數(shù)學不等式的證明單元測試

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精單元測試一、選擇題（每小題5分，共60分）1。若x＜y＜0，A=|x|，B=|y｜，C=|x+y|,D=，則()A。B＜D＜C＜AB。A＜D＜C＜BC。A＜C＜D＜BD.D＜B＜C＜A解析：∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|,即A＞B.A—C=|x||x+y|=-x+＞0?！郃＞C.又∵|x+y｜=(—x—y)＞·,∴C＞D.B2-D2=｜y|2—()2=y2-xy=y(y-x)＜0,∴B＜D。故B＜D＜C＜A。答案：A2.設(shè)a、b∈R，且a+b=4,則2a+2bA.4B.2C。8D.4解析：2a+2b≥=8。答案：C3。a＞b＞1,P=，Q=(lga+lgb），R=lg(），則（)A。R＜P＜QB。P＜Q＜RC.Q＜P＜RD。P＜R＜Q解析：∵a＞b＞1,∴l(xiāng)ga＞0，lgb＞0.∴l(xiāng)ga+lgb≥,即(lga+lgb）＞?！郠＞P。又∵Q=（lga+lgb)=lg(ab）=，且≥,∴l(xiāng)g＞lg，即R＞Q.綜上,R＞Q＞P.答案：B4。已知a＞b＞0,則下列各式中成立的是（)A.B.C.D。解析：，∵a＞b＞0,∴.∴，即＜.答案：D5.已知a、b∈R,且a≠b，a+b=2，則（）A.1＜ab＜B。ab＜1＜C。ab＜＜1D.＜ab＜1解析：∵a2+b2≥2ab,∴≥ab,當且僅當a=b時“=”成立.∵a+b=2，∴a=b=1,此時ab=1.又∵a≠b，∴＞1.≤a+b，即ab≤(a+b）2=1,當且僅當a=b時“＝”成立.又∵a≠b，∴ab＜1?！郺b＜1＜.答案：B6。若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1,則下列不等式成立的是（）A。a2+b2+c2≥2B.（a+b+c）2≥3C?！?D。a+b+c≤解析：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,得a2+b2+c2≥ab+bc+ac=1.（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=2+a2+b2+c2≥3.故B正確。答案：B7。若a＞0,a≠1，P=loga（a3+1)，Q=loga（a2+1),則P、Q的大小關(guān)系是()A。P＜QB。P＞QC。a＞1時，P＞Q;0＜a＜1時，P＜QD.不確定解析：若a＞1，則a3+1＞a2+1且函數(shù)y=logax在(0,+∞）上單調(diào)遞增.∴l(xiāng)oga(a3+1)＞loga(a2+1)。若0＜a＜1,則a3+1＜a2+1,且函數(shù)y=logax在（0,+∞）上單調(diào)遞減。∴l(xiāng)oga(a3+1）＞loga（a2+1）.綜合可知，loga（a3+1)＞loga（a2+1）.答案:B8.設(shè)a＞2,x∈R，M=a+，N=,則M、N的大小關(guān)系是()A。M＜NB。M＞NC。M≤ND.M≥N解析:∵a＞2，∴a-2＞0.∴M=a+=a—2++2≥+2=2+?！吆瘮?shù)y=（）x在（-∞,+∞)上單調(diào)遞減，x2-2≥—2，∴N==4且2+＞4。∴M＞N.答案：B9.已知△ABC中，∠C=90°,則的取值范圍是（）A。（0,2)B。(0,］C。(1，］D.［1，］解析:∵∠C=90°，∴c2=a2+b2，即c=.又有a+b＞0，∴1＜。答案：C10。若a、b∈R且a2+b2=10,則a—b的取值范圍是（)A。［—2,2］B。[—2,2］C.［—，］D。