2024年中考數(shù)學(xué)重難點押題預(yù)測《反比例函數(shù)》大題含答案解析

反比例函數(shù)大題(二大題型)通用的解題思路：題型一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(1)k(2)判斷正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=2在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結(jié)為：xk2x①當(dāng)k與ky=kx和反比例函數(shù)y=在同一直角坐標系中有個交點；2121k2x②當(dāng)k與ky=kx和反比例函數(shù)y=0在同一直角坐標系中有個交點．121題型二．反比例函數(shù)綜合題(1)應(yīng)用類綜合題能夠從實際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和從實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力．在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識．(2)數(shù)形結(jié)合類綜合題解析式，反過來如果這點滿足函數(shù)的解析式，那么這個點也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)題型一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(共25小題)kx321(2024?新北區(qū)校級模擬)y=與直線y=x交于AB兩點．點A(2,a)和點B(b,-3)C為x軸正半軸上的一點．kx(1)求雙曲線y=的表達式和ab的值；(2)請直接寫出使得y>y的x的取值范圍；12(3)若ΔABC的面積為12C點的坐標．132kx分(1)把A(2,a)和B(b,-3)代y2=x，a與b的A點y1=，反比例函數(shù)解析式(2)根據(jù)A與B橫坐標x的范圍即可(3)根據(jù)SABC=SAOC+SBOC=12，OC的長C點的坐標．32【(1)∵直線y=x過點A(2,a)和點B(b,-3)，3232∴a=×2=3，b=-3，∴b=-2．k∵雙曲線y=過點A(2,3)，x∴k=2×3=6，k6x∴雙曲線y=的表達式為y=；x(2)觀察圖象x<-2或0<x<2時即使得y>y的x的取值范圍是x<-2或0<x<2；12(3)∵A(2,3)B(-2,-3)，SABC=SAOC+SBOC=12，1212∴OC×3+OC×3=12，∴OC=4，∴此時C點的坐標為(4,0)．【坐標特征kx2(2023?蘇州)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點A(4,n)．將點A沿x軸正方向平移m個單位長度得到點BD為xB的橫坐標大于點D的橫坐kxBDBD的中點C在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上．(1)求nk的值；(2)當(dāng)m為何值時，AB?OD的值最大？最大值是多少？(1)首先將點A(4,n)代入y=2x可求出n，(2)過C作EF⊥x軸F，AB于E，C(8,4)，B(m+4,8)，BE=DF=m-4OD=12-m，A的坐標代入y=k/x即可求出k；ΔECB和ΔFCD全BE=DFCE=CF=4，而AB?DD=m(12-m)，【(1)將點A(4,n)代入y=2x，n=8，2∴點A的坐標為(4,8)，kx將點A(4,8)代入y=：k=32．(2)∵點B的橫坐標大于點D的橫坐標，∴點B在點D的右側(cè)．過點C作直線EF⊥x軸于FAB于E，由平移的性質(zhì)得：AB?x軸，AB=m，∴∠B=∠CDF，∵點C為BD的中點，∴BC=DC，∠B=∠CDF在ΔECB和ΔFCD中，BC=DC，∠BCE=∠DCF∴ΔECB?ΔFCD(ASA)，∴BE=DFCE=CF．∵AB?xA的坐標為(4,8)，∴EF=8，∴CE=CF=4，∴點C的縱坐標為4，32x由(1)y=，∴當(dāng)y=4時，x=8，∴點C的坐標為(8,4)，∴點E的坐標為(8,8)F的坐標為(8,0)，∵點A(4,8)AB=mAB?x軸，∴點B的坐標為(m+4,8)，∴BE=m+4-8=m-4，∴DF=BE=m-4，∴OD=8-(m-4)=12-mAB?OD=m(12-m)=-(m-6)+36∴當(dāng)m=6時，AB?OD36．(2)k1x3(2024?常州模擬)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點A(-1,2)，12B4,-．kx(1)求函數(shù)y=1和y=kx+b的表達式；(2)若在x軸上有一動點CSABC=2SC的坐標．312k1x(1)將點A(-1,2)B4,-分別代入反比例函數(shù)y=y=kx+b和一次函數(shù)可；(2)設(shè)AB與y軸交于點DC作CE?y軸交AB于點E可．12k1x(1)將點A(-1,2)B4,-分別代入反比例函數(shù)y=y=kx+b的解析式，和一次函數(shù)-k+b=24k+b=-1∴k=-1×2=-2，，21k=-∴k=2，2．3b=22x1232∴反比例函數(shù)的解析式為：y=y=-x+．(2)AB與y軸交于點DC作CE?y軸交AB于點EC(m,0)，1232∴Em,-m+．1232∴CE=-m+．