山東省淄博市高青縣第一中學2025屆數學高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

山東省淄博市高青縣第一中學2025屆數學高二上期末監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的導函數為，若的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（）A B.C. D.2．曲線與曲線的A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等3．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，設D在直線AB上，且，設C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，則λ的值為()A. B.－C. D.4．已知點F是雙曲線的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、H兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.6．某家大型超市近10天的日客流量（單位：千人次）分別為：2.5、2.8、4.4、3.6.下列圖形中不利于描述這些數據的是（）A.散點圖 B.條形圖C.莖葉圖 D.扇形圖7．設，分別為具有公共焦點與橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為A. B.1C.2 D.不確定8．在等比數列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±129．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.810．直線，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.11．拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，一條平行于y軸的光線從點射出，經過拋物線上的點A反射后，再經拋物線上的另一點B射出，則經點B反射后的反射光線必過點（）A. B.C. D.12．設，是兩個不同的平面，是直線且．“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．必然事件的概率是________.14．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______15．已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；16．已知橢圓的左、右焦點為，過作x軸垂線交橢圓于點P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3處取得極值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]內的最值.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足，記點的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知，是經過圓上一點且與相切的兩條直線，斜率分別為，，直線的斜率為，求證：為定值.19．（12分）如圖，直角梯形AEFB與菱形ABCD所在平面互相垂直，，，，，，M為AD中點.（1）證明：直線面DEF；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值21．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍22．（10分）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸上，且拋物線上的點到焦點的距離是5.（1）求該拋物線的標準方程和的值；（2）若過點的直線與該拋物線交于，兩點，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據導函數大于，原函數單調遞增；導函數小于，原函數單調遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導函數得圖象可得：時，，所以在單調遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.2、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷【詳解】解：曲線表示焦點在軸上，長軸長10，短軸長為6，離心率為，焦距為8曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為8對照選項，則正確故選：【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查運算能力，屬于基礎題3、B【解析】設D(x，y，z)，根據求出D(，，0)，再根據CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【詳解】設D(x，y，z)，則＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故選：B【點睛】(1)本題主要考查向量的線性運算和空間向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2).4、B【解析】根據是等腰三角形且為銳角三角形，得到，即，解得離心率范圍.【詳解】，當時，，，不妨取，，是等腰三角形且為銳角三角形，則，即，，即，，解得，故.故選：B.5、B【解析】求出，可知為等腰三角形，取的中點，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結果.【詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點，因為，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.6、A【解析】根據數據的特征以及各統計圖表的特征分析即可；【詳解】解：莖葉圖、條形圖、扇形圖均能將數據描述出來，并且能夠體現出數據的變化趨勢；散點圖表示因變量隨自變量而變化的大致趨勢，故用來描述該超市近10天的日客流量不是很合適；故選：A7、C【解析】根據題意，設它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關于a、c、m的方程，聯解可得a2+m2=2c2，再根據離心率的定義求解【詳解】由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C8、D【解析】根據題意，設等比數列的公比為，由等比數列的性質求出，再求出【詳解】根據題意，設等比數列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：9、D【解析】由的周長為，結合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據橢圓的定義，可得的周長為故選：D.10、D【解析】直線,斜率乘積為，斜線斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.11、D【解析】求出、坐標可得直線的方程，與拋物線方程聯立求出，根據選項可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯立解得，所以，因為反射光線平行于y軸，根據選項可得D正確,故選：D12、B【解析】，得不到，因為可能相交，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎題；并得不到，根據面面平行的判定定理，只有內的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】直接由必然事件的定義求解【詳解】因為必然事件是一定要發(fā)生的，所以必然事件的概率是1，故答案為：114、【解析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉化為關于的方程，求解即可得出結論.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數化簡求值，屬于中檔題.15、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據導函數的正負得到函數的單調區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當時，若和時，；若時，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；②當時，在上恒成立，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；③當時，若和時，；若時，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導數的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導數討論含參數函數的單調區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.16、##【解析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關系式，進而求得橢圓的離心率.【詳解】橢圓的左、右焦點為，點P由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先對函數求導，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個根為﹣1和3，結合方程的根與系數關系可求，（2）由（1）可求，然后結合導數可判斷函數的單調性，進而可求函數的最值.【詳解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個根為﹣1和3，則，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，單調遞增，在上單調遞減，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【點睛】本題考查利用極值求函數的參數，以及利用導數求函數的最值問題，屬于中檔題18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據雙曲線的定義可得答案；（2）設，過點的的切線方程為，聯立此直線與雙曲線的方程消元，然后由可得，即可得到，然后可證明.【小問1詳解】因為，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，所以，，所以，所以的方程為【小問2詳解】設，則，設過點的切線方程為，聯立可得由可得，所以所以19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，連接BD，可得，以為原點，為軸，豎直向上為軸建立空間直角坐標系，利用向量法計算與平面的法向量的數量積為0即可得證；（2）分別計算出平面和平面的法向量，然后利用向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，且，所以平面ABCD，連接BD，則等邊三角形，所以，以為原點，為軸，豎直向上為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設為平面的法向量，因為，則有，取，又因為，所以，因為平面，所以平面；【小問2詳解】解：分別設為平面和平面的法向量，因為，則有，取，因，則有，取，所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因為點A、D分別為MB、MC中點，所以，又，所以，所以.因為，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】因為，，，所以兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，，則，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以，設直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負，分別求單調性；（2）由（1）所求的單調性，結合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調遞增，又，所以成立；若，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.22、（1），（2）證明見解析【解析】（1）根據點到焦點的距離等于5，利用拋物線的定義求得p，進而得到拋物線方程，然后將點代入拋物線求解；（2）方法一：設直線方程為：，與拋物線方程聯立，結合韋達定理，利用數量積的運算求解；方法二：根據直線過點，分直線