人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專題04角平分線的性質(zhì)(知識(shí)串講+7大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題04角平分線的性質(zhì)考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）角平分線的性質(zhì)（1）概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。（2）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB（二）角平分線的判定（1）判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：尺規(guī)作圖——角平分線典例1：（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=120°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點(diǎn)D，使得∠ADC=100°．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【變式1】（2022秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)．(1)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；①作∠DAC的平分線AP；②連接BE并延長(zhǎng)交AP于點(diǎn)F．(2)猜想AF與BC位置和數(shù)量的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式2】（2023·廣東汕尾·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A．．(1)作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式3】（2022秋·福建南平·八年級(jí)福建省南平第一中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=70°,∠ACB=60°,∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D．(1)尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線BO交CD于點(diǎn)O．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)求∠BOD的度數(shù)．考點(diǎn)2：角平分線的性質(zhì)應(yīng)用——證明線段典例2：（2022秋·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，∠C=90°，DE⊥AB，于點(diǎn)E，AD平分∠CAB，點(diǎn)F在AC上，BD=DF．求證：BE=FC【變式1】（2023秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，BD＝CE．(1)求證：BE＝CD；(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說(shuō)明理由．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：BE＝12CD【變式3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)G．（1）求∠BGC的度數(shù)．（2）求證：GD＝GE．考點(diǎn)3：角平分線性質(zhì)應(yīng)用——和差關(guān)系典例3：（2022秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分(1)DE平分∠ADC；(2)AD＝【變式1】（2023春·廣東廣州·七年級(jí)廣州市天河區(qū)匯景實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎?，如圖，∠ABC=∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3，求證：∠1+∠4=180°請(qǐng)根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知）∴∠1=12∠ABC∵∠ABC=∠ADC（_______________）∴∠1=∠2（等量代換）∵∠1=∠3（已知）∴∠2=∠_______．（_______________）∴AB//CD（_______________）∴∠1+∠4=180°（_______________）【變式2】（2023秋·四川南充·八年級(jí)四川省南充市白塔中學(xué)?？计谥校┤鐖D，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一點(diǎn)，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：AD＝CD＋AB．【變式3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點(diǎn)，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．考點(diǎn)4：角平分線性質(zhì)應(yīng)用——面積問(wèn)題典例4：（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安行知中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，P為△ABC外角∠CBM,∠BCN的平分線的交點(diǎn)，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)．(1)求證：PE=PF．(2)若四邊形ABPC的面積為20，且PD=4，求AB+AC的長(zhǎng)．【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B=180°．(1)若AB=12,AD=8，則AF=．(2)若△ABC的面積是24，△ADC的面積是16，則△BEC的面積等于．【變式2】（2023秋·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC=4，AB=14．回答問(wèn)題：(1)P到AB的距離PD長(zhǎng)為_(kāi)_____，△PDB的周長(zhǎng)為_(kāi)_____；(2)求△APB的面積．【變式3】（2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，△ABC的面積是84cm2，考點(diǎn)5：角平分線的判定典例5：（2023春·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，DE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)直接寫(xiě)出AB+AC與AE之間的數(shù)量關(guān)系．【變式1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，連接AD．求證：AD是∠BAC的外角平分線．【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，連接AE，CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．(1)求證：AE=CD；(2)求證：AE⊥CD；(3)連接BM，有以下兩個(gè)結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有．【變式3】（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谀┢叫兴倪呅蜛BCD中，E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AE=CF．求證：考點(diǎn)6：角平分線性質(zhì)與判定綜合典例6：（2022秋·山東日照·八年級(jí)校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB的平分線.

【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）四邊形ABCD中，AB∥CD，DE平分(1)如圖1，若∠ABE=90°，E是BC的中點(diǎn)，求證：AE平分∠BAD；(2)如圖2，若AE平分∠BAD，求證：E是BC的中點(diǎn)；(3)在（2）的條件下，若AE=8，DE=6，求四邊形【變式2】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于點(diǎn)M，M為(1)DM平分∠ADC；(2)AD=AB+CD．【變式3】（2022秋·重慶璧山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC延長(zhǎng)線上，∠ACB=100°，∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD，垂足為M，且∠CEM=50°(1)求∠BCE的度數(shù)．(2)求證：BE平分∠CBF．考點(diǎn)7：角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用典例7：（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖公路AE、AF、BC兩兩相交．求作：加油站O，使得O到三條公路的距離相等．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【變式1】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）根據(jù)圖片回答下列問(wèn)題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．【變式2】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖．在△ABC內(nèi)部找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB、BC、AC的距離相等，（不寫(xiě)作圖步驟，保留作圖痕跡）；(2)若△ABC的周長(zhǎng)為14cm，面積為212cm2，求點(diǎn)【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某個(gè)居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個(gè)大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請(qǐng)確定該超市的位置P．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）在△ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三邊的距離相等，則點(diǎn)P一定是△ABC（）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，OC平分∠AOB，D是OC上一點(diǎn)，DE⊥OB于點(diǎn)E，若DE＝7，則點(diǎn)D到OA的距離為（