32令x=0y=，3∴D0,，232∴OD=，121232154∴S=OD?(x-x)=××[4-(-1)]=．BA152∴SABC=2S=．115121232152∴CE?(x-x)=?-m+?5=．2BA2解得m=-3或m=9，∴點C的坐標為(-3,0)或(9,0)．例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．mx4(2024?常州模擬)y=kx+b(k≠0)與函數(shù)為y=(x>0)的圖象交于A(4,1),1212B,a兩點．(1)求這兩個函數(shù)的解析式；(2)y-y>0時x的取值范圍；12(3)點P在線段ABP作xMy2的圖象于點QΔPOQ的面積為34點P的坐標．mx(1)將A點坐標代入即可得出反比例函數(shù)y2=(x>0)B的坐標，再將AB兩點坐標分別代入y=kx+b(2)由題意即求y>y的x的取值范圍，由函數(shù)的圖象即可得出反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)值的x的取12值范圍；124p4p(3)P(p,-2p+9)且≤p≤4Qp,得PQ=-2p+9-124p到S=-2p+9-?p=3m(1)∵反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點A(4,1)，xm4∴1=．∴m=4．4∴反比例函數(shù)解析式為y=(x>0)．x124x把Ba代入y=(x>0)a=8．12∴點B坐標為8，12∵一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b圖象經(jīng)過A(4,1)B4k+b=18，∴．1k+b=82k=-2b=9∴．故一次函數(shù)解析式為：y=-2x+9．(2)由y-y>0，12∴y>y121由圖象可得，<x<4．212(3)P(p,-2p+9)且≤p≤4，4p∴Qp,．4p∴PQ=-2p+9-．124p∴S=-2p+9-?p=3．5解得p=p=2．2552∴P4或(2,5)．kx5(2024?沭陽縣模擬)y=的圖象與一次函數(shù)y=mx+n的圖象相交于A(a,-1)B(-1,3)兩點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)直線AB交y軸于點CN(t,0)是xN作NM⊥x軸交反比例函數(shù)ykx=的圖象于點MCNOM．若SCOMN>3t的取值范圍．(1)將點BAa和k析式；(2)先求出點Ckx(1)∵反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=mx+n的圖象相交于A(a,-1)B(-1,3)兩點，∴k=-1×3=a×(-1)，∴k=-3a=3，-3x∴點A(3,-1)y=，3=-m+n-1=3m+nm=-1由題意可得：，n=2∴一次函數(shù)解析式為y=-x+2；(2)∵直線AB交y軸于點C，∴點C(0,2)，3212∴SCOMN=SOMN+S∵SCOMN>3，=+×2×t，3212∴+×2×t>3，32∴t>．1x6(2024?宿遷二模)已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象交于點P(m,n)(1)若m=2nk的值和點P的坐標．(2)當(dāng)|m|≤|n|k的取值范圍．6nm(1)由y=kx(k≠0)得k=m=2n可得到kP(2n,n)P的坐標代入反比例函數(shù)解析式可求得n的值；nm(2)由y=kx(k≠0)得k=|m|≤|n|可得k的取值范圍．(1)∵y=kx(k≠0)，yxnmn2n12∴k====．∵m=2n，∴P(2n,n)，22∴2n?n=1n=±．∴m=±2．2222∴P2，或-2-．(2)∵y=kx，yxnm∴k==，∵|m|≤|n|，∴k≥1．【點評】本題主要考查的是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法是解題的關(guān)鍵．17(2024?泉山區(qū)校級模擬)xOyy=x+5和y=-2x的圖象2kx相交于點Ay=的圖象經(jīng)過點A．(1)求反比例函數(shù)的表達式；12kx(2)設(shè)一次函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象的另一個交點為BOBΔABO的面積．(1)聯(lián)立方程求得A(2)聯(lián)立方程求得交點Bx1y=x+5x=-2y=4(1)由∴A(-2,4)，2得，y=-2xkx∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點A，∴k=-2×4=-8，78x∴反比例函數(shù)的表達式是y=-；8y=-x=-2y=4x=-8(2)解x得或，y=112y=x+5∴B(-8,1)，1由直線AB的解析式為y=x+5得到直線與x軸的交點為(-10,0)，21212∴S=×10×4-×10×1=15．mx8(2023?常州)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點A(2,4)B(4,n)．C是yCACB．(1)(2)若ΔABC的面積是6C的坐標．(1)利用待定系數(shù)法求得即可；12(2)先求得D(0,6)SABC=S-S得×CD?(4-2)=6CD=6C的坐標．