第4章 圖形的相似 北師大版數(shù)學九年級上冊單元提升必刷卷(含答案)

【單元測試】第四章圖形的相似（提升能力卷）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．如果線段，，且b是線段a和c的比例中項，那么（

）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，則BD的長為（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列圖形中，不是相似圖形的一組是（

）A．B．C． D．4．如圖，是斜邊上的高，則圖中相似三角形的對數(shù)有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對5．如圖，點O是四邊形ABCD內(nèi)一點，、、、分別是OA、OB、OC、OD上的點，且，若四邊形的面積為12cm2，則四邊形ABCD的面積為（

）A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm26．興趣小組的同學要測量樹的高度．在陽光下，一名同學測得一根長為米的竹竿的影長為米，同時另一名同學測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學樓的第一級臺階上，測得此影子長為米，一級臺階高為米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為米，則樹高為（）A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米7．如圖，AC⊥BC，，D是AC上一點，連接BD，與∠ACB的平分線交于點E，連接AE，若，，則BC＝（

）A． B．8 C． D．108．如圖，點E是邊長為8的正方形ABCD的邊CD上一動點，連接AE，將線段AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到線段EF，連接AF，BF，AF交邊BC于點G，連接EG，當AF+BF取最小值時，線段EG的長為（

）A．8 B．7 C．9 D．9．如圖，以C(0，1)為位似中心，在y軸右側(cè)作ABC位似圖形，使所作圖形與原圖形位似比為1：2，設(shè)點A的坐標為(-3，4)，則點的坐標為（

）A． B． C． D．10．如圖，正方形和正方形的頂點在同一條直線上，頂點在同一條直線上．O是的中點，的平分線過點D，交于點H，連接交于點M，連接交于點N．則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8個小題，每題3分，共24分）11．如圖，在線段上找到一個點，且，滿足，設(shè)，則線段_________.12．如圖是步槍在瞄準時的示意圖，步槍上的準星寬度為，目標的正面寬度為，若從眼睛到準星的距離為，則眼睛到目標的距離為______m13．在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應的線段的比值為k，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ，這種經(jīng)過相似和旋轉(zhuǎn)變化的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換（k，θ），O為旋轉(zhuǎn)相似中心，k為相似比，△ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變化A（，90°），則BD長___cm．14．如圖，∠1＝∠2，請你補充一個條件：_________，使△ABC∽△ADE．15．在和中，，則這兩個三角形________相似三角形(填“是”或“不是”)，根據(jù)是__________________________．16．如圖，小穎同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝________m．17．如圖，已知點是的重心，過作的平行線，分別交于點、交于點；作，交于點，若的面積為18，則的面積為_______．18．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為，則點A的對應點A1的坐標為_______．三、解答題（本題共8個小題，共66分；第19-22每小題6分，第23-24每小題8分，第25小題12分，第26小題14分）19．如圖，用長為40cm的細鐵絲圍成一個矩形．（1）若這個矩形的面積等于，求的長度；（2）這個矩形的面積可能等于嗎？若能，求出的長度，若不能，說明理由；（3）若這個矩形為黃金矩形（與之比等于黃金比），求該矩形的面積．（結(jié)果保留根號）20．△ABC中，點D是BC邊上的一點，點F在AD上，連接BF并延長交AC于點E；（1）如圖1，若D為BC的中點，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請利用圓規(guī)和無刻度的直尺在AC上找一點E，使得；（3）若F為AD的中點，設(shè)，請求出m、n之間的等量關(guān)系．21．如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．22．如圖，正方形ABCD的邊長為8，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）請判斷△PFA與△ABE是否相似，并說明理由；（2）當點P在射線AD上運動時，設(shè)PA＝x，是否存在實數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．23．某天晚上，小明看到人民廣場的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學課上學習身高與影長的相關(guān)知識，于是自己也想實際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測量相關(guān)數(shù)據(jù)．(1)若小明站在人行橫道的中央（點F是BD的中點）時，小明測得自己在兩路燈下的影長FP＝米，F(xiàn)Q＝米；(2)小明在移動過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點時，兩路燈產(chǎn)生的影長相等（FP＝FQ），請問時小明站在什么位置，為什么？24．數(shù)學課上，王老師出示問題：如圖1，將邊長為5的正方形紙片折疊，使頂點落在邊上的點處（點與、不重合），折痕為，折疊后邊落在的位置，與交于點．(1)觀察操作結(jié)果，在圖1中找到一個與相似的三角形，并證明你的結(jié)論；(2)當點在邊的什么位置時，與面積的比是？請寫出求解過程；(3)將正方形換成正三角形，如圖2，將邊長為5的正三角形紙片折疊，使頂點落在邊上的點處（點與、不重合），折痕為，當點在邊的什么位置時，與面積的比是？請寫出求解過程．25．已知：△ABC在直角坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是；(2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；(3)四邊形AA2C2C的面積是平方單位．26．【背景】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，過點A的直線MN∥BC，點D是直線MN上的一動點，將射線DB繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)，交線段AC于點P，使∠BDP＝∠BAC，試說明：DB＝DP．小麗提出了自己的想法：如圖2在線段AB上取一點F，使DA＝DF，通過證明△BDF≌△PDA可以解決問題．【嘗試】①請你幫助小麗完成說理過程．②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的長．【拓展】如圖3，過點A的直線MN∥BC，AB＝3cm，AC＝4cm，點D是直線MN上一點，點P是線段AC上的一點，連接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．

