2025屆陜西省咸陽市興平市西郊中學高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題含解析

2025屆陜西省咸陽市興平市西郊中學高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．△ABC兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.2．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．在等比數(shù)列中，是和的等差中項，則公比的值為（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或14．一動圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線5．若拋物線的準線方程是，則拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.6．設函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列滿足，，則（）A.21 B.42C.63 D.848．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.9．已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.10．某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m11．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.6012．在等差數(shù)列中，，且，，，構成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點F恰好是橢圓的右焦點，且兩條曲線交點的連線過點F，則該橢圓的離心率為____________14．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.15．已知雙曲線的焦點，過F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，則雙曲線的方程為_________16．點在以，為焦點的橢圓上運動，則的重心的軌跡方程是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)（1）若曲線在點處的切線方程為，求；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間18．（12分）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標系中，將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即為回到軍營.軍營所在區(qū)域可表示為.（1）求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）因軍情緊急，將軍來不及飲馬，直接從A點沿傾斜角為45°的直線路徑火速回營，已知回營路徑與軍營邊界的交點為M，N，軍營中心與M，N連線的斜率分別為，，試求的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性.20．（12分）已知圓與軸相切，圓心在直線上，且到直線的距離為（1）求圓的方程；（2）若圓的圓心在第一象限，過點的直線與相交于、兩點，且，求直線的方程21．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）設的前項和，求的值.22．（10分）已知O為坐標原點，、為橢圓C的左、右焦點，，P為橢圓C的上頂點，以P為圓心且過、的圓與直線相切（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點作直線l，交橢圓C于M，N兩點（l與x軸不重合），在x軸上是否存在一點T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，請求出所有滿足條件的點T的坐標；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.2、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據(jù)離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C3、D【解析】由題可得，即求.【詳解】由題意，得，所以，因為，所以，解得或.故選：D.4、C【解析】設動圓圓心，與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出幾何關系式，化簡，再根據(jù)圓錐曲線的定義，可得到動圓圓心軌跡.【詳解】設動圓圓心，半徑為，圓x2+y2＝1的圓心為，半徑為，圓x2+y2﹣8x+12＝0，得，則圓心，半徑為，根據(jù)圓與圓相切，則，，兩式相減得，根據(jù)定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選：C【點睛】本題考查了兩圓的位置關系，圓錐曲線的定義，屬于基礎題.5、D【解析】根據(jù)拋物線的準線方程，可直接得出拋物線的焦點，進而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標準方程【詳解】準線方程為，則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標準方程可設為：則準線方程為：解得：則拋物線的標準方程為：故選：D6、B【解析】分析可知，對任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時的取值范圍，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知對任意的恒成立，則對任意的恒成立，當時，，.故選：B.7、D【解析】設等比數(shù)列公比為q，根據(jù)給定條件求出即可計算作答.【詳解】等比數(shù)列公比為q，由得：，即，而，解得，所以.故選：D8、D【解析】先通過誘導公式將函數(shù)化簡，進而求出導函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.9、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因為點在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D10、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼?，可設出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上設拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.11、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質，可知，從而可求出結果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.12、A【解析】根據(jù)等比中項的性質和等差數(shù)列的通項公式建立方程，可解得公差d得選項.【詳解】解：因為在等差數(shù)列中，，且，，，構成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設兩條曲線交點為根據(jù)橢圓和拋物線對稱性知，不妨點A在第一象限，由A在拋物線上得，A在橢圓上得.則由條件得：.解得（舍去）14、①.x軸或直線②.【解析】根據(jù)給定條件分析方程的性質即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；15、【解析】根據(jù)直線與雙曲線只有一個交點可知直線與雙曲線平行，由漸近線斜率可列出的齊次方程，利用齊次方程求解.【詳解】直線與雙曲線有且只有一個交點，且焦點，直線與雙曲線漸近線平行，，即，，即，.則雙曲線的方程為故答案為：16、【解析】設出點和三角形的重心，利用重心坐標公式得到點和三角形的重心坐標的關系，，代入橢圓方程即可求得軌跡方程，再利用，，三點不共線得到.【詳解】設，，由，得，即，，因為為的重心，所以，，即，，代入，得，即，因為，，三點不共線，所以，則的重心的軌跡方程是.故答案：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析【解析】（1）求出，建立方程關系，即可求出結論；（2）對分類討論，求出的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】由于切點在切線上，所以，函數(shù)通過點又，根據(jù)導數(shù)幾何意義，；【小問2詳解】由可知當時，則；當時，則；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意作出圖形，然后求出關于直線的對稱點，進而根據(jù)圓的性質求出到圓上的點的最短距離即可；（2）將直線方程代入圓的方程并化簡，進而結合韋達定理求得答案.【小問1詳解】若軍營所在區(qū)域為，圓：的圓心為原點，半徑為，作圖如下：設將軍飲馬點為，到達營區(qū)點為，設為A關于直線的對稱點，因為，所以線段的中點為，則，又，聯(lián)立解得：，即，所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點到圓上的點的最短距離，即為.【小問2詳解】過點A傾斜角為45°的直線方程為：，設兩個交點，聯(lián)立，消去y得.由韋達定理，，.19、（1）（2）答案見解析【解析】（1）求出導函數(shù)后計算得斜率，由點斜式得直線方程并整理；（2）求出導函數(shù)，然后分類討論它在上的正負得單調(diào)性【小問1詳解】當時，，則，故切線的斜率.又.所以函數(shù)在處的切線方程為：.【小問2詳解】由，得①當時，在上單調(diào)遞減；②當時，在上單調(diào)遞減；③當時，令，得當時，在上單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增；④當時，在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增.20、（1）或（2）或【解析】（1）設圓心的坐標為，則該圓的半徑長為，利用點到直線的距離公式可求得的值，即可得出圓的標準方程；（2）利用勾股定理可求得圓心到的距離，分析可知直線的斜率存在，設直線的方程為，利用點到直線的距離公式可求得關于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設圓心的坐標為，則該圓的半徑長為，因為圓心到直線的距離為，解得，所以圓心的坐標為或，半徑為，因此，圓的標準方程為或.【小問2詳解】解：若圓的圓心在第一象限，則圓的標準方程為.因為，所以圓心到直線的距離.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，可設直線的方程為，即，由題意可得，解得，所以，直線的方程為或，即或.21、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，利用題中等式建立、的方程組，求出、的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式；（2）利用等差數(shù)列前項和公式求出，然后由求出的值.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得，，數(shù)列的通項為；（2）數(shù)列的前項和，由，化簡得，即，.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求解，考查等差數(shù)列的前項和公式，常用的方法就是利用首項和公差建立方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.22、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出a，c，b即可作答.(2)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用斜率坐標公