mx(1)∵點A(2,4)在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴m=2×4=8，8x∴反比例函數(shù)解析式為y=；8x又∵點B(4,n)在y=上，∴n=2，∴點B的坐標為(4,2)，2k+b=44k+b=2把A(2,4)和B(4,2)兩點的坐標代入一次函數(shù)y=kx+b得k=-1，解得，b=6∴一次函數(shù)的解析為y=-x+6．(2)對于一次函數(shù)y=-x+6x=0y=6，即D(0,6)，12根據(jù)題意得：SABC=S-S=×CD?(4-2)=6，解得：CD=6，∴OC=0或12，∴C(0,0)或(0,12)．時滿足一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式．kx9(2024?姜堰區(qū)一模)y=-2x+a的圖象與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象在第一12象限相交于點A(m,n)B(m-2,3n)．(1)求ak的值；(2)當(dāng)y>y>0x的取值范圍．128(1)m=3AB點的坐標再代入一次函數(shù)解析式組成方程組求出n和ak值即可；(2)根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)y>y>0時自變量取值范圍即可．12(1)∵點A(m,n)B(m-2,3n)都在反比例函數(shù)圖象上，∴mn=3n×(m-2)，整理得：2n(m-3)=0，∵m≠0n≠0，∴m-3=0m=3．∵A(3,n)B(1,3n)在直線y=-2x+a的圖象上，-6+a=n-2+a=3nn=2a=8∴，∴A(3,2)，∵A(3,2)在反比例函數(shù)圖象上，∴k=6．∴a=8k=6．(2)由(1)可知：A(3,2)B(1,6)y>y>0時，x的取值范圍為：1<x<3．12kx10(2024?昆山市模擬)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=2(k≠0)的圖象11相交于ABA的坐標為(-2,1)B的坐標為(1,n)．(1)求這兩個函數(shù)的表達式；kx(2)kx+b>2的取值范圍；(3)求ΔABO的面積．(1)待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)解析式即可；(2)根據(jù)圖像直接寫出不等式的解集即可；(3)根據(jù)S=SAOC+S代入數(shù)據(jù)計算即可．9(1)∵A(-2,1)B(1,n)在反比例函數(shù)圖象上，∴k=-2×1=n，∴k=n=-2，2x∴反比例函數(shù)解析式為：y=-，∵A(-2,1)B(1,-2)在一次函數(shù)圖象上，-2kb=1k+b=-2k=-1b=-1∴，∴一次函數(shù)解析式為：y=-x-1．kx(2)kx+b>2的解集為：x<-2或0<x<1．(3)設(shè)直線AB與y軸的交點為CC(0,-1)即OC=1，121232∴S=SAOC+S=×1×2+×1×1=．kx3211(2024?興化市一模)已知函數(shù)y=(k是常數(shù)，k≠0)y=-x+9．(1)若函數(shù)y和函數(shù)y的圖象交于點A(2,6)B(4,n-2)．12①求kn的值．②當(dāng)y>yx的取值范圍．12(2)若點C(8,m)在函數(shù)y1C先向下平移13DD恰好落在函數(shù)y1m的值．(1)①根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征進行解答即可；②根據(jù)圖形分布和解答橫坐標直接寫出不等式解集即可；(2)先根據(jù)平移條件得到D(5,m-1)m值即可．(1)①∵函數(shù)y和函數(shù)y的圖象交于點A(2,6)B(4,n-2)，12∴k=2×6=4×(n-2)k=12n=5．12xy=A(2,6)B(4,3)∴y>y時，x的取值范圍為：0<x<2或x>4．12(2)∵點C(8,m)在函數(shù)y1C先向下平移13D，∴D(5,m-1)，k∵D恰好落在函數(shù)y=圖象上，x53∴5(m-1)=8mm=-．kx12(2024?南通模擬)AB交雙曲線y=于ABx軸于點CB恰為線段ACOA．若SOAC=6．求k的值．10設(shè)出點BA和點CΔOAC的面積即可解決問題．kaB坐標為a,，∵點B為線段AC的中點，2k∴y=2y=，ABaa2k2則點A的坐標為,，ax+x∴C=a，23∴xC=a，232則點C坐標為a,0．又∵ΔAOC的面積為6，12322ka∴?a?=6，解得k=4，故k的值為4．【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13(2024?亭湖區(qū)模擬)OAB中，AO=ABB坐標為(4,0)頂點A在反比例函數(shù)kxy=ΔOAB的面積為12．(1)k=12．kx(2)過B點直線對應(yīng)的解析式為y=x+b與雙曲線y=MN．①求點MN的坐標．kx②直接寫出不等式-x-b≥0的解集．(1)過點A作AC⊥OB于點CAC即可求得點A的坐標是(2,6)點A的11(2)①②根據(jù)圖象即可求得．(1)過點A作AC⊥OB于點C，∵等腰三角形OAB中，AO=ABB坐標為(4,0)，∴OB=4，∵ΔOAB的面積為12，12∴OB?AC=12，∴AC=6，∴A(2,6)，kx∵頂點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，解得：k=2×6=12，故答案為：12；(2)①把B點的坐標代入y=x+b得：4+b=0，∴b=-4，∴過B點直線解析式為y=x-4，y=x-4x=6y=2x=-2y=-6或聯(lián)立得，y=x∴M(6,2)N(-2,-6)；kx-x-b≥0的解集是0<x≤6或x≤-2．