）A．7 B．11 C．14 D．214．（2023秋·福建南平·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD＝9，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為（

）A．7 B．8 C．9 D．105．（2023秋·重慶涪陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BD=5cm，則點(diǎn)D到邊AC的距離DE的長(zhǎng)為（

A．4cm B．5cm C．5.5cm6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝32，則△BCEA．3 B．154 C．4 D．7．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，則點(diǎn)P是△ABC（

）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線交點(diǎn)8．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，△ABC的面積為7，DE=2，AB=4，則AC的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．69．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，則∠ADE=（

）A．50° B．55° C．60° D．62.5°10．（2022秋·北京·八年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為A．CM=CN B．OM=ON C．ON=CM D．∠MCO=∠NCO11．（2022·八年級(jí)單元測(cè)試）東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設(shè)一批精品口袋公園．如圖，ΔABC是一個(gè)正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得SΔABH=SA．∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點(diǎn)B．∠BAC的角平分線與AB邊上中線的交點(diǎn)C．∠ABC的角平分線與AC邊上中線的交點(diǎn)D．∠ABC的角平分線與BC邊上中線的交點(diǎn)12．（2022秋·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，OP平分∠AOB，點(diǎn)E為OA上一點(diǎn)，OE＝4，點(diǎn)P到OB的距離是2，則△POE的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．713．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖，OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，P是射線OC上任意點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，下列條件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分線的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)14．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50°，以下四個(gè)結(jié)論：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④點(diǎn)A在∠DOE的平分線上，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．415．（2022秋·山東德州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°?其中結(jié)論正確的是（

）．（填寫(xiě)結(jié)論的編號(hào)）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④二、填空題16．（2022秋·云南昆明·八年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E．若AC=5，DE=2，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．17．（2022·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E,若∠C=50°，則∠AED＝__________．18．（2022秋·江蘇連云港·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，D是BC上一點(diǎn)，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD=m，則S△ADC＝_____（用19．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BO平分∠ABC,OD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，若OD=5，則OE的最小值為_(kāi)______．20．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAB的平分線AD交BC于點(diǎn)D．若AD=6，則點(diǎn)D到AB邊的距離是_______．21．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=3，則BC=________．

22．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（?3+a,2a+9）在第二象限角平分線上，則a的值是___．23．（2023秋·湖北咸寧·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)M是∠AOB平分線上一點(diǎn)，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OM＝3，如果P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則線段MP的取值范圍是_____．24．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在x、y軸上分別截取OA、OB，使OA＝OB，再分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C．若C的坐標(biāo)為（3a，﹣a＋8），則a25．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC與△BDE都為等邊三角形，連接AE與CD，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，連接FB．給出下面四個(gè)結(jié)論：①AE=CD；②∠AFC=60°；③BF平分∠EBD；④FB平分∠EFD.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．三、解答題26．（2023春·山西·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC的高AD，∠BAC的平分線AE，∠B=26°，∠AED=41°，求∠CAD的度數(shù)．27．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB=DC，求證：AD是∠BAC的平分線．28．（2023春·河北廊坊·八年級(jí)?？计谀┬@的一角如圖所示，其中線段AB，BC，CD表示圍墻，圍墻內(nèi)是學(xué)生的一個(gè)活動(dòng)區(qū)域，小明想在圖中的活動(dòng)區(qū)域中找到一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到三面圍墻的距離都相等．請(qǐng)?jiān)趫D中找出點(diǎn)P．（用尺規(guī)作圖，不用寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）29．（2022秋·吉林·八年級(jí)?？计谥校┌褍蓚€(gè)同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放置，得到如圖2的Rt△ABC和Rt△ABD，設(shè)M是AD與BC的交點(diǎn)，則這時(shí)MC的長(zhǎng)度就等于點(diǎn)M到30．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC(1)求證：AE=DE(2)若∠C=100°,∠B=40°,求∠AED的度數(shù)31．（2023春·廣西貴港·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF．求證：(1)CF=EB；(2)AB=AF+2BE．32．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．（2）在（1）的條件下，若CD=3，AB=10，則△ABD的面積為_(kāi)________．33．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）AD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如圖1，若AB＝AC，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，若AB＝5，請(qǐng)直接寫(xiě)出AC的長(zhǎng)．34．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．35．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)?？计谀?）如圖1，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點(diǎn)F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度數(shù)；（2）如圖2，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=42°，①求∠CAB的度數(shù)；②求∠CAP的度數(shù)．

