遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.2．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面3．已知正方體中，分別為棱的中點，則直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.4．若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.6．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點，BE，DH的交點為G，則的化簡結(jié)果為（）A. B.C. D.7．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.28．中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.9．“五一”期間，甲、乙、丙三個大學(xué)生外出旅游，已知一人去北京，一人去兩安，一人去云南.回來后，三人對去向作了如下陳述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事實是甲、乙、丙三人陳述都只對了一半(關(guān)于去向的地點僅對一個).根據(jù)以上信息，可判斷下面說法中正確的是（）A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南10．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.12．設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則的面積為_________14．點為雙曲線上一點，為焦點，如果則雙曲線的離心率為___________.15．有一組數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)是，則其方差是________.16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系內(nèi)，橢圓E：過點，離心率為（1）求E的方程；（2）設(shè)直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使得對任意實數(shù)k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由18．（12分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值19．（12分）在中，，，請再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大?。唬?）求的面積.條件①：；條件②：.20．（12分）已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸且焦點在軸上，拋物線：，若拋物線的焦點在橢圓上，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在且不為零的直線滿足：與橢圓相交于不同兩點、，與直線相交于點.若橢圓上一動點滿足：，，且存在點，使得恒為定值，求的值.21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）設(shè)：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)拋物線的定義得出當(dāng)點P在拋物線的頂點時，|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)拋物線y＝2x2上點P到準線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準線方程為y＝－，∴當(dāng)點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D2、D【解析】利用反證法可判斷A選項；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項；利用面面垂直的判定可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，平面，若平面，因為，則平面平面，事實上，平面與平面相交，假設(shè)不成立，A錯；對于B選項，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯；對于C選項，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面，平面，則，，，則平面，若平面平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面平面，平面平面，平面，平面，而過點作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯；對于D選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，，，平面，因為平面，因此，平面平面平面，D對.故選：D.3、D【解析】以D為原點建立空間直角坐標系，求出E,F,B,D1點的坐標，利用直線夾角的向量求法求解【詳解】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選D【點睛】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用及向量夾角的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.5、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】由基本不等式知；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.故選：A.6、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運算法則即可求出結(jié)果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點，，，故選：D7、D【解析】由題意知，拋物線的準線l：y＝－1，過A作AA1⊥l于A1，過B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點為M，過M作MM1⊥l于M1.則|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2.8、A【解析】由題得，進而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A9、D【解析】根據(jù)題意，先假設(shè)甲去了北京正確，則可分析其他人的陳述是否符合題意，再假設(shè)乙去西安正確，分析其他人的陳述是否符合題意，即可得答案.【詳解】由題意得，甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半，假設(shè)甲去了北京正確，對于甲的陳述：則乙去西安錯誤，則乙去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南錯誤，乙去了北京也錯誤，故假設(shè)錯誤.假設(shè)乙去了西安正確，對于甲的陳述：則甲去了北京錯誤，則甲去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南正確，乙去了北京錯誤，此種假設(shè)滿足題意，故甲去了云南.故選：D10、B【解析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.11、A【解析】由得出函數(shù)是奇函數(shù)，再求得，，運用排除法可得選項.【詳解】法一：由函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以排除B；因為，所以排除D；因為，所以排除C，故選：A.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.12、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)求出，由向量數(shù)量積得到，使用余弦定理得到方程組，求出，利用面積公式求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，而因為是銳角三角形，所以，所以，所以，因為，所以，即，因為，所以，整理得：①，其中，即，因為，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，則的面積為.故答案為：14、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：15、2【解析】先按照平均數(shù)算出a，再按照方差的定義計算即可。【詳解】∵，所以，方差，故答案為：2.16、8【解析】利用計算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由離心率和橢圓經(jīng)過的點列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓，利用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程，求出答案.【小問1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為【小問2詳解】設(shè)存在點滿足條件記，由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝上式為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或此時，或所以，存在定點或者滿足條件18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，如圖所示，以為坐標原點建立空間直角坐標系，證明即可得證；（2）求出平面與平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小問1詳解】證明：因為平面，平面，平面，所以，且，因為，如圖所示，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，，所以；【小問2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面和平面的夾角為，，所以平面和平面的夾角的余弦值為19、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：選①，，由余弦定理可得，，所以，.選②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.20、（1）（2）【解析】（1）先求得橢圓的，代入公式即可求得橢圓的方程；（2）以設(shè)而不求的方法得到兩根和，再由條件，得到四邊形為平行四邊形，并以向量方式進行等價轉(zhuǎn)化，再與恒為定值進行聯(lián)系，即可求得的值.【小問1詳解】由條件可設(shè)橢圓：，因為拋物線：的焦點為，所以，解得因為橢圓離心率為，所以，則，故橢圓的方程為【小問2詳解】設(shè)直線：，，，把直線的方程代入橢圓的方程，可得，所以，因為，，所以四邊形為平行四邊形，得，即，得由在橢圓上可得，，即因為，又所以，所以將代入得，所以，即.【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。21、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結(jié)合已知條件，即可容易求得通項公式；（2）根據(jù)