A點的坐標以及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵12kx14(2024?常熟市模擬)y=x-1的圖象與y軸相交于By=(k≠0,x>0)圖象相交于點A(m,2)．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點C在點AC作yDBD．設(shè)點C的橫坐標為aa為何值時，ΔBCD(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；(2)根據(jù)三角形面積公式列出關(guān)于a12(1)∵點A(m,2)在一次函數(shù)y=x-1的圖象上，1212∴m-1=2得m=6，∴A(6,2)，∵點A(6,2)在反比例函數(shù)圖象上，∴k=6×2=12，12x∴反比例函數(shù)解析式為：y=；12(2)在一次函數(shù)y=x-1x=0y=-1，∴B(0,-1)，1∵點C的橫坐標為aC的縱坐標為a-1，212a12a∴Da,，12∴CD=-a+1，1212a12S=×-a+1×a14141412=-a+a+6254=-(a-1)+，∵-<0，254∴Sa=1S=．kx15(2024?東?？h一模)一次函數(shù)y=-x+5與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限交于AB兩點，其中A(1,a)．(1)求反比例函數(shù)表達式；k(2)-x+5≤時，x的取值范圍；xkx(3)若把一次函數(shù)y=-x+5的圖象向下平移by=直接寫出b的值．(1)待定系數(shù)法求出k值即可；(2)(3)把一次函數(shù)y=-x+5的圖象向下平移b個單位得到新的解析式為：y=-x+5-bx2-(5-b)x+4=00出b值即可．(1)∵A(1,a)在一次函數(shù)圖象上，∴a=-1+5=4A(1,4)，13∵A(1,4)在反比例函數(shù)圖象上，∴k=1×4=4，4x∴反比例函數(shù)解析式為：y=；4y=x=1y=4x=4y=1或(2)聯(lián)立方程組x，y=-x+5∴A(1,4)B(4,1)，kx-x+5≤的解集為：0<x≤1或x≥4；(3)把一次函數(shù)y=-x+5的圖象向下平移b個單位得到新的解析式為：y=-x+5-b，y=-x+5-b4x聯(lián)立方程組掉y得：-x+5-b=，4y=x整理得：x-(5-b)x+4=0△=(5-b)-16=0，∴5-b=±4，，∴b=9或1．kx16(2024?鐘樓區(qū)校級模擬)y=的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相交于點A(2,3)和點B(n,-2)．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；kx(2)直接寫出不等式>ax+b的解集；(3)若點P是xΔPAB的面積是10P的坐標．(1)將點A坐標代入反比例函數(shù)解析式求出kB解析式；(2)通過觀察圖象交點求解；(3)設(shè)點P坐標為(m,0)PAB的面積為10及三角形面積公式求解．kxk2(1)將(2,3)代入y=得3=，解得k=6，6x∴反比例函數(shù)解析式為y=．∴-2n=6，解得n=-3，所以點B坐標為(-3,-2)，14-2=-3a+b3=2a+b把(-3,-2)(2,3)代入y=ax+b得：，a=1b=1解得，∴一次函數(shù)解析式為y=x+1；kx(2)由圖象可得當(dāng)x<-3或0<x<2時式>ax+b；(3)設(shè)點P坐標為(m,0)x軸交點為E，把y=0代入y=x+1得0=x+1，解得x=-1，∴點E坐標為(-1,0)．121252∴S=S+S=×3PE+×2PE=PE，5252∴PE=10|m+1|=10，解得m=3或m=-5．∴點P坐標為(3,0)或(-5,0)．等式的關(guān)系．17(2024?姑蘇區(qū)校級模擬)x軸上長為1的線段AB為寬作矩形ABCDADBC交kx直線y=-x+3于點FEy=(x>0)的圖象正好經(jīng)過點FE．(1)線段EF長為?2?；(2)求k值．(1)表示出EFEF的長度；(2)根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到k=m(-m+3)=(m+1)(-m+2)(1)∵點FE在直線y=-x+3圖象上，∴設(shè)F(m,-m+3)E(m+1-(m+1)+3)(m+1,-m+2)∴EF=(m+1-m)+(-m+2+m-3)2=2．故答案為：2；kx(2)∵反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象正好經(jīng)過點FE，∴k=m(-m+3)=(m+1)(-m+2)得m=1，∴k=m(-m+3)=1×2=2．1518(2024?昆山市一模)xOyy=kx+b(kbk≠0)111kx與反比例函數(shù)y=2(kk≠0)2的圖象交于點，．A(m,6)B(4,-3)2(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；kx(2)當(dāng)2>kx+b>0x的取值范圍；(3)已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點CP在xΔPAC的面積為9P的坐標．