2024年上海市中考數(shù)學一輪復習講義：平面直角坐標系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)（解析版）

專題07平面直角坐標系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)

核心知識點精講

1.結合實例，了解常量、變量和函數(shù)的概念，體會“變化與對應”的思想；

2.會確定函數(shù)自變量的取值范圍，即能用三種方法表示函數(shù)，又能恰當?shù)剡x擇圖象去描述兩個變量之

間的關系；

3.理解正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會畫他們的圖象，能結合圖象討論這些函數(shù)的基

本性質，能利用這些函數(shù)分析和解決有關的實際問題.

【知識網絡】

象限一象限內點的坐標特征

平

面廣|坐標軸上點的坐標特征

直

角

坐特殊點的坐標I一|對稱點的坐標嗣

函

標

數(shù)象限角平分線上點的坐標特怔

系

基

本I常量與變量I

知

識自變量的取值范圍

［函數(shù)值］

解析法列表法圖象法

圖象與性質

幾

種

基待定系數(shù)法

正比例函數(shù)上^￡”#

本0）

求解析式

函

數(shù)反比例函數(shù)尸白叱。）

^Ell

考點i：平面直角坐標系

1.平面直角坐標系

平面內兩條有公共原點且互相垂直的數(shù)軸構成了平面直角坐標系，坐標平面內一點對應的有序實數(shù)

對叫做這點的坐標.在平面內建立了直角坐標系，就可以把“形”（平面內的點）和“數(shù)”（有序實數(shù)對）緊密

結合起來.

2.各象限內點的坐標的特點、坐標軸上點的坐標的特點

點P(x,y)在第一象限ox>0,y>0；

點P(x,y)在第二象限ox<0,y>0；

點P(x,y)在第三象限ox<0,y<0；

點P(x,y)在第四象限ox>0,y<0；

點P(x,y)在x軸上0y=0,x為任意實數(shù)；

點P(x,y)在y軸上OX=0,y為任意實數(shù)；

點P(x,y)既港x軸上，又在y軸上。x,y同時為零，即點P坐標為(0,0).

3.兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上。x與y相等；

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上Ox與y互為相反數(shù).

4.和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同；

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同.

5.關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征

點P與點p'關于x軸對稱。橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；

點P與點p'關于y軸對稱。縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；

點P與點p'關于原點對稱O橫、縱坐標均互為相反數(shù).

6.點P(x,y)到坐標軸及原點的距離

(1)點P(x,y)至！jx軸的距離等于H；

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于N；

(3)點P(x,y)到原點的距離等于Jx?+.

要點詮釋：

(1)注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限；

(2)平面內點的坐標是有序實數(shù)對，當時，(a,b)和(b,a)是兩個不同點的坐標.

考點2：分式的運算

1.函數(shù)的概念：設在某個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都

有唯一確定的值與它相對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.

2.自變量的取值范圍

對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義.對于純數(shù)學問題，自變量取值應保證數(shù)學式子有意

義.

3.表示方法

⑴解析法；⑵列表法；⑶圖象法.

4.畫函數(shù)圖象

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值；

(2)描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點；

(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.

要點詮釋：

“(1)在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量；

(2)確定自變量取值范圍的原則：①使代數(shù)式有意義；②使實際問題有意義.

式的通分.

考點3：幾種基本函數(shù)式

1.正比例函數(shù)及其圖象性質

(1)正比例函數(shù)：如果y=kx(k是常數(shù)，k#0),那么y叫做x的正比例函數(shù).

(2)正比例函數(shù)y=kx(k#))的圖象:

過(0,0),(1,K)兩點的一條直線.

直線經過一、三象F艮蝮經過二四象限

(3)正比例函數(shù)y=kx(k和)的性質

①當k>0時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

②當k<0時，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小.

2.一次函數(shù)及其圖象性質

(1)一次函數(shù)：如果y=kx+b(k,b是常數(shù),k#)),那么y叫做x的一次函數(shù).

(2)一次函數(shù)y=kx+b(k，0)的圖象

系數(shù)特征圖象特征不經過的圖例

象限

b>0直線從左直線與y軸在X軸上

k>0到右取向的交點方四2.X

上方向Ux

0

b<0M(o,b)在X軸下

—|M

方

直線從左直線與y軸在X軸上y

b>0到右取向的交點方—X

k<0下的方向y

一一

b<0M(o,b)在X軸下一

方

(3)一次函數(shù)丫=1及出(kRO)的圖象的性質

一次函數(shù)丫=履+6的圖象是經過(0,6)點和(-2,0)點的一條直線.

k

①當k>0時，y隨x的增大而增大；②當k<0時，y隨x的增大而減小.

