人教版九年級數(shù)學上冊專項復習：點和圓的位置關系

24.2.1點和圓的位置關系

一、課前預習（5分鐘訓練）

1.已知圓的半徑等于5cm，根據(jù)下列點P到圓心的距離：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm,判定

點P與圓的位置關系，并說明理由.

2.點A在以O為圓心，3cm為半徑的0O內(nèi)，則點A到圓心O的距離d的范圍是.

3.若。A的半徑為5,點A的坐標為（3,4）,點P的坐標為（5,8）,則點P的位置為（）

A.在。A內(nèi)B.在。A上C.在。A外D.不確定

4.兩個圓心為O的甲、乙兩圓，半徑分別為n和功，且ijVOAC",那么點人在（）

A.甲圓內(nèi)B.乙圓外C.甲圓外，乙圓內(nèi)D.甲圓內(nèi)，乙圓外

二、課中強化（10分鐘訓練）

25

1.已知。O的半徑為3.6cm,線段OA=—cm,則點A與。O的位置關系是（）

7

A.A點在圓外B.A點在。O上C.A點在OO內(nèi)D.不能確定

2.00的半徑為5,圓心O的坐標為（0,0）,點P的坐標為（4,2）,則點P與。O的位置關

系是（）

A.點P在。O內(nèi)B.點P在。O上C.點P在0O外D.點P在。O上或。O外

3.在AABC中，ZC=90°,AC=BC=4cm,D是AB邊的中點，以C為圓心，4cm長為半徑

作圓，則A、B、C、D四點中在圓內(nèi)的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.如圖24-2-1-1,在AABC中.，ZACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM為中線,以C為圓

心，V5cm為半徑作圓，則A、B、C、M四點.在圓外的有，在圓上的有

力

在圓內(nèi)的有.

圖24-2-1-1

三、課后鞏固（30分鐘訓練）

1.己知a、b、c是AABC的三邊長，外接圓的圓心在AABC一條邊上的是（）

A.a=15,b=12,c=lB.a=5,b=12,c=12

C.a=5,b=12,c=13D.a=5,b=12,c=14

2.在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,則它的外心與頂點「口等其女)

A.5cm,B.6cmC.7cm/\

3.如圖24-2-1-2,點A、B、C表示三個村莊，現(xiàn)要建一座深水井泵站，?別送

水，為使三條輸水管線長度相同，水泵站應建在何處？請畫出圖，并前理武/

A

4.閱讀下面材料：對于平面圖形A,如果存在一個圓，使圖形A上的任比(勺距離

都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋.

如圖24-2-1-3(1)中的三角形被一個圓所覆蓋，圖24-2-1-3(2)中的四邊形被兩個圓所覆蓋.

回答下列問題：⑴⑵

(1)邊長為1cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm;

(2)邊長為1cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm;

(3)邊長為2cm,1cm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是.cm,

這兩個圓的圓心距是cm.

5.已知RtAABC的兩直角邊為a和b,且a、b是方程x2-3x+l=0的兩根，求RtAABC的

外接圓面積.

6.有一個未知圓心的圓形工件(如圖24-2-1-4).現(xiàn)只允許用一塊直角三角板(注：不允許用三角

板上的刻度)畫出該工件表面上的一根直徑并定出圓心.要求在圖上保留畫圖痕跡，寫出畫

法.

圖24-2-1-4

7.某公園有一個邊長為4米的正三角形花壇，三角形的頂點A、B、C上各有一棵古樹.現(xiàn)決

定把原來的花壇擴建成一個圓形或平行四邊形花壇，要求三棵古樹不能移動，且三棵古樹

位于圓周上或平行四邊形的頂點上.以下設計過程中畫圖工具不限.

(1)按圓形設計，利用圖24-2-1-5(1)畫出你所設計的圓形花壇示意圖；

(2)按平行四邊形設計，利用圖24-2-1-5(2)畫出你所設計的平行四邊形花壇示意圖；

(3)若想新建的花壇面積較大，選擇以上哪一種方案合適？.請說明理由.

8.電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制片芳---%J---------

叫“晶圓片”.現(xiàn)在為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長、‘售都是1cm的止方形小硅片魯.如果

晶圓片的直徑為10.05cm,問一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張？請說明

你的方法和理由.(不計切割損耗)

A

B

圖24-2-1-6

參考答案

一、課前預習(5分鐘訓練)

1.已知圓的半徑等于5cm，根據(jù)下列點P到圓心的距離：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm,判定

點P與圓的位置關系，并說明理由.

