2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)模型及其應(yīng)用（五大題型）（講義）（原卷版）

第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1:幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型..................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟................................................................4

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型............................................................5

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型..........................................................................7

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型....................................................8

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題................................................................9

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題...............................................................11

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................13

05課本典例?高考素材...........................................................14

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................17

易錯(cuò)點(diǎn)：函數(shù)模型應(yīng)用錯(cuò)誤.....................................................................17

答題模板：數(shù)學(xué)建模............................................................................17

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)函數(shù)模型的考查相對(duì)穩(wěn)定，考

2023年1卷第10題，5分查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不

(1)利用函數(shù)模型解決問(wèn)題2020年II卷第3題，5分大.2025年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)

2020年1卷第6題，5分用進(jìn)行考察，對(duì)學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用

能力綜合考察.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.

(2)理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.

(3)會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

「(一次函數(shù)模型)~(/(*)=3+伙4。為常數(shù)且“2

Y反比例函數(shù)模型)一(/(')=《+。的b為常數(shù)flfl*O)J

幾種常見(jiàn)的函數(shù)基)-《二次函數(shù)模型)(/(2=a\，+G+c(a,6,c為常數(shù)”0))

一(指數(shù)函數(shù)模型)(/(k)=6a'+c(a,瓦c為常數(shù),bw0,a>0,"l)2)

《對(duì)數(shù)函數(shù)模型］(/(x)=〃og}+c(a,/>,4^^,bw0,a>0,a*Q

：(函數(shù)模型)~(為常數(shù),。=

函數(shù)模型及其應(yīng)用■(/(x)=av-+5(a,50))

審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;

建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利

解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

老占突硒?力理慳宙

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型/（x）=ox+b（a,匕為常數(shù)且aw0）

反比例函數(shù)模型k

于（x）=—+b（k,為常數(shù)且〃。0）

X

二次函數(shù)模型/（x）=ax2+bx+c（a,b,。為常數(shù)且〃W。）

指數(shù)函數(shù)模型f（x）=bax+c（a,b,。為常數(shù)，bwO,a>0,"D

對(duì)數(shù)函數(shù)模型

f（x）=b\ogax+c（a,b,c為常數(shù)，b^O,a>0,awl）

幕函數(shù)模型/（x）=ax〃+〃（a,b為常數(shù)，〃。。）

【診斷自測(cè)】近年來(lái)，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到600xl08m3激增到2021年的3726xl()8m3.從

2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記左表示從2000年開(kāi)始的第幾年，ov左，左eN.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消

費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合匕=%(1+，其中匕是從2000年后第左年天然氣消費(fèi)量，力是2000年的

天然氣消費(fèi)量，心是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為900xl()8m3,2018年的天然

氣消費(fèi)量為2880xl()8m3,根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為()

222

(參考數(shù)據(jù)：2.88§。2.02'3.23=2.17,43=2.52

A.5817.6x108m3B.6249.6xl08m3

C.6928.2xl08m3D.7257.6xlO8m3

知識(shí)點(diǎn)2：解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟

(1)審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)

學(xué)模型;

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

【診斷自測(cè)】長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效

益.每年洪水來(lái)臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門(mén)需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，

水庫(kù)際蓄水量

統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=生工蠹:管X100）來(lái)衡量每座水庫(kù)的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合

水庫(kù)總蓄水量

調(diào)度要求如下：

（i）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0,100]；

（ii）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低；

（iii）調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿指數(shù)排名不變.

記尤為調(diào)度前某水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于尤的函數(shù)解析式：

]兀

@y=--x2+6x；?y=10y/x；③y=10赤；=100sin----x.

則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

題型洞察

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

【典例1-1】我國(guó)的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最

高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度〃（單位：m）與時(shí)間r（單位：s）之間的關(guān)系為/?。）=-5/+以+20,

那么煙花沖出后在爆裂的最佳時(shí)刻距地面高度約為（）

A.26米B.28米C.31米D.33米

【典例1-2]（2024?云南?二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格:

一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價(jià)格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

【方法技巧】

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化

規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏.

【變式1-1］（2024?安徽淮南?一模）我國(guó)在2020年9月22日在聯(lián)合國(guó)大會(huì)提出，二氧化碳排放力爭(zhēng)于

2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.為了響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，某企業(yè)在國(guó)家科研部門(mén)

的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該技術(shù)處理總成本y（單

位：萬(wàn)元）與處理量單位：噸）（尤€口20,500］）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為

；尤3-80尤2+5040尤，尤e[120,144)

當(dāng)處理量尤等于多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少（)

200尤+80000,xe[144,500]

A.120B.200C.240D.400

【變式1-2］（2024?高三?黑龍江佳木斯?期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測(cè)是新冠肺炎確診的有