(1)(2)x(3)先求得點Ck2x(1)將B(4,-3)代入y=，解得：k=-12，12x∴反比例函數(shù)表達式為y=-，12x將A(m,6)代入y=-m=-2，∴A(-2,6)，-2k+b=64k+b=-3將A(-2,6)B(4,-3)代入y=kx+b，32k=-1解得：，b=332∴一次函數(shù)的表達式為：y=-x+3；(2)∵A(-2,6)B(4,-3)，kx2>kx+b>0-2<x<0時，；32(3)∵y=-x+3y=0，解得：x=2，∴C(2,0)，設(shè)P(p,0)，則PC=|p-2|，∵ΔPAC的面積為9，12∴×|p-2|×6=9，解得：p=5或-1，∴P(5,0)或P(-1,0)．16k2x19(2024?鹽城模擬)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=A和112點BAB兩點的坐標分別是A(-1,-2)和B(2．m)OAOB．kx(1)求一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=2的函數(shù)表達式；112(2)求ΔAOB的面積．(1)AB兩點坐標求出直線解析式即可；(2)求出直線AB與x軸的交點MS=S+S代入數(shù)據(jù)計算即可．(1)∵點A(-1,-2)在反比例函數(shù)圖象上，2x∴k=2y=；∵B(2．m)在反比例函數(shù)圖象上，∴m=1B(2,1)，∵點AB在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，11-k+b=-22k+b=1k=1b=-1∴，一次函數(shù)解析式為：y=x-1，(2)設(shè)直線AB交x軸于點My=0x=1M(1,0)OM=1．121232所以S=S+S=×1×1+×1×2=．的分界點．20(2024?天寧區(qū)校級模擬)xOyy=2x+b的圖象與x軸交于kx點A(-1,0)y軸交于點By=(x>0)的圖象交于點CAB=BC．點D是x軸正CD∠ODC=45°．(1)求b和k的值；(2)求ΔACD的面積．17分析(1)將點Ab的值，再利用平行線分線段成比例的性質(zhì)得出OH=OA=1CH=2OB=4出Ck的值；(2)根據(jù)∠ODC=45°得到ΔDCHAD求ΔACD的面積即可．(1)將點A(-1,0)代入一次函數(shù)y=2x+b，得-2+b=0，解得b=2，∴B(0,2)，∴OB=2，在y=2x+2y=0x=-1，∴A(-1,0)，∴OA=1，過點C作CH⊥x軸于點HCH?OB，OAAHOBCHABAC∴==，∵AB=BC，1AH2CH12∴==，∴AH=2CH=4，∴OH=OA=1，∴C(1,4)，kx∵反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象過點C，∴k=1×4=4；(2)∵∠ODC=45°CH⊥x軸于點H，∴∠DCH=45°，∴ΔDCH是等腰直角三角形，∴DH=CH=4，∴AD=1+1+4=6，1212∴ΔACD的面積為：AD?CH=×6×4=12．C坐標是解決本題的關(guān)鍵．mx21(2024?姑蘇區(qū)校級一模)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交12于點A(4,1)和點B(2,n)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；(2)過點B作BC⊥y軸于點COAOABC的面積；mx(3)根據(jù)圖象直接寫出使kx+b<成立的x的取值范圍．18(1)采用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．先將點AmB代入反比例函數(shù)解析式求出nnAB點坐標代入一次函數(shù)解析數(shù)即可．(2)四邊形OABC數(shù)與坐標軸的交點即可求出面積．(3)結(jié)合圖象確定x的取值范圍即可．m(1)將點A(4,1)代入y=(x>0)中，xm4得1=故y=m=4，4；x4x42將點B(2,n)代入y=n==2，將A(4,1)B(2,2)代入y=kx+b，121=4k+b2=2k+bk=-b=3得，1故y=-x+3；2(2)如圖所示，12對于一次函數(shù)y=-x+3，令x=0y=3E(0,3)令y=0x=6D(6,0)，∴OD=6OE=3，∵B(2,2)BC⊥y軸，∴BC=2CE=3-2=1，設(shè)ΔAOD的高為hA(4,1)可知h=1，SOABC=S-S-S12121212==×OD×OE-×BC×CE-×OD×h112×6×3-×2×1-×6×12=5；mx(3)kx+b<時，x的取值范圍為0<x<2或x>4．OABC放在大三角形中求解面積．kx22(2024?新北區(qū)一模)y=(x>0)與一次函數(shù)y=2x+m的圖象交于點A(1,4)，19BC⊥y軸于點DBC．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)連接ABOD=1ΔABC的面積．(1)將點A坐標分別代入兩個解析式得到km值即可；(2)將y=1分別代入兩個解析式求出點BC(1)∵點A(1,4)在反比例函數(shù)圖象上，∴k=1×4=4，4x∴反比例函數(shù)解析式為：y=，∵y=2x+m的圖象過點A(1,4)，∴4=2×1+m．解得m=2，∴一次函數(shù)解析式為：y=2x+2．