北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

通州區(qū)2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高二年級期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷2024年4月本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則先求出，再計(jì)算即可．【詳解】，所以，故選：C．2.下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逐項(xiàng)判定，可得答案.【詳解】對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：A.3.4名學(xué)生與1名老師站成一排照相，學(xué)生請老師站在正中間，則不同的站法種數(shù)為（）A.12 B.18 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】在老師左右兩邊的各兩個(gè)位置讓4名學(xué)生站即可作答.【詳解】依題意，4名學(xué)生站在老師的左右兩邊的各兩個(gè)位置，所以不同的站法種數(shù)為.故選：C4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可.【詳解】由可得.故選：B5.一輛汽車在筆直的公路上行駛，位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：①汽車在時(shí)間段內(nèi)勻速行駛；②汽車在時(shí)間段內(nèi)不斷加速行駛；③汽車在時(shí)間段內(nèi)不斷減速行駛；④汽車在時(shí)間段內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率表示變化率，從而由斜率的變化得出速度的變化情況，進(jìn)而得出答案．【詳解】根據(jù)題意，①在時(shí)間段內(nèi)，位移是一條斜率大于零的直線，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)勻速行駛，故①正確；②在時(shí)間段內(nèi)，位移是一條斜率越來越大的曲線，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)不斷加速行駛，故②正確；③在時(shí)間段內(nèi)，位移是一條斜率越來越小的曲線，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)不斷減速行駛，故③正確；④在時(shí)間段內(nèi)，位移不變，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)靜止不動(dòng)，故④正確．故選：D．6.3名同學(xué)分別報(bào)名參加足球隊(duì)、籃球隊(duì)、排球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同的報(bào)名方法種數(shù)有（）A. B. C.24 D.12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)算原理可得答案.【詳解】不同的報(bào)名方法種數(shù)有.故選：A.7.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C.10 D.40【答案】D【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開式中含的項(xiàng)，即可得出其系數(shù).【詳解】根據(jù)二項(xiàng)展開式可得含有的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故選：D8.定義在區(qū)間上的函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.和C. D.和【答案】D【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并令，利用三角函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得結(jié)論.【詳解】由可得，令,當(dāng)時(shí)，由可得，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，解得；因此可得在的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：D9.已知一個(gè)三位數(shù)，如果滿足個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都小于十位上的數(shù)字，那么我們稱該三位數(shù)為“凸三位數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的“凸三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A.240 B.204 C.176 D.168【答案】B【解析】【分析】分類討論，當(dāng)個(gè)位上數(shù)為0時(shí)和個(gè)位上的數(shù)不是0時(shí)兩種情況即可求解．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)個(gè)位上的數(shù)字是0時(shí)，有個(gè)“凸三位數(shù)”；當(dāng)個(gè)位上的數(shù)不是0時(shí)，有個(gè)“凸三位數(shù)”；所以共有個(gè)“凸三位數(shù)”，故選：B．10.函數(shù)，其中，是常數(shù)，其圖象是一條直線，稱這個(gè)函數(shù)為線性函數(shù)，對于非線性可導(dǎo)函數(shù)，在點(diǎn)附近一點(diǎn)的函數(shù)值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用這一方法，的近似代替值（）A.一定大于 B.一定小于C.等于 D.與的大小關(guān)系不確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)，利用求近似代替值的方法即可得近似代替值一定大于.【詳解】令函數(shù)，則；根據(jù)題意可得；又因?yàn)?，因此近似代替值，近似代替值一定大?故選：A第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.計(jì)算：______.【答案】60【解析】分析】運(yùn)用組合數(shù)排列數(shù)公式計(jì)算即可．【詳解】.故答案為：60.12.若展開式中第五項(xiàng)與第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，則______；該展開式的常數(shù)項(xiàng)為______（結(jié)果用數(shù)字表示）．【答案】①.9②.84【解析】【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，再求出二項(xiàng)式的展開式的通式，令的指數(shù)為0即可求解．【詳解】展開式中第五項(xiàng)與第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，所以，所以通項(xiàng)為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：9；84．13.已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移是時(shí)間的函數(shù)，且時(shí)，；時(shí)，.則該物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為______；估計(jì)時(shí)的位移為______m．【答案】①.