要點詮釋：

(1)當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例；

(2)確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=(kWO)中的常數(shù)k.

確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+Z?(kWO)中的常數(shù)k和b.

解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

3.反比例函數(shù)及其圖象性質

（1）定義:一般地，形如y=K（左為常數(shù)，k手o）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).

X

k

三種形式：y=—（k，0）或y=kx~'（?0）或xy=k（k^O）.

x

（2）反比例函數(shù)解析式的特征：

①等號左邊是函數(shù)y,等號右邊是一個分式.分子是不為零的常數(shù)左（也叫做比例系數(shù)左），分母中含

有自變量x,且指數(shù)為1；

②比例系數(shù)上力0；

③自變量x的取值為一切非零實數(shù)；

④函數(shù)y的取值是一切非零實數(shù).

（3）反比例函數(shù)的圖象

①圖象的畫法：描點法

列表（應以O為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)）；

描點（由小到大的順序）；

連線（從左到右光滑的曲線）.

②反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，y=-（左為常數(shù)，krO）中自變量x#0,函數(shù)值ywO,所以

X

雙曲線是不經過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標軸，但是永遠不與坐標軸相交.

③反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形（對稱軸是y=x和y=-%）和中心對稱圖形（對稱中心是坐標

原點）.

④反比例函數(shù)y=A（左#0）中比例系數(shù)左的幾何意義是：過雙曲線丁=幺（左力0）上任意點引

X軸、y軸的垂線，所得矩形面積為悶.

（4）反比例函數(shù)性質：

①x的取值范圍是xH0,①X的取值范圍是xW0,

y的取值范圍是yw。；y的取值范圍是yW0；

②當時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

性質k>0k<0

在第一、三象限.在每個象限內，y在第二、四象限.在每個象限內，y

隨x的增大而減小.隨x的增大而增大.

（5）反比例函數(shù)解析式的確定：

利用待定系數(shù)法（只需一對對應值或圖象上一個點的坐標即可求出左）

（6）“反比例關系"與“反比例函數(shù)”：

成反比例的關系式不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)y='中的兩個變量必成反比例關系.

要點詮釋：

（1）用待定系數(shù)法求解析式（列方程［組］求解）；

（2）利用一次（正比例）函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象求不等式的解集.

典例引領

【題型1：與坐標平面有關的計算】

【典例1】已知點P（2根+4,加-1）,試分別根據(jù)下列條件，求出點P的坐標.

（1）點P的縱坐標比橫坐標大3；

⑵點尸在過點4（2,-3）且與x軸平行的直線上；

（3）橫、縱坐標的乘積等于0.

【答案】⑴尸（—12,-9）

⑵尸（0,-3）

⑶點尸的坐標為（0,-3）或（6,0）

【詳解】解：（1）由題意，得加-1=（27%+4）+3,解機=-8,...點尸的坐標為（-12,-9）.

（2）由題意，得利—1=一3,解得〃?=—2,...點P的坐標為（0,-3）.

（3）由題意，得2優(yōu)+4=0或m-1=0,解得〃?=一2或加=1,.?.點P的坐標為（0,-3）或（6,0）.

即時檢測

1.在平面直角坐標系中，點尸的橫坐標是-2,且點尸到x軸的距離為5,則點尸的坐標是（）

A.（5,-2）或（-5,-2）B.（-2,5）或（-2,-5）

C.（-2,5）D.（-2,-5）

【答案】B

【分析】此題主要考查了點的坐標的幾何意義，注意：點到x軸的距離為點的縱坐標的絕對值，到y(tǒng)軸的

距離為點的橫坐標的絕對值.

根據(jù)點到坐標軸的距離求解即可.

【詳解】解：點P到x軸的距離為5,所以點尸的縱坐標為5或-5,

所以點P的坐標為（—2,5）或（-2,-5）,

故選B.

