠根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的條件，得到。的取值范圍；再根據(jù)a的取值

范圍，化簡去掉絕對值；最后進(jìn)行整理變形.

【解答】解：：|a-2007|+Va—2008=a,/.a^2008.

.'.a-2007+y/a-2008=a,

Va-2008=2007,

兩邊同平方，得a-2008=20072,

...4-20072=2008.

【點(diǎn)評】解決此題的關(guān)鍵是能夠得到a的取值范圍，從而化簡絕對值并變形.

三.解答題（共5小題）

16.計(jì)算：V48-V3-xV12+V24.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法法則得到原式=楞-厚石+2連，然后利用二次根式的性質(zhì)化

簡后合并即可.

【解答】解：原式=腭一4x12+2粕

=4-V6+2V6

=4+V6.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再把各二次根式化為最簡二次

根式，然后進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算.

17.計(jì)算：(V5-1)(V5+1)-(-1)-2+|l-V2|-(TT-2)0+V8.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；零指數(shù)鼎；負(fù)整數(shù)指數(shù)累.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)募和平方差公式得到原式=5-1-9+V2-1-1+2V2,然后合并即

可.

【解答】解：原式=5-1-9+V2-1-1+2V2

=-7+3V2.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除

運(yùn)算，然后合并同類二次根式.也考查了零指數(shù)鼎、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉.

18.已知x=卒/y=且19%2+123町+19丫2=1985.試求正整數(shù)

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先化簡1與y,可得：x=(Vn+1—Vn)2=ln+\-2y/n(n+1),y=2n+1+2jn(n+1),所

以x+y=4〃+2,孫=1；將所得結(jié)果看作整體代入方程，化簡即可求得.

【解答】解：化簡x與y得：x=(Vn+1-Vn)2=2〃+1-2Jn(n+1),y=(Vn+1+

Vn)2=2.+l+2jn(?i+1),

「?x+y=4九+2,xy=(Vn+1—Vn)2(Vn+1+Vn)2=[3n+1+Vn)Q'n+1—Vn+1)f=],

???將孫=1代入方程，化簡得：/+『=98,

(x+y)2=x2+y2+2xy=98+2X1=100,

.,.x+y=10.

A4H+2=10,

解得n=2.

【點(diǎn)評】此題考查了二次根式的分母有理化.解題的關(guān)鍵是整體代入思想的應(yīng)用.

11%VX2+2%+11

19.先化簡，再求值：(———；)?,?，-2,其中X=木

%%+1(%+1)2-(%-1)22

【考點(diǎn)】二次根式的化簡求值；分式的化簡求值.

【專題】壓軸題；分類討論.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把尤的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

1_xV（x+l）2

【解答】解:原式=

xQ+1）4x

1

當(dāng)x=［時，x+l>0,

可知J(x+1)2=X+1,

痂沖14光+1)111

故原1s式=罰=ZT=二=5；

2

【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式及分式的化簡求值，解答此題的關(guān)鍵是當(dāng)X=用寸得出JO+1)2=X+1,

此題難度不大.

20.己知：實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：j(a+l)2+2j(b_l)2_|“_6|.

――5>

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡；實(shí)數(shù)與數(shù)軸.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】本題運(yùn)用實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系確定-2<a<-1,l<b<2,且6>a,然后根據(jù)開方運(yùn)算的

性質(zhì)和絕對值的意義化簡即可求解.

【解答】解：從數(shù)軸上。、6的位置關(guān)系可知：-2<。<-1,1<6<2,且6>a,

故〃+1V0,b-\>0,a-/?<0,

原式=|a+l|+2步-1卜|。-加

=-（。+1）+2（/?-1）+（a-。）

=b-3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小和二次根式的化簡，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵

是掌握絕對值的性質(zhì).

考點(diǎn)卡片

1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸

(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系.

任意一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù).數(shù)軸上的任一點(diǎn)表

示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對值就是

在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而小.

2.分式有意義的條件

(1)分式有意義的條件是分母不等于零.

(2)分式無意義的條件是分母等于零.

(3)分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號.

(4)分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號.

3.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果

要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，

代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法.當(dāng)

未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0.

4.零指數(shù)塞

零指數(shù)累：a°=lQN0)

由。徵+。'"=。"廠刈=?！憧赏瞥鯽°=l(aWO)

注意：0°^l.

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)塞

負(fù)整數(shù)指數(shù)能aP=^(60,P為正整數(shù))

注意：①a力0；

②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（-3）-2=（-3）義（-2）

的錯誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序.

6.二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如6（a'O）的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a（a>0）是一個非負(fù)數(shù)；

學(xué)習(xí)要求：

理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被

開方數(shù)中的字母取值范圍.

7.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如仿（a20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式具有非負(fù)性.乃QN0）是一個非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負(fù)性解決相關(guān)問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是

非負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

8.二次根式的性質(zhì)