專題04角平分線的性質(zhì)考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）角平分線的性質(zhì)（1）概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。（2）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB（二）角平分線的判定（1）判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：尺規(guī)作圖——角平分線典例1：（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=120°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點(diǎn)D，使得∠ADC=100°．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】∠BAD=∠ADC?∠B=100°?40°=60°，求得∠BAD=12∠BAC，故點(diǎn)D【詳解】解：∵∠BAD=∠ADC?∠B=100°?40°=60°∴∠BAD=∴點(diǎn)D是∠BAC的角平分線與BC的交點(diǎn)，如圖所示，作∠BAC的角平分線，與BC的交于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖作角平分線，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是分析所給條件證明點(diǎn)D在∠BAC的角平分線．【變式1】（2022秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)．(1)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；①作∠DAC的平分線AP；②連接BE并延長(zhǎng)交AP于點(diǎn)F．(2)猜想AF與BC位置和數(shù)量的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)AF∥BC且AF=BC；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法按要求作圖即可；（2）求出∠FAE=∠C，利用ASA證明△AEF≌【詳解】（1）如圖①②（2）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，即∠C=1∵AF平分∠DAC，∴∠FAE=1∴∠FAE=∠C，又∵AE=CE，∠AEF=∠CEB，∴△AEF≌∴AF=BC．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線定義，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·廣東汕尾·校考二模）如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A．．(1)作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)DE【分析】（1）利用基本作圖（作已知角的平分線）作∠BDC的平分線DE即可；（2）先根據(jù)角平分線的定義得出∠BDE=∠CDE，再利用三角形外角的性質(zhì)得出∠BDC=∠A+∠ACD，結(jié)合∠ACD=∠A可得出∠BDE=∠A，最后利用平行線的判定即可得出【詳解】（1）解：如圖，DE為所作；；（2）解：DE∥理由如下：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠CDE，又∠BDC=∠A+∠ACD，∴∠BDE+∠CDE=∠A+∠ACD，∵∠ACD=∠A，∴∠BDE=∠A，∴DE∥【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖—作已知角的平分線，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)，掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵.【變式3】（2022秋·福建南平·八年級(jí)福建省南平第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=70°,∠ACB=60°,∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D．(1)尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線BO交CD于點(diǎn)O．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)求∠BOD的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)55°【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法即可作∠ABC的平分線BO交CD于點(diǎn)O；（2）根據(jù)內(nèi)角和定理求出∠ABC，再根據(jù)角平分線定義求出∠OCB，∠OBC，再利用外角的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：如圖，BO即為所求；（2）∵∠BAC=70°，∠ACB=60°，∴∠ABC=180°?70°?60°=50°，∵CD平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠OCB=12∠ACB=30°∴∠BOD=∠OCB+∠OBC=30°+25°=55°．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?基本作圖，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法．考點(diǎn)2：角平分線的性質(zhì)應(yīng)用——證明線段典例2：（2022秋·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，∠C=90°，DE⊥AB，于點(diǎn)E，AD平分∠CAB，點(diǎn)F在AC上，BD=DF．求證：BE=FC【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DE=DC，再證明ΔDEB?ΔDCF【詳解】證明：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∠C=∠DEB=90°，∴在RtΔDEB和RtΔ∵DE=DCBD=DF∴ΔDEB?∴BE=FC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DC是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，BD＝CE．(1)求證：BE＝CD；(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由三角形的高得∠BEC=∠CDB=90°，由對(duì)頂角得∠BOD=∠COE，結(jié)合BD=CE，可證得ΔBOD?ΔCOE，從而得到OD=OE，OB=OC，則有OD+OC=OE+OB（2）連接AO，由三角形的高可得∠ADC=∠AEB=90°，結(jié)合（1）中的BE=CD，公共角∠BAE=∠CAD，可證得ΔADC?ΔAEB，從而得AD=AE，易證得Δ（1）證明：∵BE、CD是ΔABC的高，且相交于點(diǎn)O∴∠BEC=∠CDB=90°，在ΔBDO和ΔCEO中，∴Δ∴OD=OE，OB=OC，∴OD+OC=OE+OB，即CD=BE；（2）解：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，理由如下：連接AO，如圖所示：∵BE、CD是ΔABC的高，且相交于點(diǎn)O∴∠ADC=∠AEB=90°，∵由（1）得BE=CD，∴在ΔABE和ΔACD中，∴Δ∴AD=AE，∵由（1）得OD=OE，∴在ΔAOD和ΔAOE中，∴Δ∴∠DAO=∠EAO，∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚題中的條件與圖中的條件，特別是圖中的公共角與公共邊．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：BE＝12CD【答案】見(jiàn)解析【分析】分別延長(zhǎng)BE、CA交于點(diǎn)F，首先結(jié)合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝12BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD【詳解】證明：分別延長(zhǎng)BE、CA交于點(diǎn)F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE與△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝12BF在△CFE與△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠F＝∠ADC．