效快捷手段，在某醫(yī)院成為新冠肺炎核酸檢測(cè)定點(diǎn)醫(yī)院并開(kāi)展檢測(cè)工作的第〃天，設(shè)每個(gè)檢測(cè)對(duì)象從接受

檢測(cè)到檢測(cè)報(bào)告生成的平均耗時(shí)為（單位：小時(shí)），己知與”之間的函數(shù)關(guān)系為

t(n)=<（%,N°為常數(shù)），并且第16天的檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)16小時(shí)，第64天和第67天的檢

測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)均為8小時(shí)，那么可得第49天的檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)大約為（）

A.7小時(shí)B.8小時(shí)C.9小時(shí)D.10小時(shí)

【變式1-3】近年來(lái)，“共享單車(chē)”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便?某共享單車(chē)公司計(jì)劃在甲、乙

兩座城市共投資120萬(wàn)元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬(wàn)元?由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益

P（單位：萬(wàn)元）與投入〃（單位：萬(wàn)元）滿足P=3疝-6,乙城市收益。（單位：萬(wàn)元）與投入4單位：萬(wàn)

元）滿足。=JA+2,則投資這兩座城市收益的最大值為（）

4

A.26萬(wàn)元B.44萬(wàn)元C.48萬(wàn)元D.72萬(wàn)元

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型

【典例2-1]（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)

算公式是W=（長(zhǎng)+4）x（寬+4）,在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米,

每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【典例2-2]（2024?高三?北京朝陽(yáng)?期末）根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和

技術(shù)水平的影響，用。表示產(chǎn)量，L表示勞動(dòng)投入，K表示資本投入，A表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可

以表示為。=AK"〃，其中A>0,K>0,L>0,0<a<l,0<Q<l.當(dāng)A不變，K與L均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，下面結(jié)

論中正確的是（）

A.存在和力<!，使得。不變

B.存在a>：和/>：,使得。變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

C.若姐=：,則。最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

D.若。2+歹=9,則。最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

【方法技巧】

1、解決此類應(yīng)用題一定要注意函數(shù)定義域；

2、利用/（x）=ax+2b求解最值時(shí)，注意取等的條件.

x

【變式2-1】某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時(shí)，需要12天完成，只由一名

女社員分裝時(shí)，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男、女社

員人數(shù)都不足以單獨(dú)完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時(shí)會(huì)不

可避免地造成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會(huì)損耗蔬菜共80千

克，參與任務(wù)的所有女社員會(huì)損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與

女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）

A.10B.15C.30D.45

【變式2-2]（2024?云南楚雄?模擬預(yù)測(cè)）足球是一項(xiàng)深受人們喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng).如圖，現(xiàn)有一個(gè)11人制

的標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)，其底線寬AB=68m,球門(mén)寬EF=7.32m,且球門(mén)位于底線43的中間，在某次比賽過(guò)程中,

攻方球員帶球在邊界線AC上的M點(diǎn)處起腳射門(mén)，當(dāng)NEMF最大時(shí)，點(diǎn)M離底線的距離約為（）

B

C

A.26.32mB.28.15mC.33.80mD.37.66m

【變式2-3］（2024?黑龍江?二模）"不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”

指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫(huà)圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板,

按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角

a滿足cosa=g,則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（）

10（V10-V5）

c.12口.---------------cm

3

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型

【典例3-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國(guó)心理學(xué)家艾?賓浩斯

（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律.人體大腦對(duì)新事物遺忘的循序漸進(jìn)的

直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力.該曲線對(duì)人類記憶

認(rèn)知研究產(chǎn)生了重大影響.陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率y與初次記憶經(jīng)

過(guò)的時(shí)間X（小時(shí)）的大致關(guān)系：y=l-0.6x°a若陳同學(xué)需要在明天15時(shí)考語(yǔ)文考試時(shí)擁有復(fù)習(xí)背誦記憶

的50%,則他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在（）

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

【典例3-2]（2024?陜西渭南?二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研

究可知：在室溫25c下，某種綠茶用85c的水泡制，經(jīng)過(guò)加M后茶水的溫度為yC,且

y=h0.9227*+25（x2（UeR）.當(dāng)茶水溫度降至60c時(shí)飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（）

（參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69,ln3?1.10,ln7工1.95,ln0.9227工-0.08）

A.6minB.7minC.8minD.9min

【方法技巧】

1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快（底數(shù)大于1）的函數(shù)模型，與增

長(zhǎng)率、銀行利率等有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)模型.

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、基函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,

然后再借助函數(shù)圖像求解最值問(wèn)題.