②.1.94【解析】【分析】根據(jù)平均速度的公式直接計(jì)算即可；先求出位移的直線方程，再將代入即可求解．【詳解】由題意得，，經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，當(dāng)時(shí)，，故答案為：15.6，1.94．14.已知函數(shù)，則在的切線中，斜率最小的切線的方程為______.【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并求出導(dǎo)函數(shù)的最小值及切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，再由二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，因此可得切線斜率最小值為，此時(shí)切點(diǎn)為，所以切線方程為，即.故答案為：15.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)y=f′x的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,0，2,0，如圖所示．關(guān)于函數(shù)有四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減；③函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；④；其中所有正確結(jié)論的序號為______．【答案】①③④【解析】【分析】由的圖象判斷出的單調(diào)區(qū)間及極大值點(diǎn)，結(jié)合已知求出的解析式，再判斷的對稱性即可求解．【詳解】由圖象可知，當(dāng)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，故①正確，②錯(cuò)誤；所以，即，整理得，又的圖象經(jīng)過，，所以，與聯(lián)立，解得，所以，則，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故③正確；則，，所以，故④正確；故答案為：①③④．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.某小組共有6名學(xué)生，其中女生2名，男生4名．（1）將6名學(xué)生排成一排，且女生不相鄰的排法有多少種？（2）從6名中選出3人參加某公益活動(dòng)．（i）共有多少種不同的選擇方法？（ii）如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？【答案】（1）480（2）20，16【解析】【分析】（1）根據(jù)插空法即可求解；（2）根據(jù)組合定義即可求解（i）；用“6名學(xué)生中選出3人參加某公益活動(dòng)”所有情況減去“6名學(xué)生中選出3名男生參加某公益活動(dòng)”的情況即可求解（ii）．【小問1詳解】男生先排有種，女生插空有種，所以共有種不同排法．【小問2詳解】（i）6名中選出3人共有種方法；（ii）6名中選出3名男生有種方法，所以至少有1位女生入選，共有種不同的選擇方法．17.設(shè)．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）122【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理求出展開式中含的項(xiàng)，即可求解；（2）分別令，兩式聯(lián)立即可求解．【小問1詳解】展開式中含的項(xiàng)為，所以．【小問2詳解】令，得①，令，得②，由①②得，，所以．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值與極小值.【答案】（1）答案見解析；（2）的極大值為10，極小值為；【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)并對參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論得出函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由可得其定義域?yàn)?，且；?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，若或，；若，；因此的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，若或，；若，；因此的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上可得時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；由（1）可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；所以可得函數(shù)在時(shí)取得極大值，即，在時(shí)取得極小值，即；所以函數(shù)的極大值為，極小值為.19.如圖1所示，現(xiàn)有一塊邊長為1.5m的等邊三角形鐵板，如果從鐵板的三個(gè)角各截去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正三棱柱形的容器如圖2.則容器的容積是容器底面邊長的函數(shù).（1）寫出函數(shù)的解析式并注明定義域；（2）求這個(gè)容器容積的最大值.【答案】（1）；定義域?yàn)?（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出三棱柱的高，再根據(jù)柱體的體積公式即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解．【小問1詳解】如圖所示：由題意可知,所以，可得，所以，即三棱柱的高為，所以，所以，定義域?yàn)?【小問2詳解】由（1）知，，定義域?yàn)?因?yàn)椋?，令則，解得或（舍），又因?yàn)?，所以?dāng)x∈0,1時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，取得極大值，也為函數(shù)的最大值，所以．故這個(gè)容器容積的最大值為.20.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求證：當(dāng)時(shí)，有.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用切線方程建立方程組求解即可；（2）由（1）得出，再進(jìn)行求導(dǎo)即可得出的單調(diào)區(qū)間；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性得出最小值可證明得出結(jié)論.小問1詳解】由可得，根據(jù)切線方程可得其斜率為，因此，解得；又，所以可得【小問2詳解】由（1）可知，所以可得，易知其定義域?yàn)?；則，令，解得；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】證明：令函數(shù)，可得，令，因此可得恒成立，所以在上單調(diào)遞增，可得，即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以；因此當(dāng)時(shí)，有.21.設(shè)函數(shù).（1）求的最小值；（2）設(shè)，求證：是函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)的充分不必要條件.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（2）按照充要條件的定義，先證明充分性，再證明必要性．【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以的最小值為；【小問2詳解】充分性：，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．所以在只有一個(gè)極大值點(diǎn)．必要性：已知函數(shù)的極大值點(diǎn)只有一個(gè)．①若恒成立，即在上恒成立，由（1）