在△BFA與△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．∴BE＝12CD【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解角平分線的基本定義，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，并且準(zhǔn)確判定全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)G．（1）求∠BGC的度數(shù)．（2）求證：GD＝GE．【答案】（1）120°；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出∠GBC＋∠GCB，進(jìn)一步求得∠BGC；（2）連接AG，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分線的性質(zhì)及逆定理可得GN＝GM＝GF，AG是∠CAB的平分線；在四邊形AMGN中，易得∠NGM＝180°?60°＝120°；在△BCG中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠CGB＝120°，即∠EGD＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，證明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得證GE＝GM．【詳解】解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°?60°＝120°，∵∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)G，∴∠GBC＋∠GCB＝12∠ABC＋12∠ACB＝12（∠ABC∴∠BGC＝180°?（∠GBC＋∠GCB）＝120°；（2）連接AG，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A＝60°，∴∠ACB＋∠ABC＝120°，∵CD，BE是角平分線，∴∠BCG＋∠CBG＝120°÷2＝60°，∴∠CGB＝∠EGD＝120°，∵G是∠ACB平分線上一點(diǎn)，∴GN＝GF，同理，GF＝GM，∴GN＝GM，∴AG是∠CAB的平分線，∴∠GAM＝∠GAN＝30°，∴∠NGM＝∠NGA＋∠AGM＝60°＋60°＝120°，∴∠EGD＝∠NGM＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，又∵GN＝GM，在Rt△EGN≌Rt△DGM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE＝GD．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：角平分線性質(zhì)應(yīng)用——和差關(guān)系典例3：（2022秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分(1)DE平分∠ADC；(2)AD＝【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得到EB＝EF，等量代換得到EF＝EC，利用（2）由（1）得出FD＝CD，利用HL證明Rt△AEF≌【詳解】（1）證明：如下圖，過(guò)E作EF⊥AD于F，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴EB＝∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EB＝∴EF＝∵DC⊥BC，∴∠EFD＝在Rt△EFD和RtEF=ECED=ED∴Rt△EFD≌∴∠FDE＝∴DE平分∠ADC；（2）解：由（1）知，Rt△EFD≌∴FD＝在Rt△AEF和RtEF=EBAE=AE∴Rt△AEF≌∴AF＝∵AD＝∴AD＝【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及作出合理的輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·廣東廣州·七年級(jí)廣州市天河區(qū)匯景實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）已知，如圖，∠ABC=∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3，求證：∠1+∠4=180°請(qǐng)根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知）∴∠1=12∠ABC∵∠ABC=∠ADC（_______________）∴∠1=∠2（等量代換）∵∠1=∠3（已知）∴∠2=∠_______．（_______________）∴AB//CD（_______________）∴∠1+∠4=180°（_______________）【答案】見(jiàn)解析【分析】首先根據(jù)角平分線定義可得∠1=12∠ABC，∠2=12【詳解】解：證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知），∴∠1=12∠ABC∵∠ABC=∠ADC（已知），∴∠1=∠2（等量代換），∵∠1=∠3（已知），∴∠2=∠3（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠1+∠4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：角平分線的定義；已知；等量代換；3；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·四川南充·八年級(jí)四川省南充市白塔中學(xué)?？计谥校┤鐖D，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一點(diǎn)，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：AD＝CD＋AB．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】過(guò)M作ME⊥AD于E，根據(jù)垂直定義和角平分線性質(zhì)得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，推導(dǎo)得△MCD≌△MED，根據(jù)全等得出CD＝DE，同理得AE＝AB，即可得出答案．【詳解】如圖，過(guò)M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝EM，∴∠CDM=∠EDM∠C=∠DEM∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD＝DE，∵∠BAM=∠EAM∴△ABM≌△AEM（AAS），∴AE＝AB，∴AD＝AE＋DE＝CD＋AB．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、全等三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．【變式3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點(diǎn)，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．【答案】見(jiàn)詳解．【分析】根據(jù)PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再證Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．【詳解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，CD=CECM=CN∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)4：角平分線性質(zhì)應(yīng)用——面積問(wèn)題典例4：（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安行知中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，P為△ABC外角∠CBM,∠BCN的平分線的交點(diǎn)，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)．(1)求證：PE=PF．(2)若四邊形ABPC的面積為20，且PD=4，求AB+AC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PD=PE,PD=PF，即可證明結(jié)論；（2）連接AP，根據(jù)四邊形ABPC的面積為20，得出S△ABP+S△ACP=20，即1【詳解】（1）證明：∵P為∠CBM,∠BCN的平分線的交點(diǎn)，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，∴PD=PE,PD=PF，∴PE=PF．