【單元測試】第四章圖形的相似（提升能力卷）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．如果線段，，且b是線段a和c的比例中項，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段比例中項的概念可得，再根據(jù)，，可得，即可求出答案．【詳解】解：∵線段b是a、c的比例中項，∴，∴．∵，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了比例線段，關(guān)鍵是根據(jù)比例中項的概念列出算式．注意線段不能是負數(shù)．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，則BD的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【詳解】解：，，即，解得：，故選：C．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．下列圖形中，不是相似圖形的一組是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對各選項進行一一分析，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.兩個圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；B.兩個圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；C.兩個圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；D.形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了相似圖形的定義，掌握相似圖形的定義并能結(jié)合具體圖形進行準確判斷是解題的關(guān)鍵．4．如圖，是斜邊上的高，則圖中相似三角形的對數(shù)有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對【答案】D【分析】直角三角形斜邊上的高線分原三角形所得到的兩個三角形與原三角形相似，由此即可解答.【詳解】由題意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．故選D．【點睛】本題解決的關(guān)鍵是熟知直角三角形斜邊上的高線分原三角形所得到的了兩個三角形與原三角形相似這一定理．5．如圖，點O是四邊形ABCD內(nèi)一點，、、、分別是OA、OB、OC、OD上的點，且，若四邊形的面積為12cm2，則四邊形ABCD的面積為（

）A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2【答案】B【分析】利用位似圖形的定義得出四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的位似比為：2：3，進而得出面積比，即可得出四邊形ABCD的面積．【詳解】解：∵OA′：A′A＝OB′：B′B＝OC′：C′C＝OD′：D′D＝2：1，∴OA′：OA＝OB′：OB＝OC′：COC＝OD′：DO＝2：3，∴四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的位似比為：2：3，∴四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的面積比為：4：9，∵四邊形A′B′C′D′的面積為12cm2，∴四邊形ABCD的面積為：27cm2．故選：B．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，得出兩四邊形的相似比是解題關(guān)鍵．6．興趣小組的同學要測量樹的高度．在陽光下，一名同學測得一根長為米的竹竿的影長為米，同時另一名同學測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學樓的第一級臺階上，測得此影子長為米，一級臺階高為米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為米，則樹高為（）A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米【答案】C【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．本題中：經(jīng)過樹在臺階上的影子的頂端作樹的垂線和經(jīng)過樹頂?shù)奶柟饩€以及樹所成三角形，與竹竿，影子光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到樹的頂端的高度，再加上臺階的高就是樹高．【詳解】如圖，根據(jù)題意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，則ED=4.6米，∵同一時刻物高與影長成正比例，∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，∴AE=11.5米，∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，∴樹的高度是11.8米，故選C.【點睛】本題考查了相似三角形的應用，把實際問題抽象到相似三角形中，根據(jù)相似三角形的相似比，列出方程進行求解是關(guān)鍵.7．如圖，AC⊥BC，，D是AC上一點，連接BD，與∠ACB的平分線交于點E，連接AE，若，，則BC＝（

