2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·全國(guó)甲卷·文（數(shù)學(xué)）附試卷分析

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·全國(guó)甲卷·文（數(shù)學(xué)）一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)z=2i,則z·z=A.-2 B.2 C.-2 D.22.若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},則A∩B=A.{1,3,4} B.{2,3,4}C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,9}3.若x,y滿足約束條件4x-3y-3≥0x-2yA.12 B.0 C.-52 4.甲、乙、丙、丁四人排成一列,則丙不在排頭,且甲或乙在排尾的概率是A.14 B.13 C.125.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=1,則a3+a7=A.-2 B.73 C.1 D.6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,4),(0,-4),點(diǎn)(-6,4)在該雙曲線上,則該雙曲線的離心率為A.4 B.3 C.2 D.27.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+2sinx1+x2,則曲線A.16 B.13 C.128.函數(shù)f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在區(qū)間[-2.8,2.8]的圖象大致為A. B.C. D.9.已知cosαcosα-sinαA.23+1 B.23-1C.32 D.1-10.已知直線ax+y+2-a=0與圓C:x2+y2+4y-1=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為A.2 B.3 C.4 D.611.設(shè)α,β為兩個(gè)平面,m,n為兩條直線,且α∩β=m,下述四個(gè)命題:①若m∥n,則n∥α或n∥β②若m⊥n,則n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,則m∥n④若n與α,β所成的角相等,則m⊥n其中所有真命題的編號(hào)是A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若B=π3,b2=94ac,則sinA+sinA.23913 B.3913 C.7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.函數(shù)f(x)=sinx-3cosx在[0,π]上的最大值是.

14.已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r1,下底面半徑均為r2,圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為2(r2-r1),3(r2-r1),則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為.

15.已知a>1且1log8a?1log16.曲線y=x3-3x與y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則a的取值范圍為.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.(12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和.18.(12分)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后,從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn),數(shù)據(jù)如下:優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150(1)填寫(xiě)如下列聯(lián)表:優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異?能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異?(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5.設(shè)p為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果p>p+1.65p(1-p)n附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)如圖,已知AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=10,AE=23,M為CD的中點(diǎn).(1)證明:EM∥平面BCF;(2)求點(diǎn)M到平面ADE的距離.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=a(x-1)-lnx+1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)a≤2時(shí),證明:當(dāng)x>1時(shí),f(x)<ex-1恒成立.21.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(1,(1)求C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),N為線段FP的中點(diǎn),直線NB交直線MF于點(diǎn)Q,證明:AQ⊥y軸.(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=ρcosθ+1.(1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l:x=ty=t+a(t為參數(shù)),若C與l相交于A23.[選修4-5:不等式選講](10分)已知實(shí)數(shù)a,b滿足a+b≥3.(1)證明:2a2+2b2>a+b;(2)證明:|a-2b2|+|b-2a2|≥6.