2.如圖，表示弘義閣的點的坐標為表示本仁殿的點的坐標為（2,-2）,則表示中福海商店的點的

坐標為（）

，mI乾清R

1--T------------1---1--------+---------?----f--------------------+---------

IIII弘義閣III

I____________I_J_?_____A_____I_____I_____________J______

IIIITI庫作殿

申著濯商蔣"陵未漏―'f一

A.(Y,-3)B.(—2,—1)C.(-3,-4)D.(-1,-2)

【答案】A

【解析】略

3.已知點尸在第四象限內，且點尸到x軸的距離是3,到y(tǒng)軸的距離是4,則點尸的坐標是（）

A.（Y,3）B.（4,-3）C.（-3,4）D.（3,T）

【答案】B

【分析】本題考查了點的坐標，根據(jù)點到x軸的距離等于縱坐標的長度，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的長度

結合第四象限內點的坐標特征解答.

【詳解】解：：點尸在第四象限，點尸到x軸的距離是3,到y(tǒng)軸的距離是4,

二點P的橫坐標是4,縱坐標是-3,

.?.點P的坐標為（4,-3）.

故選：B.

【題型2：與正比例函數(shù)有關的計算】

【典例】1.已知J7和x-3成正比例，當x=l時，y=-4.

（1）求y關于x的函數(shù)表達式；

⑵若點（。-3,4）是該函數(shù)圖象上的一點，求。的值.

【答案】（1”=2了一6

（2）8

【分析】本題考查正比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式、點在圖像上求參數(shù)等知識，熟練掌

握正比例函數(shù)的圖象與性質是解決問題的關鍵.

（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式即可得到答案；

（2）由（1）中所求表達式，將（4-3,4）代入解方程即可得到答案.

【詳解】（1）解：》和X—3成正比例，

.,.設y=M3-3）,

代入(IT)得%(1-3)=T,解得左=2,

y=2(x-3)=2x-6；

(2)解：由(1)知y=2x-6,

點(a-3,4)是該函數(shù)圖象上的一點，

把點(a—3,4)代入y=2x-6,得2,-3)—6=4,解得a=8.

【典例】2.如圖，已知正比例函數(shù)y=fcv的圖像經過點A,點A在第四象限，過點A作AHLx軸，垂足

為X,點A的橫坐標為4,且△A08的面積為8

(1)求正比例函數(shù)的解析式.

(2)在x軸上能否找到一點尸，使AA。尸的面積為10?若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=—尤

(2)存在，點尸的坐標為：(5,0)或(一5,0)

【分析】(1)先利用三角形面積公式得到A點坐標，然后利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式;

(2)利用三角形的面積公式求得OP=5,然后根據(jù)坐標與圖形的性質求得點尸的坐標.

【詳解】(1)解：：點A的橫坐標為4,SAOH=8,

二點4的縱坐標為-4,

點A的坐標為(4,—4),

正比例函數(shù)y=丘的圖像經過點A,

-4=4k,解得左=一1,

正比例函數(shù)的解析式為y=-x；

(2)存在，

VA(4,-4),

：.AH=4,

?：S=-OPxAH=-x4OP=10,

VAnp22

：.OP=5,

.?.點P的坐標為(5,0)或(一5,0).

【點睛】本題考查了正比例函數(shù)圖像的性質、待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，解題的關鍵是注意點尸

的坐標有兩個.

即時檢測

1.已知函數(shù)y=（l-3m）x+g-wj2是正比例函數(shù)，那么優(yōu)的取值是（）

A.1B.-1C.±|D.任意實數(shù)

【答案】B

【分析】本考查了正比例函數(shù)的定義.根據(jù)正比例函數(shù)的定義得到且1-30W0,然后解不等式

和方程即可得到滿足條件的m的值.

【詳解】解：由正比例函數(shù)的定義可得：g-相2=0且1—3mwO,

解得：=一g,

故選：B.

2.若函數(shù)y=#+（〃z+l）是正比例函數(shù)，則機的值為（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義進行求解即可.

【詳解】解：：函數(shù)y=J"+（：”+l）是正比例函數(shù)，

.|H=1

Im+1=0，

m=—1,

故選B.

【點睛】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，一般地，形如y=履住20）的函數(shù)叫做正比例函數(shù).

3.如圖，三個正比例函數(shù)的圖象對應的解析式為①V=ax,@y=bx,③V=cx,則°、b、c的大小關系

c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【分析】正比例函數(shù)，=入，直線越陡，則網越大；k>0,圖象在第一三象限.