）A． B．8 C． D．10【答案】B【分析】過作垂足分別為由角平分線的性質(zhì)可得：利用，可以求得進而求得，利用面積公式列方程求解即可．【詳解】解：如圖，過作垂足分別為平分，設(shè)，，（負根舍去）故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的平分線的性質(zhì)，等高的兩個三角形的面積與底邊之間的關(guān)系，一元二次方程的解法，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．8．如圖，點E是邊長為8的正方形ABCD的邊CD上一動點，連接AE，將線段AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到線段EF，連接AF，BF，AF交邊BC于點G，連接EG，當AF+BF取最小值時，線段EG的長為（

）A．8 B．7 C．9 D．【答案】D【分析】過點F作FP⊥CD交DC的延長線于點P，作直線CF，首先證明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再證明點F在∠BCP的平分線上，作點B關(guān)于直線CF的對稱點M，連接AM交直線CF于點F，此時，AF＋BF最小，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，則PM＝CM?PC＝8?x，由△MPF∽△MCG，得到對應邊成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點F作FP⊥CD交DC的延長線于點P，作直線CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED＋∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，在△PEF與△DAE中，∴△PEF≌△DAE（AAS），∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE?CE＝CD?CE，∴PC＝DE，∵FP⊥CD，∴∠PCF＝45°，∴點F在∠BCP的平分線上，如圖2，作點B關(guān)于直線CF的對稱點M，連接AC、BM，連接AM交直線CF于點F，此時，AF＋BF最小，∵點B關(guān)于直線CF的對稱點M，∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，∵ABCD，∴四邊形ABMC為平行四邊形，∴BG＝CG＝BC＝4，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM?PC＝8?x，∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PFBC，∴△MPF∽△MCG，∴，即，解得：x＝，∴CE＝CD?DE＝8?，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強，要求學生有較強的識圖能力．9．如圖，以C(0，1)為位似中心，在y軸右側(cè)作ABC位似圖形，使所作圖形與原圖形位似比為1：2，設(shè)點A的坐標為(-3，4)，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作軸于點，過點作于點，根據(jù)位似比等于相似比，可得，設(shè)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，過點作于點，ABC位似圖形，位似比為1：2，，，，，，設(shè)，C(0，1)，(-3，4)，則，，解得，．故選B．【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握位似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，正方形和正方形的頂點在同一條直線上，頂點在同一條直線上．O是的中點，的平分線過點D，交于點H，連接交于點M，連接交于點N．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)，利用“SAS”易證，得出，從而可求出，即證明．利用“ASA”結(jié)合角平分線的定義可證明，得出．結(jié)合中位線的性質(zhì)，可證明，從而證明，．得出，．設(shè)，正方形的邊長是，則，再代入，解得：，（舍去），從而求出．【詳解】解：∵四邊形和四邊形是正方形，．(SAS)，．，．，．平分．，(ASA)．．又是的中點，．，．，．設(shè)，正方形的邊長是，則∴，，即，解得，（舍去），則．故選C．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，較難，熟練掌握上述知識是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8個小題，每題3分，共24分）11．如圖，在線段上找到一個點，且，滿足，設(shè)，則線段_________.【答案】【分析】設(shè)AC的長為xm，則BC=（1﹣x）m，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)AC的長為xm，則BC=（1﹣x）m，∵，∴，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴，故答案為：．【點睛】本題考查成比例線段和解一元二次方程，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意列方程是解題的關(guān)鍵．12．如圖是步槍在瞄準時的示意圖，步槍上的準星寬度為，目標的正面寬度為，若從眼睛到準星的距離為，則眼睛到目標的距離為______m【答案】125【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得出，代入數(shù)據(jù)，求出OF的值即可．注意統(tǒng)一單位．【詳解】，．，，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例的應用．在解答此題時要注意單位的換算，這是此題的易錯點．13．在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應的線段的比值為k，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ，這種經(jīng)過相似和旋轉(zhuǎn)變化的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換（k，θ），O為旋轉(zhuǎn)相似中心，k為相似比，△ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變化A（，90°），則BD長___cm．【答案】2【分析】已知△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．【詳解】解：將△ABC作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），則cm，∠BAD=90°，由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．故答案為：2．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，理解題目中的旋轉(zhuǎn)相似是解題的關(guān)鍵．14．如圖，∠1＝∠2，請你補充一個條件：_________，使△ABC∽△ADE．【答案】（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定問題，由題意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一對應角相等即可．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，要使△ABC∽△ADE，只需再有一對應角相等即可，∴添加的條件為∠B＝∠D．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形相似的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵．15．在和中，，則這兩個三角形________相似三角形(填“是”或“不是”)，根據(jù)是__________________________．【答案】