4x(2)將y=1代入y=得x=4，∴B(4,1)，12將y=1代入y=2x+2得x=-，1∴C-1，2129292∴BC=4--=，12274∴S=××(4-1)=．23(2024?武進區(qū)校級模擬)y=-x+3與y軸交于點Ax軸交于點Dykx=(k≠0)的圖象交于點CC作CB⊥x軸于點BAD=3AC．(1)求點A的坐標及反比例函數(shù)的解析式；kx(2)若點E是直線y=-x+3與反比例函數(shù)y=(k≠0)ΔCOE的面積．DAACDOOB(1)求出點A點DAODOCB?y軸得出=AD20=3AC得出OD=3BOC解析式；(2)聯(lián)立兩個函數(shù)解析式求出點E(1)∵直線y=-x+3與y軸交于點Ax軸交于點D，∴A(0,3)D(3,0)OA=3OD=3，∵CB⊥x軸，∴CB?y軸，DAACDOOB∴=，∵AD=3AC，∴OD=3OB，∴OB=1，∴點C的橫坐標為-1，∵點C在直線y=-x+3上，∴點C(-1,4)，∴k=-1×4=-4，4x∴反比例函數(shù)的解析式為y=-；y=-x+3(2)聯(lián)立方程組x=-1，4xy=-x=4解得或，y=-1y=4∴直線與反比例函數(shù)圖象的另一個交點E的坐標為(4,-1)，12121212152∴S=SAOC+S=OA?|xC|+OA?|x|=×3×1+×3×4=．求出反比例函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．24(2024?東?？h一模)如圖1y=x+b的圖象經(jīng)過點A(-2,0)kx比例函數(shù)y=的圖象交于B(a,4)C兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)點MS=4M的坐標；(3)反比例函數(shù)具有對稱性，適當(dāng)平移就可發(fā)現(xiàn)許多神奇的現(xiàn)象．將該雙曲線在第一象限的一支沿射線BCCCBB兩條曲線相交于PQ2PQPQ的長．21(1)用待定系數(shù)法分別求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)由S=4M滿足在與y=x+2距離為2M在y=x或y=x+4M；(3)PQ長即可．(1)把A(-2,0)代入y=x+b0=-2+b，∴b=2，∴y=x+2，把B(a,4)代入y=x+24=a+2，∴a=2，∴k=2×4=8，8x∴y=，8x∴一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式分別為：y=x+2y=；(2)令y=x+2中y=0x=-2，∴點A(-2,0)，∴AB=2+22=42，12∵S=4=×42?h，∴h=2M滿足在與y=x+2距離為2的直線上，∴點M在y=x或y=x+4上，y=xx=22x=-22，12由，8y=22y=-22y=x∵點M在第一象限，∴點M坐標為(2222)，y=x+4x=-2+23x=-2-23，12由，8y=y=2+23y=2-23x∵點M在第一象限，∴點M坐標為(-2+232+23)，綜上點M坐標為(2222)或(-2+232+23)；88(3)平移之后的曲線為：y=-6和y=+6，x+6x-68y=y=+6-6x=27x=-27由x-68，，2y=-27y=27x+6∴點P(-2727)點Q(27-27)，∴PQ=(47)+(47)2=414．25(2024?泗陽縣校級二模)A(-4,n)B(2,-4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函mx數(shù)y=的圖象的兩個交點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求直線AB與x軸的交點C的坐標及ΔAOB的面積；(3)直接寫出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍．22mx(1)先把B點坐標代入代入y=出mA(2)根據(jù)x軸上點的坐標特征確定CΔAOB的面積=SAOC+S進行計算；(3)觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)-4<x<0或x>2mx∵B(2,-4)在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴m=2×(-4)=-8，8x∴反比例函數(shù)解析式為：y=-，8把A(-4,n)代入y=-，x得-4n=-8得n=2，則A點坐標為(-4,2)．把A(-4,2)B(2,-4)分別代入y=kx+b，-4k+b=22k+b=-4k=-1b=-2得得，∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-2；(2)∵y=-x-2，∴當(dāng)-x-2=0時，x=-2，∴點C的坐標為：(-2,0)，ΔAOB的面積=ΔAOC的面積+ΔCOB的面積1212=×2×2+×2×4=6；(3)-4<x<0或x>2【點評】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題以及待定系數(shù)法的運用，靈活運用待定系數(shù)法是題型二．反比例函數(shù)綜合題(共8小題)26(2024?泰興市一模)如圖1xOy中，OAC在反比例函數(shù)y=2x4xBD在反比例函數(shù)y=-ABCD．(1)若對角線ACBD交于點OAC的表達式為y=8xBD的表達式為y=-x．