【詳解】解：???y=K,y=bx,y=6的圖象都在第一三象限，

a>0,￡?>0,c>0,

?.?直線越陡，則陽越大,

c>b>a,

故選：B.

【點睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象性質，掌握圖象與解析式系數(shù)上的關系是解題的關鍵.

4.若點P(a,b)在第二象限，則正比例函數(shù)y=(a-》)x的圖象經過()

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、四象限D.第二、三象限

【答案】B

【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質，各象限點的坐標特征；根據(jù)題意得出6<0,進而根據(jù)正比例

函數(shù)的性質，即可求解.

【詳解】解：由點尸(。,為在第二象限可知，a<0,b>0,

貝Ua—匕<0,

根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質得，y=(a-aX的圖象經過第二、四象限.

故選：B.

典例引領

【題型3：與反比例函數(shù)有關的計算】

【典例】1.如圖，點A(m,4),5(〃,2)在反比例函數(shù)y=3x>0)的圖像上，A￡)_Lx軸于點￡),軸于

點。，0)=3.

葉

Ko

"SIDCx

(1)求〃2,〃的值并寫出反比例函數(shù)的表達式；

9一

(2)點E在反比例函數(shù)的圖像上，且在點A右側，連接CE,DE,若...CDE的面積為請求出點E的坐標.

p

【答案】(1)%=3,〃=6,反比例函數(shù)的表達式為y="

X

⑵點E的坐標為(4,3)

【分析】本題考查反比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式、求反比例函數(shù)圖像上點的坐標，數(shù)

形結合，熟記反比例函數(shù)圖像與性質是解決問題的關鍵.

（1）根據(jù)題意，由題中條件求出點A（加,4）,8（〃,2）,再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式即可得到答案；

（2）設點E的坐標為（。力），數(shù)形結合，由三角形面積列出方程求解即可得到反比例函數(shù)圖像上點的坐標.

【詳解】（1）解：：點A（〃?,4）,3（",2）在反比例函數(shù)y=:的圖像上，

k=4m=2n,艮|3〃=2m,

DC=3,

n-m=3,

m=3fn=6,

.??點4（3,4）,點8（6,2）,

k=3x4=12,

12

???反比例函數(shù)的表達式為y=-；

X

（2）設點￡1的坐標為（小耳），則必=12,

9

CD=3，S4CDE=~，

19

S^CDE=-X3b=-^解得〃=3,

〃=4,

.??點E的坐標為（4,3）.

【典例】2.如圖，在直角坐標平面內，正比例函數(shù)＞=瓜;，過點A作AB/x軸，垂足為點B,AB=3.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在直線上是否存在點C,使點C到直線Q4的距離等于它到點8的距離？若存在，求點C的坐標,

請說明理由；

（3）已知點尸在直線A3上，如果..AOP是等腰三角形，請直接寫出點尸的坐標.

【答案】（l）y=々8

⑵（石,1）或心,-3）

⑶3-2西或（點3+2⑹或（收1）或（后-3）

【分析】⑴將y=3代入＞=氐得尤=百，可得4（63）,再將點A代入反比例函數(shù)的解析式為y=：,

即可得出答案；

（2）根據(jù)點A的坐標，可知N04B=3O。，過點C作CGLCM于G,由題意得CB=CG,分點C在A3上

或AB的延長線上，分別根據(jù)含30。角的直角三角形的性質可得答案；

（3）由3=2石，分4。=4尸,。4=。f尸&=「。三種情形，分別得出答案.

【詳解】（1）解:AB=3,

???點A的縱坐標為3,

???正比例函數(shù)y=后的圖象經過點A,

把y=3代入y=百元得%,

A（V3,3）,

設反比例函數(shù)的解析式為y=：（左#0）,

將點4（"3）代入得左=38，

二反比例函數(shù)的解析式為：y=巫;

X

（2）解：；軸于點B,設點C的坐標為（出》）,

在RtAA3O中，OB=?,AB=3,

由勾股定理得：04=小2+陰2=26，

OB=-OA,

2

:.ZOAB=30°,

過點C作CGLQ4于G,

由題意得CB=CG,

當點C在A3上時，

則0c平分NA03,

/.ZBOC=30°,

BC=—OB=1,

3

當點C在A3延長線上時，

綜上所述：點C的坐標為（g,l）或（道,-3）；

⑶解：當AO=AP=2百時，則P點的坐標為（右,3-2⑹或（63+2⑹,

當OA=OP時，由O3LAP得，AB=BP,

；.尸（瘋-3）,

當24=尸O時，

:.ZOAP=ZPOA=3Q°,

則QP平分/AO3,

綜上所述：則P點的坐標為（在3-2⑹或（63+2⑹或（點1）或-3）.