是

兩角分別相等的兩個三角形相似【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理求解即可.【詳解】解：在中，∴=45°∴在和中，，∴~故答案為是；兩角分別相等的兩個三角形相似【點睛】此題主要考查了形似三角形的判定定理，熟練掌握判定定理是解答本題的關(guān)鍵.16．如圖，小穎同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝________m．【答案】7.5【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小穎同學的身高即可求得樹高AB．【詳解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴由勾股定理求得EF＝0.06m，∴，∴BC＝6米，∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．故答案為：7.5．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．17．如圖，已知點是的重心，過作的平行線，分別交于點、交于點；作，交于點，若的面積為18，則的面積為_______．【答案】8【分析】根據(jù)點是的重心，得出，根據(jù)得出，，由，，得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于．點是的重心，，，，，，，，，，，，，．故答案為：8．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形重心的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為，則點A的對應點A1的坐標為_______．【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，以原點為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k計算，得到答案．【詳解】解∶∵以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到，與△AOB的位似比為，∴點的對應點的橫縱坐標與點A的橫縱坐標的比值為或，∵A（-4，2），∴的坐標為或，即(-2，1)或(2，-1)，故答案為∶(-2，1)或(2，-1)．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握在平面直角坐標系中，以原點為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共8個小題，共66分；第19-22每小題6分，第23-24每小題8分，第25小題12分，第26小題14分）19．如圖，用長為40cm的細鐵絲圍成一個矩形．（1）若這個矩形的面積等于，求的長度；（2）這個矩形的面積可能等于嗎？若能，求出的長度，若不能，說明理由；（3）若這個矩形為黃金矩形（與之比等于黃金比），求該矩形的面積．（結(jié)果保留根號）【答案】（1）11cm；（2）不能，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)矩形面積公式得到，再解方程得，，由于，則可得到的長為；（2）與（1）一樣得到方程，整理得，計算判別式的值，根據(jù)判別式的意義得到方程沒有實數(shù)解，于是可判斷這個矩形的面積可能等于；（3）設(shè)，則，根據(jù)黃金分割的定義得，解得，再計算出，然后計算矩形的面積．【詳解】解：（1）設(shè)，則，根據(jù)題意得，整理得，解得，，當時，；當時，，而，所以，即的長為；（2）不能．理由如下：設(shè)，則，根據(jù)題意得，整理得，因為△，所以方程沒有實數(shù)解，所以這個矩形的面積不可能等于；（3）設(shè)，則，根據(jù)題意得，解得，則，所以矩形的面積．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用和黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點．20．△ABC中，點D是BC邊上的一點，點F在AD上，連接BF并延長交AC于點E；（1）如圖1，若D為BC的中點，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請利用圓規(guī)和無刻度的直尺在AC上找一點E，使得；（3）若F為AD的中點，設(shè)，請求出m、n之間的等量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析，（2）作圖見解析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可證明；（2）作△ABC的中線AD，再作AD中點，連接BF并延長交AC于點E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根據(jù)平行得出比例式，根據(jù)F為AD的中點，得出m、n之間的等量關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中線AD，再作AD中點，連接BF并延長交AC于點E，點E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，設(shè)AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m(a－an)，∵EF∥DG，∴＝，∵F為AD的中點，∴即．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是恰當作平行線，利用比例式解決問題．21．如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．