【變式3-1】為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件加密，有一種加密密

鑰密碼系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文（加密），接收方由密

文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為y=如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“工7”，則解密后

256

得到的明文是（）

【變式3-2]（2024?廣東梅州?模擬預(yù)測(cè)）某科創(chuàng)公司新開(kāi)發(fā)了一種溶液產(chǎn)品，但這種產(chǎn)品含有2%的雜

質(zhì)，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過(guò)01％,現(xiàn)要進(jìn)行過(guò)濾，已知每過(guò)濾一次雜質(zhì)含量減少;，要使產(chǎn)品達(dá)到

市場(chǎng)要求，對(duì)該溶液過(guò)濾的最少次數(shù)為一.

（參考數(shù)據(jù)：lg2yo.301,坨3。0.477）

【變式3-3]（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）“阿托秒”是一種時(shí)間的國(guó)際單位，“阿托秒”等于10-8秒，原子

核內(nèi)部作用過(guò)程的持續(xù)時(shí)間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之棱，日取其半，萬(wàn)世不竭”,

如果把“一尺之植”的長(zhǎng)度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過(guò)一天才能使剩下“梗”的長(zhǎng)度小于光在2“阿托

秒”內(nèi)走過(guò)的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為3x108米/秒，lg2”0.3,lg320.48）

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

【典例4-1】（2024?北京昌平?二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)

驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫

下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)rmin后的溫度為y℃,可選擇函數(shù)y=60x0.9'+20（f20）來(lái)近似地刻畫(huà)茶

水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近

的是（）

（參考數(shù)據(jù)：32。0.30,lg3。0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

【典例4?2】（2024?廣東茂名?一模）曲線用于預(yù)測(cè)生長(zhǎng)曲線的回歸預(yù)測(cè)，常見(jiàn)的應(yīng)用有：代謝

預(yù)測(cè)，腫瘤生長(zhǎng)預(yù)測(cè)，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測(cè)，工業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)預(yù)測(cè)等，其公式為：于（x）=hT

（其中左>0,6>0,。為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測(cè)公司新產(chǎn)品未來(lái)的銷(xiāo)售量增長(zhǎng)情況，發(fā)

現(xiàn)。=6.若％=1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計(jì)明年（x=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么6的值為（e為

自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）

A.B.C.V5-1D.75+1

22

【方法技巧】

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，求出模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

【變式4-1]（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）若一段河流的蓄水量為丫立方米，每天水流量為上立方米，每

天往這段河流排水r立方米的污水，貝U/天后河水的污染指數(shù)機(jī)⑺=/+e，（恤為初始值,

K一

%>0）.現(xiàn)有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當(dāng)前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)

在開(kāi)始停止排污水，要使河水的污染指數(shù)下降到初始值的;，需要的天數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：1口7。1.95）

A.98B.105C.117D.130

【變式4-2]（2024?四川涼山?三模）工廠廢氣排放前要過(guò)濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物

含量丁（單位：mg/L）與過(guò)濾時(shí)間/小時(shí)的關(guān)系為>=為。"（％,。均為正的常數(shù)）.已知前5小時(shí)過(guò)濾掉

了10%污染物，那么當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%還需要經(jīng)過(guò)（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：值2。0.301,

lg3?0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

【變式4-3]（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)測(cè)定：2024年4月3日，中國(guó)臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)

生里氏7.3級(jí)地震.已知地震時(shí)釋放出的能量K（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為

lgE=4.8+1.5M,2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，則它所釋放出來(lái)的能量約是中

國(guó)臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級(jí)地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

【變式4-4]（2024?江蘇?一模）德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯?開(kāi)普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫等人的觀

測(cè)資料和星表，通過(guò)本人的觀測(cè)和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律一一

繞以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：

2兀-

T=-^=-a2,其中M為太陽(yáng)質(zhì)量，G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓

軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【變式4-5]（2024?山西長(zhǎng)治?一模）研究人員用Gompertz數(shù)學(xué)模型表示治療時(shí)長(zhǎng)x（月）與腫瘤細(xì)胞含

量/⑴的關(guān)系，其函數(shù)解析式為/（x）=kT『，其中k>0,b>0,a為參數(shù).經(jīng)過(guò)測(cè)算，發(fā)現(xiàn)a=e（e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù)）.記x=l表示第一個(gè)月，若第二個(gè)月的腫瘤細(xì)胞含量是第一個(gè)月的工，那么6的值為（）

e

A.V5+1B.75-1C.D.