思路分析：利用點與圓的位置關系，由點到圓心的距離與半徑的大小比較..

解：(1)當d=4cm時，Vd<r,.?.點P在圓內(nèi)；

(2)當d=-5cm時，Vd=r,...點P在圓上；

(3)當d=6cm時，Vd>r,.,.點P在圓外.

2.點A在以0為圓心，3cm為半徑的。0內(nèi)，則點A到圓心0的距離d的范圍是.

思路解析：根據(jù)點和圓的位置關系判定.

答案：0Wd<3

3.若。A的半徑為5,點A的坐標為(3,4),點P的坐標為(5,8),則點P的位置為()

A.在。A內(nèi)B.在。A上C.在。A外D.不確定

思路解析：本題有兩種方法，既可以畫圖，也可以計算AP的長,再與半徑進行比較.

AP=7(5-3)2+(8-4)2=V22+42=V20<5,所以點P在圓內(nèi).

答案：A

4.兩個圓心為O的甲、乙兩圓，半徑分別為n和檢，Mn<OA<r2,那么點人在()

A.甲圓內(nèi)B.乙圓外C.甲圓外，乙圓內(nèi)D.甲圓內(nèi)，乙圓外

思路解析：點A在兩圓組成的圓環(huán)內(nèi).

答案：C

二、課中強化(10分鐘訓練)

25

1.已知。O的半徑為3.6cm,線段OA=—cm,則點A與。O的位置關系是()

7

A.A點在圓外B.A點在。。上C.A點在。。內(nèi)D.不能確定

思路解析：用“點到圓心的距離d與半徑r的大小關系”來判定點與圓的位置關系.

答案：C

2.。0的半徑為5,圓心。的坐標為(0,0),點P的坐標為(4,2),則點P與。。的位置關

系是()

A.點P在。。內(nèi)B.點P在。O上C.點P在。。外D.點P在。。上或。。外

思路解析：比較OP與半徑r的關系.：OP=j42+2z=2指,OP2=20,r2=25,

.?.OP<r.

.,.點P在。O內(nèi).

答案：A

3.在AABC中，ZC=90°,AC=BC=4cm,D是AB邊的中點，以C為圓心，4cm長為半徑

作圓，則A、B、C、D四點中在圓內(nèi)的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

思路解析：如圖，連結CD//D為AB的中點，

1

.,.CD=-AB.

2

?/AB=VAC2+BC2=4V2,CD=2V2<4.

VAC=BC=4,.?.點C和點D在以C為圓心，4cm為半徑的圓的內(nèi)部.

答案：B

4.如圖2421-1,在AABC中.，ZACB=90°,AC=2cm,B（'葭中線，以C為圓

心，料cm為半徑作圓，則A、B、C、M四點.在圓外的有―/\的有，

在圓內(nèi)的有.。-------R

思路解析：AB=2-\/5cm,CM=A/5cm.

答案：點B點M點A、C圖24-2-1-1

三、課后鞏固（30分鐘訓練）

1.已知a、b、c是AABC的三邊長，外接圓的圓心在AABC一條邊上的是（）

A

A.a=15,b=12,c=lB.a=5,b

C.a=5,b=12,c=13D.a=5,b

思路解析：只有直角三角形的外心在邊上（斜邊中點）

答案：c

2.在RL^ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,則它的外心與頂點C的距離為（）

A.5cmrB.6cmC.7cmD.8cm

22

思路解析：AB=A/6+8=10,它的外心是斜邊中點，外心與頂點C的距離是斜邊的中

線長為工AB=5cm.

2

答案：A

3.如圖24-2-1-2,點A、B、C表示三個村莊，現(xiàn)要建一座深水井泵站，向三個村莊分別送

水，為使三條輸水管線長度相同，水泵站應建在何處？請畫出圖，并說明理由.

A

B?

'C

圖24-2-1-2

思路分析：設水泵站處為O,則。到A、B、C三點的距離相等，可得點O為AABC

的外心.