【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，含30。角的直角三角形的性質,

角平分線的性質和判定，等腰三角形的性質等知識，運用分類討論思想是解題的關鍵.

一

即時檢測

k

1.如圖，反比例函數(shù)y=勺的圖象經過4-1,-2）,則以下說法不正確的是（）

X

A.若圖中矩形的面積為2,貝必=2B.x>0,y隨尤的增大而減小

C.圖象也經過點2(2,1)D.當x<-l時，y<-2

【答案】D

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)的圖象性質，反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾

何意義.

根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義判定A；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質可判定B、D；根據(jù)反比例函數(shù)

圖象上點的坐標特征可判定C.

【詳解】解：A、\?圖中矩形的面積為2,.?.左=2,故此選項正確，不符合題意；

B、由圖象可得：當x>0時，y隨x的增大而減小，故此正確，不符合題意；

2

C、反比例函數(shù)的解析式為>=*,把x=2代入求得y=l,.?.圖象也經過點8(2,1),故此選項正確，不符

x

合題意；

D、由圖象可得：當x<-l時，0<y<-2,故此錯誤，符合題意；

故選：D.

2.若反比例函數(shù)y=?的圖象經過點(3,-5),則它的圖象一定還經過點()

A.(3,5)B.(-1,16)C.(-3,-5)D.(-15,1)

【答案】D

【分析】把(3,-5)代入求出％-1即可求解.

【詳解】解：由題意得：左-1=3X(-5)=T5,

—15x1=-15,

???反比例函數(shù)y=?一定還經過點(-15,1),

故選：D.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質，熟記知識點是關鍵.

3.如圖所示(圖像在第二象限)，若點A在反比例函數(shù)y=E(AxO)的圖像上，軸于點V,

的面積為3,則發(fā)的值為()

A.6B.3C.-3D.-6

【答案】D

k

【分析】本題考查反比例函數(shù)y='（左二o）中左的幾何意義（即過雙曲線上任意一點引無軸、y軸垂線，所

得矩形面積為|%|）,過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角

形面積s是個定值，即S=JH，據(jù)此解答即可.正確理解左的幾何意義是解題的關鍵.

【詳解】解：：軸于點的面積為3,

：.^\k\=3,即網=6,

;?左=±6,

又??,圖像在二象限，

“<0,

k=—6.

故選：D.

4.若反比例函數(shù)y的圖象位于第二、四象限，則左的取值范圍是（）

X

A.左<0B.k>0C.k<4D.k>4

【答案】D

【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質.根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質，即可求解.

【詳解】解：..?反比例函數(shù)y="的圖象位于第二、四象限，

???4一%<0,

k>4.

故選：D.

5.如圖，B、C兩點分別在函數(shù)y=*（尤>0）和y=-4（》<0）的圖象上，線段軸，點A在無軸

XX

上，則ABC的面積為（）

%

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數(shù)上的意義，三角形等積求解；連接。8、OC,由等底同高的三角形面積相

等得S△叱=S^BC，再由反比例函數(shù)上的意義得S.BC=；XH+；X5,即可求解；理解“過反比例函數(shù)圖象

上任一點作坐標軸的垂線，連接此點與坐標原點，所圍成的三角形面積為；陽.”是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接。8、OC,

BCD軸，

\3C〃x軸，

?C—C

…OABC-0OBC，

=3，

SABC=3;

故選：C.

2S

6.如圖，已知點A,點C在雙曲線＞=—上，點點。雙曲線〉=—上，四邊形A5CD為平行四邊形?

若AB〃工軸，則平行四邊形A5CD的面積等于（）

C.5D.10

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用，先設A的坐標為，,然后表示出點B的坐標，即可表示

出AB的長，先求出了軸上方的面積，同理求出下方的面積即可解答.