（2）解：如圖，連接AP，∵四邊形ABPC的面積為20，∴S△ABP∴12由（1）知PE=PF=PD=4，∴12即12∴2AB+AC∴AB+AC=10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B=180°．(1)若AB=12,AD=8，則AF=．(2)若△ABC的面積是24，△ADC的面積是16，則△BEC的面積等于．【答案】(1)10(2)4【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)可得CE=CF,∠F=∠CEB=90°，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得∠B=∠CDF，利用AAS證出Rt△BCE≌Rt△DCF，求出DF=BE，證明Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF=AE，由（2）利用全等三角形的面積相等，設(shè)△BEC的面積為x，列出方程可得結(jié)果．【詳解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°，∵∠ADC+∠B=180°,∠ADC+∠CDF=180°，∴∠B=∠CDF，在Rt△BCE與Rt∠B=∠CDF∠CEB=∠F∴Rt△BCE≌∴DF=BE，在Rt△ACE與RtCE=CFAC=AC∴Rt△ACE≌∴AF=AE，∴AB?AE=AF?AD=AB?AF，∴AB+AD=2AF，∵AB=12,AD=8，∴AF=10，故答案為：10．（2）∵Rt△BCE≌∴S△BCE設(shè)△BEC的面積為x，∵△ABC的面積是24，△ADC面積是16，∴24?x=16+x,，∴x=1即△BEC的面積等于4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC=4，AB=14．回答問(wèn)題：(1)P到AB的距離PD長(zhǎng)為_(kāi)_____，△PDB的周長(zhǎng)為_(kāi)_____；(2)求△APB的面積．【答案】(1)4，14(2)△APB的面積為28【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可得出PD=PC，可得答案；先證明△PDA≌△PCA，得出AD=AC，再求出△PDB的周長(zhǎng)為PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，可得答案；（2）由角平分線的性質(zhì)可知，PD=PC=4，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵∠C=90°，AP平分∠BAC，∴PD=PC，∵PC=4，∴PD=4，∵∠PDA=∠PCA，PD=PC，AP=AP，∴△PDA≌△PCA，∴AD=AC，∴△PDB的周長(zhǎng)為PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，∵AB=14，∴△PDB的周長(zhǎng)為14；故答案為：4，14；（2）解：由角平分線的性質(zhì)可知，PD=PC=4，S△PDB【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，△ABC的面積是84cm2，【答案】DE=6【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)S△ABC【詳解】解：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，∴DE=DF，∵S∴即12解得：DE=6，∴DE=6cm【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并列出方程是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：角平分線的判定典例5：（2023春·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，DE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)直接寫(xiě)出AB+AC與AE之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AB+AC=2AE【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=AF，再根據(jù)BE=CF，即可求出答案．【詳解】（1）解：證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△BED和RtBD=CDBE=CF∴Rt∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：AB+AC=2AE．理由如下：由（1）知AD平分∠BAC，∴DE=DF，在Rt△ADE和RtDE=DFAD=AD∴Rt∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB+AC=AE?BE+AF+CF=2AE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，角平分線的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．【變式1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，連接AD．求證：AD是∠BAC的外角平分線．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】作DE⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論．【詳解】證明：作DE⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，∴DE=DG，DF=DG，∴DE=DF，又DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的外角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)和判定，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，連接AE，CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．(1)求證：AE=CD；(2)求證：AE⊥CD；(3)連接BM，有以下兩個(gè)結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)②【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABE≌（2）根據(jù)△ABE≌△CBD，得出∠BAE=∠BCD，利用三角形內(nèi)角和定理，求出（3）作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出AE=CD，S△ABE=S【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBD∴△ABE≌∴AE=CD．（2）證明：∵△ABE≌∴∠BAE=∠BCD，∵∠NMC=180°?∠BCD?∠CNM，∠ABC=180°?∠BAE?∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∵∠ABC=90°，∴∠NMC=90°，∴AE⊥CD．（3）解：結(jié)論：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，如圖所示：∵△ABE≌∴AE=CD，S△ABE∴12∴BK=BJ，∵BK⊥AE，BJ⊥CD，∴BM平分∠AMD．不妨設(shè)①成立，則△CBM≌△EBM，則故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．【變式3】（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谀┢叫兴倪呅蜛BCD中，E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AE=CF．求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S△ADE=12S?ABCD=S△DFC【詳解】證明：過(guò)D作DQ⊥AE，DG⊥CF，連接DF和DE，如圖所示：則S△ADE∴AE?DQ2又∵AE=FC，∴DQ=DG，∴PD為∠APC的角平分線，∴∠DPA=∠DPC（角平分線逆定理）．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形和角平分線的性質(zhì)，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明．考點(diǎn)6：角平分線性質(zhì)與判定綜合典例6：（2022秋·山東日照·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB的平分線.