作法：連結AB、AC,分別作AB、AC的中垂線1、匕直線1與1，相交于O,則水泵站

建在點。處，由以上作法知，點O為AABC的外心，則有OA=OB=OC.

4.閱讀下面材料：對于平面圖形A,如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離

都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋.

如圖24-2-1-3(1)中的三角形被一個圓所覆蓋，圖24-2-1-3(2)中的四邊形被兩個圓所覆蓋.

回答下列問題：

(1)邊長為1cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm;

(2)邊長為1cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm;

(3)邊長為2cm,1cm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是.cm,

這兩個圓的圓心距是cm.

思路解析：圖形被圓覆蓋，圓一定大于圖形的外接圓，它的最小半徑就是外接圓半徑.

V2

(1)正方形的外接圓半徑，是對角線的一半，因此r的最小值是匚cm.

2

(2)等邊三角形的外接圓半徑是其高的三2，故r的最小值是J以3cm.

33

(3)r的最小值是cm,圓心距是1cm.

2

?，VIV3也

答案:(1)(2)^-(3)-^-1

點撥：注意應用“90。的圓周角所對的弦是直徑”和勾股定理解題.

5.已知RtAABC的兩直角邊為a和b,且a、b是方程x2-3x+l=0的兩根，求RtAABC的

外接圓面積.

思路分析：由a、b是直角三角形的兩直角邊，所以可求出斜邊是,標+朗，這樣就得

外接圓半徑.根據(jù)直角三角形的外心是斜邊中點，因此，其外接圓直徑就是直角三角形的

斜邊

解：設RtZXABC的斜邊為c,：a、b為方程x2—3x+l=0的兩根，；.a+b=3,ab=l.

由勾股定理，得c2=a?+b2=(a+b)2—2ab=9—2=7.

CC-TTTT77t

AABC的外接圓面積S=7V(—)2=n—=—c2=一義7=—.

24444

6.有一個未知圓心的圓形工件(如圖24-2-1-4).現(xiàn)只允許用一塊直角三角板(注：不允許用三角

板上的刻度)畫出該工件表面上的一根直徑并定出圓心.要求在圖上保留畫圖痕跡，寫出畫

法.

思路解析：因為三角板有一個角是直角，所以可利用直角畫90。的圓周角，由此可得直

徑.再畫一個90。的圓周角，也能得到一直徑，兩直徑的交點為圓心.

作法：如圖,(1)用三角板的直角畫圓周角NBDC=90。，ZEFH=90°.

⑵連結BC、EH,它們交于點O.

則BC為直徑，點0為圓心.

7.某公園有一個邊長為4米的正三角形花壇，三角形的頂點A、B、C上各有一棵古樹.現(xiàn)決

定把原來的花壇擴建成一個圓形或平行四邊形花壇，要求三棵古樹不能移動，且三棵古樹

位于圓周上或平行四邊形的頂點上.以下設計過程中畫圖工具不限.

(1)按圓形設計，利用圖24-2-1-5(1)畫出你所設計的圓形花壇示意圖；

圖24-2-1-5

(2)按平行四邊形設計，利用圖24-2-1-5(2)畫出你所設計的平行四邊形花壇示意圖；

(3)若想新建的花壇面積較大，選擇以上哪一種方案合適？.請說明理由.

思路分析：過A、B、C三點畫圓，以AABC為平行四邊形的一半，畫出另一半，得平

行四邊形.

解：(1)作圖工具不限，只要點A、B、C在同一圓上，圖(1).

(2)作圖工具不限，只要點A、B、C在同一平行四邊形頂點上，圖(2).

上行45/3

(3)如圖(3),：r=OB=^-,

,,16萬

??S?o=7tr=------~16.751>

3

]VI

又S平行四邊形=2SAABC=2X—x4x2x-----=8~13.86,

22

Soo>S平行四邊形,???選擇建圓形花壇面積較大.

8.電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄圓形片,

叫“晶圓片”.現(xiàn)在為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干.如

果晶圓片的直徑為10.05cm,問一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張？請

說明你的方法和理由.(不計切割損耗)

解：可以切割出66個小正方形.

方法一：(1)我們把10個小正方形排成一排，看成一個長方形的矩形，這個矩形剛好

能放入直徑為10.05m的圓內(nèi).如圖中的矩形ABCD.

VAB=1,BC=10,對角線AC2=100+1