22

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

【典例5-1】有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A+11

A.y=2-1B.y=VC.y=21og2xD.y=x-l

【典例5-2]（2024?高三?江西贛州?期末）“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面

上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小樂(lè)同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石

片第一次接觸水面時(shí)的速度為30m/s,然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片

每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的75%,若石片接觸水面時(shí)的速度低于6m/s,石片就不再?gòu)椞?，?/p>

入水底，則小樂(lè)同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：ln2?0.7,ln3?l.l.ln5^1.6）

A.5B.6C.7D.8

【方法技巧】

構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

（1）建模：抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；

（2）推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

【變式5-1]（2024?高三?北京?開(kāi)學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可使水

中雜質(zhì)減少50%,若要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少需要過(guò)濾（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2ao.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【變式5-2]（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，

其工作原理中有多次的PP棉濾芯過(guò)濾，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑為5微米的尸P棉濾芯（聚丙烯熔噴濾

芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層PP棉濾

芯可以過(guò)濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過(guò)濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過(guò)濾后水中大顆

粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2mg/L,則PP棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：1g270.30,1g370.48）（）

A.9B.8C.7D.6

【變式5-31（2024?湖南衡陽(yáng)?一模）衡東土菜辣美鮮香，享譽(yù)三湘.某衡東土菜館為實(shí)現(xiàn)100萬(wàn)元年經(jīng)

營(yíng)利潤(rùn)目標(biāo)，擬制定員工的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)超過(guò)6萬(wàn)元的前提下獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金丁（單位：萬(wàn)元）隨

經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不能超過(guò)利潤(rùn)的20%.下

列函數(shù)模型中，符合該點(diǎn)要求的是（）

（參考數(shù)據(jù)：fell?1.041）

A.y=0.04xB.y=1.015-

Y

C.y=tan（--1）D.y=log11（3x-10）

【變式5-4]（2024?福建福州?二模）經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到某種型號(hào)的汽車(chē)每小時(shí)耗油量。（單位：L）與速

度v（單位：km/h）（40<v<120）的數(shù)據(jù)如下表：

V406090100120

Q5.268.3251015.6

為描述。與V的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：。⑺=0.04v+3.6,e（v）=0.5'+a,

2（v）=0.000025v3-0.004v2+0.25v.選出最符合實(shí)際的函數(shù)模型，解決下列問(wèn)題：某高速公路共有三個(gè)車(chē)

道,分別是外側(cè)車(chē)道、中間車(chē)道、內(nèi)側(cè)車(chē)道，車(chē)速范圍分別是[60,90）,[90,110）,[110,120]（單位：

km/h）.為使百公里耗油量W（單位：L）最小，該型號(hào)汽車(chē)行駛的車(chē)道與速度為（）

A.在外側(cè)車(chē)道以80km/h行駛B.在中間車(chē)道以90km/h行駛

C.在中間車(chē)道以95km/h行駛D.在內(nèi)側(cè)車(chē)道以115km/h行駛

【變式5-5]（2024?浙江?二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過(guò)水橫斷面為底角為

120。的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過(guò)水率，要使

過(guò)水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約

為（）（參考數(shù)據(jù)：A/3?1.732）

C.1.17米D.1.73米

1.（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的

強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)4=20xlg二，其中常數(shù)?！悖椋?）是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，”是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源

Po

的聲壓級(jí):

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車(chē)1060?90

混合動(dòng)力汽車(chē)105060

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為0,P2,2,則（）.

A.Pi>p2B.p2>10jP3

c.P3=lOOPoD.A<100^>2

2.（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)H））2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷

史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技

術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月

拉格朗日七點(diǎn)的軌道運(yùn)行.4點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為Mz

地月距離為R,4點(diǎn)到月球的距離為廣，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，，滿足方程：

M.必/DM

------1+V=(R+r)T.

(7?+r)2r2R3

設(shè)&=:，由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中?3a3,則廠的近似值為

R

3.（2020年新高考全國(guó)卷I數(shù)學(xué)試題（山東卷））基本再生數(shù)及與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本

參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎

疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/?）=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間f（單位:天）的變化規(guī)律，指數(shù)增

長(zhǎng)率廠與T近似滿足凡=1+"有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出凡=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階

段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（ln2M）.69）（）

A.1.2天B.1,8天

C.2.5天D.3.5天

1.若某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收入R

1

400x——x29,0<x<500

（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量X（單位：臺(tái)）滿足函數(shù)：尺（%）=<2

75000,%>500

（1）將利潤(rùn)/（X）（單位：元）表示為月產(chǎn)量尤的函數(shù)；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（總收入=總成本+利潤(rùn)）

2.某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/（kW-h）,年用電量為akW?h,本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到0.55元

/（kW-h）至0.75元/（kw-h）之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元/（kw-h）.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量

和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比，且比例系數(shù)為％（注：若根與“成反比，且比例系數(shù)為3則

其關(guān)系表示為〃陽(yáng)=左）.該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元/（kW-h）.

（1）下調(diào)后的實(shí)際電價(jià)為x（單位：元/（kW-h））,寫(xiě)出新增用電量/關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）寫(xiě)出本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門(mén)的收益》（單位：元）關(guān)于實(shí)際電價(jià)x（單位：元/（kW-h））的函數(shù)

解析式；（注：收益=實(shí)際電量x