江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期5月份質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無(wú)效.3.本卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，若，則（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間共線向量的坐標(biāo)表示建立方程組，解之即可求解.【詳解】由，知，使得，即，所以，解得，所以.故選：B2.記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】，所以.故選：D.3.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與銷售額（單位：萬(wàn)元）之間有如下關(guān)系：2456830405060已知與的線性回歸方程為，則等于（）A.68 B.69 C.70 D.71【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)求解即可．【詳解】由題意可知，，因?yàn)榫€性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，所以，解得．故選：C．4.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】易得函數(shù)在上是增函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則A選項(xiàng)符合題意.故選：A.5.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.16 B.-16 C.8 D.-8【答案】B【解析】【分析】利用多項(xiàng)式乘法法則，需求的展開式中和的系數(shù)．【詳解】由題意所求系數(shù)為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式可得各項(xiàng)系數(shù)．本題需要用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算．6.甲?乙兩人投籃命中率分別為和，并且他們投籃互不影響.現(xiàn)每人分別投籃2次，則甲與乙進(jìn)球數(shù)相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及互斥事件概率和公式，即可求解.【詳解】甲與乙兩個(gè)進(jìn)球數(shù)都為0的概率為：，甲與乙兩個(gè)進(jìn)球數(shù)都為1的概率為：，甲與乙兩個(gè)進(jìn)球數(shù)都為2的概率為：，所以甲與乙進(jìn)球數(shù)相同的概率，故選：C7.今年春節(jié)，《熱辣滾湯》?《飛馳人生2》?《熊出沒(méi)之逆轉(zhuǎn)時(shí)空》?《第二十條》引爆了電影市場(chǎng)，小帥和他的同學(xué)一行四人決定去看電影.若小帥要看《飛馳人生2》，其他同學(xué)任選一部，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)觀看《飛馳人生2》的人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用排列組合知識(shí)，結(jié)合古典概型的概率公式求解.【詳解】分兩種情況討論：(1)小帥和其中一個(gè)同學(xué)同時(shí)看《飛馳人生2》，另外兩個(gè)看剩余三部電影中的兩部，此時(shí)所求概率為：；(2)觀看《飛馳人生2》只有小帥一人，只需要將剩余三人分成兩組，再將這兩組人分配給兩部電影，此時(shí)所求概率為：；綜上，恰有兩人看同一部影片的概率；故選：B8.已知函數(shù)，若對(duì)任意正數(shù)，，都有恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)恒成立，得到在單調(diào)遞增求解.【詳解】解：不妨令，則，即在單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t在上恒成立，即，在上恒成立，則，又，∴．故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有3名學(xué)生和2名教師排成一排，則下列說(shuō)法正確的是（）A.共有120種不同的排法B.當(dāng)2名教師相鄰時(shí)，共有24種不同的排法C.當(dāng)2名教師不相鄰時(shí)，共有72種不同的排法D.當(dāng)2名教師不排在兩端時(shí)，共有48種不同的排法【答案】AC【解析】【分析】利用全排列即可判斷A；利用捆綁法即可判斷B；利用插空法即可判斷C；先排兩端，其余再排，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，共有種不同的排法，故A正確；對(duì)于B，共有種不同的排法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，共有種不同的排法，故C正確；對(duì)于D，共有種不同的排法，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知，則（）A.展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為B.展開式各項(xiàng)的系數(shù)的和為C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，的展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，A正確；對(duì)于B，令，得，即的展開式各項(xiàng)的系數(shù)的和為1，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，得，則，，即有，C正確；對(duì)于D，對(duì)兩邊求導(dǎo)，得，令，得，D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個(gè)圓柱和直三棱柱組合而成，，，是上的動(dòng)點(diǎn)．則（）A.平面平面B.為的中點(diǎn)時(shí)，C.存在點(diǎn)，使得直線與的距離為D.存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為【答案】AB【解析】【分析】選項(xiàng)，由，，可得平面，再由面面垂直的判定定理可作出判斷；選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)，連接，，可證，，從而作出判斷；選項(xiàng)C，先證平面，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到面的距離，即可作出判斷；選項(xiàng)D，利用向量法求線面角，即可得解．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意知，，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)楹投际堑妊苯侨切?，所以，所以，所以，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，所以直線與的距離等價(jià)于直線到平面的距離，也等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)，其中，，由射影定理知，，即，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，若直線與的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，而點(diǎn)到平面的距離，所以不存在點(diǎn)，使得直線與的距離為，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，若直線與平面所成的角為，則，由，知，代入上式整理得，此方程無(wú)解，所以不存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，所以.