參考答案1.D2.C3.D4.B5.D6.C7.A8.B9.B10.C11.A12.C13.214.6417.(1)第1步:將關(guān)系式中的n換為n+1因?yàn)?Sn=3an+1-3,所以2Sn+1=3an+2-3,第2步:兩式相減,利用Sn+1-Sn=an轉(zhuǎn)化,求等比數(shù)列{an}的公比兩式相減可得2an+1=3an+2-3an+1,即an+2=53an+1,所以等比數(shù)列{an}的公比為53第3步:利用S1=a1求出首項(xiàng)a1,進(jìn)而得{an}的通項(xiàng)公式因?yàn)?S1=3a2-3=5a1-3,所以a1=1,故an=(53)n-1.(2)因?yàn)?Sn=3an+1-3,所以Sn=32(an+1-1)=32[(53)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=32×53[1-(53)n]1?53?18.(1)第1步:填寫(xiě)列聯(lián)表填寫(xiě)如下列聯(lián)表:優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030第2步:作出完整的2×2列聯(lián)表則完整的2×2列聯(lián)表如下:優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品總計(jì)甲車間262450乙車間7030100總計(jì)9654150第3步:根據(jù)公式求K2K2=150×(26×30?70×24)2第4步:根據(jù)K2的值判斷因?yàn)镵2=4.6875>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異;因?yàn)镵2=4.6875<6.635,所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.(2)第1步:求出p由題意可知p=96第2步:求出p+1.65p(1-又p+1.65p(1-p)n=0.5+1.65×0.5×(1?0.5)150≈第3步:由p與p+1.65p(1-所以p>p+1.65p(1-p19.(1)第1步:證明EM∥FC由題意得,EF∥MC,且EF=MC,所以四邊形EFCM是平行四邊形,所以EM∥FC.第2步:利用線面平行的判定定理證明EM∥平面BCF又CF?平面BCF,EM?平面BCF,所以EM∥平面BCF.(2)第1步:取DM的中點(diǎn)O,連接OA,證明OA⊥平面EDM取DM的中點(diǎn)O,連接OA,OE,因?yàn)锳B∥MC,且AB=MC,所以四邊形AMCB是平行四邊形,所以AM=BC=10又AD=10,故△ADM是等腰三角形,同理△EDM可得OA⊥DM,OE⊥DM,OA=AD2-(DM2又AE=23,所以O(shè)A2+OE2=AE2,故OA⊥OE.又OA⊥DM,OE∩DM=O,OE,DM?平面EDM,所以O(shè)A⊥平面EDM.第2步:利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離易知S△EDM=12×2×在△ADE中,cos∠DEA=4+12?102×2×2所以sin∠DEA=134,S△ADE=12×2×2設(shè)點(diǎn)M到平面ADE的距離為d,由VM-ADE=VA-EDM,得13S△ADE·d=13S△EDM·OA,得d=故點(diǎn)M到平面ADE的距離為6131320.(1)第1步:求導(dǎo)函數(shù)因?yàn)閒(x)=a(x-1)-lnx+1,所以f'(x)=a-1x=ax-1第2步:分類討論,求f(x)的單調(diào)區(qū)間若a≤0,則f'(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間;若a>0,則當(dāng)0<x<1a時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>1a時(shí),f'(x)>0,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1a),單調(diào)遞增區(qū)間為(綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1a),單調(diào)遞增區(qū)間為(1a(2)解法一(放縮法)第1步:利用a的范圍放縮不等式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化因?yàn)閍≤2,所以當(dāng)x>1時(shí),ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+lnx-1≥ex-1-2x+lnx+1.令g(x)=ex-1-2x+lnx+1,則只需證當(dāng)x>1時(shí)g(x)>0.第2步:利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,證明不等式易知g'(x)=ex-1-2+1x令h(x)=g'(x),則h'(x)=ex-1-1x則當(dāng)x>1時(shí),h'(x)>h'(1)=0,所以h(x)=g'(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>g'(1)=0,故g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>1時(shí),g(x)>g(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),f(x)<ex-1恒成立.解法二(作差法直接求導(dǎo)證明)第1步:作差并構(gòu)造函數(shù)設(shè)g(x)=a(x-1)-lnx+1-ex-1,只需證當(dāng)x>1時(shí)g(x)<0即可.第2步:利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性,證明不等式易知g'(x)=a-1x-ex-1令h(x)=g'(x),則h'(x)=1x2-ex由基本初等函數(shù)的單調(diào)性可知h'(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則當(dāng)x>1時(shí),h'(x)<h'(1)=1-1=0,所以h(x)=g'(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,于是當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<g'(1)=a-2,又a≤2,所以a-2≤0,則當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0,故g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x>1時(shí),g(x)<g(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),f(x)<ex-1恒成立.21.