【答案】見(jiàn)解析【分析】先過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，反向延長(zhǎng)EH交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)可知EG⊥AC，由于E是BC的中點(diǎn)，可得出△CGE≌△BHE，故GE=EH，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知EF=GE，故EF=EH，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，反向延長(zhǎng)EH交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，如圖所示：∵EH⊥AB，∴∠EHB=90°，∵AB∥CD，∴∠CGE=∠EHB=90°，∠GCE=∠B，∴EG⊥DC，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，在△CGE與△BHE中∠GCE=∠BCE=EB∴△CGE≌△BHE，∴GE=EH，∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EG⊥DC，∴GE=EF，∵GE=EH，∴EF=EH，∴AE是∠DAB的平分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角平分線的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）四邊形ABCD中，AB∥CD，DE平分(1)如圖1，若∠ABE=90°，E是BC的中點(diǎn)，求證：AE平分∠BAD；(2)如圖2，若AE平分∠BAD，求證：E是BC的中點(diǎn)；(3)在（2）的條件下，若AE=8，DE=6，求四邊形【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)48【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F．證明∠C=180°?∠B=90°，EF=EB，從而可得結(jié)論；（2）如圖2，延長(zhǎng)DE,AB相交于點(diǎn)F．證明∠2=∠F，△AED≌△AEF(AAS)．可得DE=FE．再證明（3）證明S四邊形ABCD=【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F．∵AB∥∴∠B+∠C=180°．又∵∠ABE=90°，∴∠C=180°?∠B=90°∴EC⊥DC,EB⊥AB∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥DA，∴EC=EF．∵E是BC的中點(diǎn)，∴EC=EB，∴EF=EB．又∵EF⊥AD,EB⊥AB，∴AE平分∠BAD．（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)DE,AB相交于點(diǎn)F．∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠1=∠2,∠3=∠4∵AB∥∴∠1=∠F．∴∠2=∠F．在△AED和△AEF中，∠2=∠F∴△AED≌△AEF(AAS∴DE=FE．在△DEC和△FEB中，∠1=∠F∴△DEC≌△FEB(ASA∴CE=BE．∴E是BC的中點(diǎn)．（3）解：由（2）得：△AED≌△AEF，∴∠AED=∠AEF,S∵∠AED+∠AEF=180°，∴∠AED=∠AEF=90°．∵△DEC≌△FEB，∴S△DECS===2S【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線，構(gòu)建三角形全等是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于點(diǎn)M，M為(1)DM平分∠ADC；(2)AD=AB+CD．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)得ME=MB，再證ME=MC，即可得出結(jié)論；（2）證Rt△AME≌Rt△AMB（HL），得【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E，∵∠B=∠C=90°，∴MB⊥AB，MC⊥CD，∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD∴ME=MB，又∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴MC=MB，∴ME=MC，∵M(jìn)C⊥CD，ME⊥AD，∴DM平分∠ADC；（2）在Rt△AME和RtME=MBAM=AM∴Rt△AME≌∴AE=AB，同理可證DC=DE，∵AD=AE+DE，∴AD=AB+C【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和判定等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·重慶璧山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC延長(zhǎng)線上，∠ACB=100°，∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD，垂足為M，且∠CEM=50°(1)求∠BCE的度數(shù)．(2)求證：BE平分∠CBF．【答案】(1)40°(2)見(jiàn)解析【分析】(1)先計(jì)算∠BCD=80°，再計(jì)算∠ECM=40°，根據(jù)∠BCE=∠BCD?∠ECM計(jì)算即可．(2)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BF,EN⊥BC，垂足分為H，N．證明EN=EH即可．【詳解】（1）因?yàn)椤螦CB=100°，所以∠BCD=80°．因?yàn)镋M⊥AD，垂足為M，且∠CEM=50°，所以∠ECM=40°，所以∠BCE=∠BCD?∠ECM=80°?40°=40°．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BF,EN⊥BC，垂足分為H，N．因?yàn)椤螧AC的平分線交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD，所以EM=EH；因?yàn)椤螮CM=∠BCE，所以EM=EN；所以EN=EH，所以BE平分∠CBF．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，角的平分線性質(zhì)和判定，熟練掌握角的平分線性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7：角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用典例7：（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖公路AE、AF、BC兩兩相交．求作：加油站O，使得O到三條公路的距離相等．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】作圖見(jiàn)解析【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)及作法，即可作得．【詳解】解：作法如下：1．尺規(guī)作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意兩個(gè)角的角平分線，交點(diǎn)即為O12．尺規(guī)作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意兩個(gè)角的角平分線，交點(diǎn)即為O2證明：∵點(diǎn)O1是∠A與∠BCF∴點(diǎn)O1到公路AE、AF、BC∵點(diǎn)O2是∠A與∠ABC∴點(diǎn)O2到公路AE、AF、BC∴點(diǎn)O1、點(diǎn)O【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖—角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用角平分線的作法及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）根據(jù)圖片回答下列問(wèn)題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．【答案】(1)=(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題目挖掘條件證明△ACD≌△ABD即可（2）在AB邊上取點(diǎn)E，使AC=AE，證明△ACD≌△AED，利用全等對(duì)應(yīng)角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，從而推出結(jié)論（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°∴∠C=90°∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠BAD∵AD=AD∴△ACD≌△ABD（AAS）∴BD=CD（2）如圖②，在AB邊上取點(diǎn)E，使AC=AE∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD∵AD=AD，AC=AE∴△ACD≌△AED（SAS）∴DC=DE，∠AED=∠C∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°∴∠DEB=∠B∴DE=DB∴DB=DC【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的證明，以及角平分線常見(jiàn)輔助線；注意第二小題難點(diǎn)在于輔助線【變式2】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖．在△ABC內(nèi)部找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB、BC、AC的距離相等，（不寫(xiě)作圖步驟，保留作圖痕跡）；(2)若△ABC的周長(zhǎng)為14cm，面積為212cm2，求點(diǎn)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）根據(jù)題意作∠A,∠B的角平分線的交點(diǎn)P，即為所求；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，設(shè)點(diǎn)P到AC的距離為d，則12【詳解】（1）如圖，點(diǎn)P即為所求，（2）設(shè)點(diǎn)P到AC的距離為d，由（1）可知點(diǎn)P到AB、BC、AC的距離相等則S∴1解得：d=∴點(diǎn)P到AC的距離為3【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某個(gè)居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個(gè)大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請(qǐng)確定該超市的位置P．【答案】見(jiàn)解析【分析】作∠AOB的角平分線OD，OD與MN的交點(diǎn)到∠AOB的兩邊OA，OB的距離相等．【詳解】如圖所示：作∠AOB的平分線交MN于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為該超市的位置．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的作法，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）在△ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三邊的距離相等，則點(diǎn)P一定是△ABC（）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等，∴點(diǎn)P應(yīng)是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)；熟練掌握角的平分線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】過(guò)D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=AD=2，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．【詳解】解：過(guò)D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，對(duì)角線BD平分∠ABC，∴AD=DE，∵AD=2，∴DE=2，∵BC=4，∴SΔ故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，OC平分∠AOB，D是OC上一點(diǎn)，DE⊥OB于點(diǎn)E，若DE＝7，則點(diǎn)D到OA的距離為（

