河北省廊坊市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

河北省廊坊市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知a，b為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.3．某校去年有1100名同學(xué)參加高考，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)總成績進(jìn)行分析，在這個(gè)調(diào)查中，下列敘述錯(cuò)誤的是A.總體是：1100名同學(xué)的總成績 B.個(gè)體是：每一名同學(xué)C.樣本是：50名同學(xué)的總成績 D.樣本容量是：504．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程的斜率是（）A. B.C. D.5．已知，，則等于（）A.2 B.C. D.6．已知圓M與直線與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.7．設(shè)，，則與的等比中項(xiàng)為（）A. B.C. D.8．已知拋物線：，焦點(diǎn)為，若過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7，則長為A.3 B.4C.7 D.109．已知四面體，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.-1 D.-210．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.11．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB的長度最短時(shí)，則三角形ABC的面積為________14．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.15．已知向量，，，若，則____________.16．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上的點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線，，分別求實(shí)數(shù)的值，使得：（1）；（2）；（3）與相交.18．（12分）如圖長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.19．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)T為橢圓C上的點(diǎn)，若點(diǎn)T在第一象限，且與x軸垂直，過T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別與橢圓C交于點(diǎn)M，N，探究直線的斜率是否為定值？若為定值，請(qǐng)求之；若不為定值，請(qǐng)說明理由20．（12分）某市對(duì)排污水進(jìn)行綜合治理，征收污水處理費(fèi)，系統(tǒng)對(duì)各廠一個(gè)月內(nèi)排出的污水量x噸收取的污水處理費(fèi)y元，運(yùn)行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費(fèi)用.21．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求22．（10分）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是軸上的定點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，已知A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，已知三點(diǎn)共線，試探究直線是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】構(gòu)造新函數(shù)，以函數(shù)單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).由可得故選：A2、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，分析該函數(shù)的定義域與奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù)，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】令，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，由等價(jià)于或：當(dāng)時(shí)，由可得；當(dāng)時(shí)，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.3、B【解析】采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)總體，個(gè)體，樣本的概念，可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學(xué)的總成績，故A正確個(gè)體是每名同學(xué)的總成績，故B錯(cuò)樣本是50名同學(xué)的總成績，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點(diǎn)睛】本題考查總體，個(gè)體，樣本的概念，屬基礎(chǔ)題.4、D【解析】求解導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率.【詳解】求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以函數(shù)在處切線的斜率為.故選：D5、D【解析】利用兩角和的正切公式計(jì)算出正確答案.【詳解】.故選：D6、A【解析】由題可設(shè)，結(jié)合條件可得，即求.【詳解】∵圓心在上，∴可設(shè)圓心，又圓M與直線與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.7、C【解析】利用等比中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，與的等比中項(xiàng)為.故選：C.8、D【解析】利用拋物線的定義，把的長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的和得解【詳解】解：拋物線：，焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，，所以.故選：D10、C【解析】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.11、D【解析】設(shè)，則，分析可得為偶函數(shù)且，求出的導(dǎo)數(shù)，分析可得在上為減函數(shù)，進(jìn)而分析可得上，，在上，，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得上，，在上，，又由即，則有或，據(jù)此分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，若奇函數(shù)，則，則有，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由，則，則，，又由當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，又由，則在上，，在上，，又由為偶函數(shù)，則在上，，在上，，即，則有或，故或，即不等式的解集為；故選：D12、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出【詳解】故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由于直線過定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，弦AB的長度最短，然后先求出的長，再利用勾股定理可求出的長，從而可求出三角形ABC的面積【詳解】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑為，所以當(dāng)時(shí)，弦AB的長度最短，因?yàn)?，所以，所以三角形ABC的面積為，故答案為：14、【解析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閜：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.15、【解析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，，所以向量，因?yàn)椋?，即，解得故答案為?6、【解析】根據(jù)題意可得，利用推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因?yàn)?，所以，整理，得，又，所以，由，解?故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根據(jù)直線一般式平行的條件列式計(jì)算；（2）根據(jù)直線一般式垂直的條件列式計(jì)算；（3）根據(jù)相交和平行的關(guān)系可得答案.【小問1詳解】，，解得或又時(shí)，直線，，兩直線不重合；時(shí)，直線，，兩直線不重合；故或；【小問2詳解】，，解得或；【小問3詳解】與相交故由（1）得且.18、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接交與點(diǎn)，連接四邊形為正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設(shè)為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問中，關(guān)鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問中，關(guān)鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值.19、（1）；（2）直線的斜率為定值，且定值為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及所過的點(diǎn)求出橢圓參數(shù)a、b，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)得，法一：設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求M坐標(biāo)，根據(jù)與斜率關(guān)系求N的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率；法二：設(shè)為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于參數(shù)m、k的方程，即可判斷是否為定值.【小問1詳解】由題意，則，又，所以橢圓C方程為，代入有，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題設(shè)易知：，法一：設(shè)直線為，由，消去y，整理得，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以M的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，故M為，用代替k，得N為，所以，故直線的斜率為定值法二：由已知直線的斜率存在，可設(shè)直線為，，由，消去y，整理得，所以，而，又，代入整理得，所以，即，若，則直線過點(diǎn)T，不合題意，所以．即，故直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于直線斜率的方M、N程，或求出的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率.20、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關(guān)系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即.【小問2詳解】因?yàn)?，故，故該廠應(yīng)繳納污水處理費(fèi)1400元.21、（1）（2）9【解析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于等比數(shù)列首項(xiàng)、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，解方程即可解決.【小問1詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為則有，解之得則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由，可得22、（1）；