【詳解】解：設AD,BC與x軸的交點分別是E,F,

QA3〃x軸,

5a2

點8的坐標為

2'a

…5〃3a

AB=-----a=—

22

,$_3^2_

一）四邊形=3*，=3，

同理可得四邊形￡FC￡＞的面積是3,

??.平行四邊形ABCD的面積等于6,

故選:A.

典例小罐

【題型4：與一次函數(shù)有關的計算】

3

【典例】1.如圖，點A（1,0）,點2在y軸正半軸上，直線A8與直線/：產務工/相交于點C,直線/與

尤軸交于點。，AB=VW.

（1）求點。坐標；

（2）求直線A8的函數(shù)解析式；

（3）求AAOC的面積.

9

【答案】（1）點。坐標為（4,0）；（2）s=-3x+3；（3）-

【詳解】【分析】（D設y=0,可求D的坐標；（2）由勾股定理求出OB,再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）

根據(jù)三角形面積公式：SAABC=|ADXCM,可得.

3

【詳解】解；（1）當y=0時，-x-6=0,得x=4,

；?點D坐標為（4,0）.

(2)在AAOB中，ZAOB=90°

OB=VAB2-OA2=^(A/10)2-12=3,

B坐標為(0,3),

二直線AB經過(1,0),(0,3),

設直線AB解析式s=kt+b,

k+b=Qk=-3

b=3解得

b=3

直線AB解析式為s=-3x+3.

（3）如圖,

y

B

OAf/

c

???點C坐標為（2,-3）

作CM，x軸，垂足為M,則點M坐標為（2,0）

???CM=0-（-3）=3

AD=4-1=3.

119

/.SAABC=—ADxCM=-x3x3=—.

222

【點睛】本題考核知識點：一次函數(shù).解題關鍵點：熟記一次函數(shù)的性質.

【典例】2.如圖，直線y=fcc-6經過點4（4,0）,直線y=—3x+3與x軸交于點民且兩直線交于點C.

⑴求人的值.

⑵求MBC的面積.

（3）在直線y=fcc-6上是否存在異于點C的另一點P,使得AAB尸與ZA8C的面積相等，請直接寫出點尸的

坐標.

y=-3x+34

hy=kx-6

3Q

【答案】（1）5；（2）];（3）存在，P點坐標（6,3）.

【詳解】分析：（1）直接把A點坐標代入戶履-6即可求出公

[3,

V=—X—O

（2）先確定5點坐標，再解方程組,2確定。的坐標為（2,-3）,然后根據(jù)三角形面積公式

y=—3x+3

計算；

1Q

（3）設尸點坐標為（〃，b）,利用△質?與△ABC的面積相等得到5x3x14=5,解得反3或次-3（舍

3

去），然后把產3代入產6即可得到尸點的橫坐標.

3

詳解：（1）把A（4,0）代入尸丘-6得：0=4%-6,解得：k=-；

3,

V—__jr—r）

（2）把y=0代入尸-3x+3得：-3x+3=O,解得：x=l,?'.B點坐標為（1,0）,解方程組<2得

y=-3工+3

fx=2,一一19

<,的坐標為（2,-3）,二.△ABC的面積x3x（4-1）=—；

b=-322

（3）存在.

設尸點坐標為（a,Z?）.

1Q33

?「△ABP與△ABC的面積相等，—x3x|/?|=—,6=3或Z?=-3（舍去），把y=3代入戶萬工-6得：—x

-6=3,解得：x=6f.，.尸點坐標（6,3）.

點睛：本題考查了兩直線平行或相交的問題：直線產Z/X+歷（七加）和直線產Z2%+岳（女2r0）平行，則

kl=k2；若直線產幻工+歷（處川）和直線產左2%+。2（%28）相交，則交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式.也考查

了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.

.即時檢泅

1.一次函數(shù)y=依-左和正比例函數(shù)y==履在同一直角坐標系中的函數(shù)圖象可能是（）

一

【答案】A

【分析】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖象根據(jù)正比例函數(shù)圖象所在的象限判定左的符號，根據(jù)左

的符號來判定一次函數(shù)圖象所經過的象限.運用數(shù)形結合的思想進行解答是解題的關鍵.