）A．7 B．11 C．14 D．21【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，∵OC平分∠AOB，D為OC上一點(diǎn)，DE⊥OB于點(diǎn)E，DE＝7，∴DF=DE=7，即D到OA的距離等于7．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·福建南平·八年級(jí)校考期中）如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD＝9，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答．【詳解】解：作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·重慶涪陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BD=5cm，則點(diǎn)D到邊AC的距離DE的長(zhǎng)為（

A．4cm B．5cm C．5.5cm【答案】B【分析】利用角平分線的性質(zhì)證得DE=BD=5cm【詳解】解：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，AD平分∠BAC，∴DE=BD=5cm即DE=BD=5cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝32，則△BCEA．3 B．154 C．4 D．【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到EF=DE=32【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，∴EF＝DE＝32∴△BCE的面積＝12×BC×EF＝15故選B.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，則點(diǎn)P是△ABC（

）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)的逆定理即可得出答案．【詳解】解：P到三條距離相等，即PD＝PE＝PF，連接PA、PB、PC，∵PD＝PE，∴PB是∠ABC的角平分線，同理PA、PC分別是∠BAC，∠ACB的角平分線，故P是△ABC角平分線交點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形角平分線的交點(diǎn)，掌握角平分線的性質(zhì)的逆定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，△ABC的面積為7，DE=2，AB=4，則AC的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】作DF⊥AC于F，證明DF=DE=2，由面積可得12【詳解】解：作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=2，∴12∴12解得AC=3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，熟記角平分線的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．9．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，則∠ADE=（