［0，]解析：(a-b)2=a2+b2-2ab=10—2ab,又∵a2+b2≥2ab，a2+b2≥—2ab,∴—10≤2ab≤10。∴0≤(a—b）2≤20,即≤a-b≤.答案：A11.已知a、b是兩正數(shù)，且關(guān)于x的方程x2+ax+2b=0和x2+2bx+a=0都有實根,則a+b的最小可能值是(）A。5B.6C解析：由題意知a2-8b≥0,4b2-4a≥0,即b2≥a,a2≥8b.∴b4≥8b.∴b≥2,a≥4.∴a+b≥6.答案:B12。設(shè)x＞y＞1，0＜a＜1,則下列不等式成立的是（）A。x—a＞y-aB.ax＞ayC。a-x＞a-yD。logax＞logay解析:∵x＞y＞1,0＜a＜1，∴—x＜—y＜—1.∴—1＜—a＜0。根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知x-a＜y-a,ax＜ay，logax＜logay,a—x＞a—y。答案：C二、填空題(每小題4分,共16分)13.設(shè)實數(shù)x，y滿足x2+(y—1)2=1,當x+y+d≥0恒成立時，d的取值范圍是_________.解析：要使x+y+d≥0恒成立,則d≥-x-y恒成立，即d≥max(-x—y).設(shè)-x—y=t。又∵x2+(y—1）2=1,根據(jù)數(shù)形結(jié)合法將x2+（y—1）2=1看作圓的方程可求得t∈［］.∴d≥。答案:［，+∞）14.當_________時，成立。解析：要成立，就是使-b＜a—b成立,即使成立，即使ab2＜a2b成立.由ab2—a2b＜0,得ab(b-a）＜0。∴當ab＞0且b＜a或ab＜0且b＞a時原不等式成立。答案：ab＞0且a＞b或ab＜0且b＞a15。設(shè)a、b為正數(shù)，α為銳角,M=(a+)（b+)，N=（+）2，則M與N的大小關(guān)系是_________。解析：M=ab+，N=，∵,且sin2α≤1，∴,≥2?！郙≥N.答案：M≥N16.已知ab+cd＞ad+bc，則實數(shù)a，b,c,d滿足的條件是_________。（答一組即可)答案：等三、解答題（17—21題每題12分,22題14分,共74分）17.已知α∈（0,π)，求證:2sin2α≤.證明：(作商比較法)∵0＜α＜π,∴sinα＞0,1—cosα＞0.∴＞0.·（1-cosα）=4cosα（1—cosα)=1-(2cosα—1）2≤1，∴2sin2α≤.點撥：該題目有多種證明方法，還可以用做差比較法，分析法和綜合法來證明，自己寫一下證明步驟吧。18.若2a2+6b2=3,求證:｜a+b｜≤.證明:∵2a2+6b2=3,∴+2b2=1。可設(shè)=sinα，=cosα,α∈［0,2π).∴a=sinα,b=cosα.∴｜a+b|=|sinα+cosα|==?！啵黙+b|≤。19.如果a,b，c，x，y,z∈R,且滿足關(guān)系式：ac-b2＞0，az+2by+cx=0,xyz≠0,求證:xz—y2＜0.證明:假設(shè)xz-y2≥0，則xz≥y2＞0.∵ac—b2＞0，∴ac＞b2＞0.又xyz≠0，∴acxz＞b2y2。∵az+2by+cx=0,∴az+cx=—2by。兩邊同時平方,得(az+cx）2=4b2y2＜4acxz,∴（az+cx）2—4acxz＜0,即(az—cx)2＜0,這與(az—cx)2≥0矛盾?！鄕z—y2≥0不成立,即xz—y2＜0成立。20。已知a＞0，b＞0，c＞0,且a+b＞c,求證：。證明：∵a+b＞c,∴a+b—c＞0。由真分數(shù)的性質(zhì),有，故。21。若0＜a＜，k≥2（k∈N）且a2＜a—b，求證:b＜。證明：由已知b＜a—a2=-（a）2+,設(shè)f（a)=-(a）2+，則f(a）在［0,）內(nèi)為增函數(shù).又0＜a＜≤，∴f(a)＜f(）,即b