(1)解法一(直接法)第1步:構(gòu)造關(guān)于a,b,c的方程組由題意知1a2第2步:求解方程組,并寫(xiě)出橢圓方程得a所以橢圓C的方程為x24解法二第1步:構(gòu)造關(guān)于a,b,c的方程組由題意知|MF|=第2步:求解方程組,并寫(xiě)出橢圓方程得a=2所以橢圓C的方程為x24解法三(巧用橢圓的定義)設(shè)F'為C的左焦點(diǎn),連接MF',則|MF|=32,|FF'在Rt△MFF'中,|MF'|=|MF由橢圓的定義知2a=|MF'|+|MF|=4,2c=|FF'|=2,所以a=2,c=1,又a2=b2+c2,所以b=3,所以橢圓C的方程為x24(2)第1步:聯(lián)立方程,消元得出關(guān)于y的一元二次方程,寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系分析知直線AB的斜率存在.易知當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí),AQ⊥y軸.當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí),設(shè)直線AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n),聯(lián)立方程得x=消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,Δ>0,則y1+y2=-24t3t2+4,y1y第2步:將三點(diǎn)共線代數(shù)化,建立關(guān)于n的代數(shù)式因?yàn)镹為線段FP的中點(diǎn),F(1,0),所以N(52由N,Q,B三點(diǎn)共線,得kBN=kNQ,即y2x2-52=n1?52,得-32y2=第3步:證明n=y1所以n-y1=-3y22x2-5-y1=-3y所以n=y1,所以AQ⊥y軸.22.(1)因?yàn)棣?=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以由ρ=ρcosθ+1,可得x2+y2化簡(jiǎn)整理得y2=2x+1,所以C的直角坐標(biāo)方程為y2=2x+1.(2)第1步:聯(lián)立方程,消元得出關(guān)于y的一元二次方程,并寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系由直線l的參數(shù)方程可得直線l的普通方程為y=x+a,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程得y=消去y得x2+2(a-1)x+a2-1=0,則Δ>0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-2(a-1),x1x2=a2-1.第2步:利用弦長(zhǎng)公式構(gòu)建關(guān)于a的方程,并求解由弦長(zhǎng)公式得|AB|=2×4(a-1解得a=34,經(jīng)檢驗(yàn),a=34符合題意,所以a=323.(1)解法一(作差法+基本不等式)第1步:證明(a+b)2≥4ab∵(a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,第2步:作差比較大小,得出結(jié)論∴(2a2+2b2)-(a+b)=2(a+b)2-4ab-(a+b)≥(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1),由a+b≥3得(a+b)(a+b-1)>0,∴2a2+2b2>a+b.解法二(不等式的傳遞性)第1步:證明2a2+2b2≥(a+b)2∵(2a2+2b2)-(a+b)2=(a-b)2≥0,∴2a2+2b2≥(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,第2步:證明(a+b)2>a+b∵a+b≥3,∴(a+b)2>a+b,第3步:利用不等式的傳遞性得出結(jié)論∴2a2+2b2>a+b.(2)第1步:利用絕對(duì)值三角不等式去絕對(duì)值|a-2b2|+|b-2a2|≥|a-2b2+b-2a2|=|a+b-(2a2+2b2)|=2a2+2b2-(a+b).第2步:利用a+b≥3得出結(jié)論由(1)中解法一知(2a2+2b2)-(a+b)≥(a+b)(a+b-1),∵a+b≥3,∴(a+b)(a+b-1)≥3×2=6,∴|a-2b2|+|b-2a2|≥6.2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·全國(guó)甲卷·文科（數(shù)學(xué)）試卷分析一、試卷總體評(píng)價(jià)2024年全國(guó)甲卷文科數(shù)學(xué)試卷在題型設(shè)置和難度控制上保持了相對(duì)的穩(wěn)定性，同時(shí)體現(xiàn)了高考改革的方向和要求。試卷覆蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，突出了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，旨在全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。二、題型與難度分析1.選擇題選擇題部分共12題，覆蓋了復(fù)數(shù)、集合、線性規(guī)劃、古典概型、等差數(shù)列、圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)圖像、三角恒等變換、直線與圓、立體幾何和解三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。前8題較為基礎(chǔ)，難度適中，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況；后4題難度逐漸增加，需要考生具備較強(qiáng)的綜合分析和推理能力。2.填空題填空題部分共4題，分別考查了三角函數(shù)、立體幾何、函數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)。