故答案為：.13.已知事件相互獨(dú)立.若，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式和相互獨(dú)立事件的概率公式即可得解.【詳解】因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，所以事件相互獨(dú)立，所以，所以.故答案為：.14.若函數(shù)有絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】令，得，由題意可得方程有絕對(duì)值不大于1的解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可得解.【詳解】令，得，因?yàn)楹瘮?shù)有絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，所以方程有絕對(duì)值不大于1的解，令，則，令，得，令，得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求在上的最值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，再求出最值.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，16.如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量，再由點(diǎn)到平面距離的向量求法求解.（2）求出平面的法向量，結(jié)合（1），利用面面角的向量求法求解即得.【小問(wèn)1詳解】在直四棱柱中，，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，而，且是的中點(diǎn)，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值17.“五一”假期期間是旅游的旺季，某旅游景區(qū)為了解不同年齡游客對(duì)景區(qū)的總體滿意度，隨機(jī)抽取了“五一”當(dāng)天進(jìn)入景區(qū)的青?老年游客各120名進(jìn)行調(diào)查，得到下表：滿意不滿意青年8040老年10020（1）依據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是否滿意”與“游客年齡”有關(guān)聯(lián)；（2）若用頻率估計(jì)概率，從“五一”當(dāng)天進(jìn)入景區(qū)的所有游客中任取3人，記其中對(duì)景區(qū)不滿意的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）能認(rèn)為有關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）求出，再對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論；（2）先求出任抽取人不滿意的概率，由題意可得服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布求分布列和期望即可.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)“是否滿意”與“游客年齡”沒(méi)有關(guān)聯(lián)，，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷零假設(shè)不成立，即能認(rèn)為“是否滿意”與“游客年齡”有關(guān)聯(lián)；【小問(wèn)2詳解】由題意，任抽取人不滿意的概率為，則，所以，，，，所以的分布列為：所以.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類討論導(dǎo)函數(shù)值大于0、小于0的解集.（2）由（1）的信息，求出的最小值，再證明，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由極值點(diǎn)的意義求得，再計(jì)算并整理，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性即得.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，無(wú)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得最小值，要證，只需證明，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，，即成立.【小問(wèn)3詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，對(duì)稱軸為，，則，且，，即；，令，由，得，即，解得，令，求導(dǎo)得，因此函數(shù)上單調(diào)遞減，，即，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題往往涉及到分類討論，分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點(diǎn)、零點(diǎn)存在時(shí)零點(diǎn)是否在給定的范圍內(nèi)及零點(diǎn)在給定范圍內(nèi)時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系來(lái)分層討論.19.現(xiàn)有外表相同，編號(hào)依次為的袋子，里面均裝有個(gè)除顏色外其他無(wú)區(qū)別的小球，第個(gè)袋中有個(gè)紅球，個(gè)白球.隨機(jī)選擇其中一個(gè)袋子，并從中依次不放回取出三個(gè)球.（1）當(dāng)時(shí)，①假設(shè)已知選中的恰為2號(hào)袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的條件下，恰好選的是3號(hào)袋子的概率；（2）記第三次取到白球的概率為，證明：.【答案】（1）①；②（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）①時(shí)，第三次取出為白球的情況有：紅紅白，紅白白，白紅白，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出為白球的概率；②先求出第三次取出的是白球的種數(shù)，再求出在第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，選到第個(gè)袋子的概率為，由此能求出第三次取出的是白球的概率，再結(jié)合條件概率即可得解；（2）先求出第三次取出的是白球的種數(shù)，再求出在第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，選到第個(gè)袋子的概率為，由此能求出第三次取出的是白球的概率，進(jìn)而得證．【小問(wèn)1詳解】①時(shí)，第二個(gè)袋中有2白2紅，共4個(gè)球，從中連續(xù)取出三個(gè)球（每個(gè)取后不放回），第三次取出為白球的情況有：紅紅白，紅白白，白紅白，∴第三次取出為白球的概率為；②設(shè)選出的是第個(gè)袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，第三次取出的是白球的三次取球顏色有如下四種情形：（白，白，白），若則，取法數(shù)為，若或或，取法數(shù)為，也滿足關(guān)系，故?。ò祝?，白）的取法可表示為，同理（白，紅，白），取法數(shù)為，（紅，白，白），取法數(shù)為，（紅，紅，白），取法數(shù)為，從而第三次取出的是白球的種數(shù)為：，則在第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，則在第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，而選到第個(gè)袋子的概率為，故所求概率為：，所以在第三次取出的是白球的條件下，恰好選