【答案】（1）；（2）相似，理由見解析【分析】（1）根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可；（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)AB＝x，由上面兩個圖，由翻折的性質(zhì)我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=x，∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（+2）x，∴，故答案為：．（2）由（1）知：A5紙長邊為A4紙短邊，長為（+1）x，A5紙短邊長為（）x，∴對A5紙，長邊：短邊，∴A4紙與A5紙相似．【點睛】此題考查了相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答．22．如圖，正方形ABCD的邊長為8，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）請判斷△PFA與△ABE是否相似，并說明理由；（2）當點P在射線AD上運動時，設(shè)PA＝x，是否存在實數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）存在，x的值為4或20.【分析】（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根據(jù)題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進而列出關(guān)系式．【詳解】(1)證明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB.如圖，連接PE,DE,∴PE∥AB.∴四邊形ABEP為矩形.∴PA=EB=4，即x=4.如圖，延長AD至點P，作PF⊥AE于點F,連接PE,若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴點F為AE的中點.∵AE=，∴EF=AE=.∵，∴PE=20，即x=20.∴滿足條件的x的值為4或20.【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，解題關(guān)鍵在于作輔助線.23．某天晚上，小明看到人民廣場的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學課上學習身高與影長的相關(guān)知識，于是自己也想實際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測量相關(guān)數(shù)據(jù)．(1)若小明站在人行橫道的中央（點F是BD的中點）時，小明測得自己在兩路燈下的影長FP＝米，F(xiàn)Q＝米；(2)小明在移動過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點時，兩路燈產(chǎn)生的影長相等（FP＝FQ），請問時小明站在什么位置，為什么？【答案】(1)3，2(2)離B地（或離D地），理由見解析【分析】（1）通過證明，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解即可；（2）由（1）得，，，設(shè)，可求出，求出x的值，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，，，，點F是BD的中點，，，解得；，，，點F是BD的中點，，，解得；故答案為：3；2；（2）小明站在離B點米處的位置，理由如下：由（1）得，，，，設(shè)，，，，，解得，，所以，小明站在離B點米處的位置．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．24．數(shù)學課上，王老師出示問題：如圖1，將邊長為5的正方形紙片折疊，使頂點落在邊上的點處（點與、不重合），折痕為，折疊后邊落在的位置，與交于點．(1)觀察操作結(jié)果，在圖1中找到一個與相似的三角形，并證明你的結(jié)論；(2)當點在邊的什么位置時，與面積的比是？請寫出求解過程；(3)將正方形換成正三角形，如圖2，將邊長為5的正三角形紙片折疊，使頂點落在邊上的點處（點與、不重合），折痕為，當點在邊的什么位置時，與面積的比是？請寫出求解過程．【答案】(1)，證明見解析(2)當時，與面積的比是，求解過程見解析(3)當時，與面積的比是，求解過程見解析【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得；（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得；（3）先根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，，從而可得，，再根據(jù)建立方程，解方程可得的值，由此即可得．【詳解】（1）解：，證明如下：四邊形是正方形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，在和中，，．（2）解：，，，正方形的邊長為5，，設(shè)，則，，，由折疊的性質(zhì)得：，在中，，即，解得，，當時，，即點與點重合，不符合題意，舍去，當時，，符合題意；故當時，與面積的比是．（3）解：是邊長為5的等邊三角形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，與面積的比是，，設(shè)，則，，，，，，，解得，，即當時，與面積的比是．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、一元二次方程的應用等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．已知：△ABC在直角坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是；(2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；(3)四邊形AA2C2C的面積是平方單位．【答案】(1)（2，﹣2）(2)見解析(3)7.5【分析】（1）將△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，如圖所示，找出所求點坐標即可；（2）以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C