）A．50° B．55° C．60° D．62.5°【答案】A【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC=90°，再利用角平分線的性質(zhì)得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠B=55°，∴∠BAC=180°?55°?35°=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∵∠ADC=∠B+∠BAD=55°+45°=100°，DE平分∴∠ADE=故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)．10．（2022秋·北京·八年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為A．CM=CN B．OM=ON C．ON=CM D．∠MCO=∠NCO【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：CM=CN，然后證明△MOC≌△NOC，即可得出OM=ON，【詳解】解：∵∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，∴CM=CN，則A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵∠CMO=∠CNO=90°,CM=CN,OC=OC，∴△MOC≌∴OM=ON，∠MCO=∠NCO，故B、D選項(xiàng)正確，不符合題意；不能得出ON=CM，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．11．（2022·八年級(jí)單元測(cè)試）東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設(shè)一批精品口袋公園．如圖，ΔABC是一個(gè)正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得SΔABH=SA．∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點(diǎn)B．∠BAC的角平分線與AB邊上中線的交點(diǎn)C．∠ABC的角平分線與AC邊上中線的交點(diǎn)D．∠ABC的角平分線與BC邊上中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得點(diǎn)H在∠BAC的角平分線上，再根據(jù)三角形的中線性質(zhì)可得ΔABE的面積=ΔBCE的面積，ΔAHE的面積=Δ【詳解】解：如圖：作∠BAC的平分線交BC于D，作AC的中線BE交AD于H，∵AD平分∠BAC，點(diǎn)H在AD上，∴點(diǎn)H到AB、AC的距離相等，∵BE是AC邊上的中線，∴ΔABE的面積=ΔBCE的面積，Δ∴ΔABE的面積?ΔAHE的面積=∴ΔABH的面積=∴涼亭H是∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的角平分線和中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，OP平分∠AOB，點(diǎn)E為OA上一點(diǎn)，OE＝4，點(diǎn)P到OB的距離是2，則△POE的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出距離也就是高為2，利用三角形面積公式即可求得．【詳解】∵OP平分∠AOB，點(diǎn)P到OB的距離是2，∴點(diǎn)P到OA的距離是2∴S△OEP故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，如何求三角形面積，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)求出距離（三角形高）．13．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖，OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，P是射線OC上任意點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，下列條件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分線的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理判斷即可．【詳解】解：∵∠AOC＝∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分線，①符合題意；∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OC是∠AOB的角平分線，②符合題意；在Rt△POD和Rt△POE中，{OD=DE∴Rt△POD≌Rt△POE，∴∠AOC＝∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分線，③符合題意；∵∠DPO=∠EPO，PD⊥OA，PE⊥OB∴在△POD和△POE中，{∠DPO=∠EPO∴△POD≌△POE（AAS），∴∠AOC＝∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分線，④符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵；14．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50°，以下四個(gè)結(jié)論：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④點(diǎn)A在∠DOE的平分線上，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定及角平分線的性質(zhì)即可依次判斷．【詳解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正確；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC=∠ABE設(shè)AB與CD交于G點(diǎn)，∵∠AGD=∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正確；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于H點(diǎn)，則AF、AH分別是△ADC與△ABE邊上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴點(diǎn)A在∠DOE的平分線上，④正確故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)與判定．15．（2022秋·山東德州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°?其中結(jié)論正確的是（

）．（填寫(xiě)結(jié)論的編號(hào)）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】①過(guò)點(diǎn)P做PD⊥AC，根據(jù)AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再證明△PDC≌△PNC即可得出結(jié)論；②根據(jù)BP和CP都是角平分線，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN?12∠ABC，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)?12∠ABC=12∠BAC【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，如圖，∵AP是∠MAC的平分線，PM⊥AE，∴PM=PD．∵BP是∠ABC的平分線，PN⊥BF，∴PM=PN，∴PD=PN．∵PC=PC，∴△PDC≌△PNC(HL∴∠PCD=∠PCN，故①正確；②∵BP和CP分別是∠ABC和∠ACN的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC∵∠BPC=180°?∠PBC?∠PCB，∠PCB=180°?∠PCN，∴∠BPC=1∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，∴∠BPC=1③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易證△PMA≌△PDA(HL∴∠APC=1∵∠PMB=∠PNB=90°，四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠MPN=180°?∠ABC，∴∠APC=1④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，∴S△PDC=S∵S△APC∴S△APM綜上可知正確的有：①②③．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．二、填空題16．（2022秋·云南昆明·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E．若AC=5，DE=2，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】3【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE=DC=2，則可求出AD的長(zhǎng)度【詳解】解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，∠C=90°∴DE=DC=2∴AD=AC?DC=5?2=3故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，解題的關(guān)鍵是熟知性質(zhì)及對(duì)應(yīng)的模型．17．（2022·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E,若∠C=50°，則∠AED＝__________．【答案】115°【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠AED的度數(shù)即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝180°?50°＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝65°，∵AB∥CD，∴∠EAB＋∠AED＝180°，∴∠AED＝180°?65°＝115°，故答案為115°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和平行線性質(zhì)的應(yīng)用.18．（2022秋·江蘇連云港·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，D是BC上一點(diǎn)，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD=m，則S△ADC＝_____（用【答案】45m【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DF，從而得到SΔ【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∴S∵AB＝5，AC＝4，S△ABD∴SΔ∴SΔ故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BO平分∠ABC,OD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，若OD=5，則OE的最小值為_(kāi)______．【答案】5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：當(dāng)OE⊥AB時(shí)，OE最小，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OD=5，∴OD=OE=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAB的平分線AD交BC于點(diǎn)D．若AD=6，則點(diǎn)D到AB邊的距離是_______．【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得CD=DE，又由∠B=30°，可得∠CAD=30°，從而得到CD=1【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD平分∠CAB，∠ACB=90°，∴CD=DE，∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∴∠CAD=30°，∵AD=6，∴CD=1∴DE=3，即點(diǎn)D到AB邊的距離是3．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=3，則BC=________．

【答案】3【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得CD的長(zhǎng)，然后在直角△BDE中，根據(jù)30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BD長(zhǎng)，則BC即可求得．【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE=3，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=23，∴BC=CD+BD=3+23=33．故答案為：33．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（?3+a,2a+9）在第二象限角平分線上，則a的值是___．【答案】-2【分析】根據(jù)點(diǎn)A在角平分線上可知，點(diǎn)A到兩個(gè)坐標(biāo)的距離是相等的；第二象限的點(diǎn)，橫坐標(biāo)