【詳解】解：A、正比例函數(shù)圖象經過第一、三象限，則％＞0,則一次函數(shù)，=依-左的圖象應該經過第一、

三、四象限，故選項A符合題意；

B、正比例函數(shù)，=履與一次函數(shù)＞=質-左的自變量系數(shù)都是左，則兩直線相互平行，故本選項不符合題意;

C、正比例函數(shù)＞=依與一次函數(shù)y=丘-左的自變量系數(shù)都是匕則兩直線相互平行，故本選項不符合題意;

D、正比例函數(shù)圖象經過第二、四象限，則上＜0,則一次函數(shù)＞=辰-左的圖象應該經過第一、二、四象

限.故本選項不符合題意.

故選：A.

2.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)丁="式(〃270)與y=2x-〃?的圖像大致是().

【答案】A

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質.

利用一次函數(shù)的圖像和性質，分兩種情況分析，再對每個選項進行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：當%＞0時，

函數(shù)y=的圖象經過第一、三象限，且經過原點，

函數(shù)，=的圖象經過第一、三、四；

當機＜0時，

函數(shù)，=的(〃-0)的圖象經過第二、四象限，且經過原點，

函數(shù)，=2x-相的圖象經過第一、二、三象限；

A選項符合題意，

故選：A.

3.已知直線，=履+3經過點A(-1,2)且與X軸交于點B,點B的坐標是()

A.(-3,0)B.(0,3)C.(3,0)D.(0,-3)

【答案】A

【詳解】試題解析：把A(-1,2)縱、橫坐標代入廠質+3,得k=l

".y=x+3＞

令y=0,則x=-3

.,.點2的坐標為(-3,0)

故選A.

4.若一次函數(shù)y=(%-2)x+3的函數(shù)值y隨自變量x的減小而增大，則上的取值范圍是()

A.k<2B.k>2C.Z<0D.k>3

【答案】A

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)一次函數(shù)圖象的增減性來確定左的符號即可，解題

的關鍵是正確理解直線>=丘+6（%工。）中，當％>0時，y隨x的增大而增大；當％<o時，y隨》的增大而

減小.

【詳解】???一次函數(shù)y=（笈-2卜+3的函數(shù)值y隨自變量x的減小而增大，

/.k-2<0,解得：k<2

故選：A.

好題沖關

基礎過關

1.若點在正比例函數(shù)>='蛆圖象上，且西（尤2時必>%，則根的值可以是（）

A.2B.0cID.-2

【答案】D

【分析】本題考查一次函數(shù)的性質，根據(jù)一次函數(shù)y=依：k>o,y隨x增大而增大，k<o,y隨x增大

而減小.

【詳解】解：：占<%時%>必,

m<0,

故選：D.

2.已知一次函數(shù)y=區(qū)+》滿足姑>0,且y隨尤的增大而減小，則一次函數(shù)1履+。的大致圖象是大致是

【答案】C

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，對于一次函數(shù)y=H+6（左wO）,當4>0,6>0時，一

次函數(shù)>經過第一、二、三象限，當左>0,6<0時，一次函數(shù)>=履+。經過第一、三、四象限，當

k<0,匕>0時，一次函數(shù)y=區(qū)+》經過第一、二、四象限，當左<0,》<0時，一次函數(shù)>=區(qū)+》經過第二、

三、四象限；當％>0時y隨X的增大而增大，當％<0時，y隨X的增大而減小，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：；一次函數(shù)>=履+。中，y隨x的增大而減小，

k<0,

kb>0,

：.b<0,

此函數(shù)的圖象經過第二、三、四象限，

四個選項中只有C選項的函數(shù)圖象符合題意，

故選：C.

3.如圖，下列結論中錯誤的是（）

B.當一2<x<l時，有y>y'

C.K<0,k2<0,b<0

D.直線y=Kx+b與兩坐標軸圍成的三角形的面積是g

【答案】B

【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求三角形的面積，函數(shù)圖象與方程組的解的關系，體

現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.觀察直線y和反比例函數(shù)y'="的圖象的交點坐標，即可判定A；觀察直

X

線y=%x+6位于反比例函數(shù)y'=勺的圖象上方的部分對應的尤的取值，即可判斷B.利用待定系數(shù)法分

X

別求出直線y=%x+人位于反比例函數(shù)了=4的解析式，從而可知給從勺與o的關系；根據(jù)直線

y=Kx+b的解析式，首先求出它與兩坐標軸的交點，然后由三角形的面積公式可求出結果.