ABCD為平行四邊形；②求?ABCD的面積；23(2)如圖2ABCD為平行四邊形，AB平行于xACBD的交點坐標；(3)如圖3ABCDACBD相交于點O．(1)①根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行判定即可；②先求出ABCDS平行四邊形=4S代入數(shù)據(jù)計算即可；2m24m4n2n4(2)設(shè)AmB-mCnD-nm=-nn24n可得A--nB--nCnD-nAC和BDnn(0,0)；2m4s2n4t(3)設(shè)Am,Bs,-Cn,Dt,-m=-ns=-t2n2n4t4t母可得A-n,-Cn.B-t,Dt,-AC和BD(0,0)．(1)AC的表達式為y=8xBD的表達式為y=-xAC在反比例2x4x函數(shù)y=BD在反比例函數(shù)y=-的圖象上，根據(jù)兩個反比例函數(shù)圖象都是中心對稱圖形，∴AO=COBO=DO，∴四邊形ABCD為平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)；2y=2xy=與y=8x聯(lián)立方程組得：x，y=8x1212x=x=-12解得，，y=4y=-41212∴A4C--4，同理求得：B(-2,2)D(2,-2)，如圖1AM⊥xMBN⊥xN，125212121292S=S-SAOM-S=×2+4×-×4×-×2×2=，92∴S平行四邊形=4S=4×=18．2m4m2n4n(2)AmB-mCnD-n，∵AB?CDAB=CD，242m24m24n42n4∴∴++=-=---，，mnmn2(m+n)4(m+n)∴=-，mnmn∴m+n=-2(m+n)，∴m+n=0，∴m=-n，2n4n2n4∴A--nB--nCnD-n，nn22設(shè)直線AC解析式為：y=kx+bAC坐標得：k=b=0，n2∴直線AC的解析式為：y=x，2n2同理可得BD解析式為：y=-x，4∴直線AC與BD(0,0)．2m4s2n4t(3)Am,Bs,-Cn,Dt,-，∵AB?CDAB=CD，2m4s4t2n2m2n4s4t∴m-s=t-nm+n=t+s，+=--+=--，2(m+n)mn4(s+t)4(m+n)∴∴∴=-=-，ststm+nmn2(m+n)=-，stm+nmn2(m+n)+=0，=0，st12∴(m+n)+mnst∵mn<0st<0，1mn2st∴+<0，∴m+n=0=s+t，∴m=-ns=-t，2n2n4t4t∴A-n,-Cn.B-t,Dt,-，2待定系數(shù)法求得直線AC解析式為：y=xn24t2待定系數(shù)法求得直線BD解析式為：y=-x∴AC與BD的交點坐標為(0,0)．27(2024?東臺市一模)A(-3,2)B(n,-3)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)ymx=的圖象的兩個交點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求ΔAOB的面積；25(3)在坐標軸上是否存在一點PΔAOP是等腰三角形？直接寫出點P的坐標．(1)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；(2)yS=SAOC+S代入數(shù)據(jù)計算即可；(3)分兩種情況討論①當(dāng)OA=OPP的位置滿足ΔAOP等腰三角形，②當(dāng)PA=POP點，P點是線段OAP點坐標即可．mx(1)∵已知A(-3,2)B(n,-3)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象的兩個交點，∴m=-3×2=-3n，∴m=-6n=2，6x∴反比例函數(shù)解析式為：y=-；(2)∵A(-3,2)B(2,-3)在一次函數(shù)y=kx+b圖象上，-3k+b=22k+b=-3k=-1b=-1∴，∴一次函數(shù)解析式為：y=-x-1，設(shè)一次函數(shù)與y軸交點為CC(0,-1)OC=1，121252S=SAOC+S(3)∵A(-3,2)，=×1×3+×1×2=；∴OP=3+22=13，①當(dāng)OA=OPP的位置滿足ΔAOP等腰三角形，P(0,13)P(-130)P(0,-13)P(130)；1234②當(dāng)PA=POP點，P點是線段OA的垂直平分線與坐標軸的交點，∵A(-3,2)在直線OA上，2332∴直線OA的k=-OA的中點坐標-1，32設(shè)線段OA垂直平分線解析式為y=x+b，3294134將點-1坐標代入得：1=-+bb=，3134∴線段OA垂直平分線解析式為y=x+，2134136當(dāng)x=0時，y=y=0時，x=-，2613413P-0．∴P0,566134P點有6P(0,13)P(-130)P(0,-13)P(130)P0,、12345136P-0．628(2023?泰州)在平面直角坐標系xOyA(m,0)B(m-a0)(a>m>0)的位置和函數(shù)y=m-amx(x>0)y=(x<0)的圖象如圖所示．以AB為邊在x軸上方作正方形ABCDAD邊與函數(shù)y1x的圖象相交于點ECD邊與函數(shù)yy的圖象分別相交于點GHy的圖象經(jīng)過點EGy123軸相交于點PPH．(1)若m=2a=4y3的表達式及ΔPGH的面積；(2)當(dāng)am在滿足a>m>0的條件下任意變化時，ΔPGH的面積是否變化？請說明理由；(3)試判斷直線PH與BC邊的交點是否在函數(shù)y2的圖象上？并說明理由．(1)先確定EGy3P合H點求ΔPGH的面積；(2)按(1)的思路求解；(3)用am表示直線PH與BCy2的圖象上．