【詳解】解：觀察圖象，發(fā)現(xiàn)直線直線>=鎮(zhèn)+匕和反比例函數(shù)的圖象交于點

則方程組方程匕x+6=與的解為玉=-2,x2=l,故A正確；

X

觀察圖象，可知當彳<一2或0<x<l時，有y>y,故B錯誤;

?.?反比例函數(shù)y'=§,的圖象經過點

:.k?=—2x1=—2<0,

V直線y=《X+b經過點(—2,1),(1,—2),

.J-2勺+6=1

'[kt+b=-2，

.f^=-i<o

，K<0,匕<0,b<0,故C正確；

???直線的解析式為y=-x-i,

.?.當y=0時，x=-l,

...此直線與X軸交點的坐標是(-1,0),

當x=0時，y=-1,

...此直線與y軸交點的坐標是(0.-1).

.?.直線>=%》+》與兩坐標軸圍成的三角形的面積是gxlxl=g,故D正確.

故選：B.

4.點尸(3,祖)在第四象限，且點尸到x軸和y軸的距離相等，則比的值是—.

【答案】-3

【分析】本題主要考查了點到坐標軸的距離，第四象限內點的坐標特點，點到x軸的距離為縱坐標的絕對

值，到y(tǒng)軸的距離為橫坐標的絕對值，第四象限內的點縱坐標為負，據(jù)此得到口制個，解之即可得到答案.

<0

【詳解】解：：點尸(3,祖)在第四象限，且點尸到x軸和y軸的距離相等，

.刎=3

[m<0

m=—3,

故答案為：-3.

5.在平面直角坐標系中，若長方形的三個頂點坐標分別是(-1,2),(3,2),則第四個頂點的坐標

是.

【答案】（3,-1）

【分析】本題考查了平行線的坐標特點.設第四個頂點的坐標為（，%〃），根據(jù)題意可求出長方形的寬為

2-（-1）=3,長為3-（-1）=4,從而得到機一（-1）=4,2-〃=3,計算即可.

【詳解】解：設第四個頂點的坐標為（"A"）,

?.?長方形的三個頂點坐標分別是（-1,2）,（3,2）,

二長方形的寬為2-（-1）=3,長為3-（-1）=4,

:.m一（一1）=4,2—〃=3,

解得加=3,〃=-1,

即第四個頂點坐標為（3,-1）,

故答案為：（3,-1）.

6.在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位長度得到點V,則點W關于y軸的對稱點的

坐標為.

【答案】（2,1）

【分析】本題主要考查了點的平移和關于y軸的對稱點的坐標特點，首先根據(jù)橫坐標右移加，左移減可得

點坐標，然后再關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變可得答案.

【詳解】解：點M（Tl）向右平移2個單位長度得到的”的坐標為（T+2,1）,即（-2,1）,

則點關于y軸的對稱點的坐標是：（2,1）.

故答案為：（2,1）.

1.一次函數(shù)%=班》+〃（機1和多是常數(shù)且都不為。）與一次函數(shù)="尤+%（必和%是常數(shù)且都不為。）的圖象

如圖所示，下列結論一定正確的是（）

C.”2>0D.fn2nt>0

【答案】D

【分析】觀察函數(shù)圖象，得出叫，機2,%,%的符號，再逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：一次函數(shù)%=?V+%（奶和，是常數(shù)且都不為。）的圖象過第二、三、四象限,

.,.叫<0,嗎<0,

一次函數(shù)為=丐工+%（性和%是常數(shù)且都不為0）的圖象過第一、二、四象限，

..gv0,n2>0,

I々用巧I

A、叫+m2V0,故不符合題意；

B、4+嗎工0,故不符合題意；

C、m1H2<。，故不符合題意；

D、>0,故符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)圖象的位置與系數(shù)的關系是解題的關鍵.

2.如圖，直線丫=坐天+6交x軸于點4交y軸于點B,與直線>=近的交點C的縱坐標是一0,則

A.娓B.逅C.VWD.典

22

【答案】B

【分析】令>=。求出x的值，從而得到點A的坐標，再根據(jù)點C的縱坐標得到點C到左軸的距離，然后利

用三角形的面積公式列式計算即可得解.

【詳解】解：令y=o,則半x+6=o,

解得x=-^3,

所以，點A的坐標為卜道,0）,

?點C的縱坐標是一0,

...點C到x軸的距離為0,

^AOC的面積=工x5/3x-72=.