(1)∵m=2a=4，2x2x∴點A(2,0)B(-2,0)y=y=-，1212∴點E(2,1)G4H-4，∵一次函數(shù)y3的圖象經(jīng)過點EG，2k+b=1∴設(shè)y=kx+bk=-2，1k+b=42∴，b=5∴函數(shù)y的表達式為y=-2x+5，33∴P(0,5)，∴PM=OP-OM=1，121212∴S=×HG×PM=×1×1=．27mxm-a(2)∵點A(m,0)B(m-a,0)y=y=，xmam-a∴點E(m,1)GaHa，akm+b=111設(shè)y=kx+b，km311+b=a1a∴b=a+1，∴P(0,a+1)，∴PM=OP-OM=1，1212mam-a12∴S=×HG×PM=×-×1=．a(chǎn)∴當(dāng)am在滿足a>m>0的條件下任意變化時，ΔPGH的面積不變化．(3)設(shè)直線PH與BC邊的交點為NPH為y=k2x+a+1Hm-ak(m-a)a+aaa+1=a，a∴k=∴y=，a-maa-mx+a+1，當(dāng)x=m-a時，y=1，∴N(m-a,1)，m-a∴點N在y=(x<0)的圖象上．x29(2024?鹽城模擬取值范圍如何呢？小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進行探究：(1)建立函數(shù)模型4xm2設(shè)一矩形的面積為4mxyxy=42(x+y)=my=y=-x+4m2么滿足要求的(x,y)應(yīng)該是函數(shù)y=與y=-x+的圖象在第一象限內(nèi)的公共點坐標．x(2)畫出函數(shù)圖象4①畫函數(shù)y=(x>0)的圖象；xm2②在同一直角坐標系中直接畫出y=-xy=-x+的圖象可以看成是由y=-x的圖象向上平移個單位長度得到．(3)研究函數(shù)圖象平移直線y=-x4x①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y=(x>0)m的值為；②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點的個數(shù)還有什么情況？請直接寫出公共點的個數(shù)及對應(yīng)周長m的取值范圍．28(4)面積為10的矩形的周長m的取值范圍為．(1)由x>0y>0得(x,y)在第一象限；m2(2)①直接畫出圖象即可；②y=-x+與x(3)①②0個1個2(4)2x-mx+20=0(1)∵xym，∴x>0y>0m>0，4xm2∴滿足要求的(x,y)應(yīng)該是函數(shù)y=與y=-x+的圖象在第一象限內(nèi)的公共點坐標．4x(2)①y=的圖象如圖所示：②y=-x的圖象如圖所示，mm2∵y=-x+∴y=-x+與x軸的交點為0，2m2m2的圖象可以看成是由y=-x的圖象向右平移個單位長度得到，m2故答案為：；m2，y=-x+(3)①聯(lián)立方程組可得：4y=x12整理得：x-mx+4=0，29∵兩圖象有唯一交點，1∴△=m-16=0，4∴m=8，1∴x-×8x+4=0，2解得：x=2，∴交點坐標為(2,2)，故答案為：(2,2)8；②由①知：0個交點時，0<m<82個交點時，m>81個交點時，m=8；10xm2(4)設(shè)相鄰的兩邊長為xyx?y=102(x+y)=my=y=-x+，y=聯(lián)立方程組可得x，m2y=-x+整理得：2x-mx+20=0∵兩函數(shù)有交點，，∴△=m-4×2×20≥0，∴m≥410，故答案為：m≥410．kx30(2023?鎮(zhèn)江)y=-3x與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于AB(1,m)兩點，C點在x軸負半軸上，∠ACO=45°．(1)m=?-3?k=C的坐標為；(2)點P在xBOP為頂點的三角形與ΔAOCP的坐標．(1)ΔAOC中，tan∠AOH=3∠ACO=45°AO=10角三角形的方法求出CO(2)證明點P在xΔAOC∽ΔBOP和ΔAOC∽ΔPOB(1)當(dāng)x=1時，y=-3x=-3=mB(1,-3)，將點B的坐標代入反比例函數(shù)的表達式得：k=-3×1=-3，3x即反比例函數(shù)的表達式為：y=-，A(-1,3)，30由點OA的坐標得，OA=10A作AH⊥x軸于點H，由直線AB的表達式知，tan∠AOH=3，而∠ACO=45°，設(shè)AH=3x=CHOH=xAO=10x=10x=1，則AH=CH=3OH=1，則CO=CH+OH=4，則點C的坐標為：(-4,0)，故答案為：-3-3(-4,0)；(2)當(dāng)點P在x軸的負半軸時，∵∠BOP>90°>∠AOC，又∵∠BOP>∠ACO∠BOP>∠CAO，∴ΔBOP和ΔAOC不可能相似；當(dāng)點P在x軸的正半軸時，∠AOC=∠BOP，OAOBOCOP若ΔAOC∽ΔBOP==1，則OP=OC=4，即點P(4,0)；AOOPCOOB若ΔAOC∽ΔPOB=，10OP410即=，解得：OP=2.5，即點P(2.5,0)，P的坐標為：(4,0)或(2.5,0)．(2)解題的關(guān)鍵．31(2023?連云港(1)如圖1ABCD中，AB=4M是CD的中點，AE⊥BME．設(shè)BC=xAE=y含x的代數(shù)式表示y．(2)在上述表達式中，y與x2所示．若x2上補全函數(shù)圖象．(3)xy隨x31數(shù)值y的取值范圍是-42<y<42ABCDABCD是平行四邊形．其中正確的是①④．(寫出所有正確結(jié)論的序號)(4)若將(1)AB=AB=